第四节 函

第四节 函数的连续性及极限的应用1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。

②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。

4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：lim f(x)=f(a)，如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有+x→alim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连在右端点x=b处有-→bx续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6. 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。

只要取 , 则当 0 x 1 时,
就有
x2 1 x1
2
,
lim x2 1 2. x1 x 1
此例说明函数 f (x) x2 1虽然在x 1处没有定义 , x 1
但它在x 1处存在极限。
这就是为什么在函数的 极限定义中要求要有
“0 x x0 ”这个作为条件的原因 ,因为在
| f (x) a | 的过程。方法如下：
对任给出的 0，将x限制在某一范围
0 | x x | c内讨论,适当放大 | f (x) a |, 使之 0
变形为| f (x) a | (x ) | x x |
0
0
取 min{c, / (x )},则当0 | x x | 时,此时
0
0
就有 | f (x) a | ，从而验证了极限的存在。
x x0
0, 0,
使当 0 | x x0 | 时, 恒有 | f ( x) A | .
注意:
1. 函数极限与 f ( x)在点 x0 处是否有定义无关；
2. 与任意给定的正数 有关.
定义的几何解释:
当x在x0的去心邻域时,函数y f (x)
图形完全落在以直线y A为中心线,
X
ln
1
ln 2
,
则当
x X
时，
1 2
x
0
恒成立.
所以
lim x
1 2
x
0.
注 ：同理可证：当 0 q 1 时，lim q x 0. x
而当 q 1 时， lim q x 0. x
例3
证明
lim
x
1 x x1
1.
证
由
1 x x1

二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.

1、人事处部署本年度学校各类人员的考核工作。
ห้องสมุดไป่ตู้
2、某学生多次殴打同学，学校对其进行处分。
3、中秋节当天，下午放学时间提前半小时。
4、学校组织学生参加英语四级考试。 由李吾老师代替。
5、经管学院王立老师生病住院，其担任的课程暂
第二节 报告
一、报告的适用范围和特点
适用于向上级机关汇报工作，反映情况 答复上级机关的询问。属陈述性的报请 公文。 典型的上行文。 报告有两个特点： （一）陈述性与汇报性 （二）事后行文
例文
中华人民共和国全国人民代表大会公告
第1号
第十二届全国人民代表大会常务委员会委员长、副委 员长、秘书长和委员已由第十二届全国人民代表大会第一 次会议于2013年3月14日选出，共175人。
…… 现予公告。 中华人民共和国第十二届 全国人民代表大会第一次会议主席团 二o一三年三月十四日
例文
南山区后海大道施工通告
1.确有必要 2.注重效用 3.协商一致 4.党政分工 5.正确选择适合联合行文的机关
请思考：
《医疗事故处理办法》是国 家卫生部发布的一份文件， 吉林省卫生厅对部分条款感 到难以把握，有些问题在实 际执行中不好操作，请问该 如何解决这一问题。
向国家卫生部写请示
思考练习 下列事项是否都需制发公文？
如需要，可抄报有关的上级机关
（三）正 文
——主要交待报告的起因或目的、 1、引据 依据等。
常用“现将有关情况报告（汇报）如下”过渡。
正 文
2、报告事项 ——正文的主体内容，如基本情况、 措施与办法、成效与问题或者是经验与教训、 意见与建议等。
3、结语
——“特此报告”、“专此报告” ——“以上报告，请审阅”