2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】{}0,1N= M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N=,再利用交集定义得出M ∩N.2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π【答案】C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D【解析】【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5. 已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又 C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴= ，即2a b =. 又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ． [ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-32 , 32] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)31sin cos sin 3sin()226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈- ，()f x ∴值域为[-3,3].【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC= 1则___BC =.A.3 B.7 C.22 D.23【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，解得3BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B ∠的外角.8．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b a的最小值为A ．162 B.82 C.84 D.44【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m m x x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==. 依照题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++ ，min ()82b a ∴=.ABC【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a>，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】14xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. x821y m =+2log y x=y m=1OAB C D11.如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.【答案】6【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知,1(12)(3-)(3), 6.PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，从而求得圆的半径.(二)必做题（12~16题） 12.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____.【答案】10 【解析】2(3)zi =+=29686i i i ++=+，228610z =+=.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用22z a b =+求得.13.( 2x -1x)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】-160 【解析】( 2x -1x)6的展开式项公式是6631661C (2)()C 2(1)r r r r rr r r T x x x---+=-=-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入1x =-,n =3,则输出的数S = .ABP OABPOC D【答案】4- 【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. （1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，332），则ω= ; （2）若在曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，332）时 33cos,362πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω=⋅= ，设,A B 的横坐标分别为,a b .设曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ=== . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16.设N =2n（n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i分成2i段，每段2iN 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置. （1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置； （2）当N=2n（n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量1至4件 5至8件 9至12件 13至16件17件及以上顾客数（人） x30 25 y10 结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率） 【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ========= 201101( 2.5),(3).100510010p X p X ====== X 的分布为X 1 1.5 22.5 3P320 310 1415 110X 的数学期望为 33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. 18.（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点. （Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积.【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC=，90 5.ABC AC ∠== ,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂ 平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接 由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BGAE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BFPBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠= 知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以222168525,.525AB BG AB AG BF BG =+====于是85.5PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为1185128516.33515V S P A =⨯⨯=⨯⨯=解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB PA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=- 由(4,0,),PB h =-故222160000.162516h h hh -++++=⋅+⋅+解得855h=.又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S=⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为118512851633515VS PA =⨯⨯=⨯⨯=. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，…… （1） 若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式.（2） 证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列.【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()(B n A n C n B n-=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=-（Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n n q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()B n q A n C n q B n==， 于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121.n n a qa a a ++-=- 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=.因为0na >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x kx k x⨯====-+期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到 212()(),T x T x k=于是（1）当2k=时，12()(),T x T x = 此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得 4009x =.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =. （2）当2k>时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()max (),()f x T x T x = {}1max (),()T x T x ≥1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭.由函数1(),()T x T x的单调性知，当100037550x x=-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而 此时完成订单任务的最短时间大于25011. （3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知，当2000750100x x=-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x=-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是0254 3.1k y kk ++=+整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x=-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22.（本小题满分13分） 已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln xa a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111l n 1a a a-≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t=时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--，则()1t F t e '=-.当0t<时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t=，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而21()21()10a x x ea x x ---->，12()12()10,a x x ea x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ> 因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c是唯一的，且21211ln()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>.综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x)≥1恒成立转化为min ()1f x ≥，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学 （理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={}1,0,1-，N={}2|x x x ≤，则M∩N=（ Ｂ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1- 解：∵2(1)0x x x x ≤⇒-≤，∴N={ x |0≤x ≤1}，则M∩N={0，1}，故选B ． 2．命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ C ）A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ． 若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠D ． 若tan 1α≠，则4πα=解：因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以其逆否命题是“若tan 1α≠，则4πα≠”， 故选C ．3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ D ）解：易知其俯视图可能是A ，B ， C ，也可反过来看D ，其正视图和侧视图不同， 故选D ． 【再解】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱 或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该 几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的 正视图上面应为如图的矩形．4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据 一组样本数据（x i ，y i ）（i =1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ D ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 解：易知A ，B ， C 是对的，而对于D 错在“必为”， 故选D ．【再解】由回归方程为 y =0．85x -85．71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．5．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ A ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -= 解：由焦距为10 得210c =，∴5c =；点P （2，1）在C 的渐近线by x a=上，则12b a =，检验答案知A 对，故选A ．或2a b =，又222c a b =+，a ∴=b = C 的方程为221205x y -=． 6．函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（ Ｂ ）A ． [ -2 ，2]B ．[C ．[-1，1 ]D ．[解：∵3()sin cos()sin 62f x x x x x π=-+=)6x π=-，∴[y ∈，故选B ．AC7．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则BC =（ A ）ABC ．D 解：∵12cos()AB BC a B π⋅==-，则1cos 2B a=-， 又222324cos a a B =+-， ∴23a =，则a =A ． 8．已知两条直线1l ：y m =和2l ：821y m =+ (m ＞0)，1l 与函数2|log |y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2|log |y x =的图像从左至右相交于点C ，D．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ．当m 变化时，ba的最小值为（Ｂ ） A ．B ．C ．D ．解：在同一坐标系中作出y m =，821y m =+(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m m x x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==． 依题意得82182122,22m mm m a b +--+=-=-，8218212222m mmm b a+--+-=-8218212222m m mm +--+-=-88212182188212122(22)222222m m mm mm mmm m ++--+----++--==--82122m m+=8212m m ++=．8141()121222m mm m +=++-++ 114322≥-=，∴min ()b a =B ．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：112x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线C 2：sin 3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a > ) 有一个公共点在x 轴上，则a = ．解：化为普通方程得C 1：23x y +=、C 2：22219x y a +=， 将其交点3(,0)2代入曲线C 2得294a =，∴32a =． 10．不等式21210x x +-->的解集为 ． 解：①当12x <-时，212(1)30x x --+-=->无解； ②当112x -≤≤时，212(1)410x x x ++-=->，解得14x >，则有114x <≤； ③当1x >时，212(1)30x x +--=>恒成立； 综上得原不等式的解集为1{|}4x x >．11．如图2，过点P 的直线与O 相交于A ，B 两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则O 的半径等于 ． 解：取AB 的中点C ，连结OA 、OB 、OC ，由勾股定理得OC =2221)6r =+=，故O【再解】设PO 交O 于点C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即1(12)(3-)(3)r r ⨯+=+，∴r =全解全析 曾维勇(二)必做题（12~16题）12．已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|= ． 解：22|||(3)||3|10z i i =+=+=．或2(3)z i =+=29686i i i ++=+，∴10z ==．13．6的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）解：因为()663166(12r rrr r r rr T C C x ---+==-，由题意知30r -=， 所以3r =，常数项为33462820160T C =-=-⨯=-．14．如果执行如图3所示的程序框图，输入1,3x n =-=，则输出的数S= ． 解：3n =－1得i =2，6213S =-++=-；循环得i =1，3115S =++=；i =0，5014S =-++=-，退出循环，故4S =-．15．函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，则ω= ； （2）若在曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ．解：（1）∵()cos()f x x ωωϕ'=+，将6πϕ=，Pcos 6πω=，∴ω=3； （2）借助于（1）()3cos(3)6f x x π'=+，有54(,0),(,3),(,0),9189A B C πππ- 由4994393cos(3)sin(3)sin sin 266229x x ππππππππ+=+=-=-⎰， 知曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域的面积为2；14()32992ABC S πππ∆=⨯-⨯=， 则该点在△ABC 内的概率为2ABC S P ∆==4π． 【再解】或由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω∆=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b ． 设曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ，则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ∆===． 16．设2(,2)nN n N n *=∈≥，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1，2，…，N 的N个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 个数和后2N个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i≤n -2时，将P i 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段作C 变换，得到P i+1．例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置． （1）当N=16时，x 7位于P 2中的第 个位置；（2）当N=2n （n≥8）时，x 173位于P 4中的第 个位置． 解：（1）当N=16时，012345616P x x x x x x x = ，可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ；113571524616P x x x x x x x x x = ，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ；2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) ，故x 7位于P 2中的第6个位置；（2）方法同（1），可由892,2,N = 归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2012年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.在复平面内复数z=i(1−2i)对应的点位于()A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 设集合P={x∈R|x>2}，M={x∈R|x>a, a∈R}，则“a=1”是“P⊆M”的（）A 必要不充分条件B 充要条件C 既不充分也不必要条件D 充分不必要条件3. 己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如下图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为√5，则该几何体的体积是（）A 43π B 2π C 38π D 103π4. 某校对高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N(450, 1302)，若ξ在(0, 280)内取值的概率为0.107，则该校1400名考生中总分为620分以上的学生大约有（）人（结果四舍五入）．A 100人B 125人C 150人D 200人5. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是163，则判断框内应填入的条件是（）A i<4B i>4C i<5D i>56. 与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2, 1)的双曲线方程是()A x24−y2=1 B x22−y2=1 C x23−y23=1 D x2−y22=17. 如图所示为函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f(−1)=( )A 2B √3C −√3D −28. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0) ，若方程f(x)＝x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1]B (0, 1)C [0, +∞)D (−∞, 1)二．填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9. 在平面直角坐标系下，曲线C 1：{x =−2t +2y =−t （t 为参数），曲线C 2:{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数），则曲线C 1、C 2的公共点的个数为________．10. 已知实数x 、y 、z 满足x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为________．11. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 的延长线交于点C ，若CD =√3，CB =1，则∠ACE =________． 12. 在(x −3)5的展开式中，含x 3的项的系数等于________． 13. 计算：lg 14−lg25=________．14. 如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC // AD ，AB ⊥AD ，AB =4，BC =2，AD =4，若P 为CD 的中点，则PA →⋅PB →的值为________．15. 已知不等式组{y ≤xy ≥−x x ≤2表示的平面区域为M ，直线y =x 与曲线y =12x 2所围成的平面区域为N ．（1）区域N 的面积为________；（2）现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．16. 设a1，a2，…，a n是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．（1）若n=4，则a1d=________；（2）所有数对(n, a1d)所组成的集合为________．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的．房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．假定燕子飞向各扇窗子是等可能的．（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第η次试飞时飞出了房间，求试飞次数η的分布列及其数学期望．18. 等差数列{a n}满足3a5=5a8，S n是数列{a n}的前n项和．（1）若a1=1，当S n取得最大值时，求n的值；（2）若a1=−46，记b n=S n−a nn，求b n的最小值．19. 如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB=√2的等腰直角三角形，B1A1 // BA，B1A1=12BA．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．20. 如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30∘，已知S的身高约为√3米（将眼睛距地面的距离SA按√3米处理）．（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由．21. 已知直线l:x=my+1过椭圆C：x2a2+y2b2=1的右焦点F，抛物线x2=4√3y的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x =4上的射影依次为点D ，K ，E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且MA →=λ1AF →，MB →=λ2BF →，当m 变化时，证明：λ1+λ2=−83；（3）连接AE ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)={−x 3+x 2+bx +c ，x <1alnx,x ≥1的图象过坐标原点O ，且在点（−1, f(−1)）处的切线的斜率是−5． （1）求实数b ，c 的值；（2）求f(x)在区间[−1, 2]上的最大值；（3）对任意给定的正实数a ，曲线y =f(x)上是否存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？说明理由．2012年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. A2. D3. A4. C5. C6. B7. A8. D9. 0 10. 11411. 30∘ 12. 90 13. −2 14. 5 15. 23；16．16. −4，1；{(4, −4), (4, 1)}17. 解：（1）由题设条件知，燕子每次试飞出了房间的概率为14 ∴ 燕子恰好在第2次试飞时出了房间的概率为P =(1−14)×14=316（2）由题设条件知P(η=1)=14，P(η=2)=34×13=14，P(η=3)=34×23×12=14，P(η=4)=34×23×12×1=14∴ 试飞次数η的分布列如下：∴ 试飞次数η的数学期望为E(η)=1×14+2×14+3×14+4×14=52． 18. 解：（1）设{a n }的公差为d ，则由3a 5=5a 8，得3(a 1+4d)=5(a 1+7d)，∴ d =−223a 1=−223． ∴ S n =na 1+n(n−1)2×(−223a 1)=−123n 2+2423n =−123(n −12)2+14423．∴ 当n =12时，S n 取得最大值．…（2）由（1）及a 1=−46，得d =−223×(−46)=4， ∴ a n =−46+(n −1)×4=4n −50， S n =−46n +n(n−1)2×4=2n 2−48n ．∴ b n =Sn−an n=2n2−52n+50n=2n +50n−52≥2√2n ⋅50n−52=−32，当且仅当2n =50n，即n =5时，等号成立．故b n 的最小值为−32．…19.解法1：（1）证明：取AB 的中点O ，连接A 1O ，OC ． ∵ AC =BC ，∴ CO ⊥AB ，∵ 四边形A 1OBB 1为平行四边形，∴ BB 1= // A 1O ∵ BB 1= // CC 1，∴ A 1O = // CC 1又由CC 1⊥面ABC 知CC 1⊥CO ，∴ 四边形A 1OCC 1为矩形， ∴ A 1C 1⊥A 1O ，A 1C 1⊥AB…又∵ A 1O ∩AB =C ，∴ C 1A 1⊥平面ABB 1A 1… （2）解：作BD ⊥直线AA 1于D ，连接C 1D ．由（1）知平面AA 1C 1⊥平面ABB 1A 1，从而BD ⊥平面AA 1C 1，∴ ∠BC 1D 即为直线BC 1与平面AA 1C 1所成的角．… ∵ A 1O =1，AO =√22，∴ AA 1=√3√2于是BD AB=sin∠BAA 1=A 1O AA 1，∴ BD =√3∴ sin∠BC 1D =BDBC 1=√63， ∴ 直线BC 1与平面AA 1C 1所成的角的正弦值为√63．…解法2:CA ，CB ，CC 1两两垂直，且CA =CB =CC 1=1，以C 为原点，以CA 为x 轴建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0),B(0,1,0),C 1(0,0,1)，A 1(12,12,1)，所以AC 1→=(−1,0,1)，C 1A 1→=(12,12,0)，AA 1→=(−12,12,1)，AB →=(−1,1,0)．…（1）证明：∵ C 1A 1→⋅AA 1→=0，C 1A 1→⋅AB →=0， ∴ C 1A 1⊥AA 1，C 1A 1⊥AB ， 又∵ AA 1∩AB =A ， ∴ C 1A 1⊥平面ABB 1A 1…（2）设面A 1C 1C 的法向量为n →=(x,y,z)， 由n →⋅AC 1→=0，n →⋅C 1A 1→=0，可得{−x +z =012x +12y =0，令x =1，则n →=(1,−1,1)… 又BC 1→=(0,−1,1)，设直线B 证明C 1与平面AA 1C 1所成的角为θ，则sinθ=|cos⟨n →，BC 1→>|=||n →||BC 1→|˙|=√3×√2=√63．… 20. 解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S ，作SC ⊥OB 于C ，依题意∠CSB =30∘，∠ASB =60∘． 又SA =√3，故在Rt △SAB 中，可求得BA =SA tan30∘=3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC =3，∠CSO =30∘，在Rt △SCO 中OC =SC ⋅tan30∘=√3， 又BC =SA =√3，故OB =2√3，即立柱的高度为2√3米．…（2）如图，以O 为原点，以水平方向向右为x 轴正方向建立平面直角坐 标系．设M(cosα, sinα)，α∈[0, 2π)， 则N(−cosα, −sinα)，由(I)知S(3,−√3)．…故SM →=(cosα−3,sinα+√3)，SN →=(−cosα−3,−sinα+√3)，∵ SM →⋅SN →=(cosα−3)(−cosα−3)+(sinα+√3)(−sinα+√3)=11|SM →|⋅|SN →|=√(cosα−3)2+(sinα+√3)2⋅√(−cosα−3)2+(−sinα+√3)2=√13−(6cosα−2√3sinα)⋅√13+(6cosα−2√3sinα)=√169−[4√3cos(α+π6)2=√169−48cos 2(α+π6)由α∈[0, 2π)知|SM →|⋅|SN →|∈[11,13]…所以cos∠MSN =|SM →|⋅|SN →|˙∈[1113,1]，易知∠MSN 为锐角，故当视角∠MSN 取最大值时，cosθ=1113．… 另解：∵ cos∠MOS =−cos∠NOS ∴MO 2+SO 2−SM 22MO⋅SO=−NO 2+SO 2−SN 22NO⋅SO于是 得SM 2+SN 2=26 从而cosθ=SM 2+SN 2−MN 22SM⋅SN≥SM 2+SN 2−MN 2SM 2+SN 2=111321. （1）解：椭圆右焦点F(1, 0)，∴ c =1， 抛物线x 2=4√3y 的焦点坐标(0, √3)，∴ b =√3 ∴ b 2=3∴ a 2=b 2+c 2=4 ∴ 椭圆C:x 24+y 23=1…（2）证明：由题意，m ≠0，M(0,−1m )，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)由{x =my +1x 24+y 23=1⇒(3m 2+4)y 2+6my −9=0，∴ △=(6m)2+36(3m 2+4)=144(m 2+1)>0∴ y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1⋅y 2=−93m 2+4…又由MA →=λ1AF →，MB →=λ2BF →得：λ1=−1−1my 1，λ2=−1−1my 2∴ λ1+λ2=−2−1m ⋅y 1+y 2⋅=−83…（3）解：m =0时，得N(52, 0)，猜想：m 变化时，直线AE 与BD 相交于定点N(52, 0)，由（2）知A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)于是 D(4, y 1)，E(4, y 2)， 先证直线AE 过定点N ：直线AE 的方程为：y −y 2=y 2−y 14−x 1(x −4)当x =52时y =y 2+y 2−y 14−x 1(52−4)=3(y 2+y 1)−2my 1y 22(4−x 1)=3×−6m 3m 2+4−2m⋅−93m 2+42(4−x 1)=0所以，点N 在直线AE 上，同理可得点N 在直线BD 上． 即m 变化时，直线AE 与BD 相交于定点N(52, 0)…22. 解：（1）当x <1时，f(x)=−x 3+x 2+bx +c ，则f ′(x)=−3x 2+2x +b ． 依题意得：{f(0)=0f′(−1)=−5，即{c =0−3−2+b =−5解得b =c =0（2）由（1）知，f(x)={−x 3+x 2，x <1alnx,x ≥1①当−1≤x <1时，f′(x)=−3x 2+2x =−3x(x −23)，令f ′(x)=0得x =0或x =23当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：又f(−1)=2，f(23)=427，f(0)=0．∴ f(x)在[−1, 1)上的最大值为2． ②当1≤x ≤2时，f(x)=alnx ．当a ≤0时，f(x)≤0，f(x)最大值为0； 当a >0时，f(x)在[1, 2]上单调递增．∴ f(x)在[1, 2]最大值为aln2． 综上，当aln2≤2时，即a ≤2ln2时，f(x)在区间[−1, 2]上的最大值为2；当aln2>2时，即a >2ln2时，f(x)在区间[−1, 2]上的最大值为aln2．（3）假设曲线y =f(x)上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧． 不妨设P （t, f(t)）(t >0)，则Q(−t, t 3+t 2)，显然t ≠1 ∵ △POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴ OP →⋅OQ →=0即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0(∗)若方程(∗)有解，存在满足题设要求的两点P 、Q ； 若方程(∗)无解，不存在满足题设要求的两点P 、Q ．若0<t <1，则f(t)=−t 3+t 2代入(∗)式得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0 即t 4−t 2+1=0，而此方程无解，因此t >1．此时f(t)=alnt ， 代入(∗)式得：−t 2+(alnt)(t 3+t 2)=0即1a =(t +1)lnt(∗∗) 令ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥1)，则ℎ′(x)=lnx +1x +1>0∴ ℎ(x)在[1, +∞)上单调递增，∵ t >1∴ ℎ(t)>ℎ(1)=0，∴ ℎ(t)的取值范围是(0, +∞)．∴ 对于a>0，方程(∗∗)总有解，即方程(∗)总有解．因此，对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．。
