全等三角形的性质

1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。

注意：“边边角”不一定成立。

反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。

【解题方法指导】例1. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。

分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；由AF＝DC，可以得到AC＝DF；由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC证明：在△BAF与△EDC中，∵AB∥DE∴∠A＝∠D又AB＝DE，AF＝DC∴△BAF≌△EDC（SAS）评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE⇒∠A＝∠D；由AF＝DC⇒AC＝DF）例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。

全等三角形的性质一、知识回顾1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

用符号“≌”表示，读作：全等。

4、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．5、全等三角形的表示：△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'．通常对应顶点字母写在对应位置上．二、典型例题例1：下列判断正确的是（）A．形状相同的图形叫全等形B．图形的面积相等的图形叫全等形C．部分重合的两个图形全等D．两个能完全重合的图形是全等形分析：要判断选项的正误，要以全等形的概念为依据，结合各选项认真验证，与之相符和是正确的，反之，是错误的．解答：A、如果形状相同而面积不同，则不是全等形，错；B、如果面积相等，而形状不同，则不是全等形，错；C、根据全等形概念，强调是完全重合，错．D、正确．故选D．______________________________________________________ _______________________________例2：在下列各组图形中，是全等的图形是（）分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形．只有选项C能够完全重合，A 中大小不一致，B，D中形状不同．解答：由全等形的概念可以判断：C中图形完全相同，符合全等形的要求，而A、B、D中图形很明显不相同，A中大小不一致，B，D中形状不同．故选C．______________________________________________________ _______________________________例3：下列说法中，错误的是（）A．全等三角形的面积相等B．全等三角形的周长相等C．面积相等的三角形全等D．面积不等的三角形不全等分析：判断选项是否正确，要根据全等三角形的性质，全等三角形的周长、面积分别相等；而面积相等的三角形不一定重合，即不一定全等，可得选项C 是错误的．解答：全等的三角形一定是能够互相重合的三角形，故全等的三角形面积相等，周长相等，而面积相同的两个三角形不一定能重合，即不一定全等，面积不等的三角形一定不会重合，不会全等．∴根据全等三角形的定义可知A、B、D均正确，C不正确．故选C．______________________________________________________ _______________________________例4：已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A=50°，∠B′=80°，则∠C的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°分析：根据全等三角形的对应角相等，可求得∠B=∠B′=80°；根据三角形内角和定理，即可求得∠C的度数．解答：∵△ABC≌△A′B′C′∴∠B=∠B′=180°∴∠C=180°-∠A-∠B=50°故选C．______________________________________________________ _______________________________例5：如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cmD．以上都不对分析：由△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，知AD和BC 是对应边，全等三角形的对应边相等即可得．解答：∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点∴AD=BC=5cm．故选B．______________________________________________________ _______________________________例6：如图△ABC≌△BAD，若AB=9，BD=8，AD=7，则BC的长为（）A．9 B．8 C．7 D．6分析：观察图形根据已知找出对应边，运用两三角形全等的性质得对应边相等可求解．解答：∵△ABC≌△BAD，∴BC=AD=7．故选C______________________________________________________ _______________________________例7：（2003·海南）如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．解答：∵△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E∴EF=BC，∠EAF=∠BAC∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF即∠EAB=∠FACAC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB∴①、②错误，③、④正确故选B．______________________________________________________ _______________________________例8：如图，在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠ABC=（）A．30°B．35°C．45°D．60°分析：运用全等三角形的性质可得出∠C=∠EDA=∠EDB=90°和∠B=∠BAE=∠CAE，从而求出∠B．解答：∵△ADE≌△BDE则∠ADE=∠BDE又∵∠ADE+∠BDE=180°∴∠ADE=∠BDE=90°∵△ACE≌△ADE∴∠C=∠ADE=90°∴∠CAB+∠B=90°又∵△ACE≌△ADE≌△BDE∴∠CAE=∠EAD=∠B=90°/3 =30°故选A．三、解题经验全等形的概念：两个能完全重合的图形是全等形，做题时要严格按照定义去判断。

初中数学全等三角形的性质有哪些全等三角形是指具有相等的三个内角和相等的对应边的三角形。

以下是关于全等三角形的性质：1. 对应角相等性质：全等三角形的对应内角是相等的。

也就是说，如果两个三角形的一个内角相等，那么它们的对应内角也相等。

2. 对应边相等性质：全等三角形的对应边的长度是相等的。

也就是说，如果两个三角形的一个边的长度相等，那么它们的对应边的长度也相等。

3. 全等三角形只有一个解：如果两个三角形的三个内角和三条边都相等，那么它们就是全等的。

这意味着全等三角形的相等条件是唯一的，不存在其他满足条件的三角形。

4. 全等三角形的对称性：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边和对应角都是相等的。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

5. 全等三角形的面积相等：如果两个三角形是全等的，那么它们的面积也是相等的。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的面积相等，记作∠ABC∠∠DEF。

6. 全等三角形的角平分线相等性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应角的角平分线也是相等的。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的∠A的角平分线等于∠D的角平分线，∠B的角平分线等于∠E的角平分线，∠C的角平分线等于∠F的角平分线。

7. 全等三角形的重心、垂心、外心、内心等特殊点重合性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。

8. 全等三角形的旁边关系：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边的旁边关系也是相等的。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么∠A的旁边边BC=∠D的旁边边EF，∠B的旁边边AC=∠E的旁边边DE，∠C的旁边边AB=∠F的旁边边CD。

三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。

其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。

本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。

一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。

全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。

二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。

2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。

3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。

4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。

通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。

三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。

例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。

2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。

通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。

3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。

4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。

我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。

【要点分析】一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若A C AB ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.5、如图，已知△ABE ≌△ACD,AB=AC ，BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（ ）A 120°B 60°C 50°D 70°6、 △''OA B 是由△OAB 绕点O 逆时针旋转60°得到的，那么△''OA B 与△OAB 是什么关系？若∠AOB=40°，∠B=30°，则∠'A 与'AOB 是多少度？【巩固提升】1.如图，△ABN ≌△ACM ，∠B 和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角．EDCBA A 'B 'BAO2.如图：△ABF≌△DCE，写出相等的线段．3.如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）写出相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．4.如图，△ABC≌△DEF，BF=3，EF=2．求FC的长5.已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC= ．6.如图，△ABC≌△ADE中，BA⊥AE，∠BAC=30°，AD=5，求BD的长．7.如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，AB=10cm，BC=16cm，求△DEF中，边DF的长度．8.如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高线，BE，CF相交于O，连接AO交BC 于D，且△BCF≌△CBE，∠ABC=70°，求∠1和∠2的度数．9.如图，已知△ABC≌△EFC，且CF=5，AC=12，∠EFC=50°，求∠E的度数和AB的长9.10.如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？11.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．12.已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 度，DE= cm．13.如图，A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？（答出5个即可，不需证明）14.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．15.如图△ABC≌△DBC，∠A=110°，则∠D= ．16..如图，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD．17.如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．18.如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，AB=8cm，BC=6cm，将△ABC沿射线DE的方向以2cm/秒的速度平移，在平移过程中，是否存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．一、选择题1. 如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（）A. AB＝CEB. ∠A＝∠EC. AC＝DED. ∠B＝∠D2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上C——都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于()A.120°B.70°C.60°D.50°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7. 如图，在△ABC中，AC＞BC＞AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______＜______＜_______(填边).FE DCBA8. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14.已知：如图，△ABC ≌△DEF ，且B ，E ，C ，F 四点在一条直线上，∠A ＝85°,∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2. （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE.15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.（） （2分钟）一. 选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. 全等三角形是指形状相同的三角形B. 全等三角形是指面积相等的三角形C. 全等三角形的周长和面积都相等T ——回顾小结D. 所有的等边三角形都全等2. 如图所示，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）AB C D EF30°50°第2题A. 30°B. 50°C. 60°D. 100°3. （2006年黑龙江）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°4. 已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）12ABCD第5题A. ∠1＝∠2B. AC ＝CAC. ∠B ＝∠DD. AC ＝BC6. 如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ）ABCD C'第6题A. △ADCB. △BDC ´C. △ADC ´D. 不存在7. 下图中，全等的图形有（ ）第7题A BCD E 第3题A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组 8. △ABC 与△DFE 是全等三角形，A 与D 对应，B 与F 对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）第8题A BCDE FA. 1组B. 2组C. 3组D. 4组二. 填空题9. 已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，则AC 的对应边是__________，∠ACB 的对应角是__________.10. 如图所示，把△ABC 沿直线BC 翻折180°到△DBC ，那么△ABC 和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC 的面积为2，那么△BDC 的面积为__________.A BCD第10题 11. 如图所示，△ABE ≌△ACD ，∠B ＝70°，∠AEB ＝75°，则∠CAE ＝__________°.ABC DE 第11题 12. 如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB ＝∠COD ，∠A ＝∠C ，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.AB CDO第12题13. 如图所示，△APB 与△CPD 全等.A B C D P 第13题（1）相等的边是：AB ＝CD ，__________，__________； （2）相等的角是：∠A ＝∠C ，__________，__________； （3）△APB 如何变换得到△CPD ？________________________________________. 14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.A BCD EF三. 解答题15. 如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，∠B ＝∠C ，试指出这两个三角形的对应边和对应角.ABCDEO16. 如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？AB CD EF17. 如图所示，△ABC ≌△AEC ，B 和E 是对应顶点，∠B ＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC 各内角的度数.ABCE18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.AB CDE F19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？A BC B'C'20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.ABC DE（1）AB CD（2）AB CD E（3）AB C（4）DE F。

全等三角形的性质课件教学内容：湘教版数学八年级上册第三单元“全等三角形的性质”教学目标：1、在现实情境中，了解全等形的概念及全等三角形的概念及其性质2、在具体情境中，会使用全等符号“≌”标注两个全等三角形3、会找出两个全等三角形的对应边和对应角教学重点：全等三角形的概念及性质教学难点：找全等三角形对应边和对应角教学用具：幻灯、全等三角形、剪刀、学具袋教学过程：（一）、教学导入1、问题：在平面内，我们学过哪几种图形的变换？共同的性质是什么？今天我们在它的基础上学习新的内容。

（二）、新授1、全等形及全等三角形的概念。

A、（幻灯）引出完全重合。

问题：同学们，你能举出生活中完全重合的两个图形的例子吗？让学生讨论，交流结果，充分肯定学生的思考与发现，教师可列举一些例子。

B、教师归纳（1）、全等形：能够完全重合的图形。

（2）、全等三角形：能够完全重合的两个三角形。

2、会使用全等符号“≌”标注两个全等三角形和找两全等三角形的对应边和对应角。

A、学生活动：每位同学用剪刀把准备好的全等三角形剪下来，意见和建议进一步加深概念的理解。

B、教师活动：将剪好的两个全等三角形贴在黑板上，标上顶点字母。

引出：（1）、△ABC全等于△A′B ′C ′,全等于用“≌”表示，读作“全等于”，记作：△ABC△≌△A′B ′C ′。

（2）、对应顶点：互相重合的顶点。

对应边：互相重合的边。

对应角：互相重合的角。

学生试结合图，在ABC△≌△A′B ′C ′中找出对应顶点、对应边和对应角。

C、师生活动：将叠合的两个三角形其中一块沿任意直线作轴反射，摆出这两个全等三角形不同位置的组合图形，并指出对应元素。

D、(幻灯2)出示习题，学生在练习本上完成，做完后与同学交流，教师查巡学生练习的情况，最后师生归纳找对应角，找对应边的方法。

E、(幻灯3)归纳找对应角、找对应边的方法。

3、全等三角形的性质A、在各种不同的变换下得到图形中，引导学生发现两个全等三角形的位置发生了变化，但他们的对应边、对应角不变，得出下面两条性质：性质1：全等三角形对应边相等性质2：全等三角形对应角相等B、（幻灯4）找出全等三角形中相等的边与相等的角。

全等三角形的性质全等三角形是指具有完全相等的形状和大小的三角形。

在几何学中，全等三角形具有一些独特的性质和特征。

本文将探讨全等三角形的性质，包括定义、判定条件以及相关的定理和应用。

一、定义全等三角形定义为具有完全相等的形状和大小的三角形。

换句话说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形就是全等三角形。

全等三角形可以通过一系列变换操作来叠加在一起，如平移、旋转和翻转。

二、判定条件为了判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件之一：1. SSS判定法：两个三角形的三条边相互对应相等。

2. SAS判定法：两个三角形的两条边和夹角相对应相等。

3. ASA判定法：两个三角形的一边和两个夹角相互对应相等。

4. RHS判定法：两个直角三角形的斜边和一个直角边相互对应相等。

三、全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：1. 三个内角完全相等：两个全等三角形的对应内角相等，即三个内角相互对应相等。

2. 三个内角和相等：两个全等三角形的内角和分别相等。

3. 对应的边相等：两个全等三角形的对应边分别相等。

4. 周长相等：两个全等三角形的周长相等。

5. 面积相等：两个全等三角形的面积相等。

四、全等三角形的相关定理全等三角形的性质使得它们具有一些重要的应用和相关定理，如下所示：1. 位于全等三角形相等边上的等角一定相等。

2. 位于全等三角形等角上的边上的角平分线相等。

3. 全等三角形的重心、外心和内心重合。

4. 如果两个三角形的某一边与两个相对角分别相等，则这两个三角形全等。

5. 全等三角形之间的比较定理，包括大小关系和边长比例关系。

五、应用全等三角形在几何学和实际生活中具有广泛的应用，例如：1. 测量和导航：通过观测两个全等三角形的边长和角度，可以计算出距离和方向。

2. 建筑和工程：使用全等三角形的定理来设计、计算和建造各种结构和设备。

3. 图像处理：利用全等三角形的性质来进行图像变换和形状匹配。

4. 运动轨迹：通过观察全等三角形的形状和大小变化，可以描述物体的运动轨迹。

全等三角形的知识点归纳1.全等三角形的定义：如果两个三角形的对应的边相等，对应的角也相等，则这两个三角形是全等三角形。

2.全等三角形的符号表示：通常使用三个粗体字母表示全等三角形，例如△ABC≌△DEF，表示△ABC全等于△DEF。

3.全等三角形的性质：a.边-边-边（SSS）全等：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。

b.顶角-底角-顶角（ASA）全等：如果两个三角形中两个顶角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。

c.底边-底角-底边（SAS）全等：如果两个三角形中两条底边和它们夹的角相等，则这两个三角形全等。

d.直角-直角-斜边（RHS）全等：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。

e.角-边-角（AAS）全等：如果两个三角形中两个夹角和它们的夹边相等，则这两个三角形全等。

f.边-角-边（ASA）全等：如果两个三角形中一条边和夹角相等，另一条边和夹角的夹边相等，且夹角不是直角，则这两个三角形全等。

4.全等三角形的性质推论：a.如果两个三角形是全等的，则它们对应的边和角是一一对应的。

b.全等三角形的一边等于另一个全等三角形的一边，一角等于另一个全等三角形的一角。

c.全等三角形的对应边和对应角是相等的。

d.全等三角形的对应边平行。

e.全等三角形的对应边垂直。

f.全等三角形的对应角相等。

g.如果一个角等于一个角，两边分别等于两边，那么两个三角形可能全等，也可能不全等。

5.全等三角形的判定方法：a.SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

b.SAS判定法：如果两个三角形的两条边和夹角相等，则这两个三角形全等。

c.ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一条边相等，则这两个三角形全等。

d.RHS判定法：如果两个直角三角形的一个直角和斜边相等，则这两个直角三角形全等。

6.全等三角形的性质应用：a.利用全等三角形的性质，可以证明两个三角形的各边之比相等。

B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③DAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DA ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图AEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。