二重积分的计算公式

是；试周刊２０１４年第８５期　

利用物理意义推导二重积分的计算公式　

杜美华　（青岛理工大学琴岛学院，山东青岛　２６６１０６）　摘要：二重积分化为累次积分是非常重要的公式，本文　从实际出发．利用积分的物理意义推导二重积分的计算公式。　关键词：二重积分物理意义公式　在高等数学的教材中，二重积分的实际意义有几何意义　和物理意义两种，分别代表是曲顶柱体的体积和平面薄片的　质量，但是传统教材中只是从几何意义出发，给出二重积分的　计算公式。在本文中将从物理意义出发，给出直角坐标系下二　重积分的计算公式。　假设区域Ｄ为Ｘ型区域，ｆ（ｘ，Ｙ）在区域Ｄ内连续，则区域Ｄ　上二重积分的计算公式为　ｈ　‘Ｄ（Ｉ）　ｊ＇ｊ＇ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ　ｄｘ　ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ　（１）　引理：设有一杆粗细可以忽略，占有实数轴上的区间［Ｘ，，　ｘ，］，其线密度为ｐ（ｘ），则此杆的质量为ｍ＝　：ｐ（ｘ）ｄｘ。　设有一平面薄片占有平面区域Ｄ，其面密度为ｆ（ｘ，Ｙ），由　二重积分的物理意义可知，此薄片的质量为　ｍ＝Ｊ＇Ｊ＇ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ　（２）　Ｄ　下面推导公式（１）。　Ｖｘ∈［ａ，ｂ］，过ｘ作平行于ｙ轴的直线，分别交区域Ｄ的边　界于点Ａ、Ｂ。则区域Ｄ可以看成是这些平行于ｖ轴的直线段ＡＢ　的集合，从而平面薄片的质量为所有这些直线段质量的总和，　直线段ＡＢ上的点横坐标都为ｘ，纵坐标ｙ由‘Ｐ．（Ｘ）到‘Ｐ，（Ｘ），其线　密度为ｆ（ｘ，ｙ）（ｘ看作常数），由引理知其质量为　ｍ（ｘ）　ｐ（ｙ）ｄｙ　ｘ，ｙ）ｄｙ　（３）　———　～～～　舷，，　／　，Ｃ　６　ｑ（审　ａＲ甘　另外，将直线段ＡＢ投影于Ｘ轴，投影点即为ｘ，相应地将直　线段ＡＢ的质量压缩在点Ｘ上。则平面薄片的质量亦即为闭区间　［ａ，ｂ］的质量。由（３）可知，闭区间［ａ，ｂ］的线密度为ｍ（ｘ），于是　闭区间［ａ，ｂ］的质量为　ｍ＝　ｍ（ｘ）ｄｘ　［　ｘ，ｙ）ｄｙ］ｄｘ　＝　ｄｘＪ：　（ｘ，ｙ）ｄｙ　由（２）式可知，　ｂ　‘　０　（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ｊ＇：ｄｘｆ：：ｉ：；ｆ‘（ｘ，ｙ）ｄｙ　同理．此方法对Ｙ型区域也成立。　特别的，当ｆ（ｘ，ｙ）＝１，（ｘ，Ｙ）∈Ｄ时，面密度为常数ｌ，此时　由公式　ｍ　ＵＸ盯　其中　为面密度，仃薄片的面积，可知二重积分　Ｈｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ｆＳｌｄｘｄｙ＝￣　这是和几何意义推导二重积分的计算公式是不相违背　的。　用物理意义来推导二重积分的计算公式，能加强对二重　积分物理意义的理解，也加强了知识间的内在联系，也让学生　－且’　理解到二重积分能够解决能用这一类和式的极限ｌｉｍ　ｆ（鲁，　＾—　Ｉ＝ｌ　．）＆ｏｒ；求解的实际的问题。类似的，三重积分利用物理意义，　在直角坐标系下将立体分别投影在坐标面上和数轴上．可得　“２＋１”模式的投影法和“１＋２”模式的截面法。　参考文献：　［１］同济大学数学系．高等数学（第六版）［Ｍ］．北京：高等　教育出版社出版，２００７，６．　［２］吴赣昌．高等数学（理工类）［Ｍ］．北京：中国人民大学　出版社，２００６，３．　不合格，犯错误的概率较大。则我们选择假设检验的解法一．　尽管这次检验所给样本数据似乎不太理想。但经检验，我们还　是有理由相信，这天的维尼纶是合格的．这时，若用区间估计　的方法进行检验，则结论为这天的维尼纶是不合格的，检验并　没有考虑到我们已有的非样本信息，因此该结论是不全面的．　如果样本仅如例２所列．除此之外并无其他值得重点考虑的信　息，则用区间估计检验．并据之判断。按区间估计的结果认为　该认为这天的维尼纶是不合格的并无不当．因此．从例２的情　况可知，区间估计与假设检验适用的情况应有所不同，而且假　设检验中，在某些情况下。所得结论与原假设及备择假设的设　定有关，这关乎单侧假设检验中原假设的设定原则问题．这里　不再赘述．　综上所述，在常规情况下如果我们对问题的总体的某　些非样本信息，如历史经验等有很多实际的了解．则应选取　假设检验方法，如果我们对待检验问题除样本信息外的其　他信息一无所知，则用区间估计方法检验较妥当．据此作出　判断较客观，失误相对较少．总之，在学习和应用中，准确把　握住数理统计中区间估计与假设检验这两种统计推断方法　内在联系和区别是得出正确结论的关键．我们必须注意它　们各自适用的范围和条件，这对作出正确的统计推断至关　重要．　参考文献：　［１］邓集贤等．概率论与数理统计（下）［Ｍ］．北京高等教育　出版社．２００９．　［２］茆诗松，王静龙．数理统计［Ｍ］．上海华东师范大学出　版社．１９８６．　［３］茆诗松等．高等数理统计［Ｍ］．北京高等教育出版社，２０００．　［４］杜世平．对区间估计与假设检验的关系的思考［Ｊ］．西　南民族大学学报，２００５，３１（３）：３３９—３４１．　项目：吉首大学新开课程建设立项项目：２Ｏｌ２ＫＣＢ０４。吉　首大学教改课题：民族地区统计学专业应用型人才培养模式　改革的理论与实践（２０１３ＪＳＵＪＧＡ１３）

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二重积分计算公式的一个推导方法

作者：郑红芬 贾屹峰

来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第07期

【摘 要】 以切片面包实物模型，利用元素法，直接推导直角坐标系下Y型区域二重积分的计算公式。

【关键词】 元素法；二重积分；面包片

直角坐標系下二重积分化为二次积分，是重积分的基础，传统的方法是通过计算平行截面面积已知立体的体积完成的。在[2]中，采用的坐标系不是常见的，而且推导过程中需要把立体的图形平面化，使得部分学生难以理解。这里采用生活中常见的切片面包作为实物模型，利用元素法直接计算曲顶柱体的体积，得到二重积分的计算公式，将抽象的知识具体化，并在实际教学过程中得以应用，取得了很好的效果。

根据二重积分的几何意义，二重积分的计算归结为求曲顶柱体的体积。图1所示的面包外形是曲顶柱体，我们以此为具体的实物模型，计算曲顶柱体的体积。 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网

以切片面包辅助推导二重积分计算公式具有非常好的直观性，学生获得丰富的感性认识，在把课本上的知识同现实生活结合起来的同时，使得高等数学不再枯燥，激发了学生学习高等数学课程的兴趣。

【参考文献】

[1]同济大学数学系，高等数学：上册[M].北京：高等教育出版社（第七版），2014.

[2]同济大学数学系，高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社（第七版），2014.

二重积分牛顿莱布尼茨公式计算举例

为了解释二重积分的牛顿-莱布尼茨公式，我们首先需要了解二重积分的概念和性质。

二重积分是对一个平面区域上的二元函数进行积分运算，可以看作是对一些平面区域进行分割，然后将每个小区域内的函数值与该小区域的面积相乘，再将所有小区域内的乘积相加得到的结果。

牛顿-莱布尼茨公式是一条非常重要的微积分定理，它使我们能够通过求导和求积分来相互转换。在这里，牛顿-莱布尼茨公式可以用来计算二重积分的值。

设函数f(x,y)在平面区域D上连续且具有连续的偏导数，那么二重积分的牛顿-莱布尼茨公式可以表示为：

∬D ∂f/∂x dA = ∫[a,b]∫[c,d] ∂f/∂x dy dx

其中，∂f/∂x是函数f(x,y)对x的偏导数，dA表示面积元素，[a,b]和[c,d]分别是区域D在x和y方向上的投影。

现在让我们通过一个具体的例子来演示如何使用牛顿-莱布尼茨公式计算二重积分。

例题：计算二重积分 ∬D (3x^2 + 4xy) dA，其中D是平面区域由曲线y = x^2和直线y = 2x所围成的。

解：首先，我们需要确定积分的上下限。由于D是由y=x^2和y=2x围成的，我们可以通过将两者相交来找到交点。

令y=x^2和y=2x相等，即x^2=2x，解得x=0和x=2、因此，积分的上下限为0到2 接下来，我们需要确定积分的顺序。由于题目中给出的是y在前，x在后的积分顺序，所以我们先对y进行积分再对x进行积分。

对y进行积分的上下限需要根据D的定义来确定。根据D的定义，y的取值范围在x^2和2x之间，所以y的上下限为x^2到2x。

现在，我们可以将二重积分转换为两次定积分：

∬D (3x^2 + 4xy) dA = ∫[0,2] ∫[x^2, 2x] (3x^2 + 4xy) dy dx

首先，对内层的y进行积分，得到：

∫[x^2, 2x] (3x^2 + 4xy) dy = [3x^2y + 2xy^2]∣[x^2, 2x] =

二重积分求导公式

二重积分的定义如下：

设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则D上存在积分

∬D f(x,y)dA=lim_{n->∞}∑_{i=1}^{n}∑_{j=1}^{m}f(x_{ij},y_{ij})△A_{ij}

其中(x_{ij},y_{ij})是D中随意选取的点，△A_{ij}表示D中与这个点对应的小矩形面积。

我们知道，对于一重积分，求导公式是导数和原函数的关系，即∫f'(x)dx=f(x)+C。类似地，对于二重积分，我们可以利用二重积分与原函数的关系来推导求导公式。

设函数F(x,y)是f(x,y)的一个原函数，那么根据二重积分的定义，有

∬Df(x,y)dA=F(x,y)，_D

其中F(x,y)，_D表示F(x,y)在D上的定积分。

我们可以利用定积分的求导方法来推导二重积分的求导公式。首先，我们来考虑二重积分的上限函数。

设函数G(y)=F(b,y)，其中F(x,y)是f(x,y)的一个原函数。则根据定积分的求导公式，有

d/dy ∫_{a}^{b} F(x,y)dx=G'(y)

即∫_{a}^{b} ∂f(x,y)/∂y dx=G'(y) 将该结果代入二重积分的定义中，有

d/dy ∬_{D} f(x,y)dA=∫_{a}^{b} ∂f(x,y)/∂y dx

根据混合偏导数的对称性定理，可以将偏导数的求导顺序颠倒，得到

d/dy ∬_{D} f(x,y)dA=∬_{D} ∂f(x,y)/∂y dA

类似地，我们可以推导出对x的求导公式。设函数H(x)=F(x,d)，其中F(x,y)是f(x,y)的一个原函数。则根据定积分的求导公式，有

d/dx ∫_{c}^{d} F(x,y)dy=H'(x)

即∫_{c}^{d} ∂f(x,y)/∂x dy=H'(x)

将该结果代入二重积分的定义中，有

d/dx ∬_{D} f(x,y)dA=∫_{c}^{d} ∂f(x,y)/∂x dy