三角形分类讨论(基础)

想方法i 2021年第5期中学数学教学参考（下旬相似三角形分类讨论问题李松（四川省成都市石室天府中学）摘要：分类讨论是重要的数学思想。

分类讨论思想的关键是要清楚为什么要进行分类讨论和分类讨论的依据是什么。

分类讨论思想的培养，需要教师有一个长期的教学规划，为学生提供合适的分类讨论的情境。

关键词：分类讨论；相似三角形；动点问题；折叠问题文章编号：1002-2171 (2021)5-0063-02《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简 称《课标（2011年版）》）指出，“分类讨论是一种重要的数学思想方法，教学时要通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟这种思想方法的精髓。

”例如，在学习“图形的相似”一章时，如果两个相似三角形未指明对应顶点，那么可能存在三种情况，此时 需要分类讨论。

分类讨论思想的渗透是一个较长的过程，所以在教学活动中，教师需要精心准备适切的、足量的、螺旋上升的问题帮助学生积累活动经验，形 成技能.从而使学生体会为什么要分类、如何分类等。

笔者下面以几个经典问题为例，就教学中哪类问题需l_ln(l+f)>l=ln e#0,所以在区间(工。

，|)内/(•T)无零点。

当:|，7r)时，jy^sin单调递减，:y=ln(l+*r)单调递减，则/(X)在区间(|，7t)内单调递减，/(7t)=0—ln(l+7T)<0,所以在区间(晋，K)内 /U)存在一个零点。

当 x6(7r，+°°)时，/(:c)=sin x_ln(1+x) 1—ln(1十7T)<C0 t旦成立，则/(工）在区间（t t，+°°)内无零点。

综上可得，/U)有且仅有2个零点。

7根的分布法对于特定的二次函数零点问题，利用根的分布来 求解也是一个有效的途径。

要分类讨论做归纳整理。

1类型归纳1.1单动点运动的相似问题需要分类讨论单动点运动的相似问题是指一个点在某条直线上运动引起图形变化，而动点运动到某几个位置时，会产生相似三角形的情况。

三角形分类讨论三角形是几何学中的基本概念之一，它的分类对于我们进一步研究和应用三角形具有重要意义。

本文将对三角形的分类进行讨论，主要包括按角度、按边长和按形状分类三个方面。

一、按角度分类按照三角形内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

1. 锐角三角形锐角三角形的三个内角都是锐角，即小于90度。

这种类型的三角形具有以下特点：- 三边长度相对较均匀，没有一边特别长或者特别短；- 三个内角都小于90度，使得整个三角形的形状比较尖锐；- 锐角三角形是最常见的三角形类型之一，常见于日常生活和各种几何应用中。

2. 直角三角形直角三角形的一个内角为90度，另外两个内角为锐角。

直角三角形的特点如下：- 一个内角为直角，即90度；- 由于有一个内角为直角，所以直角三角形的一边会相对较长，另外两边相对较短；- 直角三角形应用广泛，例如在勾股定理中就涉及到了以直角三角形为基础的关系。

3. 钝角三角形钝角三角形的一个内角大于90度，其他两个内角为锐角。

钝角三角形的特点如下：- 一个内角大于90度，使得整个三角形的形状比较扁平；- 钝角三角形的边长一般较长，而且其中有一条边较为明显地突出；- 钝角三角形在日常生活中较少出现，但在某些几何问题中也有一定的应用。

二、按边长分类按照三角形的边长关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，每个内角都为60度。

这种类型的三角形具有以下特点：- 三个边长完全相等，形状非常规则；- 三个内角都是60度，使得整个三角形的形状非常均衡；- 等边三角形是最特殊的三角形类型之一，在几何学和建筑学中经常使用。

2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，另外一条边与它们不相等。

等腰三角形的特点如下：- 两条边长度相等，形状相对均衡；- 另外一条边与前两条不相等，可能较长也可能较短；- 等腰三角形在几何学中广泛应用，例如在平面几何中的相似三角形问题中。

专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。

2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。

3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。

8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。

专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论（解析版）专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的能⼒。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。

建议时间5分钟左右。

等腰三⾓形的性质：等腰三⾓形常见题型分类：函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。

【备注】：1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学⽣参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。

1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.整体分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，∴AC=AM．（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．∵DE∥AB，∴，∴．（）（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．∵．解得，或（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键．图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；4.等腰讨论中，当不能直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。