椭圆的第二定义(含解析)教学内容

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

课题：椭圆的第二定义【1】【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： ac e b a c =-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。

中心到准线的距离：d=c a 2焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2ca 2三．第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）13610022=+y x （2）8222=+y x2、椭圆13610022=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( ) A.14 B.12 C.10 D.83、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为35 的椭圆标准方程.7、椭圆方程为16410022=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.8、已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知12312a b c e ====，，，．根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系一. 教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e ca e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y b a b P x y 222102+=>>()()左焦半径∴·左左r x a c ca r ex c a a ca ex 0202+==+=+右焦半径右右r a cx car a ex 200-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s s i n ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

椭圆的第二定义知识纲要1、椭圆的第二定义：到一定点的距离与它到一定直线的距之比是常数(0)ce a c a=>>的点的轨迹。

定点——焦点；定直线——准线；e ——离心率、说明：①22221(0)x y a b a b +=>>相应焦点F (c , 0)的准线方程是2a x c=（右焦点，右准线）22221(0)x y a b a b +=>>相应焦点F (－c ,0)的准线方程是2a x c =-（左焦点，左准线） 22221(0)y x ab a b +=>>相应焦点F (0,c )的准线方程是2a y c =（上焦点，上准线） 22221(0)y x ab a b +=>>相应焦点F (0, －c )的准线方程是2a y c=-（下焦点，下准线） ②椭圆的离心率是椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比，这就是离心率的几何意义，它反映了椭圆的圆扁程度。

212F MF S=22x例1：已知椭圆的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点，2e =，两准线间的距离为4，求该椭圆方程。

例2：（1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 的横坐标为x 0，F 1，F 2是其左，右焦点，则1PF ＝ ，2PF ＝ 。

（2）已知椭圆2212516x y +=，点M （4，y 0）在椭圆上，求点M 到两焦点的距离。

例3：已知椭圆的焦点12(0,1),(0,1)F F -，直线4y =是它的一条准线，P 是椭圆上一点，211PF PF -=，求12F PF S 。

例4：已知椭圆22143x y +=内有一点P （1，－1），F 是椭圆的右焦点，椭圆上有一点M ，使2M P M F +最小，求M 的坐标。

3、方法：①涉及椭圆上一点到两焦点的距离时，想到第一定义。

②涉及椭圆上一点到一个焦点的距离或已知焦半径长，求椭圆上该点坐标时，想到焦半径公式。

所有的教学设计课题椭圆第二定义教学设计椭圆的两个定义：看似从两个不同的角度来描述，而实质上是同一个表达式的两种不同变形形式，而这些知识间的内在联系，经教师引导，学生利用已有的知识经验，作为新知识的生长点，经合作探究完全可以发现这个内在的联系，由此学生不仅会对椭圆的两个定义有一个新的认识，在今后的数学学习中，学生会更加注重知识间的联系，来拓宽思路，发散思维。

当学生得出结论后，都很兴奋，在教学中应借此机会对学生进行学法指导，为以后学习培养良好的学习习惯及探究意识。

用数形结合法解不等式教学反思：本节课通过巧创情境，激发了学生的学习兴趣，并伴随知识的发生、形成、发展全过程引导学生自主引导进行探究活动，且最大限度的运用了变式教学，使一题多用，多题重用，给人以新鲜感。

但本节课主题是用数形结合法解不等式，如果能更好地应用多媒体如几何画板等把形很直观地体现出来，并让学生观察到图形的变化，那么效果会更好。

正，余弦函数的有关值域问题（一）课后反思:短短的45分钟虽然结束了，但是我从中收获的却比学生要多得多。

首先，在备课阶段，我要认真的思考该如何设置每一道习题，揣摩用什么样的语言能够让学生更好的接受，提什么样的问题既能调动学生的积极性又能达到我要引导学生发现的目的。

想象着学生可能会出现的每一种解决问题的方式。

真正的做到了课前备知识，备学生。

其次，在试课的过程中及时的调整习题给出的顺序，以便更好的适应学生的思维方式。

同时也不断的改变自己的说话方式，尽量避免一些不必要的语言的出现。

努力做到言简意赅，词必达意。

再次，多听评课老师的意见和建议，取众人之所长。

经过一个星期的准备，这堂《正，余弦函数的有关值域问题》才得以在众人面前亮相。

课堂上，高一（9）班的表现很让我满意，学生在我的引导下，快速的思维，积极踊跃的回答我所设置的每一个问题。

虽然到前面板演的同学不是每一道题都处理的特别顺畅，但基本思路都是正确的。

在我的补充之后，大多数学生都能够独立的总结解题的主要方法。