傅里叶贝塞尔函数

贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。

贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。

本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。

一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。

第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。

它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。

第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。

2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。

3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。

第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。

第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。

二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。

第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。

第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。

2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。

3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。

图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。

实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。

贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。

通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。

一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。

由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。

典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。

实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。

贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。

目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。

20.3.1 贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出1J ()J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d vv v v x x x x x -= (20.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足上述递推关系．若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x -= (20.3.3)1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4)把两式左端展开, 又可改写为1()()()v v vZ x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()()v v vZ Z x Z x x ν-'+= (20.3.6)从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得11()()2()v v vZ x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v vZ x Z x Z x x +-=-+即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式.上式也可以写成为11()()2()v v v vZ x Z x Z x x -++= （20.3.7）11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数．例 20.3.1 求2J()d x x x⎰【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有201J ()J ()2J ()x x x '=-21111111J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c'=-=--'=-+=--+⎰⎰⎰⎰⎰20.3.2贝塞尔函数正交性和模1．正交性对应不同本征值的本征函数分别满足2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m j m j m k k ρρρρρ+-= (20.3.10)将(20.3.9)乘以()J ()m m j k ρ，将(20.3.10)乘以()J ()m m i k ρ，然后两式相减，再积分，利用分部积分法得到()2()2()()0()()()()0{[][]}J ()J ()d d d [J ()J ()J ()J ()]|0d d m m m m i j m i m j m m m m m i m j m j m i k k k k k k k k ρρρρρρρρρρρρρρ-=-=⎰故当 ()()m m i j k k ≠时()()0J ()J ()d 0m m m i m j k k ρρρρρ=⎰(20.3.11)2．贝塞尔函数的模()m n N22()22()20001[]()[J ()]2m m nm n n n m Nk H ρρρλλ=-+ （20.3.12）20.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族()J ()m m n k ρ是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．定义在区间],0[0ρ上的函数)(ρf ，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为 ()1()J ()m n m n n f f k ρρ∞==∑ （20.3.13）其中广义傅氏系数()()21()J ()d []m n m n m nf f k Nρρρρρ=⎰(20.3.14)20.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）1. 母函数（生成函数） 考虑解析函数)1(2),(zz x ez x G -=在+∞<<z 0内的罗朗展式（注意，此处的x 为参变数，不是复变数z 的实部）．因为∑∞==02!)2(k k k z xz k x e ， ∑∞=---=-02)(!)2(1l ll zx z l x e故 ∑∑∞=∞=---=00)1(2)(!)2(!)2(k l ll k k z z x z l x z k x e对于固定的z ，以上两级数在+∞<<z 0内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令,,2,1,0, ±±==-n n l k 得1()22000(1)(1)(,)()[()]!!2()!!2x l l z k l k l l n nzk l n l x xG x z ez z k l n l l ∞∞∞∞-+-+===-∞=--===+∑∑∑∑ 故(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑ (20.3.15)称)1(2zz x e -为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．2.加法公式利用母函数公式(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑故有1()211()()22(,)J() (,)(,)J ()J ()x y z mzmn x y z z knzzk nk n G x y z e x y z eeG x z G y z x zy z +∞-=-∞∞∞--=-∞=-∞+==+===∑∑∑比较两边的mz 项的系数，即得加法公式J ()J()J ()m km k k x y x y +∞-=-∞+=∑ (20.3.16)3．贝塞尔函数的积分表达式利用母函数公式(20.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到1()211J ()d (0,1,2,)2πi x z zm m C ex z m z -+==±±⎰其中C 是围绕0=z 点的任意一条闭曲线．如果取C 为单位圆，则在C 上，有i z e θ=．从而得到2π2πi sin i 1i i(sin )0011J ()()(i )d d 2πi 2πx m x m m x e e e e θθθθθθθ---==⎰⎰2π01J ()c o s (s i n )d , (0,1,2,)2πm x x m m θθθ=-=±±⎰ （20.3.17）其中积分式中的sin(sin )x m ϕϕ-的项已被省去，因为在[0,2π]上其积分为零．式(20.3.10)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式． 特别若0m =时，有π001J ()cos(sin )d πx x θθ=⎰ （20.3.18）。

题目: 贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。

它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。

其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等，并对他们进行了深入的分析。

第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过m ａtlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。

最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。

关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式目录一、起源ﻩ错误!未定义书签。

（一）贝塞尔函数的提出ﻩ错误!未定义书签。

（二）贝塞尔方程的引出.................................................................... 错误!未定义书签。

二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。

(一) 贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。

1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。

２．第二类贝塞尔函数.................................................................. 错误!未定义书签。

貝塞爾函數（Bessel Function），它們的數值可由查有關貝塞爾函數曲線或查表得出，貝塞爾函數值與m f的關係如圖4-6所示。

表4-1載頻、邊頻振幅與關係表圖4-1第一類貝塞爾函數根據式（4-18），可以得出如下結論︰1.一個調頻波除了載波頻率外，還包含無窮多的邊頻，相鄰邊頻之間的頻率間隔仍是。

第條譜線與載頻之差為。

2.每一個分量的最大振幅等於。

而由貝塞爾函數決定。

理論上，相角調變信號的邊頻分量是無限多的，也就是說，它的頻譜是無限寬的。

一路信號要佔用無限寬的頻帶，是我們不希望的。

實際上，已調信號的能量絕大部分是集中在載頻附近的一些邊頻分量上，從某一邊頻起，它的幅度便非常小（工程上習慣，凡是振幅小於未調變載波振幅的10%的邊頻分量可以忽略不計）。

根據貝塞爾函數的特點，當階數時，貝塞爾函數的數值隨著n的增加而迅速減小。

所以，實際上我們可以認為，也即高低邊頻的總數等於個，因此調頻波的頻譜有效寬度為，即頻帶寬度可以方便地算出，為(4-19）由於，所以式(4-19)也可寫成下列形式，即(4-20)這與調變頻率相同的調幅波比起來，調角波的頻帶要寬。

通常，所以相角調變的頻帶要比調幅波寬得多。

因此，在同樣的波段中，能容納相角調變信號的數目，要少於調幅信號的數目。

因此，調頻只宜用於頻率較高的、甚高頻和超高頻段中。

關於頻帶寬度區分以下兩點說明：3.當，也就是寬頻帶FM（WBFM）情況，式(4-19)及式(4-20)適用之。

4.當，為窄頻帶FM（NBFM），此時式（4-19）及（4-20）不再適用，由表6-1可以看出，邊頻只取一對就夠了，即窄頻帶調頻頻譜寬度為。