初中平面几何中的定值问题讲课讲稿

第十七讲平面几何中的定值问题定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几个例题，说明上述思考方法．例1 如图3－80．已知△ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交△ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值．分析欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么，然后再给以一般化的证明．为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB2(定值)，以下证明这个推测．证连结BQ．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB．又因为∠ACB=∠AQB，所以∠ABC=∠AQB．又因为∠BAQ=∠PAB，所以所以 AP·AQ=AB2(定值)．注意如果连结QC，将怎样证明？请读者思考．例2 如图3－81．已知△ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值．分析从图3－81中可以发现，如果引AD⊥BC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值．证作AD⊥BC于D，则所以所以又因为所以所以所以由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值．例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BE⊥OA于E，过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值(图3－82)．分析由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合，证延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以EP2=AP·PB=CP·PD＝(OC-OP)·(OD+OP)＝r2-OP2，例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，分析根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，下面证明这个推测结论．证在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是△ABC∽△APR．。

第五讲 平几 定值与最值本讲概述平面几何定值的求解思路：1．取特殊或极端位置猜测，在一般位置论证 2．通过推导、计算平面几何最值的求解思路： 1．图形中的特殊点2．注意到图形中元素间相互特殊关系 3．引入变量，利用二次函数求极值4．引入三角函数，利用三角函数的极值性 5．利用不等式 6．运用有关结论：①周长一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的面积最大； ②面积一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的周长最小； ③周长一定的平面n 边形中，正n 边形面积最大； ④面积一定的平面n 边形中，正n 边形周长最小．例题精讲板块一 平面几何定值【例1】 如图，ABC △为正三角形，动点D 在直线BC 上，过点D 作DE AC ⊥于E ．过点D 作BC 的垂线交过E 所作AB 的垂线于F ，CF 交AB 于P ．证明：APPB恒为定值．【解析】 如图，作PS FE ∥，PQ FD ∥，连结QS ． 显然，DEF △是正三角形．此时， PQ CP PSFD CF FE==． 从而PQ PS =，易知60QPS DFE ∠=∠=︒．故PQS △也是正三角形． 因为CQ CP CS CD CF CE ==，所以QS DE ∥． 从而，PQ BC ,QS CA ,SP AB ⊥⊥⊥． 于是，易知ASP BPQ CQS △∽△∽△． 因此，AP BQ =．易知12BQ PB =，故12AP PB =（定值）．【例2】 如图，AB 为半圆O ⊙的直径，动点C 在半圆O ⊙上，CD AB ⊥于点D ．1O ⊙与AC ,CD ,AD ︵都相切，2O ⊙与BC ,CD ,DB ︵都相切，切点E ,F 在A ,B 上． 证明：不论点C 位置如何，ECF ∠恒为定值．S Q P FED C B A高二·联赛班·暑假第5讲·教师版32【解析】 设2O ⊙与BC ︵相切于点M ，与CD 相切于点N ，如图．易知2O ,O ,M 三点共线．由OA OM =，得OAM OMA ∠=∠； 类似，22O NM O MN ∠=∠；由2NO AO ∥，得2AOM NO M ∠=∠． 故22OMA O MA O MN ∠=∠=∠，从而A ,N ,M 三点共线． 于是，有2AF AN AM =⋅．又易知2AC AD AB AN AM =⋅=⋅，因此AC AF =． 同理BC BE =．此时CEF CFE BEC AFC ∠+∠=∠+∠11909022ABC BAC ⎛⎫⎛⎫=︒-∠+︒-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111801809013522ABC BAC =︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故18013545ECF ∠=︒-︒=︒（定值）【例3】 如图，在ABC △中，AB AC =，动直线l 通过点A （l 不通过BAC ∠内部），已知1O ⊙与直线l 、AB 及BC 都相切，2O ⊙与直线l 、AC 及BC 都相切． 证明：不论直线l 的位置怎样变化，12O ,O ⊙⊙的半径之和为定值．【解析】 设12O ,O ⊙⊙半径为12R ,R ，如图，作ABC △的高AD ．分两种情况：①当l BC ∥时，易知12O ,O ⊙⊙是两个等圆，且1212R R AD +=，所以， 12R R AD +=（定值）②当l 不平行于BC 时，设l 交BC 于点P ，易知12P ,O ,O 三点共线．记22APO CPO θ∠=∠=．设12E ,E 是两个切点，2PO 交AD 于S ，作AK l ⊥，点K 在2PO 上，易证AK AS =． 注意到111tan tan ()2R PE PA PB AB θθ=⋅=⋅+-， 221tan tan ()2R PE PA PC AC θθ=⋅=⋅++，故121tan (2)2R R PA PB PC θ+=⋅++1tan (22)2PA PD θ=⋅+ tan tan PA PD θθ=⋅+⋅AK SD AS SD AD =+=+=（定值）【例4】 如图，Q ⊙的直径A Bd =（定值）．O ,O '⊙⊙是两个动圆，它们既同时与⊙Q 内切，又同时与AB 相切．过点B 作Q ⊙的切线交射线AO ,AO '于点E ,F ；过点A 作Q ⊙的切线交射线BO ,BO '于点G ,H ．ABDFO E 1E 2S K P D O 2O 1l C B A证明：不论O ,O '⊙⊙的位置、大小怎样变化，AEF BGH S S +△△恒为定值．【解析】 如图，设O ⊙切AB 于点D 、切Q ⊙于点M ．显然，Q ,O ,M 三点共线，OD AB ⊥． 记()AD a ,BD b a b ==>，则 AB a b =+，1()2QM QA QB a b ===+，1()2QD a b =-．令OD x =，则1()2OQ a b x =+-．由222OQ OD QD =+，得22211()()22a b x x a b ⎡⎤⎡⎤+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得abx a b=+．易知AG ODAB BD=，即abAG a b a b b +=+． 从而AG a AD ==．同理BE BD b ==． 所以AG AE AD BD a b d +=+=+=． 同理AH BF d +=．故[]2111()()()()222AEF BGH S S AB EF GH AB AG BE AH BF d d d d +=+=+++=+=△△（定值）板块二 平面几何最值【例5】 如图，已知圆O 内部有2n 个小圆，其中每个都与其相邻的两个小圆相切，并且都与圆O 内切，其切点顺次为122n A ,A ,,A ．在这2n 个切点中，若任意相邻两切点1i i A ,A +的距离为11211(122)i i i,i n A A a i ,,,n ,A A +++===，且234521,,n ,a a a λ⋅⋅= ．证明：1234212,,n ,n a ,a ,,a -【解析】 设圆O 与2n 个小圆i O 的半径分别为(122)i R ,R i ,,,n = ，12AOA θ∠=．则221212122sin2(1cos )2,,A A a R ,a R θθ===- ．由余弦定理，212112()cos ()()R R R R R RR R R R θ-+-=--，所以221212124()(),R R R a R R R R =--． 同理，221114(3521)()()i i i ,i i i R R R ai ,,,n R R R R +++==--- ， 从而2212212342121224()()()()n n n,,n ,n n R R R R a a a R R R R R R -=--- ．同理，221222345211224()()()()n n n,,n,n R R R R a a a R R R R R R =--- ，故1234212234521,,n ,n ,,n,a a a a a a λ-== ．DMO 'OQHGF EBA2nA 1高二·联赛班·暑假第5讲·教师版34于是可得1234212,,n ,n a ,a ,,a -【例6】 在Rt ABC △中，斜边2AC =，O 为AC 的中点，I 是ABC △的内心．求OI 的最小值． 【解析】 如图，以O 为圆心，OA 为半径作圆，连BI 延长交O ⊙于M ．则IAM OAM OAI CAM OAI ∠=∠+∠=∠+∠π142CBM OAI A =∠+∠=+∠ABI IAB AIM =∠+∠=∠．故M A M I =，知MAI △为等腰三角形， 又MC MA =︵︵，则MC MA =． AMC △为等腰直角三角形．以M 为圆心，MA 为半径作圆，则点I 在M ⊙上，连MO 延长交M ⊙于I '．易知OI OM IM MI OM OI ''+==+≥． 于是，OI OI MI OM '=-≥．因AMC △为等腰直角三角形，则2AC =，MA ,MI MA ===又1OM =，故1OI ．即OI1．注：用内切圆代换法可转换为代数问题求解【例7】 设ABCD 是一个梯形（AB CD ∥），E 、F 分别是线段AB 、CD 上一点，线段CE 与BF 相交于H ，线段ED 与AF 相交于G ．求证：14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是一个任意的凸四边形，结论是否还成立．【解析】 先证一个引理：梯形ABCD （AB CD ∥）中，AC ，BD 交于E ，则14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．显然ACD BCD S S =△△，都减去CDE S △，即有ADE BEC S S =△△，设为S ，则 CDEABE S S DE S BE S==△△，所以2ABE CDE S S S =△△．由均值不等式，224ABCD ABE CDE S S S S S S =++=△△≥，故14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．回到原题，由引理，1144EGF AEDF EHF BECF S S ,S S △△≤≤，相加即得14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是任意的凸四边形，结论未必成立． 当0DA ,E B ,F C →→→时，EFGH ABCD S S →，所以当AD BE CF ,,BC AB CD 足够小时，14EHFG ABCD S S >．【例8】 （*选讲）给定a2a <，内接于单位圆Γ的凸四边形ABCD 适合以下条件：①圆心在这凸四边形内部；②最大边长是a过点A ,B ,C ,D 依次作圆Γ的四条切线A B C D L ,L ,L ,L ．已知A L 与B L 、B L 与C L 、C L 与D L 、D L 与A L 分别相交于A ,B ,C ,D ''''四点．OI'MICB AA求面积之比A B C D ABCDS S ''''的最大值与最小值． 【解析】 01年CMO 试题．设圆Γ的圆心为O ，并记12342222AOB ,BOC ,COD ,DOA θθθθ∠=∠=∠=∠=．于是1234,,,θθθθ都是锐角，且1234πθθθθ+++=，不难求得 44111sin 2tan 2ABCDi A B C D i i i S ,S θθ''''====∑∑． 由于上式关于1234,,,θθθθ对称，不妨设AB a ,AD ==1234θθθθ≥≥≥，则14sin sin 2a ,θθ==1423π2θθθθ+==+．∴141414111sin()12tan tan cos cos cos sin sin 2θθθθθθθθθ++===2322tan tan sin 2θθθ+=121222sin 2sin 2sin 2sin 2A B C D ABCDS T S θθθθ''''+==+，而1211πsin 224,θθθ=≤≤，∴21sin 212θ≤． 由于T 是关于2sin 2θ的严格减函数，maxmin 22228(4)1122T ,T a a ===-⎛⎝．大显身手1． 证明：定圆(R)上任意一点到内接正三角形三个顶点距离的平方和是一个定值. 【解析】 如图，⊿ABC 是定圆O(R)的内接正三角形， 若P 与正⊿ABC 一个顶点重合（如P 与B 重合），则 PA 2+PB 2+PC 2=BA 2+BC 2=2BA 2=6R 2，即定值是6R 2. 可以证明，PA=PB+PC ，∠BPA=∠BCA=600. 在⊿PAB 中，由正弦定理得，AB 2=PA 2+PB 2-2PA ·PB ·cos600=PA 2+PB 2-PA ·PB ， 同理，AC 2=PA 2+PC 2-2PA ·PC ·cos600=PA 2+PC 2-PA ·PC ， 相加，AB 2+AC 2=2PA 2+PB 2+PC 2-PA(PB+PC)=PA 2+PB 2+PC 2， 即PA 2+PB 2+PC 2=AB 2+AC 2=2AB 2=6R 2(定值).高二·联赛班·暑假第5讲·教师版362． 如图，由圆()O r 外的定直线l 上任意点A 引二切线AB ,AC ．试证：两切点之间弦BC 恒过定点．【解析】 要证BC 恒过定点，则需要证明这一点在某一线段上与O 点距离为定值，为此作OH l ⊥于H ，设BC 与OH 交于P ，连Oa ，则OA BC ⊥，设交BC 于D ，则A ,D ,P ,H 四点共圆． 故OP OH OD OA ⋅=⋅．又22ODOA OB r ==，从而2r OP OH=为定值．由此可知P 为定点，由BC 过P 点可知结论成立．3． 设12C ,C 为同心圆，2C 的半径是1C 的半径的两倍，四边形1234A A A A 内接于圆1C ，设41A A 延长线交圆2C 于1B ，12A A 延长线交圆2C 于2B ，23A A 延长线交圆2C 于点3B ，34A A 延长线交圆2C 于点4B ．试证：四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．并确定等号成立的条件．【解析】 设圆心为O ，连结144OB ,OB ,OA ，设1C 的半径为R ，则2C 的半径为2R ．在四边形441B A OB 中，由托勒密定理，414144441OA B B OB A B OB A B ⋅+⋅⋅≥． 即14444122R B B R A B R A B ⋅+⋅⋅≥，14414422B B A B A B -≥．同理12121122B B A B A B -≥，23232222B B A B A B -≥，34343322B B A B A B -≥， 相加得12233441122334412()B B B B B B B B A A A A A A A A ++++++≥， 即四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．等号成立时，1i i i OA B B +共圆，1111i i i i i i i iA AOB B O B B O A AO +++-∠=∠=∠=∠， ∴1234A A A A 为菱形，又为圆内接四边形，所以1234A A A A 为正方形．H P D O l C B A。

第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos 12∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC 上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC= S△APC =12 AP·CC′,得S 四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC= 12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2 AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AEAD AC=,即AD·AE=AB·AC为定值.如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点,过P 作任一直线交⊙O 1于点E,交⊙O 2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A 引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS 的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC 的周长为2p,在AB 、AC 上分别取点M 和N,使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切.求:MN 的最值.CABMNA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2. 所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:A D=R 1:R 2.。

D AE BP C F第六讲 几何的定值一.基础知识解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示. ② 再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.二．例题例1. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是BC 上任一点，过点P 作BC 的垂线分别交AB ，AC 或延长线于E ，F. 求证：PE ＋PF 有定值. 分析：（探求定值）用特位定值法.把点P 放在BC 中点上. 这时过点P 的垂线与AB ，AC 的交点都是点A ，PE ＋PF ＝2PA ，从而可确定定值是底上的高的2倍. 因此原题可转化：求证：PA ＋PB ＝2AD （AD 为底边上的高）.证明：∵AD ∥PF ，∴BD BP AD PE ＝； BD PD CD CD CP AD PF ＋＝＝. ∴2BDBD2BD PD CD BD BP AD PF AD PE ＝＝＋＋＝＋. 即2ADPF PE ＝＋.∴PE ＋PF ＝2AD.注：同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可. 例2. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点P 在中位线MN 上，BP ，CP 的延长线分别交AC ，AB 于E ，F.求证：CE1BF 1＋有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a, b, c 来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明.证明：设MP 为t, 则NP=21a －t.∵MN ∥BC ， ∴BF MF BC MP =， CENE BC NP =. 即=a t BF ac t a BF ca t a c BF 12121BF 21=-⇒=-⇒-； CE ab ta CEb a t a CE b CE a t a 1212121212121=+⇒=+⇒-=- ∴CE 1BF 1＋=c ac ta t a 32121=++-∵c 是定线段，∴c3是定值.即CE 1BF 1＋有定值c3.c a t P F ENM A B C F例9.已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上求证：PA2＋PB2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r.①点P放在直径AB上.得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）.②点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2＋PB2＝R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.证明：设∠POA＝α，根据余弦定理，得PA2＝R2＋r2－2RrCosα，PB2＝R2＋r2－2RrCos(180 －α).∵Cos(180－α)＝Cos α.∴PA 2＋PB 2＝2（R 2＋r 2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA ，PB 与R, r 的关系式，关键是引入参数α.例10. 已知：在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C. 求证：∠ACB 有定值.分析： ⊙M 是△ABC 的内切圆，∠AMB 是以定线段AB 为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理Sin ∠AMB=R2AB)，所求定值可用它来表示.证明：在△ABC 中，∠MAB+∠MBA=180 －∠AMB ，∵M 是△ABC 的内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180 －∠AMB). ∴∠ACB=180 －（∠CAB+∠CBA ）=180－2(180－∠AMB) = 2∠AMB －180.由正弦定理R 2AMB S AB =∠in ， ∴Sin ∠AMB=R2AB. ∵弧AB 所在圆是个定圆，弦AB 和半径R 都有定值， ∴∠AMB 有定值.∴∠ACB 有定值2∠AMB －180 .例 11. 已知△ABC 中，AB=AC ，如果直线EF ，MN 都垂直于BC ，试证明：不论MN ，EF 怎样平行移动，只要MN ，EF 之间的距离不变，五边形AMNFE 的周长是一个定值．分析 从图3－81中可以发现，如果引AD ⊥BC 于D ，由已知条件可jABMCO P APOO BAB APB知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值．证作AD⊥BC于D，则所以所以又因为所以所以故有由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值三．练习题1. 用固有的元素表示下列各题中所求的定值 (不写探求过程和证明)： ①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________. ②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿. ③.正n 边形内的任一点到各边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. (2001年希望杯数学邀请赛初二试题) 解：①腰上的高 ②三角形的高③2倍n 边形的面积/边长 2. 如图8,已知△ABC 中，AC=BC ，∠CAB=α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上,并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q.(1) 求∠POQ 的大小(用α表示);(2)设D 是CA 延长线上的一个动点, DE 与圆O 相切于点M, 点E 在CB 的延长线上, 求证: ∠DOE 的度数为定值.分析：要求证∠DOE 的度数为定值，只须证明∠ODE 与∠OED 和为定值,而OD 、OE 分别为∠CDE 与∠CED 的平分线, 故只须证∠CDE 与∠CED 和为定值,由三角形的内角和定理易证. 解:(1)易得∠POQ=2α.(2)连结OM. 由切线长定理, EM=EQ. 又∵OM=OQ , OE=OE,∴△OEM ≌△OEQ , ∴∠MOE=∠QOE. 同理,∠MOD=∠POD.∴ ∠DOE=(∠POM+∠QOM)= (3600-∠POQ)=1800-α. ∵α为定值, ∴∠DOE 的大小为定值. 定值为1800-α.4. 设OA ，OB 是已知圆O 的任意两条半径，过B 引BE ⊥OA 于E ，图8Q M P O EDCBA过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值．分析由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合，证延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以EP2=AP·PB=CP·PD＝(OC-OP)·(OD+OP)＝r2-OP2，所以EP2+OP2=r2(定值)．题目难度参考：例题1, ★★★2, ★★★★3, ★★★4, ★★★5, ★★★6,★★★7, ★★★★8, ★★★9, ★★★10, ★★★★11,★★★★练习题1,★★ 2., ★★★3, ★★★4, ★★★ 5, ★★★。

知识点，重点，难点所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。

平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。

一般来说，求解定值问题的方法有：图形分析法。

画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。

特殊位置法。

不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。

参数计算法。

图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。

例题精讲例1：如图，已知⊙O 及弦AB ，P 为⊙O 上任一点，PA 、PB 分别交AB 中垂线于E 、F ，求证：OE ·OF 为定值。

分析 若在⊙O 上的点P 运动到特殊位置点Q ，则点E ，点F 都和Q 点重合，于是得到OE ·OF =OQ ，由此可推想，该定值可能为⊙O 2半径的平方。

证明 因为OE 是弦AB 的中垂线，所以，所以∠AOE=∠BOE ， AQ BQ=所以又因为∠EPB =∠PAB 1.2mAOE AB ∠= 1,2m PAB BP ∠=1,2m PBA AP ∠=＋∠ABP ，所以∠AOE = ∠EPB ，所以A 、O 、F 、P 四点共圆，所以∠OFB =∠OAE .又因为∠FOB =∠AOE ，所以△FOB ∽△OAE ，所以即OE ·OF ＝OA ·OB .因为OA =OB ，所以OE ·OF =OA （定,OF OBOA OE=2值）。

例2：如图，设AB 、CD 是圆O 的两条定直径，P 是圆周上的任一点，过P 作AB 垂线，过P 作CD 的垂线，其垂足分别为Q 、R ，DT ⊥AB ，垂足为T ，求证：QR 是定长。

2014七年级升八年级第8讲《几何中的定值》几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：（1）特殊位置与极端位置法；（2）几何定理(公理)法；（3）数形结合法等． 【专题1】以三角形为载体1、如图在等腰三角形ABC 中，AB=10，BC=12，点D 是BC 的中点，点E 是DC 上的动点，过点E 作E G ⊥DC ，交BA 的延长线于点G ，交AC 于F ，求EF+EG 的值？2、如图，边长为6的等边三角形ABC 中，点P 是边BC 上的动点，过点Ｐ作ＰD ⊥ＡB 于D ，作ＰE ⊥AC 于E ，求ＰD ＋ＰE 的值？【变式2】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点， P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？【变式3】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 外任意一点，P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之间有何关系？为什么？图1 图23、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 上一动点， 求∠EAC 的度数？4、如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，O A ⊥BC 于O ，点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF ，但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。

1）判断△OEF 的形状，并加以证明。

2）判断四边形AEOF 的面积是不随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

11.平面几何的定值问题所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.例1 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD ⌒上任意一点. 求证：PA PCPB+为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短， 利用圆的基本性质，证明三角形全等. 解： 延长PC 至E ，使CE ＝AP ， 连结BE ，则△BCE △△BAP ， 及△PBE 为等腰直角三角形，故PA PC CE PC PEPB PB PB++===例2 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆， 自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ， 当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变C .等分DB⌒ D .随C 点的移动而移动 （济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.解： B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为¼APB的中点．例3 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动， M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足. 求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. （加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值. 从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手. 解： △SP △OP ，OM △ST ， △S ，M ，O ，P 四点共圆， 于是△SPM ＝△SOM ＝12△SOT 为定角．P AB CDAB例4 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ， 作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE . （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中， 是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决. 解：(1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2) DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝13×3＝1．(3) 设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = . △22394ON x =-，而ON ＝32CH ，△22143=-CH x ．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值．例5 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值. 例5 △C (0，4)△先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G△△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又△BOC ＝△G OM ，△△G OM △△COB ，△G MO ＝△CBO ，BOACE HG D得M G△BC ．△连结DM ，则DM △PD ，DO △PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163． 动点F 在△M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值． 当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-； 当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+； 当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，△DM 2＝MO •MP ，△FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM =， 又△OMP ＝△FMP ，△△MFO △△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35．例6 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ， P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值. 解题思路：当点P 与C 点重合时，PA 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明. 证明： △BPC ＝120°， 在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ， △P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×2＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2为定值．课后练习1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0点（横、纵坐标均为整数）的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（含π的代数式表示）.3.如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（ ）A . ∠1＋∠2＝900°－2αB . ∠1＋∠2＝1080°－2αC . ∠1＋∠2＝720°－αD . ∠1＋∠2＝360°－21α （武汉市竞赛试题）（第3题图） （第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （ ）A .在0°到30°变化B .在30°到60°变化C .保持30°不变D .保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A .5B .6C .7D .8 （黄石市中考试题）（第5题图） （第6题图）6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）12GF EDCHBAB7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关. （湖北省选拔赛试题）（第7题图）（第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. （黄冈市中考试题）NKMBACHCBA10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由. 11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）课后练习参考答案 1．1提示：不妨设△A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知△HBD ＝△HCD ＝△HAE ，△HDC ＝△CDA ＝90°， 故R t △CHD △R t △ACD ．△AD DCDC HD=， 即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1． △S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当△A ≥90°时，结论成立．2．13π－26提示：△A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点， 由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16． △五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1． △这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝5π－10＋8π－16＝13π－26．3. B提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知△1＝2△APP ′，△2＝2△BPP ′． △△1＋△2＝2△APB ．△△APB ＝540°－α，△△1＋△2＝1080°－2α． 4. D 5．B提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD △MN 于D ， 连接FO 并延长交EB 于G ． 由垂径定理，得OD 2254-＝3． 由△AFO △△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ． 由AF △MN ，BE △MN ，得△FOD △△F G E ． △12OD FO GE FG ==．△E G ＝2OD ＝6，△12h h AF BE -=-＝E G ＝6．6．△A (3－m ，0) △y ＝x 2－2x ＋1△过点Q 作QM △AC 于M ，过点Q 作QN △BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN ＝3－x ． △QM △CE ，△PQM △△PEC ．△QM PMEC PC=，即()2112x x EC --=，得EC ＝2(x －1)． △QN △CF ，△△BQN △△BFC ．△QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +． 又AC ＝4，△FC (AC ＋EC )＝ ()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值．7．提示：易证△ABK △△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．△A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989) △若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC △P A ，故只要QC ＝P A 即可， 而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝185． △设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5． 说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合． 由于QC △OP 知△QDC △△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===． 同理QC △AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，△AF ＝4t ＝OP ．△PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18． 又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，△S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90． 于是S △PQF 的面积总为定值90．△由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100． △若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．△2≤t ＋2≤6.5，△t ＋2．△t ＝ 5－2． △若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． △若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，△(5t －8)2＝224．，又0≤5t ≤22.5，△－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．△C 1的顶点坐标为(1，12)， △略 △作PM △AB 于M ，作QN △AB 交AB 延长线于N ，△PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ． 在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又△点P 在抛物线上，△y P ＝12x P 2－x P ＋1， △PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，△PF ＝y P ， 同理，QF ＝y Q ，易证△PMF △△QNF ， 则PM QN PF QF =，△11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，△11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合， 此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12AB ， 如图△所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论△所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ． 容易证明△AEM △△ACH ，△B G N △△BCH ． 从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ． 这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点， 连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线， 从而OP △AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12AB ． △无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。