北京师范大学附属实验中学数学期中试卷1111

北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．5的平方根是（）A．25 B．5C．±5D．±52．在平面直角坐标系中，点2,−4在第（）象限．A．一B．二C．三D．四3．下列命题中，错误的是（）A．若a>b，则a−c>b−c B．若a>b且c≠0，则ac2>bc2C．若a>b且c<0，则ac<bc D．若a>b，则a2>b24．如图，直线a∥直线b，与∠1相等的角是（）A．∠3B．∠5C．∠7D．∠85．北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如图，侧向跑道AB在点O的南偏东70°的方向上，则点A在点B的（）的方向上．A．南偏东70°B．南偏西70°C．北偏西70°D．北偏东70°6．若x=1y=−1是关于x、y的方程组ax+by=−22bx−ay=1的解，则有序数对a,b是（）A．−1,1B．1,−1C．−2,2D．2,−27．下列说法中，正确的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离C．如果两个角互补，那么这两个角互为邻补角D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行8．不等式组x>2x>a的解集为x>2，则a的取值范围是（）A．a>2B．a<2C．a≤2D．a≥29．某种商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售．设商店在标价的基础上打x折出售商品，那么x满足的条件是（）A．750⋅x10≥500×5%B．750⋅x10≥500×1+5%C．750⋅x10≤500×5%D．750⋅x10≤500×1+5%10．在平面直角坐标系中，对于点P x,y，若点Q的坐标为2x,y,x≥yx,2y,x<y，则称点Q为点P的“单向2倍点”．例如：点3,−5的“单向2倍点”为3,−10.如图，正方形ABCD四个顶点分别为A1,1、B−1,1、C−1,−1、D1,−1，则正方形ABCD的边上及内部所有点的“单向2倍点”组成的图形是（）A．B．C．D．二、填空题11．写出一个2到3之间的无理数．12．已知：a+3+b−2=0，则a+b=．13．能说明“如果a>b，那么a>b”是假命题的反例是：a=，b=．14．图中用五角星标记了北京师范大学附属实验中学的本校、国际部、初二校区、初三校区的旗杆的位置．如果初二校区旗杆的坐标为−4,9，国际部旗杆的坐标为0,−14，那么初三校区旗杆的坐标是．15．已知：13≈3.606，130≈11.40，则1300≈．16．在平面直角坐标系中，点A m+3,m−2在x轴上，则m的值为．17．如图，已知OA⊥OB，，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，则∠BOD=．18．光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生改变．如图，两束平行的光线从烧杯底部斜射入水面，然后折射到空气中，由于折射率相同，射入空气后的两束光线也平行．若∠1=45°，∠2=122°，则∠3=°，∠6=°．19．在平面直角坐标系中，点A的坐标为−2,1，AB∥x轴，且AB=3，则点B的坐标为．20．在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为0,0，第一次平移到1,0，第二次平移到1,1，第三次平移到1,−1，……，这个动点第2024次平移到．三、解答题21．（1）计算：16−273+−42−6−3；（2）解方程组：2x+y=43x−2y=13．22．（1）解不等式x−12−3x+14>−1，并在数轴上表示解集；（2）求不等式组3+4x≤3x+4x−2<4x+2的整数解．23．如图，点B在∠MAN的边AM上，按要求作图并回答问题：(1)过点B作AM边的垂线l；(2)过点B作AN边的垂线段BC；(3)过点A作BC的平行线交直线l于点D；(4)比较AB、BC、AD三条线段的长度，并用“＞”连接：__________，得此结论的依据是_____________．24．已知：如图，AB∥CD，AB∥EF，EG平分∠BED，∠B=45°，∠D=30°，求∠GEF的大小.解：∵AB∥EF，∠B=45°，∴∠①=∠B=45° ② ．∵AB∥CD，AB∥EF，∴③ ④ ．又∵∠D=30°，∴∠DEF=∠D=30°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=⑤°．∵EG平分∠BED，∠BED=⑥°．∴∠DEG=12∴∠GEF=∠DEG−∠DEF=⑦°25．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A−5,1，B−1,5，C−1,−1．将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A′B′C′，其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．(1)请在所给坐标系中画出三角形A′B′C′，点C′的坐标为_______；(2)若AB边上一点P x,y经过上述平移后的对应点为P′，则点P′的坐标为_______；（用含x、y的式子表示）(3)三角形ABC的面积是_______．26．已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD∥BE．27．列方程（组）或不等式（组）解应用题：为了更好地治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台设备的价格、月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．(1)求a、b的值；(2)如果每月要求处理流溪河两岸污水量不低于2040吨，并且市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该公司最省钱的设备购买方案．28．将两副三角板ABC、DEF按图1方式摆放，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠BAC=30°，AB、DF分别在直线GH、MN上，直线GH∥MN．(1)从图1的位置开始，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为t秒，且0≤t≤180．①当边DF与边AC平行时，t=_______；②当边EF与边BC平行时，求所有满足条件的t的值．(2)从图1的位置开始，将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转（如图3，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为t秒，且0≤t≤180．当AC与EF垂直时，t=______．四、填空题29．（1）关于x的不等式−2<x<3有个整数解；（2）若关于x的不等式组x−k<4k+2x<2x−3k（k为常数，且为整数）恰有5个整数解，则k的取值为；（3）若关于x的不等式3k<x<a+3k（k和a为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有组满足题意的k和a．30．定义“[]”是一种取整运算新符号，即a表示不超过a的最大整数．例如：−1.2=−2，π=3．（1）请计算：2=，−3.14=；（2）若m和n满足方程m+n=1，则当n=3−1时，请直接写出m的取值范围：；（3）在平面直角坐标系中，如果坐标为p,q的点都在第一象限，且满足p+q=3，则所有符合条件的点p,q所构成图形面积为．五、解答题31．平面直角坐标系中，从点x,y分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线分别与坐标轴交于点X1，Y1，与一、三象限角平分线交于X2，Y2，则记点x,y的长度差为d x,y=X1X2−Y1Y2，例如d1,2=1−2=1．(1)请直接写出：d2,3=_____，d−2,1=______；(2)若点3,m的长度差d3,m=4，则m=______；(3)若整点p,q的长度差d p,q≥2，且p≤4，q≤4，则所有满足条件的整点共有_____个．。

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,2,1,1A B =-=-，则集合A B = （）A ．{}1-B ．{}1,0,2-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,22．设全集R U =，{}02M x x =≤≤，{}13N x x =≤≤．如图所示，阴影部分所表示的集合为（）A ．()(),03,∞∞-⋃+B ．(][),03,∞∞-⋃+C ．()(),12,+∞∞-⋃D ．(][),12,∞∞-⋃+3．设函数()()2,0,0x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，()f x 是奇函数，则()3g 的值是（）A ．18-B ．8-C ．18D ．84．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．若,a b R ∈，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（）A ．55元B ．60元C ．65元D ．70元7．关于x 的方程2210x ax -+=的两个实数根12,x x ，满足12012x x <<<<，则常数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若()()()2,1,3a g b g c g =-==，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．b c a<<9．对任意[]()()21,1,442a f x x a x a ∈-=+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（）A ．()(),13,-∞+∞B ．()1,3C ．()(),12,-∞+∞ D ．()1,210．函数()()120f x x ax a =++->的定义域为R ，最小值为()M a ，给出以下四个结论：①()M a 最小值为1；②()M a 最大值为3；③()f x 在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④只有唯一的a值使得()f x 的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论是（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题11．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,2-，则这个函数的解析式是．12．函数()f x =的定义域是.13．写出一个a 的值，使关于x 的不等式1x a +<恰有两个整数解．a =．14．已知函数()92f x x x =+-，()2,x ∈+∞，当x =时，函数有最小值．15．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()2f x =()1f x ，则称函数()f x 是“()V k 型函数”．（i ）()21f x x =+是否为“()1V -型函数”？；（填“是”或“否”）（ii ）若函数()()1,10,1a x x g x a x x a x ⎧+-≥⎪=>⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”，则实数a 的取值范围是．三、解答题16．已知集合{}2560A x x x =-+=，{}2280B x x x =+-=，{}22190C x x ax a =-+-=．(1)求A B ⋂；(2)求实数a 的值，使得A C ⋂≠∅，B C =∅ ．17．解关于x 的不等式()2220x a x a --->．18．已知函数()231x f x x -=-(1)判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在(1,)+∞上是增函数；(3)求函数()f x 在区间[]2,5上的值域．19．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈．(1)若()f x 有两个零点．求实数t 的取值范围；(2)求()f x 在区间[]0,4上的最值．20．已知函数()()()2212,,1k f x x a g x h x x x =-+==+．(1)当1k =-时，方程()()f x g x =在()1,2上有实根，求实数a 的取值范围；(2)对任意R x ∈，不等式()()h x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的不等式()()h x g x >的解集中的正整数解恰有3个，直接写出实数k 的取值范围．21．设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数．（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值;（Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．。

2023-2024学年北京师大附属实验中学七年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．﹣的倒数是（ ）A．B．C．﹣D．﹣2．华为Mate60Pro手机搭载了海思麒麟9000s八核处理器，预装华为自主研发的HarmonyOS4.0操作系统，为全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）A．7×108B．70×106C．7×107D．0.7×1083．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．﹣7与B．|﹣9|与﹣32C．23与32D．﹣（﹣3）与3 4．已知代数式﹣与3x2y是同类项，则a+b的值为（ ）A．5B．4C．3D．25．下列各式进行的变形中，正确的是（ ）A．若3a＝2b，则3a﹣3＝2b+3B．若3a＝2b，则3ac＝2bcC．若3a＝2b，则9a＝4bD．若3a＝2b，则6．如图，空白部分的面积不可以表示为（ ）A．2x B．x（x+2）﹣x2C．2（x+3）﹣6D．（x+3）（x+2）7．若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（ ）A．2B．4C．0或2D．2或48．有理数在数轴上的对应点位置如图所示，化简|a+1|﹣|b﹣1|得（ ）A．﹣a+b﹣2B．﹣a﹣b C．a﹣b+2D．a+b9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？”译文：“有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，则还差16文钱，问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？”，下列说法错误的是（ ）A．买鸡的人数为（11+16）÷（9﹣6）人B．设鸡的价钱为x文，根据题意可列方程C．设人数为y人，根据题意可列方程6y﹣16＝9y+11D．设人数为y人，根据题意可列方程6y+16＝9y﹣1110．当输入x＝60时，输出结果是297；当输入x＝20时，输出结果是482；如果输入x的值是正整数，输出结果是182，那么满足条件的x的值最多有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共10道小题，每小题2分，共20分）11．如果“盈利10%'记为+10%，那么“亏损6%”记为 ．12．比较大小：﹣2 ﹣2.3．（填“＞”、“＜”或“＝”）13．用四舍五入法对3.026取近似数（精确到百分位）为 ．14．关于a、b的多项式﹣2a2b3+kab﹣2ab﹣3次数为 ，若该多项式不含二次项，则k＝ ．15．如果x＝2是关于x的方程2x﹣a＝2的解，则a＝ ．16．已知2x﹣y＝3，则代数式6x﹣3y﹣2＝ ．17．已知|a|＝1，|b|＝2，且ab＜0，a+b＜0，则a＝ ，b＝ ．18．某工厂有工人60名，每人每天可以生成14个螺栓或20个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？若设安排x名工人生产螺栓，则可列方程为 ．19．当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，x y＝ ．20．数轴上，点M和P的距离记为MP，点A和P的距离记为AP．给出如下定义：若AP 不小于MP，且AP不大于2MP，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A 表示3，则ON＝2，AO＝3，AO不小于ON，不大于2ON．故点A是点O关于点N的捕获点．（1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为： ．（2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围： ．三、计算题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分）21．﹣12+（+9）+（﹣5）﹣（﹣2）．22．﹣1×（﹣）÷（﹣）．23．．24．﹣12022÷（﹣）2×|﹣|﹣42÷（﹣2）3．四、解方程（本大题共2道小题，每小题5分，共10分）25．3x+x+2＝4x﹣6．26．＝1﹣．五.解答题（本大题共4道小题，第27、28题每题5分，第29题6分，第30题8分，共24分)27．先化简，再求值：6b2+（a2b﹣3b2）﹣2（2b2﹣a2b），其中a＝﹣2，b＝．28．列一元一次方程解应用题：数学老师为了表扬计算擂台赛满分的同学，决定从网店给同学们买一些练习本作为奖品，该网店按表中所示的方式卖本：（1）当老师买多少本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同？20本及以下20本以上单价4元/本超过20本的部分打8折邮费一次5元一次14元（2）临近双十一，对于购买20本以上的顾客，商家给出了更大优惠：所有练习本都按照8折出售．当老师想买20个本时，怎么购买更合理？29．数轴上两个点A和B表示的数分别为3和﹣7．点P和点Q分别从A、B两点以每秒2个单位和5个单位的速度相向运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示点P和点Q所表示的数；（2）若当点Q到达点A时调转方向继续以相同速度运动，点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动．在整个的运动过程中，直接写出当t为多少时，P、Q两点间距离为2？30．如图，我们把以O为圆心，1，2，3，…，n（n为正整数）为半径的圆：W1，W2，W3，…，W n称为“纬线”，过O的三条“数轴”被点O分成六条射线，分别记：j1，j2，…，称为“经线”，“经线”与“纬线”的交点称为“格点”（O为特殊的格点），把所有整数按如图方式放在格点上（整数0放在“原点”O处）．如：把整数1摆放到j1与W1交点位置，记作：（j1，w1）＝（1）；又如，格点A表示的数是﹣5，则A点的位置可记作：（j6，W2）或A（﹣5）．（1）若（j m，w n）＝（﹣3），则m＝ ，n＝ ；（2）已知：格点A（a）、B（b）、C（c）分别在“经线”j3、j4、j5上，并在同一“纬线”W n上．①用含n的代数式表示a、b、c；②当a+b+c＝16时，求n的值；（3）以格点A（a）、B（b）、C（c）为顶点的三角形我们称为格点三角形（A、B、C 不在同一直线上），记作：G△ABC，其中a、b、c和的绝对值叫G△ABC的“偏心率”，记作：＜G△ABC＞＝|a+b+c|．问题：若在同一“纬线”W n存在三个格点A、B、C，使得“偏心率”＜G△ABC＞＝2023，直接写出n的值．六、填空题（本卷共20分，第31，32题每题7分，第33题6分）31．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：1+3+5+7+5+3+1＝ + ．（2）观察猜想，写出第n（n为正整数）个点阵图相对应的等式： ＝ + ．（3）根据以上猜想，得出1+3+5+…+201+203+201+…+5+3+1＝ ．（需要计算出准确值）32．有一个运算程序：当规定a⊕b＝n时，则：（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c．例如：当规定3⊕3＝5时，则2⊕3＝（3﹣1）⊕3＝5+（﹣1）＝4，3⊕5＝3⊕（3+2）＝5﹣2×2＝1．（1）若5⊕5＝﹣2，那么1⊕5＝ ，100⊕100＝ ；（2）若对于正整数m，规定m⊕m＝（﹣1）m•m2，3m⊕3m＝8m，求m的值．33．规定：将n个整数x1，x2…，x n按一定顺序排列组成一个n元有序数组，n为正整数，记作X＝（x1，x2，⋯，x n）称此数组中各个数绝对值之和为“模和”S，即S＝|x1|+|x2|+⋯+|x n|．将所有满足“模和”为S的n元有序数组的个数为记为N（n，S）．例如：若二元数组的“模和”S＝1，即|x1|+|x2|＝1，其中满足条件的二元有序数组有（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），共4个，则N（2，1）＝4．请根据以上规定完成下列各题：（1）填空：N（1，1）＝ ，N（2，3）＝ ．（2）若N（2，S）＝200，则S＝ ．（3）用含k（k为正整数）的式子填空：N（3，k）＝ ．参考答案一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．﹣的倒数是（ ）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解：∵（﹣）×（﹣）＝1，∴﹣的倒数是﹣．故选：D．【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．华为Mate60Pro手机搭载了海思麒麟9000s八核处理器，预装华为自主研发的HarmonyOS4.0操作系统，为全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）A．7×108B．70×106C．7×107D．0.7×108【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．解：70000000＝7×107，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．﹣7与B．|﹣9|与﹣32C．23与32D．﹣（﹣3）与3【分析】运用平方、绝对值和相反数的知识进行逐一辨别．解：∵﹣7与是互为倒数，不是互为相反数，∴选项不符合题意；∵|﹣9|＝9，﹣32＝﹣9，∴|﹣9|和﹣32是互为相反数；∴选项不符合题意；∵23＝8，32＝9，∴23和32不是互为相反数，∴选项不符合题意；∵﹣（﹣3）＝3，∴﹣（﹣3）与3不是互为相反数，∴选项不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了平方、绝对值和相反数知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．4．已知代数式﹣与3x2y是同类项，则a+b的值为（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】根据同类项的定义可得a＝2，b﹣2＝1，从而可得：a＝2，b＝3，然后代入式子中进行计算，即可解答．解：∵代数式﹣与3x2y是同类项，∴a＝2，b﹣2＝1，解得：a＝2，b＝3，∴a+b＝2+3＝5，故选：A．【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．5．下列各式进行的变形中，正确的是（ ）A．若3a＝2b，则3a﹣3＝2b+3B．若3a＝2b，则3ac＝2bcC．若3a＝2b，则9a＝4bD．若3a＝2b，则【分析】利用等式的性质对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．解：对于等式3a＝2b，两边同时减去3，得：3a﹣3＝2b﹣3，两边同时加上3，得：2a+3＝2b+3，因此选项A不正确；对于等式3a＝2b，当c≠0时，两边同时乘以c，得：3ac＝2bc，当c＝0时，3ac＝2bc＝0，因此选项B正确；对于等式3a＝2b，两边同时乘以3，得9a＝6b，因此选项C不正确；对于等式3a＝2b，当c≠0时，两边同时除以c，得：因此选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决问题的关键．6．如图，空白部分的面积不可以表示为（ ）A．2x B．x（x+2）﹣x2C．2（x+3）﹣6D．（x+3）（x+2）【分析】根据长方形面积公式列代数式，可求得空白部分的面积表示，选出符合题意的选项．解：如图所示，空白部分是一个长为2，宽为x的长方形，∴空白部分的面积＝2x，也可以表示为：x（x+2）﹣x2、2（x+3）﹣6、（x+3）（x+2）﹣x2﹣3（x+2），故D符合题意，故选：D．【点评】本题考查了列代数式，关键是根据题意正确列出代数式．7．若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（ ）A．2B．4C．0或2D．2或4【分析】先求出方程的解，再根据关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数和k为整数得出k﹣1＝1或k﹣1＝3，再求出k即可．解：解方程kx＝x+3得：x＝，∵关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，k为整数，∴k﹣1＝1或k﹣1＝3，∴k＝2或4．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出关于k的方程是解此题的关键．8．有理数在数轴上的对应点位置如图所示，化简|a+1|﹣|b﹣1|得（ ）A．﹣a+b﹣2B．﹣a﹣b C．a﹣b+2D．a+b【分析】根据数轴上点的位置判断出a+1与b﹣1都为负值，利用绝对值的代数意义化简，合并同类项即可得到结果．解：根据数轴上点的位置得到：a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a+1＜0，b﹣1＜0，则|a+1|﹣|b﹣1|＝﹣a﹣1﹣1+b＝﹣a+b﹣2．故选：A．【点评】此题考查了整式的加减运算，以及绝对值的代数意义，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？”译文：“有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，则还差16文钱，问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？”，下列说法错误的是（ ）A．买鸡的人数为（11+16）÷（9﹣6）人B．设鸡的价钱为x文，根据题意可列方程C．设人数为y人，根据题意可列方程6y﹣16＝9y+11D．设人数为y人，根据题意可列方程6y+16＝9y﹣11【分析】分别根据不同的未知数和等量关系判断即可．解：A、买鸡的人数为（11+16）÷（9﹣6）人，故不符合题意；B、设鸡的价钱为x文，根据题意可列方程，故不符合题意；C、设人数为y人，根据题意可列方程6y﹣16＝9y+11，故符合题意；D、设人数为y人，根据题意可列方程6y﹣16＝9y+11，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．10．当输入x＝60时，输出结果是297；当输入x＝20时，输出结果是482；如果输入x的值是正整数，输出结果是182，那么满足条件的x的值最多有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】采用逆推法：首先令5x﹣3＝182，解得x＝37，再令5x﹣3＝37，解出x＝8，以此类推即可得出答案．解：当5x﹣3＝182时，解得：x＝37，当5x﹣3＝37时，解得：x＝8，当5x﹣3＝8时，解得：x＝2.2，不合题意，舍去．故得如果第一次输入8时，结果为37，再次输入37时，结果为182，如果第一次输入37时，结果为182．因此满足条件的x的值最多有两个是8或37．故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的方法与技巧是解答此题的关键．二、填空题（本大题共10道小题，每小题2分，共20分）11．如果“盈利10%'记为+10%，那么“亏损6%”记为　﹣6%　．【分析】由盈利为正，得到亏损为负，即可得到结果．解：根据题意得：“亏损6%”记为﹣6%．故答案为：﹣6%．【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义的量是解本题的关键．12．比较大小：﹣2　＜　﹣2.3．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】直接根据负数比较大小的法则进行比较即可．解：∵|﹣2|＝2≈2.33，|﹣2.3|＝2.3，2.33＞2.3，∴﹣2.33＜﹣2.3，∴﹣2＜﹣2.3．故答案为：＜．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．13．用四舍五入法对3.026取近似数（精确到百分位）为　3.03　．【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．解：3.026≈3.03（精确到百分位）．故答案为：3.03．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．14．关于a、b的多项式﹣2a2b3+kab﹣2ab﹣3次数为　5　，若该多项式不含二次项，则k ＝　2　．【分析】先合并同类项，根据多项式的次数等于得出次数是5，根据多项式不含二次项得出k﹣2＝0，求出k即可．解：关于a、b的多项式﹣2a2b3+kab﹣2ab﹣3次数为5，﹣2a2b3+kab﹣2ab﹣3＝﹣2a2b3+（k﹣2）ab﹣3，∵该多项式不含二次项，∴k﹣2＝0，∴k＝2．故答案为：5，2．【点评】本题考查了多项式的次数定义和合并同类项法则，能熟记多项式的次数定义（多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数）和得出k﹣2＝0是解此题的关键．15．如果x＝2是关于x的方程2x﹣a＝2的解，则a＝　2　．【分析】把x＝2代入方程2x﹣a＝2得出4﹣a＝2，再求出a即可．解：把x＝2代入方程2x﹣a＝2，得4﹣a＝2，解得：a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出关于a的方程4﹣a＝2是解此题的关键．16．已知2x﹣y＝3，则代数式6x﹣3y﹣2＝　7　．【分析】将原式变形后代入已知数值计算即可．解：∵2x﹣y＝3，∴6x﹣3y﹣2＝3（2x﹣y）﹣2＝3×3﹣2＝9﹣2＝7，故答案为：7．【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．17．已知|a|＝1，|b|＝2，且ab＜0，a+b＜0，则a＝　1　，b＝　﹣2　．【分析】根据绝对值的性质分析出a与b的取值范围，再根据ab＜0，a+b＜0即可判断a 与b的值．解：∵|a|＝1，|b|＝2，∴a＝±1，b＝±2，∵ab＜0，∴a与b异号，∴a＝1，b＝﹣2或a＝﹣1，b＝2，∵a+b＜0，∴负数的绝对值大于正数的绝对值，∴a＝1，b＝﹣2故答案为：1，﹣2．【点评】本题考查有理数的乘法、有理数的加法和绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．18．某工厂有工人60名，每人每天可以生成14个螺栓或20个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？若设安排x名工人生产螺栓，则可列方程为　20（60﹣x）＝2×14x　．【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（60﹣x）生产螺母，根据每人每天可以生产14个螺栓或20个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，可列出方程．解：分配x名工人生产螺栓，则（60﹣x）人生产螺母，根据题意可列方程为：20（60﹣x）＝2×14x．故答案为：20（60﹣x）＝2×14x．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．19．当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，x y＝　81　．【分析】根据偶次方和绝对值的非负数性质解答即可．解：∵（x+3）2≥0，|y﹣4|≥0，∴当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，x+3＝0，y﹣4＝0，解得x＝﹣3，y＝4，∴x y＝（﹣3）4＝81．故答案为：81．【点评】此题考查了非负数的性质：任意一个数的偶次方都是非负数，任意一个数的绝对值都是非负数．20．数轴上，点M和P的距离记为MP，点A和P的距离记为AP．给出如下定义：若AP 不小于MP，且AP不大于2MP，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A 表示3，则ON＝2，AO＝3，AO不小于ON，不大于2ON．故点A是点O关于点N的捕获点．（1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为：　4　．（2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围：　3≤a≤4　．【分析】（1）根据捕获点的定义求点A所表示数的取值范围，得到最大值．（2）点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，找到两个范围，取公共部分即可．解：点A是点O关于点N的捕获点，∴ON≤AO≤2ON，∵ON＝2，∴2≤OA≤4，∴点A所表示数的最大值为：4．故答案为：4．（2）∵点A是点C关于点B的捕获点，∴BC≤AC≤2BC，∵BC＝1，∴1≤AC≤2，∵点C表示的数是5，∴3≤a≤4或6≤a≤7．∴点A是点O关于点N的捕获点，∴ON≤AO≤2ON，∵ON＝2，∴2≤OA≤4，∴﹣4≤a≤﹣2或2≤a≤4，∴3≤a≤4．故答案为：3≤a≤4．【点评】本题考查了新定义“捕获点”的阅读理解，关键是定义的阅读要准确．三、计算题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分）21．﹣12+（+9）+（﹣5）﹣（﹣2）．【分析】利用有理数的加减法则计算即可．解：原式＝﹣3﹣5+2＝﹣8+2＝﹣6．【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．22．﹣1×（﹣）÷（﹣）．【分析】先算括号内的，把带分数化为假分数，把除化为乘，再约分即可．解：原式＝﹣×（﹣）÷＝﹣×（﹣）×6＝．【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数相关的运算法则．23．．【分析】按照“两数相除，同号得正，并把绝对值相除”的法则直接计算．解：原式＝×（﹣24）＝×（﹣24）＝2×2＝4．【点评】本题属于基础题，考查了对有理数的除法运算法则掌握的程度．此题除了有除法以外，还考查了分数的加减法，分数的加减是异分母的要先通分然后再进行计算．24．﹣12022÷（﹣）2×|﹣|﹣42÷（﹣2）3．【分析】先算乘方和去绝对值，然后计算乘除法即可．解：﹣12022÷（﹣）2×|﹣|﹣42÷（﹣2）3．＝﹣1÷×﹣16÷（﹣8）＝﹣1×81×+2＝﹣18+2＝﹣16．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．四、解方程（本大题共2道小题，每小题5分，共10分）25．3x+x+2＝4x﹣6．【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．解：3x+x+2＝4x﹣6，移项，得3x+x﹣4x＝﹣6﹣2，合并同类项，得﹣x＝﹣8，系数化成1，得x＝16．【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．26．＝1﹣．【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．解：去分母得，2（x+3）＝12﹣3（3﹣2x），去括号得，2x+6＝12﹣9+6x，移项得，2x﹣6x＝12﹣9﹣6，合并同类项得，﹣4x＝﹣3，系数化为1得，x＝．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．五.解答题（本大题共4道小题，第27、28题每题5分，第29题6分，第30题8分，共24分)27．先化简，再求值：6b2+（a2b﹣3b2）﹣2（2b2﹣a2b），其中a＝﹣2，b＝．【分析】先将原式去括号，合并同类项后代入已知数值计算即可．解：原式＝6b2+a2b﹣3b2﹣4b2+2a2b＝3a2b﹣b2，当a＝﹣2，b＝时，原式＝3×（﹣2）2×﹣（）2＝6﹣＝．【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．28．列一元一次方程解应用题：数学老师为了表扬计算擂台赛满分的同学，决定从网店给同学们买一些练习本作为奖品，该网店按表中所示的方式卖本：（1）当老师买多少本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同？20本及以下20本以上单价4元/本超过20本的部分打8折邮费一次5元一次14元（2）临近双十一，对于购买20本以上的顾客，商家给出了更大优惠：所有练习本都按照8折出售．当老师想买20个本时，怎么购买更合理？【分析】（1）设当老师买x（20＜x≤40）本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，利用总价＝单价×数量+邮费，结合分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）分别求出购买20本及21本时所需费用，比较后即可得出结论．解：（1）设当老师买x（20＜x≤40）本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同，根据题意得：4x+5×2＝4×20+4×0.8（x﹣20）+14，整理得：0.8x﹣20＝0，解得：x＝25．答：当老师买25本时，分两次购买（每次购买数量不超过20本）与一次性购买所花费用相同；（2）当购买20本时，所需费用为4×20+5＝85（元），当购买21本时，所需费用为4×0.8×21+14＝81.2（元）．∵85＞81.2，∴当老师想买20个本时，购买21个本更合理．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．29．数轴上两个点A和B表示的数分别为3和﹣7．点P和点Q分别从A、B两点以每秒2个单位和5个单位的速度相向运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示点P和点Q所表示的数；（2）若当点Q到达点A时调转方向继续以相同速度运动，点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动．在整个的运动过程中，直接写出当t为多少时，P、Q两点间距离为2？【分析】（1）根据点P和Q在数轴上的初始位置和运动方向分别写出所表示的数即可；（2）用含t的代数式表示出点Q到达点A时调转方向后在数轴上对应的数．当0≤t≤2和2＜t≤5时，分别令P、Q两点对应的数之差的绝对值为2，求出对应的t值即可．解：（1）根据题意，点P表示的数为﹣2t+3，点Q表示的数为5t﹣7．∴用含t的式子表示点P和点Q所表示的数分别为﹣2t+3和5t﹣7．（2）点Q到达点A时用时＝2（秒），点P到达点B时用时＝5（秒），∴点Q到达点A时调转方向继续以相同速度运动时，点Q表示的数为﹣5（t﹣2）+3＝﹣5t+13（2＜t≤5）．①当0≤t≤2时，|﹣2t+3﹣（5t﹣7）|＝2，解得t＝或；②当2＜t≤5时，|﹣2t+3﹣（﹣5t+13）|＝2，解得t＝或4．综上，在整个的运动过程中，当t为，，或4时，P、Q两点间距离为2．【点评】本题考查数轴及一元一次方程的应用等，正确表示出数轴上动点对应的数是解题的关键．30．如图，我们把以O为圆心，1，2，3，…，n（n为正整数）为半径的圆：W1，W2，W3，…，W n称为“纬线”，过O的三条“数轴”被点O分成六条射线，分别记：j1，j2，…，称为“经线”，“经线”与“纬线”的交点称为“格点”（O为特殊的格点），把所有整数按如图方式放在格点上（整数0放在“原点”O处）．如：把整数1摆放到j1与W1交点位置，记作：（j1，w1）＝（1）；又如，格点A表示的数是﹣5，则A点的位置可记作：（j6，W2）或A（﹣5）．（1）若（j m，w n）＝（﹣3），则m＝　2　，n＝　1　；（2）已知：格点A（a）、B（b）、C（c）分别在“经线”j3、j4、j5上，并在同一“纬线”W n上．①用含n的代数式表示a、b、c；②当a+b+c＝16时，求n的值；（3）以格点A（a）、B（b）、C（c）为顶点的三角形我们称为格点三角形（A、B、C 不在同一直线上），记作：G△ABC，其中a、b、c和的绝对值叫G△ABC的“偏心率”，记作：＜G△ABC＞＝|a+b+c|．问题：若在同一“纬线”W n存在三个格点A、B、C，使得“偏心率”＜G△ABC＞＝2023，直接写出n的值．【分析】（1）根据新定义，得出﹣3在j2与w1交点位置，即可求解；（2）①观察j3，j4，j5上的数可以发现，得出a＝3n﹣1，b＝﹣3n+2，c＝3n，进而计算a+b+c；②根据题意建立方程即可求解；（3）观察图形，根据（2）的方法得出j1，j2，j6上点的规律，根据题意分情况讨论，分别计算即可求解．解：（1）∵﹣3在j2与w1交点位置，∴（j2，w1）＝（﹣3），∴m＝2，n＝1，故答案为：2，1；（2）①观察j3，j4，j5上的数可以发现，j3，2，5，8，……，3n﹣1；j4，﹣1，﹣4，﹣7，……，﹣（3n﹣2）；j5，3，6，9，……，3n，∴a＝3n﹣1，b＝﹣3n+2，c＝3n；②a+b+c＝3n﹣1﹣3n+2+3n＝3n+1＝16，解得：n＝5；（3）∵j1上的点：1，4，7，……，3n﹣2；j2上的点：﹣3，﹣6，﹣9，……，﹣3n；j6上的点：﹣2，﹣5，﹣8，……，﹣（3n﹣1），且j1，j4在同一直线，j2，j5在同一直线，j3，j6在同一直线，∵n为整数，即三个点的和的整数部分为1、4或﹣2时，才能被3整除，当点在j2，j5，j1上时，|a+b+c|＝|3n﹣2|＝2023，解得：n＝675（负值已舍去）；当点在j3，j6，j1上时，|a+b+c|＝|3n﹣2|＝2023，解得：n＝675（负值已舍去）；当点在j3，j6，j4上时，|a+b+c|＝|3n﹣2|＝2023，解得：n＝675（负值已舍去）；当点在j2，j5，j4上时，|a+b+c|＝|3n﹣2|＝2023，解得：n＝675（负值已舍去）；当点在j3，j4，j5上时，|a+b+c|＝|3n﹣1﹣3n+2+3n|＝|3n+1|＝2023，解得：n＝674（负值已舍去）；当点在j1，j2，j3上时，|a+b+c|＝|3n﹣2﹣3n+3n﹣1|＝|3n+1|＝2023，解得：n＝674（负值已舍去）；……；综上所述，n的值为674或675．【点评】本题考查了新定义，数字类规律题，整式的加减，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．六、填空题（本卷共20分，第31，32题每题7分，第33题6分）31．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：1+3+5+7+5+3+1＝　32　+　42　．（2）观察猜想，写出第n（n为正整数）个点阵图相对应的等式：　1+3+5…+2n+1…+5+3+1　＝　n2　+　（n+1）2　．（3）根据以上猜想，得出1+3+5+…+201+203+201+…+5+3+1＝　20605　．（需要计算出准确值）【分析】（1）观察第3个点阵可得；（2）根据前三个点阵的规律，可求得第n个点阵对应的等式；（3）由203＝101+102，确定原式＝1012+1022，求得结果．解：（1）观察第3个点阵，等式右边是由1个3×3的点阵加上1个4×4的点阵，故答案为：32，42；（2）∵第1个点阵：1+3+1＝12+22，第2个点阵：1+3+5+3+1＝22+32，第3个点阵：1+3+5+7+5+3+1＝32+42，∴第n个点阵：1+3+5…+2n+1…+5+3+1＝n2+（n+1）2，故答案为：1+3+5…+2n+1…+5+3+1，n2，（n+1）2；（3）1+3+5+…+201+203+201+…+5+3+1＝1012+1022＝20605，故答案为：20605．【点评】本题考查了点阵与等式的关系，关键找出其中蕴含的规律．32．有一个运算程序：当规定a⊕b＝n时，则：（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c．例如：当规定3⊕3＝5时，则2⊕3＝（3﹣1）⊕3＝5+（﹣1）＝4，3⊕5＝3⊕（3+2）＝5﹣2×2＝1．（1）若5⊕5＝﹣2，那么1⊕5＝　﹣6　，100⊕100＝　﹣97　；（2）若对于正整数m，规定m⊕m＝（﹣1）m•m2，3m⊕3m＝8m，求m的值．【分析】（1）根据新定义列出算式计算即可；（2）根据新定义得到关于m的方程，即可得到答案．解：（1）1⊕5＝（5﹣4）⊕5＝﹣2+（﹣4）＝﹣6；100⊕100＝（5+95）⊕（5+95）＝﹣2+95﹣2×95＝﹣97；故答案为：﹣2；﹣97；（2）∵3m⊕3m＝（m+2m）⊕（m+2m）＝（﹣1）m•m2+2m﹣2×2m＝（﹣1）m•m2﹣2m，∴（﹣1）m•m2﹣2m＝8m，∴（﹣1）m•m2＝10m，∵m为正整数，∴m＝10．【点评】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能根据新定义列出算式．33．规定：将n个整数x1，x2…，x n按一定顺序排列组成一个n元有序数组，n为正整数，记作X＝（x1，x2，⋯，x n）称此数组中各个数绝对值之和为“模和”S，即S＝|x1|+|x2|+⋯+|x n|．将所有满足“模和”为S的n元有序数组的个数为记为N（n，S）．例如：若二元数组的“模和”S＝1，即|x1|+|x2|＝1，其中满足条件的二元有序数组有（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），共4个，则N（2，1）＝4．请根据以上规定完成下列各题：（1）填空：N（1，1）＝　2　，N（2，3）＝　8　．（2）若N（2，S）＝200，则S＝　99　．（3）用含k（k为正整数）的式子填空：N（3，k）＝　6k　．【分析】（1）根据例子，仿照写出N（1，1）、N（2，3）；（2）从例子和（1）求得的值，总结规律；（3）求k＝1、k＝2、k＝3时，N（3，k）的值，从中总结规律．解：（1）n＝1，S＝1，即|x1|＝1，满足条件的一元有序数组有（1）、（﹣1），共两个，N（1，1）＝2，n＝2，S＝3，即|x1|+|x2|＝3，满足条件的二元有序数组有（0，3）、（3，0）、（1，2）、（2，1）、（﹣3，0）、（0，﹣3）、（﹣1，﹣2）、（﹣2，﹣1），共8个，则N（2，3）＝8，故答案为：2，8；（2）由N（2，1）＝4、N（2，3）＝8，可得，N（2，S）＝2（S+1），N（2，S）＝200时，S＝﹣1＝99，故答案为：99；（3）k＝1时，|x1|+|x2|+|x3|＝1，满足条件的三元有序数组有（0，0，1）、（0，1，0）、（1，0，0）、（0，0，﹣1）、（0，﹣1，0）、（﹣1，0，0），共6个，则N（3，1）＝6，∴k＝2时，N（3，2）＝12，k＝3时，N（3，3）＝18，∴N（3，k）＝2×3k＝6k，故答案为：6k．【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．。

北京师范大学附属实验中学2024—-2025学年八年级上学期期中考试模拟数学试卷-一、单选题1．下列图案是从4个班的班徽中截取出来的，其中属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列运算正确的是（）A ．233+=m m mB ．326326⋅=m m mC ．()2239m m =D ．66÷=m m m 3．如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是（）A ．()22244x x x -=-+B ．()22244x x x +=++C ．()()2224x x x +-=-D ．()222x x x x-=-4．如图，已知12∠=∠，则不能判定ABD ACD △≌△的条件是（）A ．AB AC =B ．BD CD =C ．B C ∠=∠D ．AD 平分BDC∠5．图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A ．45°B ．62°C ．73°D ．135°6．如图，AOB ∠是一个任意角，在边OA OB 、上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M 、N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 就是AOB ∠的平分线，其依据是（）A ．角平分线上的点到角两边距离相等B ．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C ．三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等D ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等7．平面内，下列关于轴对称的说法中，正确的是（）A ．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称B ．对称点连线是对称轴的垂直平分线C ．等腰三角形的对称轴是它底边上的中线D ．成轴对称的两个图形一定全等8．如图，先将正方形ABCD 沿MN 对折，再把点B 折叠到MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对称点为H ，沿AH 和DH 剪下ADH ，则下列选项正确的是（）A ．==AH DH ADB ．=≠AH DH ADC ．=≠AH AD DH D ．DH AD AH=≠9．如图，在ABC V 中，1AB =，6AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，那么线段AD 的长度有可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．若a 、b 、c 是ABC 的三条边，且()22a b c a b -=-，则ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．三条边都不相等的三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形二、填空题11．平面直角坐标系中，点A 的坐标是()2,3-，则点A 关于x 轴对称得到的点的坐标是，点A 关于y 轴对称得到的点的坐标是．12．若26x x k -+是完全平方式，则常数k 的值为．13．如图，在ADB 和CBD △中，ADB DBC ∠=∠，AD BC =，那么由所给条件判定ADB 和CBD △全等的依据可以简写为．14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在边AC 上，使得BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数为．15．分式22x x -+有意义的条件是．16．如图，点C 和点F 在线段AD 上，AF CD =，90A D ∠=∠=︒，60B E ∠=∠=︒，若3AB =，则EF =．17．已知：5a b -=，22a b 15+=，则ab =．18．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都是整数的点为整点．若坐标系内两个整点(),A p q 和()(),B m n m n ≤能使关于x 的等式()()2x px q x m x n ++=++恒成立，则称点B 是点A 的分解点．例如：()4,3A 、()1,3B 满足()()24313x x x x ++=++且13≤，所以点B 是点A 的分解点．（1）点()3,2的分解点的坐标是；（2）在点()3,0C 、()0,3D -、()0,4E -中，不存在分解点的点是．三、解答题19．计算：(1)()()22232236x y xy x y ⋅-÷-；(2)()()()2311x x x -+--．20．因式分解：(1)2244x xy y -+；(2)32312x xy -．21．先化简，再求值：()()()4222a a b a b a b --+-，其中2a =-，1b =．22．下面是小明设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：如图，ABC V ．（∠B 为锐角且AC AB >）求作：ABC V 的边BC 上的高AD ．作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点M ；②分别以点B ，M 为圆心，以大于12BM 的长为半径画弧，两弧相交于点N ；③作直线AN 交BC 于点D ，则线段AD 即为所求ABC V 的边BC 上的高．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)直线AN 是线段BM 的．点N 在这条直线上的依据是．23．如图，90A D ∠=∠=︒，AC DB =，AC 和BD 相交于点E ，BEC ∠的平分线交BC 于点F ．求证：EF BC ⊥．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为()1,3-，点B 坐标为()2,0-，直线l 经过点1,0且与x 轴垂直，连接AB ．(1)请在图中画出线段AB 关于直线l 对称后的图形—线段A B ''，点A 的对称点A '的坐标为，点B 的对称点B '的坐标为；(2)直线l 上有一动点P ，当AP BP +取最小值时，请在图中画出点P ；(3)在坐标轴上取点Q ，使ABQ 为等腰三角形，这样的点Q 有个．25．利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形：(1)如图1所示，ABC V 中，AB BC <，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，连接AD ，那么图中出现的等腰三角形是；(2)如图2所示，ABC V 中，90BAC ∠=︒，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，连接AD ，那么图中出现的等腰三角形是；(3)请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形．26．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F .（1）在图1中，依题意补全图形；（2）记DAC α∠=（45α<︒），求ABF ∠的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明.27．观察下列各式，回答问题：①()()2111x x x -+=-；②()()23111x x x x -++=-；③()()324111x x x x x -+++=-；……(1)()()109211x x x x x -+++=++ ；(2)按此规律，第n 个等式是：；(3)2320232024122222++++++ 的值的末位数字是．28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为一、三象限角平分线．点P 关于y 轴的对称点称为点P 的一次反射点，记作1P ；1P 关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作2P ．例如：如图1所示，点()2,5P -的一次反射点1P 为()2,5，二次反射点2P 为()5,2．根据定义，回答下列问题：(1)如果点A 在第一象限，那么点A 的二次反射点2A 在第象限；(2)若点B 在第二象限，点1B 、2B 分别是点B 的一次、二次反射点，当12OB B △为等边三角形时，射线OB 与y 轴正半轴的夹角大小为；(3)点C 的坐标为(),2a ，点D 的坐标为()2,2a a +，正方形EFGH 的四个顶点坐标分别为()1,3E -、()4,3F -、()4,6G -、()1,6H -，若在线段CD 上的所有点中，恰有一个点的二次反射点落在正方形EFGH 的边上，直接写出a 的取值范围．。

2023-2024学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，B ＝{x |﹣2＜x ＜4}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，1}B ．{1，3}C ．{﹣1，1，3}D ．{0，2，4}2．函数f （x ）=√1−x 2的定义域是（ ） A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x +1C ．y =−1xD ．y ＝x 34．已知x ＞0，则x +9x的最小值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．6D ．105．已知函数f(x)={x 2−1，x ≥1，x −2，x ＜1．若f （a ）＝3，则a ＝（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．56．已知函数f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且在[0，6]上单调递增．以下结论正确的是（ ） A ．f （﹣5）＞f （π）＞f （﹣2） B ．f （π）＞f （﹣2）＞f （﹣5） C ．f （π）＞f （﹣5）＞f （﹣2）D ．f （﹣5）＞f （﹣2）＞f （π）7．已知函数y ＝f （x ）图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表以下说法中错误的是（ ） A ．f （0）＜0B ．当x ＞2时，f （x ）＞0C ．函数f （x ）有且仅有一个零点D ．函数g （x ）＝f （x ）+x 可能无零点8．已知f （x ）是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意x ∈R 总有f （x ）≤M ”是“函数f （x ）存在最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，△BCE 为等腰直角三角形，设AB =√a ，BC =√b(b ≥a ＞0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）A ．a+b 2≥√abB ．2aba+b ≤√ab C ．a 2+b 2≥2√abD ．a+b 2≤√a 2+b 2210．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为r k （k ＝1，2，3，4，5），m 为r 1，r 2，r 3，r 4，r 5中的最小值，则m 的最大值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北师大实验中学2023—2024学年度第一学期初一数学期中考试答案A卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（每小题2分，共20分）11、-6% ； 12、＜； 13、3.03； 14、五，2；15、2； 16、7； 17、a=1,b=−2.18、20(60−x)=2×14x（不唯一）； 19、81； 20、4，3≤a≤4；三、计算题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分）21．−12+(+9)+(−5)−(−2) 22．−113×(−112)÷(12−13)=−12+9−5+2=−43×(−112)÷(16)=−17+11=−43×(−112)×6=−6=2323．(−13+34−712)÷(−124)24．−12022÷(−19)2×|−29|−42÷(−2)3=(−13+34−712)×(−24)=−1÷181×29−16÷(−8)=8−18+14=−1×81×29+2 =4=−18+2=−16四、解方程（本大题共2道小题，每小题5分，共10分）25．3x+12x+2=4x−6 26．x+36=1−3−2x4解：3x+12x−4x=−6−2解：2(x+3)=12−3(3−2x)−12x=−82x+6=12−9+6xx=162x−6x=12−9−6−4x=−3x=34五．解答题（本大题共4道小题，第27、28题每题5分，第29题6分，第30题8分，共24分）27．先化简，再求值：6b 2+(a 2b −3b 2)−2(2b 2−a 2b)，其中a =−2 ，b =12.=6b 2+a 2b −3b 2−4b 2+2a 2b=−b 2+3a 2b当a =−2 ，b =12时，原式=−(12)2+3×(−2)2×12 =−14+6=534 28．（1）解：设老师总共买x 个练习本由题意，可列方程：4x +2×5=4×20+4×810(x −20)+14解得x =25答：老师买25本时，分两次购买与一次性购买所花费用相同（2）①直接购买20本，需要花费20×4+5=85元②多买一本21本时，需要花费21×4×0.8+14=81.2元故可以多买一本能更省钱.29.（1）P =3−2t ，Q =−7+5t（2）t =87、127、4、83 30．（1）m =2，n =1（2）①a =3n −1,b =−3n +2,c =3n②由题意，a +b +c =(3n −1)+(−3n +2)+(3n )=16解得n =5（3）674、67531．（1）1+3+5+7+5+3+1=32+42（2）1+3+5+⋯+(2n +1)+⋯+5+3+1=n 2+(n +1)2（3）2060532．（1）-6， -97（2）由题意，3m ⊕3m =(−1)m ∙m 2−2m =8m当m 为奇数时，原式为−m 2−2m =8m∴m 2=−10m （且m ≠0）∴m =−10（舍）当m 为偶数时，原式为 m 2−2m =8m∴m 2=10m （且m ≠0）∴m =10综上所述，m =1033.（1）N(1,1)=2，N(2,3)=12.（2）50 （3）4k2+2。

北师大实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷初一年级数学A 卷一、 单项选择题(本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。

每小题3分，共30分)1. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭点火前10秒记为-10秒，那么火箭点火后5秒应记为A.-10秒B.-5秒C.+5秒D.+10秒2. 第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，这是首届男女运动员比例完全平衡的奥运会，共10 500名参赛运动员，其中男女运动员各为5 250名. 将10 500用科学记数法表示应为A.0.105×510B.41.0510⨯C.1.05×510D.10.05×310 3. 按照有理数加法法则，计算15+(-23)的正确过程是A.+(23+15)B.+(23-15)C.-(23+15)D.-(23-15)4. 下列各选项中的两个单项式，不是同类项的是A.23a 与32aB.22ab 与2a b -C.3xy 与5xy D.23x y 与22yx - 5. 下列各组数中，结果相等的一组是A.-(+7)与+(-7)B.-3²与(-3)²C.-(-1(1)/(4))与-|-(5)/(4)|D.((2)/(3))²与(2²)/(3)6. 关于多项式x ²y ²-3xy +x -y -6,下列说法中正确的是A.项数为4B.常数项为6C.次数为8D.最高次项的次数为47. 下列关于等式变形的说法中，正确的是A.若ac =bc ，则a =bB.若(a )/(c )=(b )/(c )，则a =bC.若2a -b =4，则b =4-2aD.若-(1)/(3)x =6，则x =-28. 下列选项中，能用2a +6表示的是9. 对于任意有理数a 和b ，定义“☆”运算为：a ☆b =b ²-ab ，例如：2☆3=3²-2×3=3，则(-2)☆(-1)的结果为A.-1B.1C.2D.310. “数形结合”是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式：上图对应的算式为：1+2+3+4+3+2+1=(1)/(4)×8²=16.用类似的方法可以计算1+2+3+⋯+50+49+⋯+2+1的值为A.2 401B.2 500C.9 801D.10 000二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）11. 比较大小：-(+(3)/(4))___-|-(5)/(6)| (填“>”“=”或“<”)．12. 用四舍五入法对1.795取近似数(精确到百分位)为___．13. 单项式2325x y z -的系数是___，次数是___． 14. 若x =2是方程bx +3=9的解，则b 的值为___．15. 若(2a -1)^(2)与2|b -3|互为相反数，则a ^(b )的值为___．16. 关于x ,y 的多项式2225(3)5x kxy x xy --+-化简后不含xy 项，则k 的值为___．17. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题，其大意是：若每车乘坐3人，则有两车空出来，其它车坐满；若每车乘坐2人，则多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车有x 辆，根据题意，可列出的方程是___．18. 如图，数轴上的点A,B,C 分别表示数a ,b ,c ，则|a -b |-|b +c |化简的结果为___．19. 用一组不等于0的有理数a ,b 的值说明“如果a 大于b ，那么a 的倒数小于b 的倒数”这一说法是错误的，那么a 的值可以是___，b 的值可以是___．20. 数轴上，点A 位于原点O 的左侧，表示数a ，点B 表示的数是1，点C 位于点B 的右侧，表示数c ，记BC OA=k ．例如下图中，当a =-2，c =3时，k =1.在线段OA 上取点P ，其表示的数为p ，在线段BC 上取点Q ，其表示的数为q ．则下列说法中，所有正确说法的序号是___．① c =1-ka ;② a ≤p /q ≤0;③ 当0<k <1时，对于任意的点Q ，总能找到点P ,使得pq =-1;④ 当k >1时，对于任意的点P ，总能找到点Q ，使得p +q =1.三、解答题（本题共8小题，第21题13分，第22题4分，第23-26题，每题5分，第27题8分，第28题5分，共50分）21. (1) |-57|+(-36)-|+8|-(-11); (2)1245245⎛⎫ ⎪⎝⎭÷-⨯; (3)1111 23618⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝+÷⎭-; (4)6211(10.5)(4)3--+⨯÷-.22. 解方程： 3x -5(2x -7)=7.23. 先化简，再求值：2251312()3()2323x x y x y --+-+，其中x =2，y =-3． 24. 2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》．某校积极开展中小学健康促进行动，某班10名学生自主测试了自己1分钟跳绳的个数如下（以180个为标准，用正数表示超出的个数，用负数表示不足的个数）：+5， -3， -10， +7， -2， -4， +1， +17， -1， +10．(1)记这10个学生1分钟跳绳的个数的平均数为a ，求a 的值；(2)若第11个学生1分钟跳绳的个数为x ，求这11个学生1分钟跳绳的个数的平均数b 与a 的差（用含x 的代数式表示，结果化成最简形式）．25. 已知x ,y 互为相反数，m ,n 互为倒数，|a -1|=3，求24(2)a x y mn -++的值．26. 为充分满足学生快乐运动的需求，学校计划分两次采购若干跳绳和排球．学校第一次采购了30根跳绳和20个排球，共花费了2 000元，已知跳绳与排球的单价之比为2：7．(1)学校第一次采购时，跳绳和排球的单价各是多少元？(2)学校在第二次采购时，恰逢商场活动，与第一次采购相比，每根跳绳优惠了a 元，每个排球优惠了4a 元，在总花费不变的情况下，跳绳多买了2根，排球多买了2个， 求a 的值.27. 如图，数轴上点A 表示的数为-4，点B 表示的数为6，点P 从点A 出发，沿数轴向点B 运动，速度为每秒2个单位长度，到达点B 后立即返回，速度变为每秒3个单位长度，运动至点A 后停止．设点P 的运动时间为t 秒．(1)当t =2时，点P 表示的数是___；当点P 到达点B 时，t 的值是___；(2)在点P 由点A 到点B 的运动过程中，点P 表示的数是___；在点P 由点B 到点A 的运动过程中，点P 表示的数是___(均用含t 的式子表示) ；(3)若在点P 从点A 出发的同时，点Q 从点B 出发，沿数轴向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，运动至点A 后停止．当t 为何值时，点P 与点Q 的距离是4个单位长度？28. 在黑板上先依次写下两个正有理数a ，b ，接下来对a ，b 进行操作：如果a >0且a <b ，则将2a 和b -a 依次写在黑板上，作为新的a ，b ，并将原a ,b 擦掉；如果a >0且a ≥b ，则将a -b 和2b 依次写在黑板上，作为新的a ，b ，并将原a ,b 擦掉；以上过程称为一次操作．只要黑板上新写下的a 满足a >0，就再进行下一次操作；如果新写下的a 满足a ≤0，则操作停止．(1)如果在黑板上先写下的数是a =3，b =9，接下来进行几次操作后停止？说明理由；(2)如果在黑板上先写下的数是a =1，b =8，则第2 024次操作后，黑板上的两个数依次是a =___，b =___；(3)如果在黑板上先写下的是两个真分数a =125, b =5p , 且进行有限次操作后，操作停止，则p 的所有可能值为___.B 卷本卷共10分，第29题4分，第30题6分.29. 已知关于x 的二次多项式32(||1)(1)43k x k x x -+++-．(1)直接写出k 的值；(2)若当x =m 时，该多项式的值是2，求22[20242]k m m --的值.(其中[a ]表示不超过a 的最大整数，例如[3.1]=3.)30. 小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示.(1)记历史事件A 发生的年份为a ，历史事件B 发生的年份为b ，并记这条“历史数轴”上表示数a 和数b 的两个点之间的距离为T(A ，B).① 据资料记载：历史事件A ： 公元前287年，阿基米德诞生；历史事件B ： 公元前212年，阿基米德逝世；历史事件C：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施；历史事件D：公元85年，《太初历》停止使用．则T(A，B)=___；T(C，D)=___(均用数字填空)；②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示：根据以上数据可知，在公元___年，这8位数学家中同时在世的人数最多(填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份)；(2)小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码k的数轴”(k=2，3，⋯，9)：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，⋯个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码k．例如，当k=2时，自原点向右，距离原点1，2，3，⋯，20，⋯个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，⋯．记该“数轴”上表示正数a和正数b的两个点之间的距离为D(a,b).①若D(24,68)=31，则k的值为___；②若m，n为正整数，m<n，则D(10m,10n)=___(用含m，n的式子表示)．。

2024北京北师大附中初三（上）期中数 学考生须知1．本试卷有三道大题，共10页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（共8小题，共16分）1. 2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D .2. 把抛物线2y x =−向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（ ） A. ()23y x =−+ B. ()23y x =−− C. 23y x =−+D. 23=−−y x3. 将一元二次方程2810x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（ ） A. ()2826x −= B. ()286x −= C. ()246x −=− D. ()246x −=4. 如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（ ）A. 65︒B. 70︒C. 80︒D. 85︒5. 如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则该正六边形的边心距是（ ）A. 1cmB. 2cm6. 如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x 米，那么可列方程（ ）A. ()1015xx −=B.()10152xx −= C. 110152x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D.()102152xx −= 7. 下面是“作ABC 的外接圆”的尺规作图方法．ABC 的外接圆O ．上述方法由，得到OA OB OC ==，从而知O 经过A ，，三点．其中获得OA OB =的依据是（ ）A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C. 角平分线上的点到角的两边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上8. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =−，该抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b −=，②0a b c ++<，③2324b b ac +>，④若点()5,n −在二次函数的图像上，则关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，其中正确的是（ ）A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（共8小题，共16分）9. 若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有一个根为1，则m 的值为_______． 10. 如图，点A ，B ，C 在O 上，55BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为_______︒．11. 若点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，则a _______b ．（填<，=或>）． 12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y 轴上．此二次函数的解析式可以是_______．13. 如图，PA PB ，是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA AB ，，若35OAB ∠=︒，则P ∠=________︒．14. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .15. 无论非零实数m 取何值，抛物线()2211y mx m x =++−一定经过的定点的坐标是________．16. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为4，则CM 长的最大值是________．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 解方程：（1）210x x +−=． （2）()()3121x x x +=+18. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =（1）BD =________． （2）若D 为OC 中点，求O 的半径．19. 已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m −+++=． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m 的值． 20. 已知二次函数 2=23y x x −−．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出二次函数 2=23y x x −−的图象； （3）结合函数图象：直接写出当12x −<<时，y 的取值范围．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点0A ，B ，C 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点()01,1A −−关于原点O 的对称点A ； （2）连接AC ，AB 得ABC ，将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．画出旋转后的11AB C △；（3）在（2）的条件下，点1B 的坐标是________，边AC 扫过区域的面积为________． 22. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明，并在括号中填推理的依据： 证明：连接DP ， ∵CP DQ = ∴________DQ = ∴PDC________．∴PQ l ∥（________）．23. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．（1）经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：离），并求y 与x 满足的函数关系式．（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =−−+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）． 24. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，过点D 作DE AB ∥，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若60ADC ∠=︒，4BC =，求CD 的长． 25. 【项目式学习】 项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】（1）探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离始终为______cm ；（2）探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若正方形的边长为6cm ，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；（3）探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm ，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60︒圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O 并不稳定．（4）探究D 组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m −，()3n ,在抛物线()2<0y ax bx c a =++上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）当5c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点()()00,3x n x ≠在抛物线上，若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围．27. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，()030BAC a α∠=︒<<︒．将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α得到射线l ，射线l 与射线BC 的交点为M ．在射线BC 上截取MD AC =（点D 在点M 左侧），（1）如图1，当点D 与点C 重合时，此时α=_________°，ACB ∠的度数为_________°．（2）当点D 与点C 不重合时，在线段MA 上截取2ME BC =，连接DE ．依题意补全图2，用等式表示EDM ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个不同的点S ，T 满足2ST PM =．其中点M 为线段ST 的中点，则称点P 是图形W 的相关点．（1）已知点(2A ，0)①在点1234113(,),(,(2,1)2222P P P P −−中，线段OA 的相关点是_______； ②若直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求b 的取值范围．（2）已知点(3Q −，0)，线段的长度为d ，当线段CD 在直线2x =−上运动时，如果总能在线段CD 上找到一点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的相关点，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，共16分）1. 【答案】C【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A 、B 、D 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C ． 2. 【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：把抛物线2y x =−向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为23y x =−+ 故选：C ． 3. 【答案】D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16 【详解】解：移项得2810x x −=−，配方得22284104x x −+=−+，即2(4)6x −=． 故选：D ． 4. 【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得B AC BAC ''∠=∠， 由三角形内角和定理可得出35B AC BAC ∠=∠=''︒，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出B AC BAC ''∠=∠， ∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒， ∴180806535BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∴35B AC BAC ∠=∠=''︒，∴70BAC BAC B AC ∠=∠+''∠='︒， 故选：B ． 5. 【答案】D【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键．连接OA ，作OM AB ⊥，构造出直角OAM △，且根据正六边形的性质可知30AOM ∠=︒，即可解答； 【详解】解：连接,OA OB ，作OM AB ⊥于点M ， ∵正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ， ∴正六边形的半径为2cm ， 即2cm OA =，在正六边形ABCDEF 中，360660AOB ∠=︒÷=︒， ∴30AOM ∠=︒，∴正六边形的边心距是)cos302cm 2OM OA =︒⨯=⨯=， 故选：D ．6. 【答案】B【分析】平行于围墙的一边为x 米，则垂直于围墙的一边为()1102x −米，再根据矩形的面积公式列方程即可．()10152xx −=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知直线1l 是线段AB 的垂直平分线，则OA OB =的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 故选：A ． 8. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到2434ac b a−=，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当0x =时，0y <，得到0c <，即可判断②对错；根据二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和直线y n =的交点，即可判断④对错．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=−， 4b a ∴=，∴40a b −=，①正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，2434ac b a−∴=， 2124b a ac ∴+=，4b a =，234b b ac ∴+=，0a <，40b a ∴=<，∴2b 2>b ，∴2b 2+b 2+2b >b +b 2+2b ，∴3b 2+2b >b 2+3b ，∴3b 2+2b >b 2+3b =4ac ，成立，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在(1,0)−和(0,0)之间，0x ∴=时，0y <，0c ∴<，0a <，40b a ∴=<，∴0a b c ++<，②正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，点()5,n −在二次函数的图像，∴抛物线与直线y n =有两个交点，∴交点的横坐标即为方程2ax bx c n ++=的两个实数根，∵点()5,n −在二次函数的图像，∴5−为其中一个实数根，根据函数图像对称性，对称轴2x =−，∴另一个实数根是1，∴关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，∴④正确，故选：D ．二、填空题（共8小题，共16分）9. 【答案】3【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 把1x =代入220x x m +−=，转化为m 的方程求解即可．【详解】解：把1x =代入220x x m +−=，得210m +−=，解得：3m =，故答案为：3．10. 【答案】110【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：∵点A 、B 、C 在O 上，55BAC ∠=︒，2110BOC A ∴∠=∠=︒，故答案为：110．11. 【答案】<【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+图象的性质，掌握二次函数2()y a x h k =−+图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断,a b 的大小关系．【详解】解：∵二次函数2(,1011)y x a =−=>−，开口向上，对称轴为1x =，当x >1时，y 随x 增大而增大，又点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，211,312−=−=，a b ∴<，故答案为：<．12. 【答案】23y x =−+（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出0a <，0b =是解题的关键．根据二次函数的性质可得出0a <，利用二次函数图象顶点在y 轴上的特征可得出0b =，取取1a =−，0b =，c 为任何数即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++．∵抛物线开口向下，∴0a <．∵抛物线顶点在y 轴上，∴0b =，c 为任何数，则取1a =−，0b =，3c =时，二次函数的解析式为23y x =−+．故答案为：23y x =−+（答案不唯一）．13. 【答案】70【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出110AOB ∠=︒，再根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，再根据四边形内角和定理求出P ∠的度数即可．【详解】解：∵OA OB =，∴35OAB OBA ∠=∠=︒，∴180110AOB OAB OBA ∠=︒−∠−∠=︒，∵PA PB ，是O 的两条切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴36070P AOB OAP OBP =︒−−−=︒∠∠∠∠，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．14. 【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 15. 【答案】(2,3)−−，()01−，【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．把含m 的项合并，只有当m 的系数为0时，不管m 取何值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标．【详解】解：∵()2211y mx m x =++−， ()222121y mx mx x m x x x ∴=++−=++−，∴当220x x +=时，与m 的取值无关，即0x =或2x =−时，不管m 取何值时都通过定点，当2x =−时，()422113y m m =−+−=−，当x =0时，1y =−，故不管m 取何值时都通过定点(2,3)−−或()01−，． 故答案为：(2,3)−−，()01−，．16. 【答案】2+【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由90OMA ∠=︒得出点M 的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【详解】解：如图，取OA 中点O '，连接O C '，O M '，OM ，∵M 为AP 的中点，∴90OMA ∠=︒， ∴122O M O A O O OA '''====， ∴当点P 在O 上移动时，AP 的中点M 的轨迹是以OA 为直径的O '，∴'CO 交O '于点M ，此时CM 的值最大，由题意得，4OA OB OC ===，122OO OA O M ''===， 在Rt O OC '中，4OC =，2OO '=，∴O C '==，∴2CM CO O M ''=+=，故答案为：2+．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 【答案】（1）112x −=，212x −−= （2）11x =−，223x = 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．（1）利用公式法求解即可；（2）移项，利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：∵1,1,1a b c ===−，∴122b x a −−===，则112x −+=，212x −=； 【小问2详解】解：()()3121x x x +=+()()31210x x x +−+=()()1320x x +−=∴10x +=或320x −= 则11x =−，223x =． 18. 【答案】（1）√3 （2）2【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．（1）根据垂径定理即可得到12AD BD AB ==即可得出结果； （2）连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】解：∵AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =∴12AD BD AB === 【小问2详解】 解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，即OA OC r ==， 若D 为OC 中点，1122OD OC r ∴==，由（1）知12AD BD AB ===在Rt AOD 中，由勾股定理可知222AD OA OD =−，即22212r r ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 解得2r =（负值舍去）， ∴O 的半径为2．19. 【答案】（1）见详解 （2）12m =− 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10∆=>，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根； （2）用根与系数的关系列式求得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵[]22(21)41()10m m m ∆=−+−⨯⨯+=>．即0∆>，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：设方程的两根为a 、b ，利用根与系数的关系得：210a b m +=+=， 解得：12m =−． 20. 【答案】（1）()1,4−（2）见解析 （3）40y −≤＜【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，做题的关键是通过数形结合去解题．（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；（2）由五点作图法即可画出二次函数图象；（3）根据图象即可求得y 的范围；【小问1详解】()222314y x x x =−−=−−， ∴该二次函数的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】列表如下，=23y x x 的图象如图，【小问3详解】由图象可知，当1x =−时，y 取得最大值，y 的最大值为0，当1x =时，y 取得最小值，y 的最小值为-4，∴当12x −<<时，y 的范围为40y −≤＜．21. 【答案】（1）()1,1A（2）见详解 （3）()12,3B −，94π 【分析】本题主要考查对称性和旋转的性质．（1）根据一点关于原点对称点的性质即可求解；（2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形；（3）结合点A 的坐标和旋转的性质即可求得点1B ，利用旋转的性质和面积公式即可．【小问1详解】解：∵()01,1A −−，∴()1,1A ；【小问2详解】解：如图，【小问3详解】解：根据旋转得，13AC AC ==，12BC B C ==，∵点()1,1A ，∴点()12,3B −，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．∴边AC 扫过区域的面积为229019·336044AC πππ⨯=⨯=． 22. 【答案】（1）作图见解析（2）CP ，DPQ ∠，内错角相等，两直线平行【分析】本题考查的作已知直线的平行线，圆周角定理的应用，平行线的判定；（1）根据题干的作图语言逐步作图即可；（2）证明CP DQ =，可得PDC DPQ ∠=∠，结合平行线的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，作图如下：．【小问2详解】证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴CP DQ =，∴PDC DPQ ∠=∠．∴PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．23. 【答案】（1）该拱门的高度为7.2m ，跨度为12m ，()20.267.2y x =−−+（2）<【分析】本题考查了二次函数的实际应用，（1）由表格得当0x =时，0y =，当12x =时，0y =，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；（2）先把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中，求出h 的值，则可求出2d ，进行比较即可． 【小问1详解】解：由表格可知抛物线经过()0,0和()12,0，∴抛物线的对称轴为直线6x =，∵当6x =，7.2y =，∴该拱门的高度为7.2m ，∵12012−=，∴跨度为12m ；设抛物线解析式为()267.2y a x =−+，把()2,4代入()267.2y a x =−+中得：()2267.24a −+=， 解得：0.2a =−，∴()20.267.2y x =−−+；【小问2详解】解：把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中得()200.1807.30h =−−+，解得3h =或3h =−（舍去），∴抛物线()20.187.30y x h =−−+与x 轴的另一个交点坐标为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2m 3d =， 由（1）可得110m d =， ∵222114601009d d =>=， ∴21d d >，故答案为：<．24. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OD ．根据直径所对的圆周角是直角得90ACB ∠=︒，再根据角平分线得45ACD BCD ∠=∠=︒，进而得45ABD ACD ∠=∠=︒，又由45ODB OBD ∠=∠=︒，从而根据平行线的性质得45BDE OBD ︒∠=∠=，于是90ODE ODB BDE ∠=∠+∠=︒，得OD DE ⊥，根据切线的判定即可证明结论成立；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，先证明BF CF =．再根据勾股定理得BF CF ==，根据直角三角形的性质得2BD BF ==【小问1详解】证明，如图1，连接OD ．AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒45ABD ACD ∴∠=∠=︒OD OB =，45ODB OBD ∴∠=∠=︒， DE AB ∥，45BDE OBD ︒∴∠=∠=，90ODE ODB BDE ︒∴∠=∠+∠=， OD DE ∴⊥ OD 为O 的半径，∴直线DE 是O 的切线．【小问2详解】解：如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，90BFC BFD ︒∴∠=∠=， ∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒， 45CBF ∴∠=︒，BF CF ∴=．在Rt BFC △中，4BC =，根据勾股定理，得42BF CF ==⨯= ∵60ABC ADC ∠=∠=︒，∴906030BAC ∠=︒−︒=︒， BC BC =，30CDB BAC ︒∴∠=∠=，2BD BF ∴==在Rt BFD 中，根据勾股定理，得DF ==CD CF DF ∴=+=．【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．25. 【答案】8；3−；；A【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．（1）利用正方形的性质解答即可；（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案； （3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论． 【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，∴车轮轴心O 到地面的距离始终等于圆的直径，圆形车轮半径为4cm ，故车轮最高点到地面的距离始终为8cm ，故答案为：8；（2）如图所示，OC 为正方形车轮的轴心O 移动的部分轨迹，点D 为车轮轴心O 的最高点，点C 为车轮轴心O 的最低点，由题意得车轮轴心O 距离地面的最低高度为AD OA ==∴车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为3)cm ，故答案为：3)；（3）点O 的运动轨迹为圆，以点C 为圆心，23=运动距离为2π⨯=故答案为：； （4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”A ，故答案为：A ．26. 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为()0,5，1t =（2）010x −<<【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．（1）将5c =代入()20y ax bx c a =++<中，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据m n =可得点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称，即132t −+=计算即可； （2）根据m n c <<，可确定出2a >−b >3a ， 结合20a <，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线032x x +=，进而可确定0x 的取值范围． 【小问1详解】解：当5c =时，抛物线：25y ax bx =++当0x = 时，5y =；∴ 抛物线与y 轴交点的坐标为：()0,5；∵m n =，∴点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称， ∴1312x t −+===； 【小问2详解】解：∵m n c <<，∴93a b c a b c c −+<++<，解得23a b a −<<−，∴2a >−b >3a ， 而20a <， ∴3122b a <−<，即312t <<， ∵点()3,n ，()()00,3x n x ≠在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线032x x +=， ∴033122x +<<， 解得：010x −<<，∴0x 的取值范围010x −<<．27. 【答案】（1）18︒，72°（2）补全图形见解析，2EDM BAC ∠=∠，证明见解析【分析】（1）当点D 与点C 重合时，由等腰三角形等边对等角，得到 2AMC CAM α∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，进而求出18α=︒，可求ACB ∠的度数； （2）根据题意补全图形，在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ， 证明DME ACN ≌可得EDM CAN ∠=∠，即可得到EDM ∠与BAC ∠的等量关系．【小问1详解】解：∵点D 与点C 重合，,2MD AC CAM α=∠=，∴2AMC CAM α∠=∠=，在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒，∴90AMC MAB ∠+∠=︒，∵BAC α∠=，∴590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，∴18α=︒，∴236MAC AMC α∠=∠==︒，∴22472ACB MAC MAC a αα∠=∠+∠=+==︒；【小问2详解】解：补全图形如图；2EDM BAC ∠=∠，理由如下：如图， 在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ，∵,90BF BC ABC =∠=︒，∴AC AF =，∴22CAN BAC α∠=∠=， ∴()1180902AFC ACF CAN α∠=∠=︒−∠=︒−， ∵CF CN =，∴90CNF AFC α∠=∠=︒−，∴1802FCN AFC CNF α∠=︒−∠−∠=，∴903ACN ACF FCN α∠=∠−∠=︒−，∵22MAC BAC α∠=∠=，∴90903AMD MAC BAC α∠=︒−∠−∠=︒−，∴ACN AMD ∠=∠，∵2ME BC =，2CF CN BC ==，∴ME CN =，∵MD AC =，∴()SAS DME ACN ≌，∴22EDM CAN BAC α∠=∠==∠．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系．28. 【答案】（1）①1P ，3P ；②1−b ≤≤1（2）d ≥【分析】（1）①根据新定义得出P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，以OA 为直径，()1,0为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点，设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，勾股定理求得KB 的值，进而根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，符合题意，即可求解．【小问1详解】解：①∵(2A ，0)，∴2OA =，∵P 是线段OA 的相关点，∵2ST PM =，若点,S T 分别与点()()0,0,2,0A 重合，则中点为()1,0，∴P 在以OA 为直径的圆上，∵,S T 是线段OA 上的点，∴P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，故答案为： 1P ，3P． ②由题意可得线段OA 的所有相关点都在以OA 为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是H ．(2A ，0)，∴ (1H ，0)．当直线y x b =+与H 相切，且0b >时，将直线y x b =+与x 轴的交点分别记为B ，则点B 的坐标是(b −，0)．∴ 1BH b =+．BH =，∴1b +=1b =．当直线y x b =+与H 相切，且0b <时，同理可求得1b =−．所以b 的取值范围是1−b ≤≤1．【小问2详解】解：设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点， 设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，如图所示，设以QK 为直径的圆，圆心是C ．则5,22k C ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴52CP = M 是ST 的中点，2ST PM =，∴SP =当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，在Rt CSM 中，52224CS CP ===，∴22QK CS ==，∴2KB ===， 根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，也符合题意，∴d ≥．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．。

北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）A B. C. 2 D. 43. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）A. B. C. D.4. 已知向量，满足，，，则（ ）A.B.C.D.5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（ ）A.B. C.D. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数.240︒a b a b ⋅=4-2-πsin y x=cos y x=tan2y x=sin cos y x x=a b()0,1a = 1b = a b -=r r ,a b 〈〉= π6π3π22π3()()sin 0f x x x ωωω=>2y =π()f x π12x =π6x =5π12x =5π6x =ABC V AB AC =tan 2B =tan A =4343-4545-()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8. 若，则（ ）A.B. C.D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ）A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为__________________ .12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________..的2sin 2y x =()f x π3π6π3π6π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=725725-925925-()()cos f x x ϕ=+()()11f f -=-()f x A A 7π21.991≈A A A A tan(4y x π=+(a = ()cos ,sin b θθ= a bθ13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.15. 已知，给出下列四个结论：①对任意的，函数是偶函数；②存在，函数的最大值与最小值的差为4；③当时，对任意的非零实数，；④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）直接写出和的值，并求的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数，求的图象的对称中心.18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.为π()sin()6f x x ω=+0ω>22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+ω=π()6g =ABCD 1AB =13BE BC = AB AE AD AE ⋅=⋅AD AE AC⋅ ()2cos f x x m =+m ∈R ()f x m ∈R ()f x 0m ≠x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m =()0,T π∈0x ∈R n ∈Z ()()00f x f x nT =+αβOx A B A 35B 513tan αsin βtan()αβ-π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+A O π4C C ()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()()cos g x f x x =()g x O ()2,2A ()3,B m (),4C n AB AC ⊥ //BC OAP BC PC BC λ=（1）求，的值；（2）当时，求；（3）求的取值范围.19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.条件①；条件②是的一个零点；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.（1）当时，求点绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；（3）求的最小值.21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零m n 35λ=cos APC ∠PA PC ⋅()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++π||2ϕ<()f x ϕ()f x []0,m 1[,1]2m π(16f =-π12-()f x (0)3π(f f =2O 1O 125O O =A B 1O xOy A B 1y 2y t 0t ≥1t =B 2O 1y 2y t t 2 5.5y ≥21y y -R ()y f x =1t 2t k t k 120k t t t =<<< x ∀∈R 12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ()f x k和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.的11()x f x =+2()sin f x x =1()f x 2()f x ()f x ()f x 3cos 2cos5cos8()f x x x x =++4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学 简要答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】C 【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【12题答案】【答案】（答案不唯一）【13题答案】【答案】①. 2②.或1【14题答案】【答案】①.②. 【15题答案】【答案】①②④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1），； （2）10； （3）.【17题答案】【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为 （2）【18题答案】【答案】（1）；（2）（3）.【19题答案】【答案】（1）条件选择略，；（2）.【20题答案】π2-1-2312tan ,sin 413αβ==33tan )6(5αβ-=-π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈1,8m n =-=[8,10]-π6ϕ=-ππ63m ≤≤【答案】（1）2（2），，满足 （3）【21题答案】【答案】（1）不是，是； （2）充分不必要条件，证明略； （3）是，不是，理由略.12sin y t =2π5sin 22y t ⎛⎫=+-⎪⎝⎭t π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭721()f x 2()f x 3()f x 4()f x。

北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各图中，1∠是对顶角的是（）∠与2A．B．C．D．2．如图，数轴上点A表示的数可能是（）B C DA3．在下列各式中，正确的是（）A4=B2C2==-D．5∥，其中的道理是（）4．我们可以用两个相同的三角尺作出平行线a bA．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角相等，两直线平行D．垂直于同一直线的两条直线平行a，5．如图，将三角形ABC沿AC方向平移1cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为cm 则四边形ABEF的周长为（）cm．A ．4a +B ．3a +C ．2a +D ．1a +6．下列说法：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④内错角相等．其中错误的有( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④7．下列各数中，13.14159?0.131131113?7π⋅⋅⋅--，，，无理数的个数有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（﹣2，2）9．如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B ；②∠EFD ＋∠B ＝180°；③∠B ＝∠D ；④∠E ＝∠B ；⑤∠BFD ＝∠B ．其中，一定能判断AB ∥CD 的条件的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，点(0,1)A ，点1(2,0)A ，点()23,2A ，点3(5,1),A L ，按照这样的规律下去，点2024A 的坐标为（ ）A ．3036,(1013)B ．(3033,1013)C ．(3036,1012)D ．(3033,1012)二、填空题11．将点()2,3P -先向右平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点1P ，则1P 的坐标是． 12．已知点(5,2)P a a +-在x 轴上，则a 的值为．13．如图，直线AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，交CD 于点D ，30CDB ∠=︒，那么C ∠的度数为．14．若2410x -=，则x =；若()32125y +=-，则y =．15．A 、B 为数轴上两点，点A 表示的数为1，点B 到点A 则点B 表示的数为．1631．（填“>”或“<”） 17．若关于x ，y 的二元一次方程组x y m x y n+=⎧⎨-=⎩的解为31x y =⎧⎨=-⎩，则m n =．18．已知a ，b 互为相反数，并且325a b -==．19．如图，AB∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，EP⊥EF ，与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ，且∠BEP=50°，则∠EPF= 度．20．甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得分．三、解答题21．计算：2|212⎛⎫⎪⎝⎭22．根据已知条件面出图形：（1）作60AOB∠=︒，AOB∠内部有一点P；（2）过点P作PC OB∥，交OA于点C；（3）过点P作PD OB⊥，交OB于点D，交OA于点E；（4）过点C作CF OB⊥交OB于F；（5）根据所画图形，得ACF∠=______度．23．已知：如图，,12A FEC∠=∠∠=∠，求证：180FDC EFD∠+∠=︒．请补全证明过程，并在下列括号内填上相应步骤的理由．证明：A FEC∠=∠Q（已知），∴______（______）．又12∠=∠Q （已知），AB ∴CD ∥（______）． EF ∴CD ∥（______）． 180FDC EFD ∴∠+∠=︒（______）24．在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy ，使得A ，B 两点的坐标分别为(4,1),(1,2)A B -，过点B 作BC x ⊥轴于点C ．(1)按照要求画出平面直角坐标系xOy ，写出点C 的坐标______；(2)直接写出以A ，B ，C 为顶点的三角形的面积______；(3)平移三角形ABO ，使点A 的对应点是C ，点B 的对应点是D ，点O 的对应点是E ，画出平移后的三角形CDE ，并写出点D 的坐标______．2520y -=(1)求y x -的平方根；(2)若32z y +的算术平方根为,5A x y -的立方根为B ，求A B +．26．列方程（组）解应用题如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A （绣球花）、B （样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A 、B 两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？27．如图，在ABC V 中，点D ，E 在AB 边上，点F 在AC 边上，EF ∥DC ，且12180∠+∠=︒．(1)求证：A BDH ∠=∠；(2)若CD 平分ACB ∠，30AFE ∠=︒，求BHD ∠的度数．28．在数学中，由m n ⨯个数排成的m 行n 列的数表称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵．记作：111212122212,n n mn m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L 其中，这m n ⨯个数称为矩阵A 的m n ⨯个元素，数ij a 位于矩阵A 的第i 行第j 列，m n ⨯的矩阵A 也记作mn A例如：22⨯的矩阵1231A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中111221221,2,3,1a a a a ==-==． 矩阵运算在科学计算中非常重要，矩阵的基本运算包括矩阵的加法，乘法，转置等．加法：行数和列数分别相等的两个矩阵可以进行加法运算，将两个矩阵各个位置对应元素之和作为和矩阵的元素．如：142005104025147200750270500950+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦乘法：当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵可以进行乘法运算，将第一个矩阵的第i 行的各个元素与第二个矩阵的第j 列的对应元素的乘积之和作为乘积矩阵的第i 行第j 列的元素．如：[]231[3214][10]4⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦3110213022111012051211311332111131104210⎡⎤⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦转置：把矩阵A 的行和列互相交换位置所产生的矩阵称为A 的转置矩阵T A ，如：1214240.20121T ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦请根据以上材料回答下列问题：(1)已知矩阵203000101Q -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求T Q ．(2)已知矩阵1423,3211A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，分别求A B AB +，． (3)若实数x 、y 满足：1111112041Tx y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求x 、y 的值. 29．平面直角坐标系中，已知()6,0A -，()4,4B --，将线段AB 在坐标平面内进行平移．(1)如图1，线段AB 平移后得到线段CD (C 与A 对应，D 与B 对应），若点C 在y 轴上，点D 在x 轴上，直接写出点C 和点D 的坐标；(2)如图2，线段AB 平移后得到线段EF ,(E 与A 对应，F 与B 对应），若点F 在x 轴上，连接AE ，若20AEF S =V ，求点E 的坐标；(3)如图3，线段AB 平移后得到线段GH (G 与A 对应，H 与B 对应），若点G 在y 轴上，连接AG AH 、，若17AGH S =V ，直接写出点H 的坐标．30．阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．经过入射点O 且垂直于反射面的直线OC 叫做法线；入射光线AO 与法线的夹角AOC ∠叫做入射角；反射光线OB 与法线的夹角COB ∠叫做反射角．光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角．如图，直线m l ∥，点A 在直线l 上，点C 在直线m 上，光线AC 被m 反射后再次被l 反射，入射光线AC 经过两次反射的光线为BD ，其中点B 在直线l 上．(1)在图中画出光线BD ，判断BD 与AC 的位置关系是______．(2)若直线m 绕点C 顺时针旋转()0180αα︒<<︒，要使光线BD 与光线AC 所在直线垂直，则α为______度．(3)直线m 绕点C 顺时针旋转()0180αα︒<<︒，直线BD 与AC 相交于点E ，直接写出AEB ∠和旋转角α之间的数量关系______．(4)已知160︒∠=，直线m 绕点C 顺时针旋α()0180α︒<<︒，要使光线BD 能被m 反射，则α的取值范围为______．。