高中数学新人教版B版精品教案《2.2.2 反证法》

2.2.2 反 证 法

一、教学目标

1．核心素养

培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力

2．学习目标

（1）理解反证法的概念

（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤

（3）会用反证法证明简单的命题

3．学习重点

对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．

4．学习难点

理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．

二、教学设计

（一）课前设计

【学习过程】

1．预习任务

任务1

预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？

任务2

反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？

2．预习自测

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）

①结论相反的判断，即假设

②原命题的条件

③公理、定理、定义等

④原结论

A．①②

B．①②④

C．①②③

D．②③ 答案：C

【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】

由反证法的定义可知应选C．

2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（ ）

A．一个是正数，一个是负数

B．两个都是正数

C．两个都是非负数

D．至少有一个是正数

答案：D

3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（ ）

A．a<0，b<0，c>0

B．a≤0，b>0，c>0

C．a，b，c不全是正数

D．abc<0

答案：C

4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）

A．有一个解

B．有两个解

C．至少有两个解

D．至少有三个解

答案：D

（二）课堂设计

1．知识回顾

著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

2.2.2 反证法

学

习

目

标 核 心 素 养

1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)

2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点) 通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.

反证法

1．反证法的定义

由证明p⇒q转向证明： ¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

2．常见的几种矛盾

(1)与假设矛盾；

(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；

(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)反证法属于间接证明问题的方法． ( )

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理． ( )

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾． ( )

[答案] (1)√ (2)× (3)√

2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是( )

A．假设三个内角都不大于60°

B．假设三个内角都大于60°

C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60°

[解析] 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.

[答案] B

3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．

[解析] ∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，

∴应假设b与c平行或相交．

[答案] b与c平行或相交

利用反证法证明否定性命题

【例1】 (1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为( )

A．整数 B．奇数或偶数

C．自然数或负整数

D．正整数或负整数

(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a， b，

1.6 微积分基本定理

一、教学目标

知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二、教学重难点

重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义

三、教学过程

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()vto），

则物体在时间间隔12[,]TT内经过的路程可用速度函数表示为21()TTvtdt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在12[,]TT上的增量12()()STST来表达，即

21()TTvtdt=12()()STST

而()()Stvt。

对于一般函数()fx，设()()Fxfx，是否也有

()()()bafxdxFbFa

若上式成立，我们就找到了用()fx的原函数（即满足()()Fxfx）的数值差()()FbFa来计算()fx在[,]ab上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则

()()()bafxdxFbFa

证明：因为()x=()xaftdt与()Fx都是()fx的原函数，故 ()Fx-()x=C（axb）

第 1 页 共 5 页 北师大版数学选修1-2

第三章 推理与证明

§4 反证法

一、教学目标：

1.知识与技能：

(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；

(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.

2.过程与方法:

通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.

3.情感态度与价值观

通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：

了解反证法的思考过程与特点..

三.教学难点：

正确理解、运用反证法.

四.教学方法：

多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.

教学过程：

一、 课前复习与思考：

（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：

直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、第 2 页 共 5 页 定理，直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）

间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知

【新课导引】

多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.

提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：

同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？

【学生自主合作探究】

学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：

1、什么是反证法？

2、反证法的证题步骤有哪几步？

3、什么样的命题适合用反证法来证明？

4、反证法的应用关键在于什么？