北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲

1.1探索勾股定理勾股定理的证明知识精讲定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。

如∠C=90°时，公式为222a b c +=，∠A=90°时，公式为222c b a +=，∠B=90°时，公式为222a c b +=。

2. 1212化简不完全 3. 注意隐含条件。

如已知直角三角形的两边长为3cm,4cm ，求第三边长。

不能理所当然的认为3cm,4cm 为直角边，应考虑多种情况，3cm 一定为直角边，但4cm 可能为直角边，也可能为斜边4. 忽视判断三角形形状。

不确定该三角形是否为直角三角形时，不可以使用勾股定理三点剖析一．勾股定理逆定理1．如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222a b c +=”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．二．勾股数1．满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数． 2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41．证明例题1、 下列说法中正确的是（ ）A.已知a ，b ，c 是三角形的三边，则a 2＋b 2＝c 2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2D.在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2 【答案】 C【解析】 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A 、不确定c 是斜边，故本命题错误，即A 选项错误；B 、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B 选项错误；C 、∠C ＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C 选项正确；abcabccbD、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2＋c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误．例题2、我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A.49B.25C.12D.1【答案】C【解析】如图，∵大正方形的面积是25，∴c2=25，∴a2+b2=c2=25，∵直角三角形的面积是（25﹣1）÷4=6，又∵直角三角形的面积是12ab=6，∴ab=12．故选：C．例题3、如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD的和EFGH都是正方形．根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD=c，AE=a，DE=b，c=10，a﹣b=2．（1）正方形EFGH的面积为，四个直角三角形的面积和为．（2）求（a+b）2的值．（3）a+b=，a=，b=．【答案】（1）4，96（2）196（3）14，8，6．【解析】（1）正方形EFGH的面积为（a﹣b）2=22=4，四个直角三角的面积和为102﹣4=100﹣4=96．（2）（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=100+96=196．（3）a+b=196=14①，∵（a﹣b）2=22=4，∴a﹣b=2②，联立142a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得86a b =⎧⎨=⎩．故答案为： 14，8，6．例题4、 阅读下列解题过程已知a 、b 、c 为△ABC 为三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状 解∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4① ∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2﹣b 2）（a 2+b 2） ② ∴c 2=a 2+b 2③∴△ABC 是直角三角形 回答下列问题（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号___． （2）错误原因为________．（3）本题正确结论是什么，并说明理由． 【答案】 （1）③；（2）除式可能为零（3）见解析 【解析】 （1）③； （2）除式可能为零；（3）∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4， ∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）， ∴a 2﹣b 2=0或c 2=a 2+b 2， 当a 2﹣b 2=0时，a=b ； 当c 2=a 2+b 2时，∠C=90°，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形随练1、 以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形的是（ ） A.a ＝2，b ＝3，c ＝4 B.a ＝1，3b =，c ＝2 C.a ＝4，b ＝5，c ＝6 D.a ＝2，b ＝2，6c = 【答案】 B【解析】 A 、32＋22≠42，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、2212(3)2+=，故是直角三角形，故本选项符合题意；C 、42＋52≠62，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；D 、22222(2)+≠，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．随练2、 已知直角三角形的两边长为3cm 、5cm ，则它的第三边长为 ． 【答案】 4或34① 【解析】 当5是直角边时，斜边=223534+=，此时第三边为34；② 当5为斜边时，此时第三边=22534-=，综上可得第三边的长度为4或34．故答案为：4或34．随练3、 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为S 3，S 2，S 1，若S 1+S 2+S 3=18，则正方形EFGH 的面积为（ ）A.9B.6C.5D.9 2【答案】B【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．故选：B．随练4、如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4= ．【答案】 3.65【解析】∵斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，∴AC=CF=1，FH=LH=1.1，PR=SR=1.2．∠ACD=∠FHL=∠PRS=90°，∴∠ACB=∠CED，∠FHG=∠HLM，∠PRN=∠RST，∴△ABC≌△CDE，△FGH≌△HML，△PNR≌△RTS，∴AB=CD，BC=DE，FG=HM，GH=ML，PN=RT，NR=ST，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，FG2+GH2=FH2，NP2+NR2=PR2，∴S1+S2=1.0，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S2+S3+S3+S4=1+1.21+1.44=3.65，∴S1+2S2+2S3+S4=3.65．故答案为：3.65．随练5、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．∠S四边形ADCB=S∠ ACD+S∠ ABC=12b2+12ab．又∠S四边形ADCB=S∠ ADB+S∠ DCB=12c2+12a（b-a）∠1 2b2+12ab=12c2+12a（b-a）∠a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°． 求证：a 2+b 2=c 2 证明：连结____． ∠S 五边形ACBED =____． 又∠S 五边形ACBED =____． ∠____． ∠a 2+b 2=c 2．【答案】 （1）BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF=b -a （2）S ∠ ACB +S ∠ ABE +S ∠ ADE =12ab+12b 2+12ab ，（3）S ∠ ACB +S ∠ ABD +S ∠ BDE =12ab+12c 2+12a （b -a ）（4）12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b -a ） 【解析】证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF=b -a ，∠S 五边形ACBED =S ∠ ACB +S ∠ ABE +S ∠ ADE =12ab+12b 2+12ab ， 又∠S 五边形ACBED =S ∠ ACB +S ∠ ABD +S ∠ BDE =12ab+12c 2+12a （b -a ），∠12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b -a ）， ∠a 2+b 2=c 2．勾股定理例题1、 下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.3，5，7 C.7，24，25 D.6，8，10【答案】 B【解析】 A 、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意； B 、32+52≠72，不能组成直角三角形，符合题意； C 、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意； D 、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意．例题2、 若直角三角形的两条边长为a 、b ，且满足269|4|0a a b -++-=，则该直角三角形的斜边长为________ 【答案】 5或4【解析】 由题意得，当边长为4的边是直角边，根据勾股定理得斜边为5；边长为4的边也可作为斜边， 例题3、 如图，数轴上的点A 表示的数是－1，点B 表示的数是1，CB ⊥AB 于点B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A.2.8B.C.1D.1【答案】 C【解析】 由题意可得， AB ＝2，BC ＝2，AB ⊥BC ，∴AC =∴AD =∴点D 表示数为：1．例题4、 如图，字母B 所代表的正方形的面积是（ ）A.12 cm 2B.15 cm 2C.144 cm 2D.306 cm 2【答案】 C【解析】 如图，∵a 2+b 2=c 2， 而a 2=81，c 2=225， ∴b 2=225﹣81=144，∴字母B 所代表的正方形的面积为144cm 2．例题5、 若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长为________cm ． 【答案】 12【解析】 设直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 则162ab =，即ab ＝12， 由勾股定理得，a 2＋b 2＝25， 则（a ＋b ）2－2ab ＝25， 解得，a ＋b ＝7，∴该直角三角形的周长＝a ＋b ＋c ＝12．例题6、 如图，OP ＝1，过P 作PP 1⊥OP ，得1OP =P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得2OP =；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2；…依此法继续作下去，得OP 2012＝________．【答案】【解析】 由勾股定理得：24215OP =+=，∵12OP =；得23OP =； 依此类推可得1n OP n =+， ∴20122013OP =．随练1、 如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的周长为=_____，面积为_____【答案】 62610+；36【解析】 该题考查的是勾股定理和三角形面积计算． 由勾股定理得：2239310AB =+=，226662BC =+=，2239310AC =+=，所以△ABC 的周长为62610AB AC BC ++=+，1199662393622ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=△随练2、 已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB c =，BC a =，AC b =．如果26c =，:5:12a b =，求a 、b 的值． 【答案】 10a =，24b =【解析】 ∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，26c =，:5:12a b =，可设5a x =，则12b x =，∴()()22251226x x +=，解得2x =，∴10a =，24b =．拓展1、 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理【答案】 C【解析】 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明． “弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明． “弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：C ．2、 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b 的比值为_____．【答案】2 3【解析】∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，∴设大正方形的面积是13，边长为c，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面积是1314-=3，又∵直角三角形的面积是12ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，∴a+b=5．∵小正方形的面积为（b﹣a）2=1，∴b=3，a=2，∴23ab=．3、如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A.76B.72C.68D.52【答案】A【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：A．4、阅读材料：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2给予解释．图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C＝90°，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图丙）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．请回答：下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有________．（直接填写图序号）【答案】③④【解析】暂无解析5、在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt △ADB中，AD2=c2﹣（a﹣x）2∴a2+b2=c2+2ax∵a＞0，x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＞c2∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2所以小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．（3）证明你猜想的结论是否正确．【答案】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，（3）证明见解析【解析】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，（3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2∴a2+b2=c2﹣2ax∵a＞0，x＞011 ∴2ax ＞0∴a 2+b 2＜c 2∴当△ABC 为钝角三角形时，a 2+b 2＜c 2．6、 如图，点E 在正方形ABCD 内，满足90AEB ∠=︒，6AE =，8BE =，则阴影部分的面积是（ ）A.48B.60C.76D.80【答案】 C【解析】 211100687622ABE ABCD S S S AB AE BE ∆=-=-⨯⨯=-⨯⨯=正方形阴影部分．故选C ．E A CB D。