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【小学三年级奥数讲义】重叠问题一、知识重点三（ 1）班准备给参加班级绘画竞赛的 16 位同学和参加朗诵竞赛的 12 位同学每人发一份纪念品，中间队长玲玲将 28 份纪念品发下去时，却多出 5 份，这是怎么回事？对了，由于有 5 位同学既参加了绘画竞赛，又参加了朗诵竞赛，因此奖品就多出了 5 份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包括与清除原理，即当两个计数部分有重复包括时，为了不重复计数，应从它们的和中清除重复部分。
解答重叠问题的应用题，一定从条件下手进行仔细的剖析，有时还要画出图示，借助图形进行思虑，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，进而找出解答方法。
二、精讲精练【例题 1】六一小孩节，学校门口挂了一行彩旗。
小张以前数起，红旗是第 8 面；从后数起，红旗是第 10 面。
这行彩旗共多少面？练习 1：1、小朋友排队做操，小明以前数起排在第 4 个，从后数起排在第7 个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12 个，从右数起是第21 个。
这一行座位有多少个？【例题 2】同学们排队做操，每行人数相同多。
小明的地点从左数起是第 4 个，从右数起是第 3 个，以前数起是第 5 个，从后数起是第 6 个。
做操的同学共有多少个？练习 2：1、同学们排队跳舞，每行、每列人数相同多。
小红的地点不论以前数从后数，从左数仍是从右数起都是第 4 个。
跳舞的共有多少人？2、为庆贺“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的地点从左数第2 个，从右数第 4 个；以前数第3 个，从后数第 5 个。
鲜花队共多少人？【例题 3】把两块相同长的木板像下列图这样钉在一同成了一块木板。
假如这块钉在一同的木板长 120 厘米，中间重叠部分是 16 厘米，这两块木板各长多少厘米？练习 3：1、把两段相同长的纸条粘合在一同，形成一段更长的纸条。
初中数学专题-重叠问题(精华版)
重叠问题是初中数学中的一个经典问题，很多同学在研究中会
遇到这个问题，现在我们来深入探讨一下。
什么是重叠问题？简单来说，就是用图形去模拟交集的情况。
例如，我们经常听说的“集体婚礼中，每个男士都握着另外四个女
士的手，每个女士也握着另外四个男士的手，问这次婚礼有多少人？”，这就是一个重叠问题。
在解决重叠问题时，我们需要注意以下几点：
1. 画图：重叠问题通常需要用图形来表示，画图是必不可少的。
2. 分类讨论：根据具体的题目条件，我们可以把问题分成不同
情况进行讨论，从而得到最终的答案。
3. 列方程：对于一些比较复杂的重叠问题，我们可以通过列方
程的方式来解决。
4. 推广应用：重叠问题是初中数学中的一个经典问题，但它在
实际生活中也有很多应用，例如科学研究、经济分析、交通规划等
领域都有重叠问题的存在。
通过学习重叠问题，我们不仅可以提高自己的数学能力，还可
以锻炼我们的思维能力和创新能力。
希望同学们能够重视这个问题，认真学习，在学习的过程中不断提高自己的解决问题的能力。
第二讲重叠问题（2）解重叠问题要用到数学的一个原理：包含与排除原理，当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，从它们的和中排除重复部分。
下面这种图，叫做集合图，也叫韦恩图＊。
有A、B、C三部分的数量，其中C为A、B的重复部分，那么图中的总数量就等于A+B-C。
（＊John Venn约翰·韦恩是十九世纪英国的哲学家和数学家，他在 1881年发明了文氏图，也叫韦恩图）[基础篇：两量重叠问题]【例1】四（2）班的同学，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有15人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（★）如图所示，左边的椭圆表示参加语文兴趣小组的人，右边的椭圆表示参加数学兴趣小组的人，它们重合的部分表示同时参加两个小组的15人。
左边椭圆中不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-15=13(人)；右边椭圆中不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-15=14(人) 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：13+15+14=42(人)方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28+29-15=42(人)方法三：根据参加语文或数学兴趣小组的人=只参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人，即：28-15+29=42(人)方法四：根据参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+只参加数学兴趣小组的人，即：28+（29-15）=42(人)答：这个班有42人参加了语文或数学兴趣小组。
【拓1】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和法语的一种语言。
已知有120人懂英语，80人懂法语，两种语言都懂的有30人，这个地区有多少名外语老师？思维导航阶梯训练【例2】四（1）班42名同学在一次语文和数学测验中，每人至少有一门得优，语文得优的有20人，数学得优的有32人。
重叠问题解答重叠问题要用到数学问题中的一个重要原理-----------包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题时，必须要从条件入手认真的分析，有时还要画出示意图，借助图形去思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求得是哪部分，从而找出解题的方法。
1.同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数是第4个，从右面数是第3个，从前面数是第5个，从后面数是第6个。
做操的同学共有多少人？2.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数，从后数，从左数，从右边数都是第3个。
共有多少个同学跳舞？3.为庆祝六一，同学们排成每行人数相同的鲜花队。
小华的位置是从左数第2个，从右数是第4个，从前数是第3个，从后数是第5个。
鲜花队共有多少人？4.三（4）班排成每行人数相同的队伍参加学校运动会。
梅梅的位置是从前数是第6个，从后数是第5个，从左数、从右数都是第3个。
三（4）班共有学生多少人？5.把两块同样长的模板如下图这样钉在一起，使其成为了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分的长度是16厘米。
这两块木板各长多少厘米？6.把两段一样长的纸条黏在一起，使其成为一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分的长度是6厘米。
原来两段纸条各长多少厘米？7.把两块同样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？8.学校进行大扫除，由于鸡毛掸子不够长，为了能够掸掉灰尘，小明想了一个好办法，将鸡毛掸子和木棒绑在一起，使其从头到尾共长180厘米，其中鸡毛掸子长85厘米，鸡毛掸子与木棒重叠部分长20厘米。
木棒有多长？9.一次数学测试，全班36人中做对一道题的有21人，做对两道题的有18人，没人至少做对了一道题。
两道题都做对的有几人？10.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一项比赛。
10.1.重叠问题（教案）20232024学年数学四年级上册北京版今天，我们来学习的是四年级上册的数学问题——重叠问题。
这个问题在我们的日常生活中非常常见，比如我们要安排时间，或者分配资源时，就需要考虑到重叠的问题。
我要给大家讲解的是重叠问题的基本概念和解决方法。
这部分的内容主要来自于北京版的四年级上册数学教材第10章第1节。
我会通过具体的例题来让大家理解重叠问题的本质。
在教学的过程中，我会重点讲解重叠问题的解题方法，这将是我们的难点和重点。
我会通过具体的例题来让大家理解并掌握这个方法。
为了让大家更好地理解重叠问题，我会准备一些教具和学具，比如图片、卡片等。
同时，我也会让大家通过小组讨论和上台演示的方式来加深对重叠问题的理解。
对于作业的设计，我会让大家完成一些关于重叠问题的练习题。
这些题目将帮助大家巩固所学的内容，并且能够灵活运用到实际问题中。
在课后，我会进行反思和拓展延伸。
我会想一想，本节课的教学是否达到了预期的效果，学生们是否掌握了重叠问题的解题方法。
同时，我也会找一些相关的资料，为大家的拓展学习提供更多的信息。
这就是我对于重叠问题的教学计划。
希望大家能够通过本节课的学习，掌握重叠问题的解题方法，并且能够灵活运用到实际问题中。
重点和难点解析：在上述教案中，有几个重要的细节是需要我们重点关注的。
对于教学内容的引入和实践情景的结合，这是让学生产生共鸣和兴趣的关键。
对于教学目标的设定，我们需要明确知道我们的教学目标是什么，才能更好地引导学生达到预期的学习效果。
再次，对于教学过程的设计，我们需要尽可能地让学生参与到课堂中来，通过各种方式来加深对重叠问题的理解。
对于作业的设计，我们需要设计一些有挑战性但又能够让学生通过思考和练习掌握知识点的题目。
对于这些重点细节，我想进行一些补充和说明。
关于教学内容的引入和实践情景的结合。
在引入重叠问题的概念时，我使用了“安排时间”和“分配资源”的实践情景。
这是因为，重叠问题在我们的日常生活中非常常见，通过这些实践情景的引入，学生们能够更好地理解和接受重叠问题的概念。
奥数素养思维强化练习——重叠问题班级：姓名：学号：一、知识点：1. 含义重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解题思路和方法解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图，借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。
二、精讲练习★1.二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。
其中4人两个班都参加。
二（1）班一共有多少人？★2.成了一块木板。
如果这块钉在起的木板长120厘米，中把两块一样长的木板像如图一样钉在一起，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？★3.101个同学带着矿泉水和水果去春游，其中矿泉水的78人，带水果的有71人，只带矿泉水和只带水果的各有多少人？★★4.冬天来了，一群大雁排成一队飞向南方，有一只穿花衣服的大雁非常漂亮。
从前面数，它排第6,；从后面数它排第3。
一共有多少只大雁？★★5.芳草地小学四年级的64人都会钢琴或画画中的一种，其中有58人学钢琴，43人学画画，问只学钢琴和只学画画的分别各有多少人？★★6.世博澳门馆100万名旅客中，若每人至少懂中文和英语两种语种之一，其中懂中文的有58万人，懂英语的有50万人。
只懂中文和只懂英语的各有多少人？★★7.某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。
而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。
问有多少同学只喜欢语文？★★★8.学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。
成年人奥数之重叠问题近年来，成年人奥数的热潮迅猛兴起。
成年人利用业余时间研究奥数，旨在提高脑力及解决问题的能力。
然而，成年人奥数研究中存在一个普遍的问题，即重叠。
重叠问题的定义重叠问题是指研究奥数的成年人在进行进阶研究时，回避或忽略了基础知识，直接追求高难度的题目和技巧。
这种做法可能会导致研究效果的下降，甚至在解题过程中出现困难。
重叠问题的原因重叠问题产生于成年人奥数研究的初期。
由于成年人一般具有一定的数学基础，他们往往认为自己可以直接进入高难度的题目，而忽视了奥数基础的重要性。
此外，错误的研究方法和追求速成的心态也是重叠问题产生的原因。
重叠问题的影响重叠问题对成年人奥数研究产生了消极影响。
一方面，缺乏基础知识的支持，成年人很可能在解题过程中遇到困难，导致研究的挫败感增加。
另一方面，重叠问题也可能引发研究兴趣的丧失，使成年人放弃奥数研究。
解决重叠问题的方法为了解决成年人奥数研究中出现的重叠问题，以下方法值得尝试：1. 建立坚实的基础知识：成年人应该重视奥数的基础知识，逐步研究和巩固。
只有基础扎实，才能有效应对高难度问题。
2. 制定合理的研究计划：成年人应该根据自身的情况和时间安排，制定合理的研究计划。
在研究计划中，应包括逐步提升难度的内容，而不是直接攻克高难度题目。
3. 寻求指导和支持：成年人可以寻求相关奥数教育机构或专业人士的指导和支持，以获得科学的研究方法和有效的指导。
4. 坚持研究并保持兴趣：成年人应保持研究奥数的兴趣，并坚持不懈地研究。
研究奥数是一个持久的过程，需要良好的研究态度和毅力。
结论成年人奥数研究中的重叠问题是需要重视和解决的。
通过建立坚实的基础知识、制定合理的研究计划、寻求指导和支持以及保持兴趣和坚持研究，成年人可以有效地克服重叠问题，提高奥数研究的效果。
以上是对成年人奥数之重叠问题的简要分析和解决方法的介绍，希望能对相关人士在学习奥数过程中有所帮助。
第一讲金箍棒有多长（重叠问题）
悟空睡觉，金箍棒被偷
话说孙悟空与与师傅取经归来之后，天天闲着没事做。
有一天，孙悟空路过一遍果园，树上结了很多桃子，红红的，嫩嫩的，悟空看得直流口水，心想：反正师傅不在，偷几个吃又没人知道。
于是，一个跟头翻到树稍上，哇，摘了一个又大又红的桃子，张口就咬了起来，“真甜啊”。
不一会儿就吃得饱饱的了。
吃好了就躺在树上“呼呼”的大睡了起来。
这时，一位白胡子老爷爷驾着云飘了过来，看见孙悟空在睡觉，树上的桃子就剩下几个又小又青的了，金箍棒放在一边。
这时，“呼”老爷爷吹了一口气，悟空醒了，“嗖”一声跳起来，顺手来拿放在旁边的金箍棒，才发现，自已的武器不见了。
白胡子老爷爷微笑的说：“悟空不认识我了？”孙悟空仔细打量了这位老爷爷后说：“我记起来了，你是太白金星。
”太白金星：“悟空，我看见你在睡觉，特意来帮保管金箍棒的，你看，就在我这里。
”悟空奇怪了：“那怎么有两个根金箍棒呢？”太白金星：“这其中一根是我变的，另一个是你的金箍棒。
”太白金星再轻轻一扔，两根金箍棒就在天空中转了几圈，而且还越变越大，越来越长，最后两根金箍棒紧紧的接在一起了，砰的一声音巨响，掉在了地上。
金星说：这两根金箍棒是一样长的，你猜得出来你的金箍棒有多长，我就把你的宝贝还给你”悟空飞到空用火眼精精目测了一下：从头到尾一共长是100米，中间接起来的地方有重叠，重叠部分是20米。
悟空想，我再一计算不就出了吗？于是说：“太白金星，你说话可得算数！”太白金星：“那当然了，我胡子都白了，还会骗你，只要你说正确答案，假的金箍棒马上就会消失？你就在这里想吧，我有事先走，一会儿就回来”悟空在原地想了一天一夜，也没有想出答案。
心想，要再被我碰到太白金星，我一定把他的胡子拔了！
（从头到尾总共长是100米）
（重叠地方长20米）
你能帮孙悟空的忙吗？
例题精讲
例1 小朋友们排队练体操，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排共有几个人？
6 小红 2
分析：由图知道，小红所在一队的小朋友，可以分成三部分：第一部分是小红的左边的6个人，第二部分是小红这1个人，第三部分是小红右边的2个人。
要求一共有多少人，就是把这三部分加起来。
即6+1+2=9（人）。
例2 12个小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学？
小云
分析：这一队的小朋友，可以分成三部分：要求小云后面有几个同学，就要从总人数12里面去掉小云前面的5个同学，再去掉小云1个人，才能求出问题。
即12―5―1=6（人）。
例3 幼儿园小朋友排队参观盆景，从前面数，小林是第10个，从后面数，小林是第17个，这一排共有几个小朋友？
分析：“从前面数，小林是第10个”说明小林和他前面同学一共是10人，这个“10”里面包括小林，也包括他前面的同学；“从后面数，小林是第17个”，说明小林和他后面同学一共是17人，这个“17”里面包括小林，也包括他后面的同学。
如果“10+17”的话，小林就算了两次，所以还要从“10+17”里面去掉小林多算的那一次。
即10+17－1=26（个）。
例4 10 个小朋友按1~3的顺序循环报数，报双数的离队，队伍还剩多少人？
分析：队伍还剩的人就是报单数的人。
这10名队员报数结果是：1、2、3、1、2、3、1、2、3、1，这里面双数只有2，出现了3次，其他都是单数，所以报单数的人有7人。
即10－3=7（人）。
例5洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共
要多少个夹子？
分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。
三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。
例6 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？
分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
例7有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？
分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。
现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。
算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。
例8 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？
分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。
算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。
例9 四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？
分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。
一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。
13人
22人 8人
牛刀小试
1、吃饭前，两只手放在桌上的小朋友有5个，只把左手放在桌上的小朋友有6个，只把一
只手放在桌上的小朋友有7个，吃饭的小朋友有几个？
分析两只手都放得有5个，只放左手的6个，只放右手的1个，一共12个。
2、洗好的18条毛巾晾在绳上，每一块毛巾的两边必须用夹子夹住，同一个夹子可夹住相
邻的两块毛巾，这样一共要用多少个夹子？
分析要用17个夹子
3、王老师的班上有16人参加竞赛，参加语文竞赛的有9人，参加数学竞赛的有8人，有
几个人既参加语文竞赛又参加数学竞赛？
分析 1个人
4、有两张一样长的纸条粘贴起来，成为长30厘米的纸条，粘贴部分长10厘米，求这两
张纸条各长几厘米？
分析各长20厘米？+？-10=30。
