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2011年浙江高考理科和文科数学试卷及答案几msja.Eii 芍绘為WL 曲村快豐畫］fi 即■畫师尿.间时尊if ■析几啊帕■* 里总为楚和杠住nietitin «#迪廿=（I 〕解血觥直可輛曲鮭的HM 方管力叮■一以料心矶。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）一、选择题（1）设函数 若，则实数 （ ） （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数的共轭复数记作i,i 为虚数单位。
若z=1+i,则（ ）（A ） （B ） （C ） （D)3(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （ ）（4）下列命题中错误的是 （ ）（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值为 （ ）（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）6- 2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩>()4f α=α=z (1)z z -+•=3i -3i +13i +250x y +->270x y +->， 0x ≥，0y ≥（7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a>的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。
若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （ ）（A ）232a = （B ） 2a =13 （C ） 212b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地排成一排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （ ）（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45（10）设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax ax bx =+++=+++。
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S （，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98× (81)（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．祝福语祝你考试成功!。
本文作者：苏卫军 苗孟义2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2 2．把复数z的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)z z +⋅= A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．3 3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A ．B ．C ．D ． 4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数,x y 满足不等式组2502700,0.x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩若,x y 为整数，则34x y +的最小值是A ．14B ．16C ．17D ．19 6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= A ．3 B ．3- C ．53 D ．6-7．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2214y x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b = 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是A ．15B ．25C ．35D ．4510．设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈．若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T = 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值为 ． 13．设二项式6()(0)x a x->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若4B A =，则a 的值是 ．14．若平面向量,αβ满足1=a ，1≤β，且以向量,αβ为邻边的平行 四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 ． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公 司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的 公司个数. 若(0)P X =112=，则随机变量X 的数学期望()E X = ．16．设,x y 为实数．若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.(Ⅰ)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈．设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及n S ； (Ⅱ)记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S ,n B ＝11a + 21a +221a +… +121n a -．当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上， 已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =． (Ⅰ)证明：AP BC ⊥；(Ⅱ)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为 直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.21．（本题满分15分）已知抛物线1C ：2x y =，圆2C ：22(4)1x y +-=的圆心为点M ．(Ⅰ)求点M 到抛物线1C 的准线的距离；(Ⅱ)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交 抛物线1C 于,A B 两点，若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.22．（本题满分14分）设函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈．(Ⅰ)若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；(Ⅱ)求实数a 的取值范围，使得对任意的(0,3]x e ∈，恒有2()4f x e ≤成立. 注：e 为自然对数的底数.2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江）试题答案与解读一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADDBCACBD1．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2 答案:选B.解法1：(直接法)当0a ≤时，()4f a a =-=，得4a =-；当0a >时，2()4f a a ==，得2a =，2a =-(舍去).故4a =-或2a =.故选B.解法2：(排除法)当2a =-时，()24f a a =-=≠，排除A,C,D. 故选B.点评：本题主要考查了函数、分段函数的概念，结合分段函数的性质用分类讨论的思想方法进行求解，考查基本运算能力．另外也可以不用动笔，利用排除法就能看出答案．属于容易题． 2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)z z +⋅= A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．3 答案:选A.解法1：(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=-.故选A. 解法2：(1)(2)(1)3z z i i i +=+-=-.故选A.点评：本题主要考查了复数的加法、乘法运算以及共轭复数的概念，计算时要注意运算法则的应用．属于容易题．3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A． B． C． D．答案:选D.解法1：(排除法)选项A，B与正视图不符，选项C与俯视图不符. 故选D.解法2：(直接法)从俯视图看，B和D符合，从正视图看D符合，从侧视图看D符合．故选D.点评：本题主要考查了几何体的直观图与三视图之间的转化关系．属于容易题．三视图是新课程新增内容之一，每年必考，应重视，特别是根据几何体的三视图来还原直观图，从而求几何体的体积或表面积．4．下列命题中错误．．的是A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，lαβ=，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案:选D.解法：如果平面α⊥平面β，设交线为l，则在平面α内与交线l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，则由面面垂直的判定定理知αβ⊥，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易得交线与第三个平面垂直，故C正确；如果平面α⊥平面β，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误. 故选D.点评：本题主要考查了平面垂直的性质定理和判定定理，解题时要结合空间想象，对于各种可能出现的情况进行分析处理，要会找反例(画示意图)，加以肯定或否定，平时在学习中积累这些反例．5．设实数,x y满足不等式组2502700,0.x yx yx y+->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩若,x y为整数，则34x y+的最小值是A．14 B．16 C．17 D．19答案：选B．解法：作出可行域，如图中阴影部分所示，由250270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，点(3,1)A 不在可行域， 因为,x y 为整数，借助网格，易得点(4,1)符合条件， 所以min (34)344116x y +=⨯+⨯=，故选B ．点评：本题主要考查了线性规划问题中的取整问题，解答时一要注意最值的求解，二要注意在最小值(临界)处求符合条件的整点．属于中等题． 6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= A ．3 B ．3- C ．53 D ．6- 答案：选C ． 解法：因为02πα<<，1cos()43πα+=，所以3444πππα<+<，22sin()4πα+=，又因为02πβ-<<，3cos()42πβ-=，所以4422ππβπ<-<，6sin()42πβ-=，所以cos ()2βα+= 1322653cos[()()]cos()cos()sin()sin()4424424423ππβππβππβααα+--=+-++-=⨯+⨯=．故选C ． 点评：本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和差公式的运用，解题时要注意合理地拆角和凑角，注意配凑技巧的运用．属于中等题．7．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：选A ．解法：因为01ab <<，所以,a b 同号，且1ab <．当0,0a b >>时，1a b<；当0,0a b <<时， 1b a >．“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的充分条件．但取1,1a b =-=，显然有1a b<，此时不能推出01ab <<．因此“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的充分而不必要条件．故选A ． 点评：本题结合不等式的性质考查充要条件的判断，要注意逻辑推理和举反例否定相结合，以提高解题的有效性和针对性．属于中等题． 8．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2214y x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b =答案：选C ．解法：如图，设直线AB 与椭圆1C 的一个交点为C (靠近A 的 交点)，则||3aOC =，因为渐近线为2y x =±，所以tan 2COx ∠=， 所以sinCOx ∠=，cos COx ∠=，所以点C 的坐标为，代入椭圆方程得 2222414545a a a b +=，又因为225a b -=，所以212b =．故选C ． 点评：本题在考查双曲线渐近线的基础上考查了直线与椭圆、圆的位置关系，解题时数形结合，要注意利用直线斜率确定点C 的坐标，运用代数方程思想求参数,a b ．属于中等题． 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是A ．15B ．25C ．35D ．45答案：选B ．解法：第一步先排语文书有222A =种排法，第二步排物理书，分成两类：一类是物理书放在 语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选2个进行排列，有2412A =种排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3 种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2(12223)48⨯+⨯⨯=种排法，而5本书全排列共有55A120=种，所以同一科目的书都不相邻的概率是4821205=，故选B ． 点评：本题考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，可以用整体法和间接法进行巧解，对于相邻情况的分析在使用间接法时要注意避免重复．属于中等题．10．设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈．若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T = 答案：选D ．解法1：取0,0,0a b c ===，则3{|()0}S x f x x ===，||1S =，{|()10}T x g x ===，||0T =，因此A 可能成立．取1,0,1a b c ===，则2{|()(1)(1)0}S x f x x x ==++=，||1S =，2{|()(1)(1)0}T x g x x x ==++=，||1T =，因此B 可能成立．取1,0,0a b c =-==，则2{|()(1)0}S x f x x x ==-=，||2S =，2{|()(1)(1)0}T x g x x x ==-+-+=，||2T =，因此C 可能成立．故选D ．解法2：当0a ≠时，方程0x a +=与10ax +=的解互为倒数，方程20x bx c ++=与方程 210cx bx ++=的根互为倒数，则集合,S T 的元素个数不可能出现2个和3个，故选D ．点评：本题结合集合的知识考查函数、零点、方程等内容，解题时要结合一次函数、二次函数、参数可能出现的情况进行分类讨论，采用排除法解题事半功倍．属于难题． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．111213141516 17 0 5 25[,]66ππ 532105(0,1)±11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 答案:填0.解法1：因为函数2()f x x x a =-+为偶函数，所以()()f x f x -=，即2()x x a ---+2x x a =-+， 所以x a x a -+=+，因为x R ∈，所以0a =.解法2：因为函数2()f x x x a =-+为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即111|1|a a --+=-+， 1|1|a a -+=+，所以0a =.点评：本题考查了函数的奇偶性，绝对值的性质，解题时可运用特殊值进行求解，以提高解题的效率．属于容易题．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值为 ．答案:填5.解法：根据程序框图知，第一次循环得3k =，34a =，43b =，a b <；第二次循环得4k =，44a =，44b =，a b =；第三次循环得5k =，54410245625a b ==>==，所以5k =．点评：本题结合两数大小的比较考查程序框图，解题的关键是识图，特别是循环结构的使用．属于容易题．13．设二项式6()(0)x a x->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若4B A =，则a 的值是 ． 答案:填2.解法：由于3662166()r r rr r rr T C xC a x --+==-．令3632r -=，得2r =，则226()A C a =-215a =；令3602r -=，得4r =，则4446()15B C a a =-=．因为4B A =，得4215415a a =⨯，所以2a =．点评：本题考查二项式定理中的特定项的计算，解题的关键是理解通项，结合方程便可求解．属于容易题．14．若平面向量,αβ满足1=a ，1≤β，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是 ．答案:填5[,]66ππ.解法1：以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积112||||sin ||sin 22S θθ⎡⎤=⨯==⎢⎥⎣⎦αββ，因为 1≤β，1sin 2||θ=β，所以1sin 12θ≤≤，又因为[0,]θπ∈，所以5[,]66ππθ∈． 解法2：如图，取(1,0)A ，作OA =α，OB =β， 则(||cos ,||sin )B θθββ．因为以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积11||sin 2θ=⨯β，1≤β，所以sin θ 112||2=≥β，即1sin 12θ≤≤，又因为[0,]θπ∈， 所以5[,]66ππθ∈．点评：本题考查平面向量的几何意义，平行四边形的面积公式等内容，解答时要注意向量夹角的取值范围．属于中等题．15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到 甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数. 若(0)P X =112=，则随机变量X 的数学期望(cos ,sin )βθβθ()E X = ．答案：填53．解法：因为211(0)(1)312P X p ==-⨯=，所以12p =，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，所以1(0)12P X ==，2221211(1)()()32323P X ==⨯+⨯=，2221115(2)()2()323212P X ==⨯⨯+⨯=，2211(3)()326P X ==⨯=，随机变量X 的分布列如上图，所以11515()01231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望的求解，解答时，先要依据1(0)12P X ==计算出p 的值，再分别求出随机变量X 取1,2,3时的概率，再结合期望公式进行求解． 16．设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．解析：解法1：设1(,)22x y x =+α，(1,)5=β， 2x y +＝||||⋅≤αβαβ＝,αβ同向，即25y x ==取得等号，故2x y +．解法2：(1)当x y ⋅≠0时，2222222222(2)4432)1444x y x y xy xyx y x y xy x y xy x y xy++++===+++++++（3381114551x y y x =+≤=+=++(2)当x y ⋅=0时，显然22)1x y +=（ 综上所得，当且仅当x y ⋅≠0且x yy x =4时，282)5x y +≤（， ∴5102325102≤+≤-y x ，即2x+y 的最大值是5102.解法3：因为2241x y xy ++=，改写为()()2212212x y x y ++⨯⨯=． 当2x y +取得最大值时显然2x y =（选择、填空题解法，有猜的成分）．此时2512y =，故225y =．显然此时25x y ==． 故2x y +． 解法4：设⎩⎨⎧==θρθρsin y cox x ，∴222222244cos sin sin cos 1x y xy ρθρθρθθ++=++=，∴22214cos sin sin cos ρθθθθ=++，(1) 当sin 0cox θθ⋅≠时22222 (2)(2cos sin )(4cos sin 4sin cos )x y ρθρθρθθθθ+=+=++2222224cos sin 4sin cos 3sin cos 14cos sin sin cos 4cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθθθ++==+++++ 33811.4cot tan 155θθ=+≤+=++(2)当sin cox θθ⋅=0时，2 (2)1x y +=∴25x y +≤. 解法5：设224x y xy ++＝22(2)()m x y n x y λ++-（0λ>），则244,1,421,m n m n m n λλ+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 解得5,83,21,2m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴25(2)18x y +≤，当且仅当2x y =时取等号，∴2x y +的最大值为5． 点评：本题主要考查了基本不等式的性质，解答时要注意结合配凑法进行求解，最后要注意开方，避免出错．17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 解析: 填(0,1)±.解法1：(直接求坐标)设直线A F 1的方程为：2-=my x ，点A 坐标),(A A y x 满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13222y x my x ，化简得:0122)3(22=--+my y m ，结合图像可知， (1)当0>m 时:3)1(3222+++=m m m y A ……①，由125F A F B =知：A F 1∥B F 2，故直线A F 1的方程为：2+=my x ，同理可得：3)1(3222+++-=m m m y B ……②，由125F A F B =，易得B A y y 5=……③，由①②③联立解得：22=m ，即：1=A y ，故)1,0(A .(2)当0>m 时：由对称性可得)1,0(-A ，综上可得：点A 的坐标是)1,0(±.解法2：(韦达定理)设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:A F 1∥B F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故F 1=15CF ,设点A ,C 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,直线A F 1的方程为:2-=my x , 则),(11y x ,),(22y x 满足方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13222y x my x ,化简得:0122)3(22=--+my y m ,由韦达定理得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+31322221221m y y m m y y ……①, 由F 1=15CF ,易得215y y -=……②, 由①②联立解得:22=m ,解得: 11±=y ,点A 的坐标是)1,0(±.解法3：(坐标整体代换)设点A ,B 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,由125F A F B =可得：⎩⎨⎧=-=21215265y y x x ,代入132121=+y x ,并结合132222=+y x 化简可得: 5262=x ,进一步可求得⎩⎨⎧±==1011y x .故点A 的坐标是)1,0(±. 解法4：(椭圆参数化)设B 点坐标为)sin ,cos 3(θθ,则由125F A F B =易得: 点A 坐标为:)sin 5,26cos 35(θθ-,由于点A 也在椭圆上,把该坐标代入椭圆方程得:03)sin 5(3)26cos 35(22=-⨯+-θθ,化简得:144cos 660=θ,即562cos =θ, 求得51sin ±=θ,故点A 的坐标是)1,0(±. 解法5：(直线参数化) 设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:A F 1∥B F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故F 1=15CF ,设直线A F 1的参数方程为:⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2t y t x (t 为参数), 点A ,C 对应的参数分别为21,t t ,满足方程: 2)2cos (-θt +03)sin (32=-θt .即:01cos 22)sin 21(22=-⋅-+t t θθ.故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+θθθ221221sin 211sin 21cos 22t t t t ……①, 由F 1=15CF ,易得215t t -=……②,由①②联立解得:32cos2=θ, 31sin 2=θ解得: 31±=t ,代入得点A 的坐标是)1,0(±. 解法6：(椭圆第二定义)设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:F 1∥F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故A F 1=15CF ,设点A ,C 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,利用椭圆的第二定义可得:2231+x =)223(52+x ,即: 1x =2652+x …①,又由三角形相似的性质可得: 21+x =)2(52--x ,即: 1x =2652--x …②,由①②联立解得: 1x =0, 故点A 的坐标是)1,0(±.点评：本题主要考查了椭圆与平面向量结合的综合问题，解题的关键是充分利用已知条件进行转化，即可求出点A 的坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.(Ⅰ)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围.解: (1)由题并利用正弦定理得:⎪⎩⎪⎨⎧==+4145ac c a . 解得: ⎪⎩⎪⎨⎧==141c a ,或⎪⎩⎪⎨⎧==411c a .(2)由余弦定理,B ac c a b cos 2222-+=B ac ac c a cos 22)(2--+=B b b b p cos 21212222--=,即:B p cos 21232+=因为)1,0(cos ∈B ,得:)2,23(2∈p ,由题设知0>p ,所以226<<p . 点评：（1）本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力,难度与去年持平.（2）对于解三角形问题,通常要同时用到正弦定理和余弦定理.如果两个定理都可以解题,应优先考虑正弦定理,此题中条件“()sin sin sin ,A C p B p R +=∈”可看作是关于三个正弦值关系的齐次式,故可利用正弦定理把角化为边.第(2)小题中, “角B 为锐角”条件的转化必然会想到其余弦值的范围,但需特别注意三角形内角大于零,故)1,0(cos ∈B .（3）学生的错误主要是：对于“角B 为锐角”条件的转化不等价,主要表现为:①只用到0cos >B ,求解范围扩大.②没有注意到三角形的内角不能为零,即1cos ≠B ,从而误把B cos 的范围写成了]1,0(（4）浙江省高考在大题目中考查三角函数已经形成了规律，即在三角形中考查三角函数问题,这一惯例今后将会延续下去.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ），设数列的前n 项和为n S ，11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ） 记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S , n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a ，当n ≥2时，试比较n A 与n B 的大小．解: （Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ,由412211)1(a a a ⋅=, 得)3()(1121d a a d a +=+. 因为0≠d ,所以a a d ==1,所以na a n =,2)1(+=n an S n （Ⅱ）解法1：因为)111(21+-=n n a S n ,所以: n A ＝11S +21S +31S +…+1n S )111(2+-=n a .因为a a n n 1221-=-,所以:n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a )211(2211)21(11n na a -=--⋅=. 当2≥n 时,1210+>+++=n C C C nn n n n ,即n n 211111-<+-所以,当0>a 时,n n B A <;当0<a 时,n n B A >.解法2：由(Ⅰ)得na a n =，2)1(+=n an S n ，∴)111(2)1(21+-=+=n n a n an S n ， )111(21111321+-=++++=n a S S S S A n n ．∵1122n n a a --=，∴ )211(2211)21(111111122221n nn a a a a a a B n -=--⋅=++++=- ．考察函数12--=x y x，2ln 21xy '=-,当2≥x 时0>'y 恒成立，故函数21x y x =--在),2[+∞上是增函数．又当2x =时，222110--=>，所以当2≥x 时，21x x >+恒成立，从而2n ≥时，21nn >+，即111112n n -<-+．所以，当0a >时，n n A B <，当0a <时，n n A B >.点评：(1)本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式、二项式定理等基础知识，同时考查分类讨论思想.此题涉及知识面较广,但难度并不大,属于中档题.(2)学生的困难主要在于:①裂项求和方法掌握不好,因不会对)1(2+n an 进行裂项,导致后面求和无法进行下去.②在比较n2与1+n 大小时,不少同学是先猜测出结果,再利用数学归纳法来证明的,这样做当然可以,但比较费时,不如二项式定理直接、方便.(3)学生的错误主要有:①对数列}{12-n a 的理解有误,误把12-n a 当作有12-n 项来计算.②最后一步结论没有对字母a 的符号进行分类讨论,导致结论不完整.(4) 2009年之前的浙江高考几乎都是把数列作为压轴题来考查的.在新课程以后的连续两年(即:2009,2010两年)高考中均弱化了数列的地位,试卷中不再保留单独的数列大题.但在今年高考卷中数列又重新回到了大题目的位置(代替了概率分布列).这为我们今后的高三教学指明了方向:数列这部分内容很重要,需重视,但在教学中应控制好难度,不应一味拔高. 20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC, D 为 BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8， PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直二面 角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． 解法1：（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O —xyz则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-，由此可得0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，即.AP BC ⊥（II ）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--则BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)(0,3,4)(4,23,44)λλλ=--+--=----(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z =， 平面APC 的法向量2n 222(,,)x y z =由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即11110,23(0,1,)2344,44x n z y λλλλ=⎧+⎪=⎨+-=⎪-⎩可取 由220,0.AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得222225,4(5,4,3).3,4x y n z y ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩可取 由12230,430,44n n λλ+⋅=-⋅=-得解得25λ=，故AM=3． 综上所述，存在点M 符合题意，AM=3． 解法2：（I ）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面ABC ，得.PO BC ⊥因为PO AD O =，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥（II ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM ， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面BMC ， 又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC ．在222,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ∆=+==中得在222,Rt POD PD PO OD ∆=+中， 在222,,Rt PDB PB PD BD ∆=+中所以222236,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在222Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅ 从而PM cos 2PB BPA =∠=，所以AM=PA-PM=3．综上所述，存在点M 符合题意，AM=3． 点评：(1)本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用等，同时考查空间想象能力和运算求解能力.（2）该题难度比去年稍小，主要原因是背景比较熟悉,学生容易入手.但得分情况也不理想,原因在于第(2)小题的计算量较大,学生在建好坐标系后需要同时计算出两个平面的法向量,计算过程中的失误较多.21．（本题满分15分）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M ．（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.解法1:(1)由题意可知,抛物线的准线方程为:41-=y ,所以圆心)4,0(M 到准线的距离是417. (2)设),(200x x P ,),(211x x A ,),(222x x B , 由题意得:00≠x , 10±≠x ,21x x ≠.设过点P 的圆2C 的切线方程为)(020x x k x y -=-, 即:200x kx kx y +-=…①,则11|4|2200=+-+k x kx ,即01)4()4(2)1(220200220=--+-+-x k x x k x .设PA ,PB 的斜率为21,k k )(21k k ≠, 则21,k k 是上述方程的两根,所以:1)4(22020021--=+x x x k k ,11)4(2022021---=x x k k 将①代入2x y =得02002=-+-x kx kx x , 由于0x 是此方程的根,故011x k x -=,022x k x -=,所以:1621)4(2220002020002121212221--=---=-+=+=--=x x x x x x x k k x x x x x x k AB , 0204x x k MP-=由AB MP ⊥,得:=MP AB k k )16(200--x x 1)4(020-=-⋅x x ,解得:52320=x ,即点P 的坐标为)523,523(±, 所以直线l 的方程为4115115+±=x y 解法2: (1)同解法一(2) 设),(200x x P ,),(211x x A ,),(222x x B , 由题意得:00≠x , 10±≠x ,21x x ≠.直线PA 的斜率为:0101221x x x x x x k PA +=--=,直线PA 的方程为))((00120x x x x x y -+=-,即:0)(0101=--+x x y x x x ,它与圆2C 相切,故1)(1|4|20101=+++x x x x ,化简得:0156)1(20102120=-+⋅-⋅-x x x x x .同理可得: 0156)1(20202220=-+⋅-⋅-x x x x x .即21,x x 是方程0156)1(200220=-+⋅-⋅-x x x x x 的两根,故1620021--=+x x x x , 所以1620021212221--=+=--=x x x x x x x x k AB ,0204x x k MP -= 由AB MP ⊥,得:=MP AB k k )16(200--x x 1)4(020-=-⋅x x , 解得:52320=x ,即点P 的坐标为)523,523(±, 所以直线l 的方程为4115115+±=x y 点评：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.属于较难题.（2）解法1利用直线的点斜式方程代入计算,但求解过程中斜率值是很难直接计算出来的,事实上也不用去计算两直线的斜率值,而只要利用韦达定理整体代换即可.解法2设出所有相关点坐标,然后找出这些点坐标的关系,最后也要用到韦达定理整体代换.（3）学生的问题主要有：缺乏韦达定理整体代换的意识,碰到未知量问题一味地只想着把未知量都求出来,这样势必会加大运算量.此题是一道好题,摆在这个位置完全能达到预期目的,即能区分出数学功底强弱的学生.这也给我们平时的教学提了醒:数学是一门有思维含量的学科,很多时候需要多思少算,碰到困难需及时转化,如果一味硬上,是要碰壁的..（4）浙江省近几年高考在大题目中比较多地考查了直线与圆锥曲线的位置关系.对于这部分内容的考查几乎都涉及到了韦达定理.虽然韦达定理在初、高中的课本里均没有出现，但作为高中教学应该补充，高中生应该掌握.22．（本题满分14分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数．解法1:(1)求导得: ).1ln 2)(()(ln )(2)(2'xax a x x a x x a x x f -+-=-+-= 因为e x =是)(x f 的极值点,所以.0)3)(()('=--=ea a e e f解得e a =或e a 3=.经检验,均符合题意. 所以e a =或e a 3=(2)①当10≤<x 时,对于任意的实数a ,恒有240)(e x f <≤成立. ②当e x 31≤<时,由题意,首先有224)3ln()3()3(e e a e e f ≤-=,解得:)3ln(23)3ln(23e ee a e e e +≤≤- 由(1)知).1ln 2)(()('xa x a x x f -+-=令xax x h -+=1ln 2)(,,则0ln 2)(,01)1(>=<-=a a h a h ,且e ae e h 31)3ln(2)3(-+=e e ee e 3)3ln(231)3ln(2+-+≥=0)3ln 313(ln 2>-ee 又)(x h 在),0(+∞内单调递减,所以函数)(x h 在),0(+∞内有唯一零点. 记此零点为0x ,则:,310e x <<a x <<01.从而,当),0(0x x ∈时,0)('>x f ; 当),(0a x x ∈时,0)('<x f ; 当),(+∞∈a x 时,0)('>x f ;即:)(x f 在),0(0x 内单调递增,在),(0a x 内单调递减,在),(+∞a 内单调递增.所以要使24)(e x f ≤对]3,1(e x ∈恒成立,只要:⎩⎨⎧≤-=≤-=22202004)3ln()3()3(4ln )()(e e a e e f e x a x x f 成立. 由01ln 2)(000=-+=x ax x h ,知:000ln 2x x x a +=. 代入202004ln )()(e x a x x f ≤-= 可得:202204ln 4e x x ≤.又10>x ,注意到函数x x y 22ln =在),1[+∞内单调递增,可得:e a 31≤<.又因为)3ln(23)3ln(23e e e a e e e +≤≤-,综上可得: e a e e e 3)3ln(23≤≤-.解法2:(1)同解法一.(2) ①当10≤<x 时,对于任意的实数a ,恒有240)(e x f <≤成立. ②当e x 31≤<时, 由224ln )()(e x a x x f ≤-=可得:xe x a xe x ln 2ln 2+≤≤-在区间]3,1(e 上恒成立.令xe x x h ln 2)(-=,xe x x g ln 2)(+=,故min max )()(x g a x h ≤≤易知x e x x h ln 2)(-=在]3,1(e 上单调递增,故)3()(max e h x h =)3ln(23e e e -=又xx x ex g ln ln 1)('⋅⋅-=,令0)('=x g 得:e x x x =⋅⋅ln ln ,注意到函数x x x y ln ln ⋅⋅=在),1[+∞内单调递增,且e e e e =⋅⋅ln ln , 故)(x g 在e x =处取到极小值(最小值) e e g 3)(=,即e x g 3)(min =.综上可得: e a e ee 3)3ln(23≤≤-解法3： (1)同解法一.(2)①当01x <≤时，对任意的实数a ，恒有()0f x ≤，2()4f x e ≤恒成立. ②当13x e <≤时，由2()4f x e ≤得224ln ()e x x a ≤-，当1a <时，224()e x a -在[1,3]e 单调递减，在3x e =取最小值，所以224ln 3(3)e e e a ≤-,所以33e a e ≤≤， 这与1a <矛盾，舍去.当13a e ≤≤时，224()e x a -关于x a =对称，在(,3)a e 上递减， 因为ln x 递增，所以3x e =时，224ln 3(3)e e e a ≤-，得33e a e ≤≤.当3a e >时，[1,3]x e ∈，22()()ln (3)ln f x x a x x e x =->-， 而x e =时，2()4f x e >，矛盾，所以3a e ≤. 综上，实数a 的取值范围为33e a e ≤≤.点评：(1)本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力.属于难题.(2)从2009年开始,浙江省已经连续三年把导函数作为压轴题来命制,现在看来这个模式已经基本固定.就像前几年一直把数列作为压轴题来处理一样,这个模式今后可能还要延续好几年.这个模式的效果究竟怎样呢?从今年高考阅卷反馈的信息来看,该题全省平均分只有2分左右.说明该题确实起到了压轴的作用,去除今年的评卷尺度较严的主观因素,从一个方面更能说明学生能力的欠缺,基本功很不扎实,要知道,此题第(1)小题就有6分的分值呀,而第(1)小题的难度并不大,即使对于第(2)小题,其解法也有很多种,如果我们在平时的学习和复习中能强化思想方法,夯实基础知识,那这道题的难度绝不可能是想象中那么大.(3)含字母参数的恒成立问题,解决的方法主要有以下几种:一是直接构造整体函数,通过分类讨论研究出函数的最值(极值),从而达到解决问题的目的.二是通过分离变量构造确定函数, 再转化为求确定函数的最值问题从而能有效避开繁琐的分类讨论,最终解决问题,此题采用该解法其简洁程度明显优于解法 1.三是先移项构造两个熟悉的函数,再转化为熟悉函数的最值问题作比较,但这种方法的应用是有局限性的,往往对两个函数的单调性有特别要求,解题时必须结合图像来看,需格外小心,否则可能导致错误.(4)与导函数有关的高考大题目,时下比较流行的是幂型函数(二次或三次型)与对数函数x ln 或指数函数xe 组合而成,这类函数问题的解决方法具有一定的套路,不妨看看今年各省的题目,有兴趣的读者可以做做,这或许将对我们今后的教学与复习起到一些作用:(2011安徽卷 理科 第16题)设2()1xe f x ax=+其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围． (2011北京卷 理科 第18题)。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•‘―x,x, 0,卄1•设函数f（x）=< 2右f（o）=4,则实数。
= （）x ,x A0.A. -4 或-2B. -4 或2C. -2 或4D. -2 或2 【测量目标】分段函数.【考查方式】已知分段函数的解析式，给出定值求出此时自变量的值【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】当:,0 时，f （:•）--「- 4,「- -4 ；当、；> 0时，f （：• ） = ：• 2= 4, = 2 .2.把复数z的共轭复数记作z , i为虚数单位，若z =1 • i ,则（1 • z） |_Z = （）A.3 -iB.3+iC.1+3iD.3【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，结合共轭复数的特点，求出关于复数的代数运算【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】••• z =1 i，二z =1 -i，二（1 z）Lk =（1 1 i）（i」）=3-i.3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）正视图侧视圏耐视图第3题图A B C D【测量目标】平面图形的直观图与三视图•【考查方式】直接给出三视图，求其直观图•【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由正视图可排除A、B选项；由俯视图可排除C选项•4.下列命题中错误的是（）A. 如果平面〉—平面：，那么平面:-内一定存在直线平行于平面1B. 如果平面二不垂直于平面：，那么平面二内一定不存在直线垂直于平面：C.如果平面〉-平面，平面［_平面• n ：=i，那么I _平面D.如果平面〉—平面：，那么平面:-内所有直线都垂直于平面一：【测量目标】面面垂直的判定和面面平行的判定【考查方式】已知面面之间的关系，判断结果正误【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】若这条线是平面 :-和平面1的交线I，则交线I在平面〉内，明显可得交线I在平面：内，所以交线I不可能垂直于平面：，平面〉内所有直线都垂直于平面：是错误的.x 2y -5>05.设实数x, y满足不等式组2x y「7>0,若x, y为整数，则3x 4y的最小值是（）x 厖0, y 0.A.14B.16C.17D.19【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】已知不等式组，求出目标函数的最值.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】可行域如图所示第5题图近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于 代B 两点，若C 1恰好将线段 AB 三等分，则 （）,又•••边界线为虚线取不到， 且目标函数线的斜率为7 = 1•••当z =3x - 4y 过点（4, 1）时，有最小值11 7•若a,b 为实数，则 0v ab v 1 ”是a < —或b >—的baA.充分而不必要条件 C. 充分必要条件【测量目标】充分、必要条件 •【考查方式】结合不等式的性质考查充分、必要条件 【难易程度】容易 【参考答案】A1【试题解析】当a 0,b 0时，由0 ：：： ab ：：： 1两边同除b 可得a 成立；（步骤1）b1 1 1a ：：：0,b ：：：0时，两边同除以a 可得b 成立，• 0 < ab :: 1 ”是a 或b ”的充分条 b1 1件，由a 或b 得不到0 ::: ab ：：： 1.（步骤2）联立「x+2y-5 = 0，解之得/=3 2x+ y —7 = 016.一 n —0,ncos( )41 n I-'cos( )=34 23，则 cos()2A .33B.【测量目标】两角和与差的余弦 •【考查方式】给出两个余弦角的值和角度的范围, 【难易程度】中等 通过与所求角余弦的关系, 求出结果【参考答案】【试题解析】n1 nT cos( ) , 0 ：：4 3 - n P3 ,又•••沁(二)厶__6_ 3nn 、 0 , • sin( )二 24 2（步骤Pn n P1）A。
2011年数学理科测试卷球的表面积公式 S = 4πR 2 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =31Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体的体积公式 V = Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式)(312211S S S S h V ++=其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B ) = P (A ) + P (B )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知函数f (x )＝267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝(A) 9 (B) 7110(C) 3 (D)1110(2) “cos x ＝1”是“sin x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(3) 在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10＝(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12(4) 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为3(B)23(D)13(5) 设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 (A)22(6) 下列函数中，在(0，2π)上有零点的函数是(A) f (x )＝sin x －x (B) f (x )＝sin x －2πx(C) f (x )＝sin 2x －x (D) f (x )＝sin 2x －2πx(7) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为(A) 1 (B) 12 (C) 14 (D) 18(8) 设2010(12)(1)x x ++＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10＋29129100(1)b b x b x b x x +++++ ，则a 9＝(A) 0 (B) 410(C) 10⋅410 (D) 90⋅410(9) 设,2,,2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z 的最小值为(A)－4 (B)－2 (C)－1 (D) 0(10) 设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y(X ∩Y)．对于任意集合X ，Y ，Z ，则( X *Y )*Z ＝(A) (X ∪Y )Z(B) (X ∩Y )ZXY)∩Z X Y )∪Z二、填空题： 本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨〉⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B【解析】当0≤α时，()4,4f ααα=-==-； 当0>α时，2()4,2f ααα===.（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴(1)(11)(1)3z z i i i +⋅=++-=-.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项. （4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】因为若这条线是αβ平面和平面的交线L ，则交线L 在平面α内，明显可得交线L 在平面β内，所以交线L 不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则c o s ()2βα+=（A（B）（C（D）【答案】C【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴sin()43πα+=，又∵33)24cos(=-βπ，2<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝13+935.（7）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是11a b ba＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“ba 1<或a b 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或ab 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+， 解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率[（A ）15 （B ）25 （C ）35D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】D【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0a ≠且240b ac -〈时，1=s 且1T =；当20,40a b ac ≠-〉且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时， 2=s 且2T =.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 （11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。
绝密★启用前 2011年6月7日15:00～17:002011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()B P A P B A P ∙=∙ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （1）复数z ＝1+i ，z 为z 的共轭复数，则z z -z -1＝（A ）-2i （B ）-i （C ）i （D ）2i （2）函数y ＝2x （x ≥0）的反函数为（A ）y ＝24x （x ∈R ） （B ）y ＝24x（x ≥0）（C ）y ＝24x （x ∈R ） （D ）y ＝24x （x ≥0） （3）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）a >b +1 （B ）a >b -1 （C ）2a >2b （D ）3a >3b（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差d = 2,224k k S S +-=,则k = （A ） 8 （B ） 7 （C ） 6 （D ） 5(5) 设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 （6）已知直二面角βα--l , 点,α∈A ,l AC ⊥ C 为垂足，,β∈B l BD ⊥，D 为垂足，若2=AB ，1==BD AC ，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）（A ）23（B ）33 （C ） 63 （D ） 1（7）某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（A ）4种 （B ） 10种 （C ） 18种 （D ）20种 （8）曲线12+=-xey 在点（0,2）处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形的面积为（A ）31 （B ）21 （C ）32（D ）1 （9） 设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，则=-)25(f（A ） 21-（B ）41- （C ）41 （D ）21（10）已知抛物线C: x y 42=的焦点为F ，直线42-=x y 与C 交于A 、B 两点，则=∠AFB COS ( ) (A)54 (B) 53 (C) 53- (D) 54- （11） 已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与α成 二面角的平面β截该球面得N 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共50分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 13V sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2（2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3（3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（4）下列命题中错．误．的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()423πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69- （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a = （B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
