习
题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）
5
324；（2）α
α
ααcos sin sin cos ．
解（1）
14620532
4=−=；（2）α
αααcos sin sin cos αα22sin cos −=．
2．计算下列三阶行列式．
（1）50
1721
33
2−−；（2）00000d c b a ；（3）2
221
11c b a c b a ；
（4）c
b a b a a
c b a b a a c b a ++++++232．
解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)
()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．
3．用行列式解下列方程组．（1）⎩
⎨
⎧=+=+3532
4y x y x ；
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++8
268
3321321321x x x x x x x x x ；
（3）⎩⎨⎧=−=+0231
3221
21x x x x ；
（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−0
31231
2321
32321x x x x x x x x ．
解（1）75341−==
D ，253421−==D ，33
32
12−==D 所以721==D D x ，7
3
2==D D y ．
（2）2121111
113−==D ，21281161181−==D ，41811611
832−==D ，68
216118
133−==D ；所以111==
D D x ，222==D D
x ，333==D
D x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，3
031
22−==D 所以1321==D D x ，13
3
2==D D y ．
（4）8113230121−=−−−=D ，81
102311
211−=−−−=D ，
81
032101112=−−=D ；
20
13130
1
213=−=D 所以111==
D D x ，122−==D D
x ，333==D
D x ．4．已知x
x x x x x f 211
12)(−−−=，求)(x f 的展开式．
解
x
x
x x x x f 211
12)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x x
x x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式01
0100
=−−−a b b a ．
解
01
0100
22=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习
题 1.2
1．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；
（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．
解（1）逆序数为14；
6
2
4
2
1527364i
t ↓
↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；
3
1
1
624513i
t ↓
↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；
5
54310010435689712i
t ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
（4）逆序数为
2
)
1(−n n ：
2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L
2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．
解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；
（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？
（1）5145342213a a a a a ；
（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．
解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；
（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．
4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；
（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。5.六阶行列式展开式中含有因子23a 的乘积项共有多少项？为什么？
解！5项，因为六阶行列式中每项是六个元素相乘，并且六个元素取自不同行不同列，23a 是取自第二行第三列的元素，所以其余五行从第一、二、四、五、六列里选取出其余的五个元素，共有！
5种取法。6．用行列式定义计算下列行列式．
（1）
0001100000100100
；（2）
d
c b a 000
000000000．解（1）在展开式
43214321)
1(p p p p a a a a ∑−τ
中，
不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=×××−．（2）在展开式
43214321)
1(p p p p a a a a ∑−τ
中，不为0的项取自于a a =11，b a =23，c a =32，d a =44，
而1)1324(=τ，所以行列式值为abcd abcd −=−1)1(．
7.在函数x
x x x x x x f 4124121
02
132)(=的展开式中，4x 的系数是什么？
解)(x f 中含x 因子的元素有x a 211=，x a =21，x a =22，x a =33，x a =41，x a 444=，因此，含有x 因子的元素i ij a 的列标只能取11=j ，212,=j ，33=j ，414,=j .
于是含4
x 的项中元素列下标只能取11=j ，22=j ，33=j ，44=j ，相应的4个元素列标排列只
有一个自然顺序排列1234，故含4x 的项为4044332211(1234)
842)1()1(x x x x x a a a a =⋅⋅⋅−=−τ，
故)(x f 中4x 的系数为8.
