概率第七章答案

概率练习册第七章答案在概率论的学习过程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要工具。

以下是第七章概率练习册的一些答案，供参考：问题1：假设有两个骰子，每个骰子有6个面，分别掷一次。

求掷出的两个骰子点数之和为7的概率。

答案：掷出点数之和为7的情况有(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)共6种。

每个骰子有6种可能的结果，所以总共有6*6=36种可能的组合。

因此，点数之和为7的概率是6/36 = 1/6。

问题2：一个袋子里有5个红球和3个蓝球。

随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。

答案：至少有一个红球的情况包括：1红1蓝和2红。

1红1蓝的概率是(5/8)*(3/7)，2红的概率是(5/8)*(4/7)。

所以，至少有一个红球的概率是(5/8)*(3/7) + (5/8)*(4/7) = 15/56。

问题3：一个班级有30个学生，其中15个是男生，15个是女生。

随机选择5个学生，求至少有3个男生的概率。

答案：我们可以使用组合来解决这个问题。

至少有3个男生的情况有：3男2女，4男1女，5男0女。

计算每种情况的概率并相加即可得到最终答案。

问题4：一个工厂每天生产100个零件，其中大约有2%是次品。

求至少有3个次品的概率。

答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.02。

至少有3个次品的概率可以通过1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)来计算，其中P(X=k)是恰好有k个次品的概率。

问题5：一个随机变量X服从正态分布，其均值为μ=50，标准差为σ=10。

求P(40 < X < 60)。

答案：首先，我们需要将区间(40, 60)标准化。

计算Z值：Z1 =(40-50)/10 = -1，Z2 = (60-50)/10 = 1。

然后，使用标准正态分布表查找Z值对应的累积概率，最后相减得到P(40 < X < 60)。

第七章 参数估计1.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+θ=θ其它010)1()(x x x f ，其中1->θ是未知参数,n X X X ,,,21Λ为取自总体X 的容量为n 的随机样本。

(1)求θ的矩估计量；解：由()101(1)d 2E X x x x θθθθ+=+=+⎰得 ()()211E X E X θ-=-所以，θ的矩估计量为XX --=112ˆθ; (2)求θ的极大似然估计量。

解：θ的似然函数为1()(1)nii L x θθθ==+∏取对数得对数似然函数()1ln ()ln 1ln ni i L n x θθθ==++∑令1d ln ()ln 0d 1ni i L nx θθθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为∑=--=ni iX n1ln 1ˆθ2.设总体X 的概率密度为其中0>θ未知,从总体中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ.(1)求θ的矩估计量；解：由()()212e d 2x E X x x θθθ+∞--==+⎰ 得()12E X θ=-所以θ的矩估计量为1ˆ2X θ=-； (2)求θ的极大似然估计量。

解：θ的似然函数为2()1()2i nx i L e θθ--==∏1222,,1,2,,nii x n n i eex i n θθ=-∑=≤=L是θ的增函数，而{}1min i i nx θ≤≤≤，所以θ的极大似然估计为 {}1ˆmin ii nX θ≤≤=。

3.设),,,(21n X X X Λ为来自总体),0(~2σN X 的一个样本,求2σ的极大似然估计并检验其是否为无偏估计。

解：2σ的似然函数为22221()i x ni L σσ-==对数似然函数为()222211ln ()ln 2πln 222n i i n n L x σσσ==---∑令222241d ln ()20d 2nii L n xσσσσ==-+=∑得2σ的极大似然估计量为2211ˆn i i X n σ==∑ 由于()()222iiE X D X σ== ，所以()()22211ˆni i E E X n σσ===∑ ()22()0x ex f x x θθθ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩这表明2211ˆn i i X n σ==∑是2σ的无偏估计。

校本作业(27) 7.1.1 (1)条件概率 参考答案1 .已知A 与8是两个事件，P(8)=币P(A8)=g,则P(A ∣B)等于()β∙4C.∣ O1答案D 解析 由条件概率的计算公式，可得⑻=镭14442 . 4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学不放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()答案B解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的 概率显然是g.3 .在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%,已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A. 0.2B. 0.33C. 0.5D. 0.6答案A解析 设事件A 为“数学不及格”，事件8为“语文不及格”，P(5H)=3富=黑=0.2.所以数学不及格 时，该学生语文也不及格的概率为0.2.4 .甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记尸(A)=0.2, P(B)=(M8, P(AB)=0.12,则尸(A ∣B)和也(B ∣A)分别等于()B⅜答案C5 .从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A= "取到的2个数之和为偶数”，事件8= "取到的2个数均为偶数”，则P(8∣A)等于()A∙3D.；解析尸⑷8)=需=媒=|,P(B ∖A)= P(AB)_0J2_3P(A) ="0T =5-D.：2 53 5 3 5答案B解析 P(Λ)=¾^=∣,P(AB)=∣⅜=⅛,由条件概率的计算公式，得P(5∣A)尸⑷ 4,6 .抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件3为“两个点数中最大点数为4” ,则P(B ∣A)等于()A⅛C-5答案C解析由题意，知抛掷两枚均匀骰子，构成的样本点的总数共有36个, 其中事件A 包含的样本点共有36—6=30(个),又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的样本点为(1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3),共有6个,所以 P(B ∣A)= ,∕∙∖)=布=5'故选 C.1∖∕∖) DU J367 .分别用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是 12,则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是 __________ .4答案7解析 设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A, “取出的两个元素构成可约分数”为事件B,则〃(A)=7, "(A8)=4,所以 P(5∣A)=(/.、)=不11∖λ),8 .设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是. 答案0∙5解析 设事件A 为“能活到20岁”，事件8为“能活到25岁”，则P(A) = 0.8, P(B)=0.4, 又所求概率为P(8∣A),由于8GA,故尸(A8)=P(6),所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.9 .已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.β∙6 D-6则 P(B ∣A)= P(A)—p (A)—0.8 — UQ⑴若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 2 2 1解(1)两次都取得白球的概率。

概率论与数理统计 第七章 参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（ ）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（ ）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是 ．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（ ） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（ ）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（ ）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（ ）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（ ）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ， 其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ， 得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=， 所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。

.第七章假设检验7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；(5)W o :// = 0.解：(1)是简洁假设，其余位复合假设7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05_ Q解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)在打。

成立的条件下，一/3 5cP o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)=2 1-Φ(y) =0.05Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°3 37. 3 设子样。

,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验%邛=μ0, H2> /J。

,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误的概率。

解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时a = P^ξ≥c^ = P0< σo σo )所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为% ∖∣n在H∣成立的条件下，W ~ N",啊 ,此时nS = %<c°) = AI。

气L =①(^^~品)二①匹%=①(2δξ^历σoA∣-σ+A)-A-------------- y∕n)。

习题7-11. 选择题(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X L 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()nii X nμ=-∑. (C) μ和σ2. (D) X 和211()nii X X n=-∑.解 选(D).(2) 设[0,]X U θ:, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X L 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) .(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i nX ≤≤. (D) 1min{}i i nX ≤≤.解 选(B).2. 设总体X 的分布律为其中0＜θ＜12n , 试求θ的矩估计量.解 因为E (X )=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令15X θ-=得到θ的矩估计量为ˆ15X θ-=. 3. 设总体X 的概率密度为(1),01,(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨⎩其它.其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；(2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为1101()()d (1)d 2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰. 令()E X X =, 即12X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为1(1),01,0,n n i i i x x L θθ=⎧⎛⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩∏其它. 当0<x i <1(i =1,2,3,…,n )时, L >0且 ∑=++=ni ixn L 1ln )1ln(ln θθ,令1d ln ln d 1ni i L nx θθ==++∑=0, 得θ的极大似然估计值为 1ˆ1ln nii nxθ==--∑,而θ的极大似然估计量为 1ˆ1ln nii nXθ==--∑.4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数λ的矩估计量与极大似然估计量.解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏,取对数 1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆxλ=,λ的极大似然估计量为1ˆXλ=. 5. 设总体X 的概率密度为,01(,)1,120,x f x x θθθ<<=-⎧⎪⎨⎪⎩，≤≤，其它,其中θ（0<θ<1）是未知参数. X 1, X 2, …, X n 为来自总体的简单随机样本, 记N 为样本值12,,,n x x x L 中小于1的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大似然估计量.解 (1) 1213()d (1)d 2X E X x x x x θθθ==+-=-⎰⎰, 所以32X θ=-矩.(2) 设样本12,,n x x x L 按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:x (1) ≤ x (2) ≤…≤ x (N ) <1≤ x (N +1)≤ x (N +2)≤…≤x (n ) .似然函数为(1)(2)()(1)(2)(1),1()0,,N n N N N N n x x x x x x L θθθ-++-<=⎧⎨⎩L L ≤≤≤≤≤≤≤其它.考虑似然函数非零部分, 得到ln L (θ ) = N ln θ + (n − N ) ln(1−θ ),令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-, 解得θ的极大似然估计值为ˆN nθ=. 习题7-21. 选择题: 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在但未知, 而12,,,n X X X L 为X 的样本, 则无论总体X 服从什么分布, ( )是μ和2σ的无偏估计量.(A) 11nii X n=∑和211()nii X X n=-∑. (B)111nii X n =-∑和211()1nii X X n =--∑.(C)111nii X n =-∑和211()1nii X n μ=--∑. (D)11nii X n=∑和211()nii X nμ=-∑.解 选(D).2. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X N μσ:的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?解 要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.3. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X的样本, 试证：2121()2X X -为2σ的无偏估计.证 因为22212112211[()][(2)]22E X X E X X X X -=-+2222112212[()2()()]22E X E X X E X σσ=-+==,所以2121()2X X -为2σ的无偏估计.习题7-31. 选择题(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D).(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C ）习题7-41. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200． 设灯泡寿命服从正态分布N (μ, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.解 计算得到1141.11,x = σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得/20.025 1.96z z ==α.所求置信区间为/2/2(,)(1141.11 1.96,1141.11 1.96)(1082.31,1199.91).x x z +=-=αα2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解 计算可得105,x = s 2 =282.对于α = 0.05, 查表可得0.0252(1)(39) 2.0227t n t α-==.所求μ的置信区间为22((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα--+-=+=(96.045, 113.955).3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s =2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．解 已知n =8, s 2 =2.42, α = 0.01, 查表可得220.0052(1)(7)20.278n αχχ-==, 220.99512(1)(7)0.989n αχχ--==, 所以方差σ 2的置信区间为2222122(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ---=--22(81) 2.4(81) 2.4(,)20.2780.989-⨯-⨯=(1.988, 40.768). 4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样本:X 1,X 2,…,X 12及Y 1,Y 2,…,Y 17, 算出221210.6g,9.5g, 2.4, 4.7x y s s ====.假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别为12,μμ. 又设两总体方差2212σσ=. 求12μμ-置信水平为0.95的置信区间, 并说明该置信区间的实际意义.解 由题设22121210.6,9.5, 2.4, 4.7,12,17,x y s s n n ======2222112212(1)(1)(121) 2.4(171) 4.71.94212172wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-120.0252(2)(27) 2.05181,t n n t α+-==所求置信区间为122(()(2)((10.69.5) 2.05181 1.94x y t n n s α-±+-=-±⨯ =(-0.40,2.60).结论“21μμ-的置信水平为0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值1μ比第二个正态总体均值2μ大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%.5. 某商场为了了解居民对某种商品的需求, 调查了100户, 得出每户月平均需求量为10公斤, 方差为9 . 如果这种商品供应10000户, 取置信水平为0.99.(1) 取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计; (2) 问最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需要？ 解 (1) 每户居民的需求量的置信区间为2222((1),(1))()(10 2.575,10 2.575)(9.2275,10.7725).,x n x n x z x αααα-+-≈+=-=10000户居民对此种商品月需求量的置信度为0.99的置信区间为(92275,107725)；（2）最少要准备92275公斤商品才能以99%的概率满足需要.。

7-2 单正态总体的假设检验1．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N (4.55,0.108 2) , 现在测定了 9炉铁水 ,其平均 含碳量为 4.484, 如果估 计方差没有变化,可否认为现 在生产的铁 水平均含碳量为 4.55 ( 0.05) ?解 提出检验假设H 0 : 4.55, H 1 : 4.55以 H 0成立为前提，确定检验 H 0 的统计量及其分布说明小概率事件没有发生，因此接受 H 0 .即认为 现在生产的铁水平均含碳量为 4.55.2. 机器包装食盐， 每袋净重量 X (单位： g )服从正态分布， 规定每袋净重量为 500g )，标准差不能超过 10( g )。

某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取 9 袋，测得其净重量为：497 507 510 475 484 488 524 491 515以显著性水平解.作假设 0.05检验这天包装机工作是否正常？H 0 : 2 102, H 1: 2 102选取统计量2 n 1 2 8 2 22 2 S 2 2 S 2 ~ 2(n 1) 02 102/nX 4.550.108/ 9对给定的显著性水平 =0.05，由上~ N(0,1)分位点可知P{U u }2查标准正态分布表可得 u2即Pu0 .025x 4.55 0.108/ 9X 4.550.108 / 91.96，而 4.484 4.550.108/ 9u 0.0521.83 1.962n 1 2 2S 0对给定的显著性水平 =0.05， 查 2分布表得 : 由已知计算得 s 2 12 (n 1) 228.44 2 n 1 2 2s 0 02.95 (8) 2.733，于是拒绝域为 2 2.733 82 s 2 18.2752 102因此接受 H 0 ，即可以认为 这天包装机工作不正常。

2.733 X: N( , 2)，已知64斤，测得折断力(单位：斤)为 578，570，572，570， 572，596，584。

第七章 参数估计注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、解 由θθθμθ2),()(01===⎰d x xf X E ，204103)(2221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，nnX D D 5204)2()(22^θθθ=⋅==。

3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。

建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，()()()()2222222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =,234B =, 故()()()()222ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4θλθλθθλλθλθλ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求矩估计。

极大似然估计：(){}()33214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，()(),330,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ∂⎧=-=⎪⎪∂--⎨∂⎪=-=⎪∂--⎩解得3ˆ,81ˆ.4θλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求。

5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为^394(3)34322X X p -----==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂pp L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 22210^++=6、解：(1)()1112EX x x dx θθθθ+=+=+⎰， 由ˆ1ˆ2X θθ+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。