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六年级下册数学试题-05讲 数论—整除(无答案)全国通用

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⎧ ( ) c a , c b ⇒ c (a + b )或c (a - b ); (2)b a , c b ⇒ c a . 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪(3)bc a ⇒ b a , c a ;(4)b a , c a 且（b , c ）= 1 ⇒ bc a ; ⎪整⎪性质⎨ ⎪除⎨ ⎪ ⎪(5)a b ⇒ ap bp ( p ≠ 0); (6)a b 且c b ⇒ ac bd . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎪特征： 2 / 5； ⎪整除的应用. 4 / 25； 8 /125； 3 / 9； 11； 7 /11/13.⎩⎧性质： ⎪ ⎪ ⎪奇偶⎨数的奇偶分析及应用： ⎪判断，反正： ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎧整数分拆中的最值问题. ⎪ ⎪ ⎪极值（最大最小离散）⎨面积： ⎪和一定，差小乘积大；积一定，差小和小. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧性质： ⎪ 数 ⎧枚举法： ⎪短除法： 论 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ (一)⎪⎧因数： ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪公因数： ⎪ ⎪分解质因数： ⎪ ⎪⎪最大公因数： ⎪ ⇒ ⎪ ⎪ ⎪⎨倍数： ⎬ ⎨方法⎨辗转相除法： ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪公式法： ⎪⎪公倍数： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪求分数的最大公约数： ⎪⎪⎩最小公倍数： ⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎩求分数的最小公倍数： ⎪ ⎪因数个数： ⎩ ⎪ ⎪最大公因数与最小公倍数的关系：⎪ ⎪质数、合数⎧判断质数： ⎨ ⎪ ⎪ ⎩常用的100以内的质数 ⎪ ⎧质因数个数、和、积： ⎪分解质因数⎨ ⎩乘积末尾0的个数： 10 = 2 ⨯ 5⎧平方数性质： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪平方数、个位规律⎨判定法： ⎪ ⎪⎩⎪个位规律： ⎩ 第五讲 数论模块（一）⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧概念： ⎪ ⎪ ⎪⎧带余除法： ⎪ ⎪ ⎪ ⎧(1)a + b ≡ p + p ； 1 2 ⎪ > p , a - b ≡ p - p ； ⎧当p ⎫⎪(2)a - b ⇒ ⎨ ⎪ 1 2 1 2 ⎧如果a ≡ p ，b ≡ p ⎪ ⎪带余性质⎨ 1 2 当 p < p , a - b ≡ p - p + m ⎬⎨ ⎩ 1 2 1 2 ⎪ ⎩(mod m )，那么 数 ⎭⎪(3)a ⨯ b ≡ p ⨯ p ； ⎪ ⎪ 1 2 论 ⎨ （⎪⎩ 4）如果a ≡ b (mod m ),那么m a - n . (二)⎪⎪中国剩余定理：余1律 ⎪ ⎪升级满足法：前几级得数 ≡ 前几级公倍数 ≡ 本级余数(mod 本级数). ⎪⎪进制数：⎪⎩数位与位置：整除本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。

另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。

一．整除——约数和倍数一般地，如a、b、c 为整数，b≠0且a÷b=c,即整数a 除以b（b 不等于0），除得的商c 正好是整数而没有余数（或者说余数为0）,我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a），记作b︱a.否则，称之为a 不能被b 整除（或者说b 不能整除a），记作b a.特别的，注意0÷b＝0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数．还有a÷1＝a，所以说 1 能整除任何整数，1 是任何整数的约数．显然，1 能整除任意整数，任意整数都能整除 0．因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数．如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的约数。

整除——在自然数范围内两个数相除，除的商是整数而没有余数的情形。

除尽——两个数相除，所得的商是整数或有限小数。

整除是除尽的一种特殊情况。

除不尽——一个整数除以另一个非零自然数，得到一个无限小数时的情形。

二．数的整除性质（设a，b，c 均为非零整数）性质 1：如果 a、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。

即：如果 c｜a，c｜b，那么 c｜（a±b）。

例如：如果 2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。

性质 2：如果 b 与c 的积能整除 a，那么 b 与c 都能整除 a.即：如果 bc｜a，那么 b｜a，c｜a。

性质 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和c 互质，那么 b 与c 的积能整除 a。

即：如果 b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么 bc｜a。

例如：如果 2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。

即：如果 c｜b，b｜a，那么 c｜a。

例如：如果 3｜9，9｜27，那么 3｜27。

性质 5：如果 b 能整除 a，那么 bm 也能整除 am．即：b｜a，那么 bm｜am（m 为非0 整数）；性质 6：如果 b 能整除 a，且 d 能整除 c，那么 bd 也能整除 ac．即：b｜a ，且 d｜c ，那么 bd｜ac；性质 7：a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除。

附加性质：①．若c|b，b|a，则c|a．②．若b|a，则bc|ac③．若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb④．若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c⑤．若b|ac，而b 为质数，则b|a，或b|c⑥．(a－b)|(a n－b n)(n∈N)，(a＋b)|(a n＋b n)(n 为奇数) [和/差的整除性] [积的整除性] [积的整除性] [整除的传递性][整除周期性]三.数的整除特征①能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括 0）的整数，必能被 2 整除；另一方面，能被 2 整除的数，其个位数字只能是偶数（包括 0）.下面“特征”含义相似。

②能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。

③能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。

④能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为 100 是 4 与 25 的倍数，所以 1800 是 4 与 25 的倍数.又因为4｜64，所以1864 能被4 整除.但因为25 64，所以1864 不能被25 整除.⑤能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。

例如：29375＝29000＋375，因为 1000 是8 与125 的倍数，所以 29000 是8 与125 的倍数.又因为125｜375，所以29375 能被125 整除.但因为8 375，所以8 29375。

⑥能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。

例如：判断 123456789 这九位数能否被 11 整除？解：这个数奇数位上的数字之和是 9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是 8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11 5，所以11 123456789。

再例如：判断 13574 是否是 11 的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为 0 是任何整数的倍数，所以 11｜0.因此 13574 是 11 的倍数。

⑦能被 7（11 或 13）整除的数的特征（方法一）：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或13）整除。

例如：判断 1059282 是否是 7 的倍数？解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数.因为 1059-282＝777，又 7｜777，所以 7｜1059282.因此 1059282 是 7 的倍数。

再例如：判断 3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为2 和821 两个数，因为 821—2＝819，又 13｜819，所以 13｜2821，进而 13｜3546725.能被 7、11、13 整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被 7 整除(即qponm⋯cba 能被 7、11、13 整除，7、11、13 | cba -qponm⋯或7、11、13 | qponm⋯－cba )；qponm⋯cba 表示这是一个多位数，而不是 q 与p、o、c、b、a 等数的乘积。

⑧能被 7（11 或 13）整除的数的特征（方法二）：3 位一截法⑨能被9…9 整除的数的特征：n 位一截法⑩对于合数，我们先把合数分解质因数，再一个一个的考察．这样就化归为质数整除问题。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）2、5家族整除性质规律：(21 )2 ⨯ 5(51 ) = 10=1⨯101 ---------------看最后一位(22 )4 ⨯ 25(52 ) = 100=1⨯102 -----------看后两位(23 )8⨯125(53 ) = 1000=1⨯103 --------看后三位...(2n )2n ⨯ 5（n 5n ）=1⨯10n -----------------看后n 位3、9 家族规律：（弃“3”弃“9”原理）整除的判别法：设整数 N ＝ a n a n -1 a 2a 1①．2|a 1 ⇔ 2|N ， 5|a 1 ⇔ 5|N②．3|a 1＋a 2＋…＋a n ⇔ 3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ⇔ 9|N ③．4| a 2 a 1⇔ ⇔ 25|N4|N 25| a 2 a 1 ⇔ 8|N ⇔ 125|N④．8| a 3a 2a 1 125| a 3a 2a 1 a 4 － a 3a 2a 1 | ⇔ 7|N ⑤．7|| a n a n -1⑥．11|| a n a n -1a 4 － a 3a 2a 1 | ⇔ 11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ⇔ 11|Na 4 － a 3a 2a 1 | ⇔ 13|N⑧．13|| a n a n -1 推论：三个连续的整数的积能被 6 整除．【例题】例 1：下面有 9 个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。

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六年级下册数学培优讲义- 数论.整除问题 (ABC级)(解析版)全国通用

六年级下册数学培优讲义- 数论.整除问题 (ABC级)(解析版)全国通用

数的整除知识框架一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0）,a被b除的余数为零时（商为整数）,则称a被b整除或b整除a,也把a叫做b的倍数,b叫a的约数,记作b|a,如果a被b除所得的余数不为零,则称a不能被b整除,或b不整除a,记作b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数,那么这个数能被9整除；6.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。

7.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推。

8.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。

如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

六年级数学整除的性质试题答案及解析

六年级数学整除的性质试题答案及解析

六年级数学整除的性质试题答案及解析1.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?【答案】320【解析】方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，有，，，的数字和分别为24+A，26+B，28+C，30+D，对应的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被23×32×5×7＝8×9×5×7＝2520整除．用1993000试除，1993000÷2520＝790……2200，余2200可以看成不足2520－2200＝320，所以在末三位的方格内填入320即可．2.用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少?【答案】768768【解析】因为168＝23×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由上题知形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数．至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解．当然验证的确满足．所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数了．3.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．【答案】(1)8、9 (2)60060【解析】(1)列出这14个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15．注意到如果这个数不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，显然超过两个自然数；类似这种情况的还有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；而不能被7整除，那么一定不能被14整除，而这两个自然数不连续；而不能被12整除，那么4和3中至少有一个不能整除1号所说的自然数，而12与3、4均不连续；类似这种情况的还有10(对应2和5)；14(对应2和7)；15(对应3和5)；这样只剩下8、9、11、13，而连续的只有8、9．所以说的不对的两位同学的编号为8、9这两个连续的自然数．(2) 由(1)知，这个五位数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．所以[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=22×3×5×7×11×13＝60060．所以1号写出的五位数为60060．4.试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．【答案】27720，55440，83160，110880，138600及166320．【解析】取六个数1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到15个和：1+2，1+3，…，5+6．这15个和的最小公倍数是：23×32×5×7×11＝27720．把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600及166320．这六个数就满足题目得要求．5.975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【答案】20【解析】975含有2个质因数5，935含有1个质因数5，972含有2个质因数2．而975×935×972×□的乘积最后4个数都是0．那么，至少需要4个质因数5，4个质因数2．所以，□至少含有1个质因数5，2个质因数2，即最小为5×2×2＝20．6.如图，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零?【答案】10【解析】如下图，我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数，除第一行外，每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数2、5个数的和．所以，最后一行的一个数含有10个质因数2，15个质因数5．而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾含有10个连续的0．7.由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【答案】875413【解析】根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22…等情况，根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是a-b不可能为22，所以a-b=0，解得a=b=14，则容易排列出最大数875413.8.从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【答案】14【解析】首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有个0．9. 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【答案】45【解析】因为，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．10.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少？【答案】1331【解析】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是11.如果能被6整除，那么也能被6整除．【答案】略【解析】∵∴2|∴2|e∴6|3e∵3|∴3|a+b+c+d+e∴6|2(a+b+c+d+e)∴6|2(a+b+c+d+e)-3e∴6|2（a+b+c+d）-e12.两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求和.【答案】4【解析】考虑到，而是奇数，所以必为8的倍数，因此可得；四位数2752各位数字之和为不是3的倍数也不是9的倍数，因此必须是9的倍数，其各位数字之和能被9整除，所以.13.一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(如，则就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和.【答案】999999【解析】方法一：显然，不小于4，原等式变形为化简得，当时，，于是为．同理．，6，7，8，9，可以得到为，，，，.所有的和是．方法二：显然，不小于4，若，为末尾数字，所以；为的末2位，所以；为的末3位，所以；为的末4位，所以；为的末5位，所以；于是为．同理．，6，7，8，9，可以得到为，，，，.所有的和是．14.一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【答案】9867【解析】设这个4位数是，则新的4位数是.两个数的和为,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867．15.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?【答案】1988,1889,8918,8819【解析】现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：偶位奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：，，能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．16.从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？【答案】108【解析】被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．17.某三位数和它的反序数的差被99除，商等于______与______的差；【答案】a-c【解析】本题属于基础型题型。

六年级下册数学试题-小升初专题训练：第05讲-行程问题2(无答案)人教版

六年级下册数学试题-小升初专题训练：第05讲-行程问题2(无答案)人教版

第五讲行程问题例1.当甲在60 m赛跑中冲到终点时，比乙领先10 m，比丙领先20 m，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少?例2.甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。

出发时，甲、乙的速度比是5：4；相遇后，甲的速度减少20%，这样当甲到达B地时，乙离4地还有15千米。

问A、B两地相距多少千米？例3.①一辆汽车从甲地到乙地，如果把车速提高20%可比原来时间提早1小时到达；若以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可提前40分钟到达。

问甲、乙两地相距多少千米？②一辆汽车从甲地运货去乙地，原计划8小时到达，当行驶了360千米时，由于路况不好，速度比原计划减慢了20%，结果比原计划推迟了半小时到达。

问甲、乙两地相距多少千米？例4. 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高50%，出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好行驶到甲、乙两地的中点。

问小轿车在甲、乙两地往返一次需要多长时间？例5.米老鼠和唐老鸭进行越野赛跑，按原定的速度，它们目时出发以后，米老鼠将比唐老鸭早到终点1分钟，在比赛前，米老鼠喝兴奋剂使自己的速度提高了20%，唐老鸭穿上了一种特殊的魔力鞋使自己的速度提高了25%，在比赛中魔力鞋发生故障原地修理了2分钟，最后比赛结果为：唐老鸭比米老鼠早到1分钟，那么唐老鸭跑完全程实际一共用了多少分钟？例6.从甲市到乙市有一条公路，它分成三段，在第一段路上，汽车速度是40千米/时；在第二段路上，汽车速度是90千米／时；在第三段路上，汽车速度是50千米／时。

已知第一段路的长恰好是第三段路的2倍，现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，l小时20分后，在第二段路的13处（从甲到乙方向的13处）相遇。

那么甲、乙两市相距多少千米？例7.小明和小亮分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，小明速度是小亮的56，两人分别到达乙地与甲地后，立刻返回各自的出发地。

【全国通用】六年级下册数学试题-数论.余数问题(ABC级)(解析版)

【全国通用】六年级下册数学试题-数论.余数问题(ABC级)(解析版)

一、带余除法的定义及性质1、 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、 余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2. 余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3知识框架余数问题－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。