配方法解一元二次方程第二课时教案

21.2 解一元二次方程21.2.1配方法（第2课时）【学习目标】1、能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。

2、会用配方法解数字系数的一元二次方程。

【学习过程】一、温故知新：1、填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。

(1) x2+ 6x+ =(x+3)2(2) x2+8x+ =(x+ )2(3) x2-12x+ =(x- )2(4) x2-25x+ =(x- )2(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )22、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2二、自主学习：自学课本P6---P9思考下列问题：1、仔细观察教材探究2，所列出的方程x2+6x+4=0利用直接开平方法能解吗？2、怎样解方程x2+6x+4=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。

）3、讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？5、配方的关键是什么？交流与点拨：重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。

利用a2±2ab+b2=(a±b)2。

注意9=（6）2，而6是方程一次项系数。

所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平方式。

．．．．6、自学课本P7例1思考下列问题：（1）看例题中的配方是不是两边加上一次项系数一半的平方？（2）方程（2）、（3）的二次项系数与方程（1）的二次项系数有什么区别？为了便于配方应怎样处理？（3）方程（3）为什么没有实数解？（4）请你总结一下用配方法解一元二次方程的一般步骤？交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。

第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，并能熟练运用配方法解二次项系数为“1”的一元二次方程．2．经历用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会“化归”的思想方法．阅读教材P32～33，完成下列问题：(一)知识探究1．在方程的左边加上一次项系数的________的________，再________这个数，使得含未知数的项在一个________里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据____________来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．2．配方是为了直接运用____________，从而把一个一元二次方程转化为两个________方程来解．(二)自学反馈1．用适当的数填空：(1)x2－8x＋(______)2＝(x－______)2；(2)x2＋10x＋(______)2＝(x＋______)2.2．用配方法解下列方程：(1)x2＋2x＝7；(2)x2－5x＋14＝0.活动1 小组讨论例用配方法解下列关于x的方程：(1)x2－8x＋1＝0; (2)x2＋1＝3x.解：x1＝4＋15，解：x1＝52＋32，x 2＝4－15. x2＝－52＋32.(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边．(2)配方时所加常数为一次项系数的一半的平方．(3)注意：配方时一定要在方程的两边同加．活动2 跟踪训练1．把二次三项式x2＋8x＋2进行配方，正确的是( )A．(x＋8)2－1 B．(x＋4)2－14C．(x＋4)2＋18 D．(x＋2)2－162．填空：(1)x2－4x＋______＝(x－______)2；(2)x2＋6x＋______＝(x＋______)2；(3)x2－7x＋______＝(x－______)2.3．解方程x2－3x－2＝0，配方，得(x－______)2＋______＝0.4．用配方法解下列方程：(1)x2－2x＝1; (2)x2＋6x－2＝0；(3)x2＋4x＋3＝0; (4)x2＋x－1＝0.活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么【预习导学】知识探究1．一半平方减去完全平方式平方根的意义 2.平方根的意义一元一次自学反馈1．(1)4 4 (2)5 5 2.(1)x1＝－1＋22，x2＝－1－2 2.(2)x1＝52＋6，x2＝52－ 6.【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.(1)4 2 (2)9 3 (3)49472－1744．(1)x1＝1＋2，x2＝1－ 2.(2)x1＝11－3，x2＝－11－3.1＝－1，x2＝－3.(4)x1＝－1＋52，x2＝－1－52.(3)x。

课题 用配方法解一元二次方程（2）教学设计：一.教学目标：（1）会用配方法解一元二次方程； （2）通过探索配方法的过程，培养观察、比较、分析、概括、归纳的能力；二.教学重点：用配方法解一元二次方程。

三.教学难点:探索凑配成完全平方的方法与技巧四.教学方法：启发探究式教学五.教学过程（一）创设情境，提出问题问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽应各是多少？解：设场地宽xm ，则长（6+x ）m 。

根据矩形面积为16m 2，列方程 X ·（6+x ）=16，即x 2+6x-16=0。

问题2：如何解所列方程？怎样把它转化为我们已经会解的方程？（二）对比探究，解决问题1.回顾完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b )22.填空：(1). (x+1)2=x 2+2x+( 1 )2 (2). (x-4)2=x 2-8x+( 4 )2 (3). 222) (5)25(++=+y y y (4). 222) 41 (21-)41-(+=x x x 观察：在上面等式的右边要添加的常数项和一次项系数有什么关系？ 结论：要添加的常数项是一次项系数的一半的平方。

3.解：32，使左边配成完全平方的形式由于矩形场地宽度不能为负，故场地的宽为2m，长为8m。

4.配方法的定义：像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法。

5.例题分析：（1）x2-8x+1=0 (2)2x2+1=3x (3)3x2-6x+4=0与同桌讨论，交流归纳如何用配方法解这三个一元二次方程。

你能从这3道题的解法归纳出配方法解一元二次方程的步骤吗?（三）总结归纳，形成技能用配方法解一元二次方程的步骤:1.移项:把常数项移到方程的右边;2.把二次项系数化为13.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;5求解:得到两个一元一次方程，解一元一次方程,写出原方程的解.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.（四）随堂练习，巩固深化用配方法解下列方程(1) x2-10x+25=7 (2) x2+6x=1(3) 2x2-3x=8 (4) x2+2x+2=8x+4（五）编写口诀，帮助记忆•法力无边配方法︱一移二化一三配方︱•两边同加 b半方︱写成完全平方式︱•右边若为非负数︱直接开平方求出解︱•右边若为一负数︱方程没有实数根‖（六）布置作业基础题： P34练习 1 2 （1）、（2）P42习题22.2 3思考题：解下列方程(1)x2＋12x+25=0 (2) 2x2+4x=10 (3) 4x2-6x=11 (4) x2-2x-4=0 教学反思：在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。

《配方法解一元二次方程》教案2教学目标1．理解一元二次方程“降次”的转化数学思想，会利用直接开平方法对形如（m x+n）2=p （p≥0）的一元二次方程进行求解，并能应用它解决一些具体问题．2．理解配方的基本步骤，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3．在对一元二次方程进行配方及变形过程，让学生进一步体会转化的思想方法，能利用方程解决简单的实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力．教学重点、难点1．重点：运用开平方法解形如（m x+n）2=p（p≥0）的方程,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程，领会降次──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．关键是讲清配方法的解题步骤：①先将已知方程化为一般形式，再将左边的二次项系数化成1的形式，并把常数项移到方程的右边；②要在方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式；③当方程右边的常数是非负数时，用直接开平方法求解．这里第二步是关键也是难点．2．难点：配方要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备．关键：通过根据平方根的意义解形如x2= p（p≥0）的知识迁移到根据平方根的意义解形如（m x+n）2=p（p≥0）的方程及发现不同方程的转化方式，把常数项移到方程右边后，方程两边同时加上的常数是一次项系数一半的平．利用实际问题，初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.通过对例题的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成形式，同时通过几个实际应用题让学生明白：方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍．课时设计两课时教学策略本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探索新知；第三环节：应用拓展；第四环节：归纳小结；第五环节：布置作业．教学过程复习与回顾一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空1.36的平方根是________,49的平方根是____________. 2.若24x =，则x =______________；若221x =，则x =__________.3.请根据提示完成下面解题过程：(1) 由方程 2(21)5x -=， 得 (2) 由方程 2693x x ++=， 得21x -=_______ (_________)2=3 即 ∴ ______________=_______21x -=____，21x -=_____ 即 ____________，____________∴ 1x =_______， 2x =_____ ∴ 1x =_______， 2x =_____〖答案〗1. 6± 23± 2. 2± 2±3. (1)(2) 3x + 3x += 3x += 3x +=3 3归纳发现： 1．形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法．2．如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =或mx n +=3．用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次．．，转化 为两个一元一次方程．【设计意图】让学生从特殊方程x 2= p （p≥0）的解法进而转化到一般形如（m x+n ）2=p （p≥0）一元二次方程的解法，归纳出直接开平方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程．例1：解方程：（1）（x +2）2=9； （2）3（x -1）2-6=0； （3）x 2+12x +36=7 解：（1） x 1= 1，x 2=-5（2）121,1x x ==．（3）由已知，得：（x +6）2=7直接开平方，得：x即x x所以，方程的两根x 1=-6+x 2【设计意图】让学生会解一元二次方程，进一步理解与掌握直接开平方法解一元二次方程的方程特征和基本步骤，获得更多的数学经验．二 探索新知：问题2．填上适当的数，使下列等式成立：(1) 214x x ++____ = 2(7)x + (2) 24x x -+____ = (x -___)2(3) 28x x ++____ = (x +____)2 (4)2x －45x ＋_____＝（x －____）2 由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：〖答案〗(1)49 (2)4 2 (3) 16，4 (4) 2564 58常数项是一次项系数一半的平方 问题3：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽各是多少？ 〖答案〗设宽为x m ，则长为（x +6）m ，根据题意得x （x +6）＝16，化简转化为：x 2+6x -16=0移项→x 2+6x =16 两边加（62）2使左边配成x 2+2bx +b 2的形式 → x 2+6x +32=16+9左边写成平方形式 → （x +3）2=25降次→x +3=±5 即 x +3=5或x +3=-5解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，长为8m ．归纳发现：像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x +p )2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x =-p 如果q ＜0,方程无实根．【设计意图】以完全平方式完形填空为切入点，通过问题的设置激发学生的好奇心与思维，学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．以解决问题为立足点和出发点，有益于培养学生的应用意识，通过对比，发现问题，设置矛盾冲突，可以激发学生的探究欲．三 应用拓展例2：用配方法解下列方程：（1）2820x x -+= （2）22490x x +-=解:(1)移项，得282x x -=-配方 2228424x x -+=-+ 2(4)14x -=由此可得 4x -=124,4x x =.(2) 移项，得2249x x +=二次项系数化为1,得2922x x += 配方22292112x x ++=+ 即 211(1)2x +=∴1x +=，∴1211x x ==， 运用配方法解一元二次方程，先移项把含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时除以二次项的系数，把二次项的系数化为“1” 的形式，然后在方程的左右两边同时加一次项系数一半的平方，把方程化为2()ax b m +=的形式，再用直接开平方的方法求解．配方的关键是在二次项系数为1的形式下．方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．【设计意图】在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式20ax bx c ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =8m ，CB =6m ，点P 、Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x +24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．【设计意图】本例题有一定的思维度，让学生学会运用所学的知识解决新的问题，具有一定的挑战．鼓励学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，培养学生发现问题的意识与独立思考判断能力．四归纳小结用你的语言描述一下配方法解一元二次方程的基本步骤和需注意的问题？本节课应掌握：把左边不是含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．【设计意图】教师引导学生对配方法的完整回顾，学生可以在回忆和思考中加深对配方知识的理解，加强记忆和应用能力．五课后作业1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2－27=0的根为（）A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1094．若8x2-16=0，则x的值是_________5．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________ 6．解方程（1）（2x-1）2=5；（2）x2+8x+16=20；（3）9y2-18y-4=0 （4）x27．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x +3=0的解，求这个三角形的周长8．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？课后作业答案1.B2.C3.D 4． 5．9或-36.（1）215,21521+-=+=x x（2）124,4x x ==-（3）y 2-2y -49=0，y 2-2y =49，（y -1）2=139，y ，y 1+1，y 2（4）x 2=-3 （x 2=0，x 1=x 2 7．解得x 1=3，x 2=1，∴三角形周长为9（∵x 2=1，∴不能构成三角形）8.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x +12）2=2.56，即（x +32）2=2．56 x +32=±1.6，即x +32=1.6，x +32=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．六 板书设计七 教学反思通过回顾已有知识，会求一个非负数的平方根，为后面用直接开平方法解一元二次方程打下铺垫．在通过对平方根定义的回顾，激发起学生强烈的求知欲和探索愿望，会解形如)0(2≥=n n x 的这一类方程．利用简单的实际问题逐步引入配方法．教学中将难点放在探索如何配方上和配方法的应用．通过例题规范用配方法解一元二次方程的过程和步骤．本节教学由浅入深，循序渐进，逐步深入，学生探究的问题愈来愈有挑战性，教师适当点拨和学生充分讨论从而形成共识，设置由浅入深一些练习题，加深对能够用直接开平方法解一元二次方程的特征．通过例题学习，习题的训练，归纳出求一元二次方程解的一般步骤．由解一次方程向解二次方程认识转变，掌握两类不同方程解法之间的联系与区别．在今后教学中要注意面向全体学生，可以分层训练，让所有的人在数学上得到不同的发展，同时不断发展学生应用数学的意识和增强解决问题的能力．。

第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。

这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

第一环节复习回顾活动内容：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，2-6-40=0移项，得2-6= 40方程两边都加上32一次项系数一半的平方），得2-632=4032即（-3）2=49开平方，得-3 =±7即-3=7或-3=-7所以1=10,2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

《用配方法解一元二次方程》教案一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握用配方法解一元二次方程的基本思路和步骤，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

通过本节课的学习，学生应能够：培养学生的数学兴趣和自信心，提高学生的数学素养，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要性。

学生还应能够应用所学知识去解决一些实际问题，如求解二次函数的零点等，从而加深对配方法解一元二次方程的理解和掌握。

通过本节课的教学，旨在为学生打下坚实的数学基础，为其后续学习和发展奠定良好的基础。

1. 知识与技能：使学生掌握配方法解一元二次方程的基本原理和方法使学生掌握配方法解一元二次方程的基本原理和方法。

这是学生掌握代数知识的重要组成部分，并且对学生的数学思维和解题能力有重要意义。

理解配方法的本质，即利用完全平方公式将一元二次方程转化为一个容易解决的形式。

学生能够掌握配方法的基本步骤，包括移项、配方等关键操作。

我们需要理解一元二次方程的基本形式以及解的性质。

在此基础上，引入配方法的概念和原理。

通过具体的例子，展示如何将一元二次方程通过配方转化为完全平方的形式，从而方便求解。

这是本节课的核心内容，也是学生需要掌握的重点技能。

我们将详细介绍每一步的具体操作方法和注意事项。

在这个过程中，要注意引导学生理解每一步操作的数学原理，以及为什么要这么做。

也要强调操作的规范性，以确保解题的准确性。

通过讲解与示范相结合的方式，使学生在理解和掌握理论知识的通过具体的例子来实际操作和练习。

教师需要在讲解过程中及时纠正学生的错误，帮助学生理解和掌握配方法解一元二次方程的基本原理和方法。

鼓励学生主动提问，积极参与课堂讨论，以提高学生的学习兴趣和主动性。

在教学过程中，通过观察学生的反应和操作情况，了解学生对配方法解一元二次方程的理解和掌握情况。

通过布置作业和进行课堂测试等方式，评估学生对配方法的掌握程度和应用能力。

根据评估结果，及时调整教学策略和方法，以更好地帮助学生理解和掌握配方法解一元二次方程的原理和方法。