2012年河北高考衡水中学

- 1 - 2012年河北高考(衡水中学)

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.设集合，则满足的集合B的个数是( )

A．1

B．3 C．4 D．8

2.复数11ii（i是虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ）

A．-1 B.0 C.1 D.2

3. 函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是

A． 0 B。1 C。2 D。3

4. 若等比数列}{na满足nnnaa161，则，该数列的公比为（ ）

A．2 B．4 C． 8 D．16

5. 若双曲线122xy上支上一点),(baP到直线 xy的距离是2，则ba的值是（ ）

A. 21 B.21

C. 21

D.2

6. 已知33)6cos(x，则)3cos(cosxx（ ）

A.332 B. 332 C.

1

D.1

7.△ABC中，∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且)(31RABACAD，则AD的长为( )

A．1 B．3 C．32 D．3

8.定义在R上的函数)(xfy满足)()5(xfxf，0)()25(/xfx，已知21xx，则)()(21xfxf是521xx的（ ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不 - 2 - 必要

9.若某几何体的三视图 (单位：cm)

如图所示，则此几何体的体积是（ ）

A．36 cm3 B。48 cm3

C． 60 cm3 D。 72 cm3

10. 已知双曲线0,012222babyax的右焦点为F,

若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线右支有且仅有

一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．2,1 Ｂ．2,1

Ｃ．,2 Ｄ．,2

11. 设两圆21,CC都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离||21CC＝( )

A．4 B．42 C．8 D．82

12.设)1(3)(xfxfx (0)(0)xx ， 若axxf)(有且仅有三个解，则实数a的取值

范围是（ ）

A. )1,( B. ]1,( C.]2,( D.)2,(

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.已知数列{na}的前n项和29nSnn，若它的第k项满足58ka，则k

14. 过抛物线xy22的焦点F做直线l交抛物线于A、B两点.若1||1||1BFAF，则直线l的倾斜角等于_____

15. 已知实数cba、、（0c）满足cacbaba30030，则cba2的最大值为

16. 设22fxx，若0ab，且()()fafb，则ab的取值范围是_________

2

4 2 2

2 2

正视图

(第9题) 侧视图

俯视图 - 3 -

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a。

（1）求ba；（2）若c2=b2+3a2，求B。

18．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径60,45,~ABDBDCADPBAD。

（1）求线段PD的长；

（2）若11PCR，求三棱锥P—ABC的体积。

19．（本小题满分12分）

已知圆C：01222ayxyx，过定点P(0，1)作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点.

(1)求a的值；

(2)设E为圆C上异于A、B的任意一点，求圆C的内接三角形ABE的面积的最大值.

A

B C D P - 4 -

20．（本小题满分12分）已知xxxgxaxxf2ln)( .2ln)(

（1）求)(xf的单调区间;

（2）试问过点)5,2(可作多少条直线与曲线)(xgy相切？请说明理由。

21．（本小题满分12分）给定椭圆C：)0(12222babyax。称圆心在原点O，半径为22ba的圆是椭圆C的“准圆”。若椭圆C的一个焦点为)0,2(F，其短轴上的一个端点到F的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程。

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线21,ll使得21,ll与椭圆C都只有一个交点，且21,ll分别交其“准圆”于点NM,。

⑴当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求21,ll的方程；

⑵求证：MN为定值。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC⌒ 的中点，BD交AC于E．

（1）求证：CD2=DE·DB；

（2）若32CD，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

23. 已知曲线1C的极坐标方程为cos6，曲线2C的极坐标方程

为)(4R，曲线1C，2C相交于A，B两点．

（1）把曲线1C，2C的极坐标方程转化为直角坐标方程； A D C B

O. - 5 - （2）求弦AB的长度．

24． 已知不等式axx2|4||3|2．

（1）若1a，求不等式的解集；

（2）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．

2012年河北高考(衡水中学)

数学（文）试题答案

答案

CABBC CCCBD DD 8 120 9 （0，2）

17、

18. 解析】解：（1）因为BD是圆的直径， - 6 - 220002222220,34sin604,31sin3022...................6cos4529211,.......81sin(60200=90又分（2）在RTBCD中，CD=又=90平面分ABCBADADPBADRADDPADBDDPRBAADBABDRBDRPDCDRRRPCPDCDPDAPDABCDSABBC:Q0223132123145)2()2222241131313......133344P-ABC三棱锥P-ABC的体积为V分ABCRRRSPDRRRgg

19.

- 7 -

20（1）2()(0)xafxxx ……………………1分

（ⅰ）当0a时，()0fxQ()fx在(0,)上单调递增 ………………3分

（ⅱ）当0a时，若0,xa则()0fx；若,xa则()0fx()fx在0,a上单调递减，在(,)a上单调递增 ……………………5分

（2）设切点为000,ln2xxx1()2gxxQ ………………6分

切线方程为：00001ln2(2)()yxxxxx

Q切线过点（2，5）000015ln2(2)(2)xxxx

即000ln220xxx……（＊） ……………………8分

令()ln22xxxx，()ln1xx ………………9分

Q当0xe时，()0x；当xe时， ()0x

()x在0,e上单调递减，在(,)e上单调递增 ……………………10分

又2123()20,()0,()20eeeeeeQ()0x在21,ee上有两个零点，即方程（＊）在0,上有两个根

过点2,5可作两条直线与曲线()ygx相切． ……………………12分

21. 解：（Ⅰ）1,3,2bac。椭圆方程为1322yx，…………2分 - 8 - 准圆方程为422yx。 …………………………3分

（Ⅱ）⑴因为准圆422yx与y轴正半轴的交点为)2,0(P，

设过点)2,0(P且与椭圆有一个公共点的直线为2kxy，

所以由13222yxkxy消去y，得0912)31(22kxxk。

因为椭圆与2kxy只有一个公共点，

所以0)31(9414422kk，解得1k。 …………………………5分

所以21,ll方程为2,2xyxy。 …………………………6分

⑵①当21,ll中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，

因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为3x，

当1l方程为3x时，此时1l与准圆交于点1,3,1,3，

此时经过点1,3（或1,3）且与椭圆只有一个公共点的直线是1y（或1y），

即2l为1y（或1y），显然直线21,ll垂直；

同理可证1l方程为3x时，直线21,ll垂直。 …………………………7分

②当21,ll都有斜率时，设点),(00yxP，其中42020yx。

设经过点),(00yxP与椭圆只有一个公共点的直线为00)(yxxty，

则13)(2200yxtxytxy消去y，得03)(3)(6)312000022txyxtxytxt（。

由0化简整理得：012)32000220ytyxtx（。…………………………8分

因为42020yx，所以有0)3(2)32000220xtyxtx（。