2020年天津市河东区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
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2020年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.
1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i
2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（ ）
A．55 B．65 C．36 D．78
3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．
7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点， =，则AB的长度为（ ） 第2页（共18页）
A．2 B． C． D．
8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（ ）
A．[﹣，1] B．[0，1] C．[0，] D．[﹣，1]
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为
． 10．（﹣）5的展开式中的常数项是 （用数字作答）．
11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为 ．
12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是 ．
13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD= ．
14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题6个题，共80分） 第3页（共18页）
15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；
（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．
16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．
17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．
（1）证明PA⊥BO；
（2）证明DO∥平面PAB；
（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．
18．椭圆C： =1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列，b1=﹣1，bn＞0（n≥2），b2Sn+an=2且3a2=2a3+a1．
（1）求{an}、{bn}的通项公式；
（2）设cn=，Tn=++…+，证明：Tn＜．
20．已知函数f（x）=aexx﹣2aex﹣x2+x．
（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．
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2020年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.
1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．
【解答】解：由==bi+1，
得a=1，b=﹣1，
∴a+b=0．
故选：B．
2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（ ）
A．55 B．65 C．36 D．78
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=13时不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78，从而得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=0，i=1，S=0
执行循环体，a=3，S=3，i=3
满足条件i≤12，执行循环体，a=7，S=10，i=5
满足条件i≤12，执行循环体，a=11，S=21，i=7 第5页（共18页）
满足条件i≤12，执行循环体，a=15，S=36，i=9
满足条件i≤12，执行循环体，a=19，S=55，i=11
满足条件i≤12，执行循环体，a=23，S=78，i=13
不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78．
故选：D．
3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即，
∴对应的双曲线方程为，
∵双曲线的一个焦点为F1（5，0），
∴c=5，且λ＞0，
则﹣=1，
则a2=9λ，b2=16λ，
则c2=9λ+16λ=25λ=25，
则λ=1，
即双曲线的方程为，
故选：C
4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【考点】函数的图象．
【分析】令h（x）=lnx﹣，判断h（x）的单调性并计算h（x）的极值，根据极值与0的大小关系判断h（x）的零点个数，得出答案．
【解答】解：令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=．
∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0．
∴当x=e时，h（x）取得最大值h（e）=0． 第6页（共18页）
∴h（x）=lnx﹣只有一个零点，即f（x）与g（x）的图象只有1个交点，
故选：B．
5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解出即可判断出结论．
【解答】解：圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0配方化为：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4，
若点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解得≤a≤2+2，
∴“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的充分不必要条件．
故选：A．
6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．
【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算．
【分析】直接利用余弦定理求出A的一半的余弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，
则cos===，
cosA=2cos2﹣1=2×﹣1=．
故选：D．
7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点， =，则AB的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算． 第7页（共18页）
【分析】可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4﹣x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，根据进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．
【解答】解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4﹣x，则：
D（0，0），A（0，﹣1），B（﹣x，0），C（4﹣x，0），E（）；
∴；
∴；
∵x＞0，∴解得x=1；
∴B（﹣1，0），又A（0，﹣1）；
∴．
故选：C．
8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（ ）
A．[﹣，1] B．[0，1] C．[0，] D．[﹣，1]
【考点】函数的值域．
【分析】由f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．
【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab
≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）
=，
当c=，a=0，b=时，f（c）=，
