离散数学命题逻辑课件
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离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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4
1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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6
1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
离散数学PPT课件19命题逻辑推理(ppt文档)
I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P
I13. (PQ)∧(QR)PR
I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R
I15. AB (A∨C)(B∨C)
I16. AB (A∧C)(B∧C)
重要的等价公式:
对合律 E1 PP
交换律 E2 P∧QQ∧P
• 例题１求证 P→Q，Q→R，P R
• 证明
序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式
(1) P
P
(2) PQ P
(3) Q (4) Q→R
T (1)(2) I11 P
(5) R
T (3)(4) I11
• （注公式I11为： P,P→Q Q ）
• 例题２求证
(P∧Q)∧(Q∨R)∧R P
E1
(3) (P∧S)
P
(4) P∨S (5) P (6) P→Q
T (3)
E8
T (2)(4) I10
P
(7) Q (8) (Q∨R)∧R
T (5)(6) I11 P
(9) Q∨R (10) R (11) R (12) R∧R
T (8)
I1
T (8)
I2
9
(1) Q∨R
P
(2) R
P
(3) Q (4) (P∧Q)
T (1)(2) I10 P
(5) P∨Q (6) P
T (4)
E8
T (3)(5) I10
• 注公式I10为： P, P∨Q Q • 公式E8为： (P∧Q)P∨Q
• 例题３用命题逻辑推理方法证明下面推 理的有效性：
• 如果我学习，那么我数学不会不及格。 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。 但是我数学不及格。因此，我热衷于玩 扑克。
离散数学(命题逻辑的基本概念)66页PPT
(2)吴颖不仅用功而且聪明.
pq
(3)吴颖虽然聪明，但不用功. pq
(4)张辉与王丽都是三好生.
设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 pq
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合取联结词的实例
p ：今天下雨 q：明天下雨 p q：今天下雨并且明天下雨 今天与明天都下雨 这两天都下雨
p ：我们唱歌 q：我们跳舞 p q：我们一边唱歌一边跳舞
过了一会儿，A喊道： “我知道我戴的帽子的颜 色了”，请问他的帽子是 什么颜色的？
6
数理逻辑
逻辑学是一门研究思维形式及思维规律的科 学。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的规律科 学，就是引进一套符号体系的方法，所以又 称为符号逻辑。
数理逻辑是现代计算机技术的基础 。
7
第一部分 数理逻辑
爱德斯格·维伯·迪克斯特拉 （Edsger Wybe Dijkstra ）
1930-2019
“我现在年纪大了,搞了 这么多年软件,错误不 知犯了多少,现在觉悟 了。我想假如我早年
在数理逻辑上好好下 点功夫的话,我就不会 犯这么多的错误。不
少东西逻辑学家早就 说了,可我不知道。要 是我能年轻20岁,我要 回去学逻辑。”
8
数理逻辑
莫绍揆 中国数理逻辑学家
（1917－）
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
分析与设计、数据库原理与设计、人工智能、 操作系统、编译原理、计算机网络等课程联 系紧密。
2
本书的主要内容
数理逻辑 集合论 图论 组合数学 代数系统简介
3
教学目的
为计算机专业理论讲授作好必要的知识准备; 培养抽象思维和推理能力; 培养解决实际问题的能力.
《离散数学》课件-第1章命题逻辑基本概念
注：克里特岛是希腊东南沿海的一个岛屿，位于地中海东部。 它的迈诺斯文明是世界是最早的文明之一，是欧洲文明的发 源地，并在公元前17世纪纪达到其财富和权势的顶峰。克里 特岛先后被希腊人、罗马人、拜占廷人、阿拉伯人、威尼斯 人和奥托曼土耳其人攻陷。岛上居民在1908年宣布与现代的 希腊结成联盟。
6
二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
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解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
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二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
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解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
离散数学教程PPT课件
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学课件-第十三讲 命题逻辑
*（极小）全功能联结词
全功能联结词
{~, ∧, ∨, →, ↔, , ↑, ↓, }是全功能联结词集.
{~, ∧, ∨, →, ↔}是全功能联结词集. {~, ∧, ∨}是全功能联结词集
极小全功能联结词
{~, ∧}，{~, ∨}，{~, →}，{↑}，{↓}是极小全功 能联结词集.
（3）量词、辖域、约束变元、自由变元
E38 ∃x (B→A(x)) B→∃xA(x)
E39 ∀x∀y A(x, y) ∀y∀x A(x, y)
E40 ∃x∃y A(x, y) ∃y∃x A(x, y)
谓词演算定律：蕴涵式
编号
蕴涵式
I18 ∀xA(x)∨∀xB(x) ∀x(A(x)∨B(x))
I19 ∃x(A(x)∧B(x)) ∃xA(x)∧∃xB(x)
笛卡尔积的性质
若C≠，则 AB (A×CB×C) (C×AC×B)
设A, B, C, D是四个非空集合，则 A×BC×D当且仅当AC且BD
例题
证明分配律A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) 证明： 对任意的<x, y>，有 <x, y> ∈A×(B∪C) x∈A∧y∈(B∪C)
离散数学
（第十三讲）
内容回顾
第一章 命题逻辑 第二章 谓词逻辑 第三章 集合论
命题逻辑
（原子命题为 最小单位）
谓词逻辑
（分解成 谓词、个体）
数理逻辑
（1）翻译：苏格拉底是人。
命题逻辑 设P:苏格拉底是人。 该命题符号化为P（命题公式）
谓词逻辑 设a:苏格拉底（个体），P:是人（谓词）。 该命题符号化为P(a)（谓词公式）
笛卡尔积的性质
下列分配律成立 （1）A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) （2）A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) （3）(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) （4）(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C) （5）A×(B－C) = (A×B)－(A×C) （6）(A－B)×C = (A×C)－(B×C)
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
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三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学课件 第一章 命题逻辑_1
第一章内容提要
1 命题及其表示法
2
3
命题联结词
命题公式与翻译
4
5 6 7 8
真值表与等价公式
重言式与蕴含式 其他联结词 对偶与范式 推理理论
1-1 命题及其表示法
1、命题
具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以 取一个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别用 “Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。
等价公式
观察表中公式┐(PQ)和公式(┐P┐Q)，它们的 真值完全相同（这两个公式对任何解释都必同为真 假），称┐(PQ)和(┐P┐Q)是相等（等价、等 值）的。 定义1-4.2 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下， G与H的真值相同，则称公式G、H是等价的，记作 G = H （或 G H）。
显然(1), (4)两种情况父亲都没失信。 情况(2)正好对应定义中“当前件P为真, 后件Q为假 时, (3)的情况与这位父亲原来的话没有抵触, 当然也不算失信。 命题P Q取值为假”的规定。
只有情况(2), 答应的事却没有做到, 应该算失信了。
5、双条件联结词
设P、Q是任意两个命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作PQ ，“”称为 当且仅当联结词。 PQ为真当且仅当P、Q同为真假。 若 则 P：2+2=4；Q：雪是白的。 PQ：2+2=4当且仅当雪是白的。
(P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R) 3. 如果明天上午七点下雨或下雪，则我将不去学校
命题联结词的应用
联结词“∧”、“∨”、“┐”与构成计算机 的与门、或门和非门电路是相对应的，从而命题逻 辑是计算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工 具。
命题联结词的应用
离散数学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
23
公式旳类型
定义1.10 (1) 若A在它旳任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它旳任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
第一部分 数理逻辑
主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
1
第一章 命题逻辑旳基本概念
主要内容 命题与联结词
命题及其分类 联结词与复合命题 命题公式及其赋值
2
1.1 命题与联结词
命题与真值 命题：判断成果惟一旳陈说句 命题旳真值：判断旳成果 真值旳取值：真与假 真命题与假命题
14
1.2 命题公式及其赋值
命题变项与合式公式 命题变项 合式公式 合式公式旳层次 公式旳赋值 公式赋值 公式类型 真值表
15
命题变项与合式公式
命题常项 命题变项（命题变元） 常项与变项均用 p, q, r, …, pi, qi, ri, …, 等表达.
定义1.6 合式公式（简称公式）旳递归定义： (1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成旳符号串才是合式公式
(9) pq 或pq
可见(5)与(7)，(6)与(8) 相同（等值）
湖南大学离散数学教案命题逻辑课件
证明题解析
证明题1解析
考察命题逻辑中的等价关系证明 。证明过程涉及使用等价关系的 定义和性质，通过逐步推导来证 明两个命题之间的等价关系。
证明题2解析
考察推理规则的正确性证明。证 明过程需要利用已知的推理规则 和命题逻辑的基本性质，通过演 绎推理来证明推理规则的正确性 。
证明题3解析
考察复合命题真假性的证明。证 明过程需要分析复合命题内部各 个子命题的真假关系，并利用逻 辑联结词的性质来推导复合命题 的真假性。
04 命题逻辑的证明方法
CHAPTER
直接证明法
直接证明法是通过直接推导，从已知的前提逐步推导出结论的方法。这种 方法要求推理过程必须严谨，每一步推导都要有充分的依据。
在命题逻辑中，直接证明法通常从定义出发，通过逻辑联结词的性质和等 价关系，逐步推导出结论。
直接证明法需要保证推理过程中没有出现逻辑错误，否则会导致证明失败 。
03 命题逻辑的语义
CHAPTER
真值表与真值赋值
总结词
理解真值表和真值赋值的含义和作用
详细描述
真值表是用来表示命题逻辑中命题的真假值的表格，通常由2^n行组成，表示n个命题的所有可能赋 值情况。真值赋值是指将命题的真假值分配给每个命题的方式。通过真值表，可以直观地理解命题逻 辑中的真假关系和逻辑运算的结果。
填空题解析
填空题1解析
考察命题逻辑中的推理规则。答案为“如果p，那么q”，解释 ：根据推理规则，如果已知p是真，那么可以推出q也为真。
填空题2解析
考察逻辑联结词的意义。答案为“当且仅当”，解释：“当且仅 当”表示两个命题之间存在等价关系，即一个命题的真假完全取
决于另一个命题的真假。
填空题3解析
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第一章 命题逻辑
例1： 1. 2是素数。 2. 雪是黑色的。 3. 2+3=5 。 4. 明年十月一日是晴天。 5. 这朵花多好看呀！ 6. 3能被2整除. 7. 明天下午有会吗？ 8. 请关上门！ 9. x+y>5 。 10. 地球外的星球上也有人。
命题判断的关键： 1.是否是陈述句； 2.真值是否是唯一的。
1
前件，q称为条件命题p→q的后
1
件。
表1.4 q p→q 01 11 00 11
【例】 p：小王努力学习。q：小王学习成绩优秀。 p→q：如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。 联 结 词 “ → ” 与 汉 语 中 的 “ 如 果 … ， 那 么 …” 或
“若…，则…”相似，但又是不相同的。
• 例11：用等值演算法解决下面问题. A、B、C、D四人百米竞赛.观众甲、乙、丙预测比 赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四. 比赛结束后发现甲、乙、丙每人预测的情况都各对 一半，试问实际名次如何（假设无并列情况）？
1.4 联结词全功能集
• 一个n(n≥1)维卡氏积{0,1}n到{0,1}的函数称为一个 n元真值函数。设F是一个n元真值函数，则可记 为F：{0,1}n→{0,1}
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A,B为两个命题公式，若等价 式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记 作A⇔B.
• A⇔B不是命题公式 • 可通过判断A与B的真值表是否相同，来判
断A与B是否等值。
• 例8：判断下列命题公式是否等值 （1） ¬(p∨q)与¬p∨¬q ； （2） ¬(p∨q)与¬p∧¬q ；
• 在一个联结词的集合中，如果一个联结词可由集 合中的其他联结词定义，则称此联结词为冗余的 联结词，否则称为独立的联结词。
离散数学课件 第一章 命题逻辑-1st
• 我不承认你是对的，除非太阳从西边出来
– A：我不承认你是对的。 – B：太阳从西边出来。 – 翻译为： ¬B→ A
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句子到逻辑表达式的翻译
• 如果你和他都不固执己见的话，那么不愉 快的事情就不会发生了。
– P：你固执己见。 – Q：他固执己见。 – R：不愉快的事情不会发生。 – 翻译为： (¬PΛ¬Q)→R
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• 15岁时，进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年 级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利 略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听 了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数 学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数 学，并获得了哲学硕士学位 。 • 19岁设计出世界第一台乘法器，被认为是现代机器数学的先驱 者。 • Leibniz(1646～1716年) 之梦：有一天所有的知识，包括精 神和无形的真理，能够通过通用的代数演算放入一个单一的演 绎系统。 • 1693年，发现了机械能的能量守恒定律。 • 与牛顿并称为微积分的创立者。 • 系统阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来。
734主要内容?主要内容命题命题逻辑联结词命题变元合式公式重言式永真蕴含恒等式带入规则替换规则对偶原理范式及其判定问题命题演算的推理83411概述?目标探索出一套完整的逻辑规则这些规则给出数学语句的准确定义按照这些规则可以确定任何特定的论证是否有效
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室： 综合楼411，Tel： 87571525 实验室：教学楼A318/A323，Tel：87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
离散数学第2讲命题逻辑2.ppt
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等价式的判定
❖ 1.真值表法
❖ 2.公式推演（等价变换）
❖ 例3.1：试证 P→Q ～Q→～P
❖ 证：P→Q ～P∨Q 蕴涵 E2
❖
～P∨～～Q 双重否定 E19
❖
～～Q∨～P 交换律 E5
❖
～Q→～P
E2
2024年11月24日
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等价式的判定
2024年11月24日
❖ 例3.2 ❖ 试用较少的开关设计一个与下图有相同功能的电路。
P QS PSR
23
等价式的判定
2024年11月24日
❖ 解：可将上图所示之开关电路用下述命题公式表示：
❖ (P∧Q∧S)∨(P∧R∧S)
❖ 利用基本等价公式，将上述公式转化为： (P∧Q∧S)∨(P∧R∧S)
❖
((P∧S)∧Q)∨((P∧S)∧R)(结合律)
❖
(P∧S)∧(Q∨R)（分配律）
❖ 所以其开关设计图可简化为：
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等价式的判定
2024年11月24日
❖ 世界冰球赛在激烈地进行，看台上三位观众正在热烈地议 论着这场比赛的名次。
❖ 甲：中国第一，匈牙利第三； ❖ 乙：奥地利第一，中国第三； ❖ 丙：匈牙利第一，中国第二。 ❖ 比赛结束后，发现三位观众每人恰好都猜对了一个。问：
❖ 而一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命 题，常称它为命题变量(或命题变元)，该命题变量无具体 的真值，它的值域是集合{T，F}(或{0，1})。
❖ 当原子命题是命题变元时，其复合命题也即为命题变元的 “函数”，且该“函数”的值仍为“真”或“假”值，这 样的函数可形象地称为“真值函数”,或称为命题公式, 此 命题公式没有确切真值。
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pq pq pq qp qp
(6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷.
pq
(7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服.
qp
(8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
qp
注意： pq 与 qp 、pq等值（真值相同）
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等价联结词
定义1.5 设 p, q为两个命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与 q的等价式，记作pq，称作等价（双条件）联结词. 规 定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假. pq 的逻辑关系：p与q互为充分必要条件
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析取联结词的实例
解 (1) 令p:2是素数, q:4是素数, pq (2) 令p:2是素数, q:3是素数, pq (3) 令p:4是素数, q:6是素数, pq (4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨
(pq)(pq) (5) p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年,
(2) “如果 p, 则 q” 有很多不同的表述方法：
若p，就q
只要p，就q
p仅当q
只有q 才p
除非q, 才p 或 除非q，否则非p，…．
(3) 当 p 为假时，pq恒为真
(4) 常出现的错误：不分充分与必要条件
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蕴涵联结词的实例
例4 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服.
命题及其分类 联结词与复合命题 命题公式及其赋值
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1.1 命题与联结词
命题与真值 命题：判断结果惟一的陈述句 命题的真值：判断的结果 真值的取值范围：真与假 真命题与假命题
注意： 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题
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悖论
如果有一个句子B，如果承认B，则可以推出非B成立； 反之，如果承认非B，又可推出B成立。 例子： 1、我正在说假话。 2、罗素的理发师悖论。 3、克里特人伊壁孟德：所有的克里特人都是撒谎者。 悖论不是命题！ ✓ 悖论的共同特征： 论断者属于论断主体集。
例5 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 0 (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续.
(pq)(pq) (1)—(3) 为相容或 (4)—(5) 为排斥或 合取和析取如何记忆？
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蕴涵联结词
定义1.4 设p, q为两个命题，复合命题“如果p, 则q”称作p与q的 条件式，记作pq，并称p是条件式的前件，q为条件式的后件， 称作条件联结词. 规定：pq为假当且仅当p为真q为假.
(1) pq 的逻辑关系：q为 p 的必要条件
复合命题符号化：由常量和联结词组成的公式
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否定、合取、析取联结词
定义1.1 设 p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式，记作p，符号称作否定联结词. 规定p 为真当且仅当p为假.
定义1.2 设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”(或“p与 q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词. 规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真.
定义1.3 设p, q为两个命题，复合命题“p或q”称作p与q的 析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词. 规定p∨q为假当 且仅当p与q同时为假.
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合取联结词的实例
例2 将下列命题符号化. (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) 吴颖虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学.
离散数学
云南大学软件学院 任课教师：谢仲文
2013年秋季学期
1
绪论散数学？ 为什么要学习离散数学？ 怎样学习离散数学？ 课程要求与考试
2
教材
主教材： 1、郝林等编著. 离散数学. 北京: 科学出版社,
2012年5月 参考书目： 2、屈婉玲等编著.离散数学. 北京: 高等教育出版
社，2008年3月 3、左孝凌等编著. 离散数学. 上海: 上海科学技
术文献出版社, 2004年1月
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第一部分 数理逻辑
问题 什么是数理逻辑？（符号化+推理规则） 经典数理逻辑和现代数理逻辑 主要内容 命题逻辑 谓词逻辑 推理与证明技术
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第一讲 命题逻辑的基本概念
主要内容 命题与联结词
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0 0
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自学内容
课本P8—P9： 四种次重要联结词
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小结
本小节中p, q, r, … 均表示命题.
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合取联结词的实例
解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明 (1) pq (2) pq (3) pq (4) 设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生
pq (5) p:张辉与王丽是同学
(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)—(5) 要求分清 “与” 所联结的成分
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析取联结词的实例
例3 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.
1、判断它是否为陈述句；
2、判断它是否有唯一的真值。
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命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题
简单命题符号化：命题常量
用小写英文字母 题
p,
q,
r,
…,
pi,
qi,
ri
(i1)表示简单命
用“1”或“1”表示真，用“0”或“0”表示假
例如2，令 p： 是有理数，（ p 的真值为0）
q：2 + 5 = 7，（ q 的真值为1）
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命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 2是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
(3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪.
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
判断给定句子是否为命题的方法和步骤：