江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练(六)曲线与方程、抛物线

(四)不等式选讲1．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝2，求证：x ＋y ≥2xy .证明 ∵x >0，y >0，∴要证x ＋y ≥2xy ，只要证(x ＋y )2≥4x 2y 2，即证x 2＋y 2＋2xy ≥4x 2y 2.∵x 2＋y 2＝2，∴只要证2＋2xy ≥4x 2y 2，即证2(xy )2－xy －1≤0，即证(2xy ＋1)(xy －1)≤0.∵2xy ＋1>0，∴只要证xy ≤1.∵2xy ≤x 2＋y 2＝2，∴xy ≤1成立，当且仅当x ＝y ＝1时取等号．∴x ＋y ≥2xy .2．已知a ，b ，c 都是正数且abc ＝1，求证：(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥27.证明 由算术－几何平均不等式可得2＋a ＝1＋1＋a ≥33a ，2＋b ＝1＋1＋b ≥33b ，2＋c ＝1＋1＋c ≥33c .不等式两边分别相乘可得，(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥33a ×33b ×33c ＝273abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．已知函数f (x )＝2|x －2|＋3|x ＋3|.若函数f (x )的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a ＋25b＝m ，求1a ＋1b的最小值，并求出此时a ，b 的值． 解 依题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x －5，x <－3，x ＋13，－3≤x ≤2，5x ＋5，x >2，当x ＝－3时，函数f (x )有最小值10，故4a ＋25b ＝10，故1a ＋1b ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ()4a ＋25b ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋25b a ＋4a b ≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋225b a ·4a b ＝4910，当且仅当25b a ＝4a b时等号成立， 此时a ＝57，b ＝27. 4．(2018·镇江调研)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．解 ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，∴f (x )min >a 2－3，又∵|x －a |＋|x ＋a |≥ |x －a －(x ＋a )|＝|2a |，∴|2a |>a 2－3，即|a |2－2|a |－3<0，解得－1<|a |<3.∴－3<a <3.。

(四)不等式选讲1．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝2，求证：x ＋y ≥2xy .证明　∵x >0，y >0，∴要证x ＋y ≥2xy ，只要证(x ＋y )2≥4x 2y 2，即证x 2＋y 2＋2xy ≥4x 2y 2.∵x 2＋y 2＝2，∴只要证2＋2xy ≥4x 2y 2，即证2(xy )2－xy －1≤0，即证(2xy ＋1)(xy －1)≤0.∵2xy ＋1>0，∴只要证xy ≤1.∵2xy ≤x 2＋y 2＝2，∴xy ≤1成立，当且仅当x ＝y ＝1时取等号．∴x ＋y ≥2xy .2．已知a ，b ，c 都是正数且abc ＝1，求证：(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥27.证明　由算术－几何平均不等式可得2＋a ＝1＋1＋a ≥3，3a 2＋b ＝1＋1＋b ≥3，3b 2＋c ＝1＋1＋c ≥3.3c 不等式两边分别相乘可得，(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥3×3×3＝27＝27，3a 3b 3c 3abc 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．已知函数f (x )＝2|x －2|＋3|x ＋3|.若函数f (x )的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a ＋25b ＝m ，求＋的最小值，并求出此时a ，b 的值．1a 1b 解　依题意知，f (x )＝Error!当x ＝－3时，函数f (x )有最小值10，故4a ＋25b ＝10，故＋＝1a 1b 110(1a ＋1b )(4a ＋25b )＝≥＝，110(29＋25b a ＋4a b )110(29＋225b a ·4a b )4910当且仅当＝时等号成立，25ba 4ab 此时a ＝，b ＝.57274．(2018·镇江调研)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．解　∵对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，∴f (x )min >a 2－3，又∵|x －a |＋|x ＋a |≥ |x －a －(x ＋a )|＝|2a |，∴|2a |>a 2－3，即|a |2－2|a |－3<0，解得－1<|a |<3.∴－3<a <3.。

(九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解　当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝Error!即a n ＝Error!(2)证明　当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C ·44t －5＋…－(－1)r C ·44t －4－r ＋…－C ·4，14(t －1)r 4(t －1)454(t －1)∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a －na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.122n 12(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a ≥4n n .n (1)解　a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a －ka k ＋1＝(k ＋2)2－k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，122k 121212即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明　原不等式等价于n ≥4.(1＋2n )显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，n ＝C ＋C ＋C 2＋…＋C n >C ＋C ＋C 2＝5－>4.(1＋2n )0n 1n 2n 2n (2n )n (2n )0n 1n 2n 2n (2n )2n综上所述，当n ≥2时，a ≥4n n .n 3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解　∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立，－12－x ∴a ≥.12－x又g (x )＝在区间(0,1)上是增函数，12－x ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明　先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数，∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小．解　(1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，∴Error!解得2k －1≤x ≤2k ，∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n ＋n －1，∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0；当n＝2时，S2－P2＝4－4＝0；当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1<0；当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.猜想：当n≥5时，S n－P n>0.证明如下：①当n＝5时，由上述可知S n－P n>0.②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，S k－P k＝2k－k2>0.当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1＝2k＋1－(k＋1)2＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1＝2(S k－P k)＋k2－2k－1>k2－2k－1＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1>0成立．由①②可知，当n≥5时，S n－P n>0成立，即S n>P n成立．由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，S n>P n；当n＝2或n＝4时，S n＝P n；当n＝3时，S n<P n.。

(七)计数原理1．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑n ＝110a n 的值；(2)∑n ＝110na n 的值．解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中， 令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32.所以∑n ＝110a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导， 得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9. 在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中，令x ＝0，整理得∑n ＝110na n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160. 2．设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项． (1)若d ＝3，试判断⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m 的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．(1)解 因为{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n －2.假设⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中第r ＋1项为常数项(r ∈N )，T r ＋1＝C r m x m －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝32C m r rm x -，于是m －32r ＝0.设m ＝3n －2(n ∈N *)，则有3n －2＝32r ，即r ＝2n －43，这与r ∈N 矛盾．所以假设不成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中不含常数项．(2)证明 由题设知a n ＝1＋(n －1)d ，设m ＝1＋(n －1)d ，由(1)知，要使对于每一个m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项，必须有：对于n ∈N *，满足1＋(n －1)d －32r ＝0的r 无自然数解，即r ＝2d3(n －1)＋23∉N .当d ＝3k (k ∈N *)时，r ＝2d3(n －1)＋23＝2k (n －1)＋23∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项． 3．已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式．(1)解 因为T r ＋1＝C r n 2n －rx 2r，当r2＝3时，r ＝6，故x 3项的系数为C 6n 2n －6＝14，解得n ＝7.(2)证明 由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝p ＋3q ＝p 2＋3q 2，p ，q ∈N *，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *，则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *. ∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n ＝1，∴a －b ＝1，令a ＝s ，s ∈N *，得b ＝s －1， ∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.4．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *.(1)求值：①k C k n －n C k －1n －1；②k 2C k n －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1(k ≥2)；(2)化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n . 解 (1)①k C k n －n C k －1n －1＝k ×n ！k ！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！ ＝n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝0. ②k 2C k n －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1＝k 2×n ！k ！(n －k )！－n (n －1)×(n －2)！(k －2)！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝k ×n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －2)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －2)！(n －k )！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0. (2)由(1)可知当k ≥2时，(k ＋1)2C k n＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C k n＝[n (n －1)C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C k n＝n (n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C k n .故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n (n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n (C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n )＝(1＋4n )＋n (n －1)2n －2＋3n (2n －1－1)＋(2n －1－n ) ＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．。

(九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5，n ＝1，－1，n≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，n ＝1，0，n≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 错误!·44t －5＋…－(－1)r C 错误!·44t －4－r ＋…－C 错误!·4， ∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n ≥4n n .(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)． (2)证明 原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ≥4. 显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C0n ＋C1n 2n ＋C2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋Cn n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C0n ＋C1n 2n ＋C2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n >4. 综上所述，当n ≥2时，a n ≥4n n .3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝－12－x＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立， ∴a ≥12－x. 又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数， ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f(k)的解析式；(2)记S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，P n＝n2＋n－1(n∈N*)，试比较S n与P n的大小．解(1)∵log2x＋log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)，∴错误!解得2k－1≤x≤2k，∴f(k)＝2k－2k－1＋1＝2k－1＋1.(2)∵S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋n＝2n＋n－1，∴S n－P n＝2n－n2.当n＝1时，S1－P1＝2－1＝1>0；当n＝2时，S2－P2＝4－4＝0；当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1<0；当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.猜想：当n≥5时，S n－P n>0.证明如下：①当n＝5时，由上述可知S n－P n>0.②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，S k－P k＝2k－k2>0.当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1＝2k＋1－(k＋1)2＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1＝2(S k－P k)＋k2－2k－1>k2－2k－1＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1>0成立．由①②可知，当n≥5时，S n－P n>0成立，即S n>P n成立．由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，S n>P n；当n＝2或n＝4时，S n＝P n；当n＝3时，S n<P n.。

专题10--抛物线与轨迹方程一、基础练习二、知识梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．曲线既可以看成符合某种条件的点的集合，又可以看成满足某种条件的动点运动的轨迹，因此，此类问题有时也叫做轨迹问题．2．求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示曲线上的任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合：；（3）用坐标表示条件，列出方程f（x，y）＝0；（4）化方程f（x，y）＝0的最简形式；（5）证明化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以忽略不写，如有特殊情况，可以适当地加以说明．3．求轨迹方程的常用方法（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程———先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）相关点法：动点P（x，y）随另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，并且Q（x0，y0）又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将点Q（x0，y0）代入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．三、例题精讲类型一直接法求轨迹方程直接法求动点的轨迹方程的一般步骤（1）建系———建立适当的坐标系；（2）设点———设轨迹上的任一点P（x，y）；（3）列式———列出动点P所满足的关系式；（4）代换———选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；1．平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y），C （x ，y ），若BC AB ⊥，则动点C 的轨迹方程是 ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为坐标平面内的动点，且满足0.=PF PM ，0=+PN PM（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是直线l ：x =-1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证k 1+k 2=2k 03．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （－1，1），P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足PA OA OP k k k =+． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）与Q 是轨迹C 上异于点P 的一点，且OA PQ λ=，直线OP 与QA 交于点M ，请问：是否存在点P ，使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．定义法是利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，直接写出所求的动点的轨迹方程，求解时要根据题设中的条件，或利用平面几何知识等去分析，找到解题思路．利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．若△ABC 的顶点A （－5，0）、B （5，0），△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：12322=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于直线l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线与直线l 2的交点M 的轨迹为曲线C 2． （1）求曲线C 2的方程；（2）已知点Q 是曲线C 2上的一点，点F 是曲线C 2的焦点，以QF 为直径的圆与y 轴交于点A （0，2），求点Q 的坐标．类型三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤如下：（1）设点：设被动点坐标为（x ，y ），主动点坐标为（x 1，y 1）； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎨⎧==),(),(11y x g y y x f x（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．1．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |（m ＞0，且m ≠1）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ．是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ △PH ？ 若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．1、【苏州市2018届高三第一学期期末调研.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5，1)．若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点． （1）求证：OA ⊥OB ；（2）在x 轴上是否存在一点P (m ，0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．四、巩固训练1．【苏州市2017届高三9月调研.23题】已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1,1）作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ．若直线AR ,BR 分别交直线:22l y x =+于M ,N 两点，求线段MN 最小时直线AB 的方程．2．【扬州、淮安、南通等七市2017-2018学年度高三第三次调研.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线l 过点F 与抛物线相交于A B ，两点（点A 在第一象限）．（1）若直线l 的方程为4233y x =-，求直线OA 的斜率；（2）已知点C 在直线x p =-上，△ABC 是边长为23p +的正三角形，求抛物线的方程．3．【南通市、泰州市2017届高三一模.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．y = f (x )yOxF AB PE4．【苏北四市2018届高三第一次调研.23题】 在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．5．【2011湖北高考21题】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN =ON =1，MN=3．当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线l 1：x -2y=0和l 2：x +2y =0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图1 图26．【2017如东、前黄、栟茶、马塘四校联考.22】在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(0,-8)， M 、N 分别是x 轴、y 轴上的点，点P 在直线MN上，满足0=+NP NM ，0.=MN AM ． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设F 是P 点轨迹的焦点，C ，D 为P 点轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC 、FD 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1+k 2=0，求证：直线CD 过定点．7．【苏北三市2017届高三第三次调研.22题】在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，直线1x =-与动直线y n =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y n =的交点为P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AM B ∠的大小为定值．8．如图，抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线上一定点Q (1,2)． （1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程．（2）过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在λ，M P O F x y求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、基础练习二、知识梳理三、例题精讲 题组一1、答案：x y 82=解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,2,22,0y y y AB ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,0,y x y y x BC ∵BC AB ⊥，0.=BC AB∴02,2,2=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y ，即x y 82= 2、解答：（1）设点N （x ，y ），M （a ，0），P （0，b ）． ∵0=+PN PM 可知，∴点P 是MN 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b y xa 2002，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=2y b x a∴点M （-x ，0），P (0，2y） ∴)2,(y x PM --=，)2,1(y PF -=∵0.=PF PM ，∴042=+-y x ，即x y 42=∴动点N 的轨迹C 的方程为x y 42=（2）证明：设点Q （-1，t ），由于过点Q 的直线y -t =k （x +1）与轨迹C ：x y 42=相切，联立方程⎩⎨⎧+=-=)1(42x k t y x y ，整理得0)()2(22222=++-++t k x kt k x k 则0)(4)2(42222=+--+=∆t k k kt k 化简得012=-+tk k由题意得k 1,k 2是关于k 的方程012=-+tk k 的两个字根，23、【解】：（1）设点P （x ，y ）为所求轨迹上的任意一点， 则由PA OA OP k k k =+，得1111+-=-+x y x y ， 整理得轨迹C 的方程为2x y =（0≠x 且1≠x ）． （2）设，由可知直线PQ△OA ， 则，故，即，由O 、M 、P 三点共线可知，与共线，△， 由（1）知， 故， 同理，由与共线，△，即，由（△）知，故，将代入上式得，整理得， 由得，由，得到， 因为PQ △OA ，所以， 由，得， △P 的坐标为（1，1） 题组二1、【答案】：)3(116922>=-x y x2、【解】：（1）易得直线l 1：x ＝－1，F 2（1，0）， 因为点M 是线段PF 2的垂直平分线与直线l 2的交点， 所以|MP |＝|MF 2|，即点M 到直线l 1：x ＝－1的距离等于到定点F 2（1，0）的距离，由抛物线的定义可得点M 的轨迹是以直线l 1：x ＝－1 为准线，点F 2（1，0）为焦点的抛物线，方程为y 2＝4x ．（2）设 Q （x ，y ），易知F （1，0）， 因为以QF 为直径的圆过点A （0，2）， 所以AF △AQ ，即0.=AQ AF ，易求得AF ＝（1，－2），AQ ＝（x ，y －2）， 则x －2（y －2）＝0，结合y 2＝4x ， 解得x ＝4，y ＝4，即Q （4，4）． 题组三1、【解】：（1）如图1，设M （x ，y ），A （x 0，y 0） △|DM |=m |DA |， △x =x 0，|y |=m |y 0|△x 0=x ，|y 0|= |y |....................................△ △点A 在圆上运动，△12020=+y x ....................................△△代入△即得所求曲线C 的方程为)1,0(1222≠>=+m m my x△m △（0，1）△（1，+∞），△0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ 21m --，0）， （ 21m -，0） m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ 0，12--m ）， （（ 0，12-m ）（2）如图2、3，△x 1△（0，1），设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （x 2，y 2），N （0，y 1），△P ，H 两点在椭圆C 上，△⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222221212my x m m y x m△-△可得221212121))(())((m x x x x y y y y -=+-+-△△Q ，N ，H 三点共线， △k QN =k QH ， △2121112x x y y x y ++= △k PQ k PH =2)()(2211211m x x x y y y -=--△PQ △PH ，△k PQ ·k PH =-1△122-=-m△m ＞0，△2=m故存在2=m ，使得在其对应的椭圆1222=+y x 上，对任意k ＞0，都有PQ △PH题组四1. （1）证明：由OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t ∈R )可知，点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－（－3）4(x －1)，即y ＝x －4.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简整理，得x 2－12x ＋16＝0 设C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16. 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0， 所以OA ⊥OB（2）解：假设存在这样的点P ，并设A ′B ′是过抛物线的弦，其方程为x ＝ny ＋m ，A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4ny －4m ＝0 此时y 3＋y 4＝4n ，y 3y 4＝－4m ，所以k OA ′k OB ＝y 3x 3·y 4x 4＝y 3y 234·y 4y 244＝16y 3y 4＝－4m＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4，0)满足题意． 设A′B′的中点为T(x ，y )，即y ＝12(y 3＋y 4)＝2n ，x ＝12(x 3＋x 4)＝12(ny 3＋4＋ny 4＋4)＝n2(y 3＋y 4)＋4＝2n 2＋4，消去n ，得y 2＝2x －8.即m 的值为4，圆心的轨迹方程为y 2＝2x －8.四、巩固训练1、【解】：（1）将(1,2)R 代入抛物线中，可得2p =，所以抛物线方程为24y x =…3分 （2）设AB 所在直线方程为(1)1(0)x m y m =-+≠，1122(,),(,)A x y B x y 与抛物线联立241y xx my m ⎧=⎨=-+⎩得： 244(1)0y my m -+-=，所以12124,4(1)y y m y y m +==-设AR ：1(1)2y k x =-+，由1(1)222y k x y x =-+⎧⎨=+⎩得112M k x k =-，而11121112241214y y k y x y --===-+-可得12M x y =-，同理22N x y =-所以|||M N MN x x =-= 令1(0)m t t -=≠，则1m t =+所以|||M N MN x x =-= 此时1m =-，AB 所在直线方程为：20x y +-=2、【解】由题意，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l 上，所以43×p 2－23＝0，解得p ＝1. 所以抛物线的方程为 y 2＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －23，y 2＝2x消去x 得 2y 2－3y －2＝0， 所以y ＝2或y ＝－12.因为点A 在第一象限， 所以点A 的坐标为(2，2)， 所以直线OA 的斜率为1.(3分)（2）依题意，直线l 的斜率存在，且不为零．设直线l 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(－p ，y 3)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2消去y 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0，Δ＝4p 2＋4k 2p 2>0，x 1.2＝（k 2p ＋2p ）±Δ2k 2， 所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝2p ＋3，即2pk 2＝3 MC ＝（x 0＋p ）2＋（y 0－y 3）2＝1＋1k 2|x 0＋p|.因为x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p 2k 2＝12p ＋pk 2， 所以MC ＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫32p ＋p k 2，将1k 2＝32p 代入，得MC ＝1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32.(8分)因为△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形，所以MC ＝32(2p ＋3)， 所以1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32＝32(2p ＋3)，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝23x.(10分)3．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(1)M m ，，由抛物线定义，知 12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =y = f (x )yOxF AB PE（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-． 令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，． 因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=． 则点2()4tE t ，到直线PF的距离为d ==． 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y2y =， 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x +'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x =32min4)()g x ==所以△EAB的面积的最小值为4、【解】（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t =+-+=++>． 令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t 时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=． 5、【解】（I ）设点D (t ,0)(|t|≤2)，N (x 0,y 0)，M (x ,y )，依题意，=2，且||=||=1，所以(t-x ,-y )=2(x 0-t ,y 0)，且即，且t (t-2x 0)=0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t =2x 0，故x 0=，y 0=-，代入+=1，可得+=1,即所求的曲线C 的方程为+=1.（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =4或x =-4，都有S △OPQ =×4×4=8.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m(k≠±)，由消去y，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P(,)；同理可得Q(,).由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|，可得S△OPQ=|PQ|·d= |m||x P-x Q|=·|m||+|=||....................②将①代入②得，S△OPQ=||=8.当k2>时，S△OPQ=8()=8(1+)>8;当0≤k2<时，S△OPQ=8()=8(-1+).因0≤k2<，则0<1-4k2≤1，≥2，所以S△OPQ=8(-1+)≥8，当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时，S△OPQ的最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.6、【解】（1）设P点坐标为(x,y)，M点坐标为(a,0)，N点坐标为(0,b).由0MN.=AM=+NPNM，0得2,2,80,x a y b a b =-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩消去a ，b 得x 2=4y . 故动点P 的轨迹方程为x 2=4y .（2）证明：设C ,D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则21x =4y 1，22x =4y 2，两式相减得21x -22x =4(y 1-y 2)， 所以k CD =1212y y x x --=124x x +，由（1）可知F 的坐标为(0,1)，则k 1=111y x -，k 2=221y x -，由k 1+k 2=0得x 1y 2+x 2y 1=x 1+x 2.所以x 1·224x +x 2·214x =x 1+x 2，化简得x 1x 2=4(显然x 1+x 2≠0). 直线CD 的方程为y -y 1=124x x +(x -x 1). 令x =0，得y =y 1-21124x x x +=2111244y x x x --=-124x x =-1 所以直线CD 过定点(0,-1)7、【解】（1）因为直线y n =与垂直，所以MP 为点到直线的距离．连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以MP PF =． 所以点的轨迹是抛物线．……………………………………………………2分 焦点为，准线为．所以曲线E 的方程为． ………………………………………………5分 （2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，联立2,4,y kx k n y x =++⎧⎨=⎩ 得， 所以1164(44)0k k n ∆=-+=，即（*），……………………8分 因为2240n ∆=+>，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，因为121k k ⋅=-，所以，为定值． ……………………………10分8．【解】：（1）把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程：x ＝－1. （2）由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1，可知M (－1，－2k )． 又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 21x =-P 1x =-PF P MF y n =P (1,0)F 1x =-24y x =(1,)M n -(1)y n k x -=+24440ky y k n -++=210k kn +-=12,k k 90AMB ∠=︒＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ， 即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝2k －22k 2＋4k 2－21－2k 2＋4k2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．。

(二)矩阵与变换1．(2018·南京模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1.若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程． 解 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1，设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，因为P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0.①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x0＋2y0＝x ，y0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝12x －y ，y0＝y.②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.2．已知曲线C ：y 2＝12x ，C 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y′ x′， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y′，y ＝x′，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝y ，y′＝－12x.又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4. 因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y .令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 4．(2018·扬州模拟)已知x ，y ∈R ，若点M (1,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 3y 对应的变换作用下得到点N (3,5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1. 解 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3 y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 2.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2， 所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2.。

(七）计数原理1．已知等式(x2＋2x＋2）5＝a0＋a1(x＋1)＋a2（x＋1)2＋...＋a9（x＋1）9＋a10（x＋1）10，其中a i（i＝0,1,2, (10)为实常数．求：(1)错误!n的值；(2）错误!a n的值．解(1)在（x2＋2x＋2)5＝a0＋a1（x＋1）＋a2(x＋1）2＋…＋a9(x＋1）9＋a10(x＋1）10中，令x＝－1，得a0＝1。

令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32.所以错误!n＝a1＋a2＋…＋a10＝31。

(2)等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2（x＋1)2＋…＋a9（x＋1）9＋a10（x＋1）10两边对x求导,得5（x2＋2x＋2）4·(2x＋2）＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋9a9（x＋1)8＋10a10(x＋1）9.在5(x2＋2x＋2)4·(2x＋2)＝a1＋2a2（x＋1)＋…＋9a9（x＋1)8＋10a10（x＋1)9中,令x＝0，整理得错误!a n＝a1＋2a2＋…＋9a9＋10a10＝5·25＝160。

2．设等差数列｛a n}的首项为1，公差为d(d∈N*），m为数列｛a n｝中的项．（1)若d＝3,试判断错误!m的展开式中是否含有常数项？并说明理由;(2)证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，错误!m的展开式中均不含常数项．(1)解因为{a n}是首项为1,公差为3的等差数列,所以a n＝3n－2。

假设错误!m的展开式中第r＋1项为常数项(r∈N），T r＋1＝C r，m x m－r错误!r＝32C m rrmx ，于是m－错误!r＝0.设m＝3n－2(n∈N＊),则有3n－2＝错误!r,即r＝2n－错误!，这与r∈N矛盾．所以假设不成立，即错误!m 的展开式中不含常数项．（2)证明 由题设知a n ＝1＋（n －1)d ，设m ＝1＋（n －1)d ，由(1）知，要使对于每一个m ，错误!m 的展开式中均不含常数项，必须有：对于n ∈N *,满足1＋(n －1）d －错误!r ＝0的r 无自然数解，即r ＝错误!(n －1）＋错误!∉N . 当d ＝3k (k ∈N ＊)时，r ＝错误!（n －1)＋错误!＝2k （n －1）＋错误!∉N 。

高考填空题分项练6 函数与导数1．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 －2 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2. ∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.2．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4. 3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <12 解析 ∵f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，且函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－2，＋∞)上恒成立，∴a ≤12.当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去．∴a <12.4．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为________． 答案 0解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则f ′(x )＝x －1x 2， 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )<0，当x ∈[1,2]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a 的最大值为0.5．若函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9，则m 的值是________． 答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，得x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9， 即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，解得m ＝2.6．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当0<a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．7．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是______．(填序号)①f (x )＝2－x；②f (x )＝x 2； ③f (x )＝3－x ；④f (x )＝cos x . 答案 ①解析 若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于①式，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，②③④均不符合题意．8．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是_____． 答案 －12解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.∴在[－1,1]上，当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，∴x ＝0是f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )max ＝f (0)＝a ＝2， ∴f (x )＝x 3－32x 2＋2.又f (－1)＝－12，f (1)＝32，∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－12.9．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,2)解析 令f (x )＝0，得a ＝3x －x 3， 于是y ＝a 和y ＝3x －x 3应有3个不同交点， 令y ＝g (x )＝3x －x 3，则g ′(x )＝3－3x 2. 由g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－1，∴g (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，∴当x ＝－1时，g (x )取得极小值－2，当x ＝1时，g (x )取得极大值2.画出y ＝3x －x 3的图象如图，若y ＝a 和y ＝3x －x 3有3个不同交点，则－2<a <2.10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4解析 当x ＝0时，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，x ∈(0,1]，则g ′(x )＝3(1－2x )x4. 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减．因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.所以a ＝4.11．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________千米/时． 答案 20解析 设航速为v 千米/时(0≤v ≤30)，每小时的燃料费为m 元，则m ＝kv 3， ∵当v ＝10时，m ＝25，代入上式，得k ＝140，则总费用y ＝800v ·m ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v，∴y ′＝40v －320 000v2.令y ′＝0，得v ＝20. 经判断知当v ＝20时，y 最小．12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 方法一 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ， 得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <3时，f ′(x )<0； 当x >3时，f ′(x )>0. ∴当x ＝1时，f (x )有极大值， 当x ＝3时，f (x )有极小值． ∵函数f (x )有三个零点， ∴f (1)>0，f (3)<0， 且a <1<b <3<c .又∵f (3)＝27－54＋27－abc ＝－abc <0， ∴abc >0，得a >0，因此f (0)<f (a )＝0， ∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0. 故正确结论的序号是②③.方法二 由题设知f (x )＝0有3个不同零点．如图所示．设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ，∴f (x )＝g (x )－abc ，f (x )有3个零点，需将g (x )的图象向下平移至如图所示位置． 观察图象可知，f (0)f (1)<0且f (0)f (3)>0. 故②③正确．13．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x<0的解集为________．答案 (0，＋∞)解析 构造函数g (x )＝f (x )ex，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex，因为f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0， 故函数g (x )在R 上为减函数， 又f (0)＝12，所以g (0)＝f (0)e 0＝12，则不等式f (x )－12e x <0可化为f (x )e x <12，即g (x )<12＝g (0)，所以x >0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．14．(2018·苏州模拟)如果函数y ＝f (x )在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i －2|f (x i )＝1(i ＝1,2,3)，则称函数f (x )具有性质Ω.已知函数f (x )＝a e x具有性质 Ω，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析 由题意知，若f (x )具有性质Ω，则在定义域内|x －2|f (x )＝1有3个不同的实数根， ∵ f (x )＝a e x ，∴ 1a＝|x －2|·e x，即方程1a＝|x －2|·e x在R 上有3个不同的实数根．设g (x )＝|x －2|·e x＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)·e x，x ≥2，(2－x )·e x，x <2，当x ≥2时，g ′(x )＝(x －1)·e x>0，即g (x )在[2，＋∞)上单调递增； 当x <2时，g ′(x )＝(1－x )·e x，g (x )>0，∴g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又∵ g (1)＝e ，g (2)＝0，∴方程1a ＝|x －2|·e x在R 上有3个不同的实数根即函数g (x )与y ＝1a的图象有3个交点．∴0<1a <e ，∴a >1e.。

(一)几何证明选讲1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值．解 连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ， 所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB )＝12(180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°.2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长．解 因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°. 因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3. 又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝233， 所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433.3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE .求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线； (2)AE ＝2EB .证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°， ∴∠DAB ＝∠BDE ， ∵CD 切圆O 于点D ， ∴∠CDB ＝∠DAB ， ∴∠BDE ＝∠CDB ， ∴DB 是∠CDE 的平分线．(2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE＝3，即CD ＝3DE .设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ， 在Rt△CDE 中，由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ， 由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ，CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ，则AE ＝2EB .4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ，求证：(1)PF FD ＝PDDC；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ， 则△BDF 是等腰直角三角形， 于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°， 故∠DPC ＝45°.又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ， 所以PF FD ＝PD DC.①(2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ， 知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE . 于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FPDF .故由①得EP DE ＝PD DC，②由∠EPD ＝∠EDC ，结合②得，△EPD ∽△EDC ， 从而△EPD 也是等腰三角形．于是，∠PED ＝∠EPD ＝∠EDC ，所以PE ∥BC .(二)矩阵与变换1．(2018·南京模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001.若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程． 解 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201，设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，因为P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上， 所以x 0－y 0＋2＝0.①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 201 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2y 0＝x ，y 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y .②将②代入①得x －4y ＋4＝0， 所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.2．已知曲线C ：y 2＝12x ，C 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程． 解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y .令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 4．(2018·扬州模拟)已知x ，y ∈R ，若点M (1,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y 对应的变换作用下得到点N (3,5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35， 即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 132 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2.(三)坐标系与参数方程1．(2018·南京六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t(t 为参数)．求直线l 被曲线C 截得的弦长．解 曲线C 的直角坐标方程是x 2＋(y －1)2＝1， 直线l 的普通方程是x ＋2y －3＝0， 圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|2－3|12＋22＝55， 所以直线l 被曲线C 截得的弦长为 212－⎝⎛⎭⎪⎫552＝455. 2．(2018·江苏南京外国语学校月考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，m 为常数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.若直线l 与圆C 有两个不同的公共点，求实数m 的取值范围．解 圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 直线l 的极坐标方程化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝2，即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝0. 因为圆C 的圆心为C (m,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2，直线l 与圆C 有两个不同的公共点，所以d ＝|m －2|2<2，解得2－22<m <2＋22，即实数m 的取值范围是(2－22，2＋22)．3．(2018·江苏南京师大附中模拟)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2.直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x .圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1.所以AB ＝2.4．(2018·江苏泰州中学月考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，曲线D 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．曲线C 和曲线D 相交于A ，B 两点． (1)求点P 的直角坐标；(2)求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程； (3)求△PAB 的面枳S ，解 (1)设点P 的直角坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos π2＝0，y ＝2sin π2＝2，∴点P 的直角坐标为()0，2.(2)将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρcos θ－ρsin θ＝1， 得x －y ＝1，∴曲线C 的直角坐标方程为x －y －1＝0.消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α 中的参数α，得(x －1)2＋y 2＝1，∴曲线D 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(3)因为直线C ：x －y －1＝0过圆D ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心， ∴AB 为圆D 的直径， ∴AB ＝2.又点P (0,2)到直线C ：x －y －1＝0的距离为d ＝32＝322，∴S △PAB ＝12AB ·d ＝12×2×322＝322.(四)不等式选讲1．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝2，求证：x ＋y ≥2xy . 证明 ∵x >0，y >0，∴要证x ＋y ≥2xy ，只要证(x ＋y )2≥4x 2y 2， 即证x 2＋y 2＋2xy ≥4x 2y 2.∵x 2＋y 2＝2，∴只要证2＋2xy ≥4x 2y 2，即证2(xy )2－xy －1≤0，即证(2xy ＋1)(xy －1)≤0. ∵2xy ＋1>0，∴只要证xy ≤1. ∵2xy ≤x 2＋y 2＝2，∴xy ≤1成立， 当且仅当x ＝y ＝1时取等号． ∴x ＋y ≥2xy .2．已知a ，b ，c 都是正数且abc ＝1，求证：(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥27. 证明 由算术－几何平均不等式可得 2＋a ＝1＋1＋a ≥33a ， 2＋b ＝1＋1＋b ≥33b ， 2＋c ＝1＋1＋c ≥33c . 不等式两边分别相乘可得，(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥33a ×33b ×33c ＝273abc ＝27， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．已知函数f (x )＝2|x －2|＋3|x ＋3|.若函数f (x )的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a ＋25b ＝m ，求1a ＋1b的最小值，并求出此时a ，b 的值．解 依题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －5，x <－3，x ＋13，－3≤x ≤2，5x ＋5，x >2，当x ＝－3时，函数f (x )有最小值10，故4a ＋25b ＝10，故1a ＋1b ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ()4a ＋25b ＝110⎝⎛⎭⎪⎫29＋25b a ＋4a b ≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋225b a ·4a b ＝4910， 当且仅当25b a ＝4ab时等号成立，此时a ＝57，b ＝27.4．(2018·镇江调研)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．解 ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立， ∴f (x )min >a 2－3，又∵|x －a |＋|x ＋a |≥ |x －a －(x ＋a )|＝|2a |， ∴|2a |>a 2－3， 即|a |2－2|a |－3<0， 解得－1<|a |<3. ∴－3<a <3.(五)空间向量与立体几何1．(2018·盐城模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在PD ，PC 上，PN →＝12NC →，PM ＝MD .(1)求证：PC ⊥平面AMN ； (2)求二面角B －AN －M 的余弦值．(1)证明 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．又∵PA ＝AD ＝2， ∴P (0,0,2)，D (0,2,0)，B (2,0,0)，∴M (0,1,1)，C (2,2,0)．∴PC →＝(2,2，－2)，AM →＝(0,1,1)． ∵PC →·AM →＝0＋2－2＝0， ∴PC ⊥AM .设N (x ，y ，z )，∵PN →＝12NC →，求得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. ∵PC →·AN →＝43＋43－83＝0，∴AN ⊥PC .又AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂平面AMN ， ∴PC ⊥平面AMN .(2)解 设平面BAN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0，令z ＝－1，∴n ＝(0,2，－1)．∵PC →＝(2,2，－2)是平面AMN 的法向量， ∴cos〈n ，PC →〉＝n ·PC →|n ||PC →|＝155.由图知二面角B －AN －M 为钝二面角， ∴二面角B －AN －M 的余弦值为－155. 2.如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)，∴co s 〈EB →，AC →〉＝－25，又异面直线所成的角为锐角或直角， ∴异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)， 设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)，平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值的绝对值为23，∴sin θ＝53， 即二面角A －BE －C 的正弦值为53. 3.三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)．设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0， 得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)． 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)． 由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， 得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)． 设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265，sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.4.如图，在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小． 解 连结OB ，由题意得OS ，OB ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.所以O (0,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，S (0,0,3)，B (3,0,0)．(1)设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，连结OD ，则OD →＝(1－λ)OB →＋λOS →＝(3(1－λ)，0,3λ)， 所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故当SD DB ＝12时，CD ⊥AB .(2)平面ACB 的法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，得⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取z ＝1，则n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋3×0＋1×112＋12＋(3)2＝15， 显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为55. (六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作抛物线的两条弦AB ，CD ，设直线AC 与BD 的交点为P ，直线AC ，BD 分别与y 轴交于M ，N 两点．(1)求证：点P 恒在抛物线的准线上； (2)求证：四边形PMFN 是平行四边形．证明 (1)由题意知F (1,0)，不妨设A (a 2,2a )，D (b 2,2b )，a >0，b <0，B (x B ，y B )． 直线AB 的方程为2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，得ay 2＋2(1－a 2)y －4a ＝0， 由2ay B ＝－4，得y B ＝－2a，代入抛物线方程y 2＝4x ， 得x B ＝1a 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，－2a ，同理得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2，－2b ，则直线AC 的方程为y ＝2b ab －1x －2aab －1， 直线BD 的方程为y ＝2a ab －1x －2bab －1， 则M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a ab －1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b ab －1. 联立直线AC ，BD 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2b ab －1x －2aab －1，y ＝2a ab －1x －2bab －1，可得点P 的横坐标为定值－1， 即点P 恒在抛物线的准线上．(2)因为k FN ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b ab －11－0＝2b ab －1＝k AC ，k FM ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ab －11－0＝2a ab －1＝k BD ，所以四边形PMFN 是平行四边形．2.如图，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，得p ＝2， 所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y . (2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1,2＝4k ±16k 2－162，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－(－x 1)＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0,1)．3.如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使PQ →＝12QM →，且PR →·PM →＝0.(1)求动点M 的轨迹C 1；(2)圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点(0,1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点(从左到右)，交C 2于B ，C 两点(从左到右)，求证：AB →·CD →为定值．(1)解 方法一 设M (x ，y )，P (x 1,0)，Q (0，y 2)， 则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R (0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1(x －x 1)＋(－3)y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简得x 2＝4y .所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． 方法二 设M (x ，y )．由PQ →＝12QM →，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y . 所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(2)证明 由题意，得AB →·CD →＝AB ·CD ，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F . 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1. 同理CD ＝y 2.直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1,2＝4k ±16k 2＋162，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4， 所以AB →·CD →＝AB ·CD ＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－4k 2＋4k 2＋1＝1， 所以AB →·CD →为定值1.4.如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，T (－1,0)，当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)， 此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾， 所以可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1,2＝2k 2＋4±(2k 2＋4)2－4k 42k 2， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①故y 21y 22＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4.②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1， 将①②代入并整理，得k 2＝4，所以k ＝±2. (2)因为y 1>0， 所以tan∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1， 当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时取等号，因为点A 在第一象限， 所以∠ATF 的最大值为π4.(七)计数原理1．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑n ＝110a n 的值；(2)∑n ＝110na n 的值．解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中， 令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32.所以∑n ＝110a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导， 得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9. 在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中，令x ＝0，整理得∑n ＝110na n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160.2．设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项． (1)若d ＝3，试判断⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．(1)解 因为{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝3n －2. 假设⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中第r ＋1项为常数项(r ∈N )，T r ＋1＝C r mx m －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝32C m r rm x -，于是m －32r ＝0.设m ＝3n －2(n ∈N *)，则有3n －2＝32r ，即r ＝2n －43，这与r ∈N 矛盾．所以假设不成立，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中不含常数项．(2)证明 由题设知a n ＝1＋(n －1)d ， 设m ＝1＋(n －1)d ，由(1)知，要使对于每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项，必须有：对于n ∈N *，满足1＋(n －1)d －32r ＝0的r 无自然数解，即r ＝2d 3(n －1)＋23∉N .当d ＝3k (k ∈N *)时，r ＝2d 3(n －1)＋23＝2k (n －1)＋23∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．3．已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式． (1)解 因为T r ＋1＝C r n2n －rx 2r ，当r2＝3时，r ＝6，故x 3项的系数为C 6n 2n －6＝14，解得n ＝7.(2)证明 由二项式定理可知， (2＋3)n＝C 0n 2n(3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝p ＋3q ＝p 2＋3q 2，p ，q ∈N *， 而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *， 则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *.∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n＝1， ∴a －b ＝1，令a ＝s ，s ∈N *，得b ＝s －1，∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *. 4．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *. (1)求值：①k C k n －n C k －1n －1；②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1(k ≥2)；(2)化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn . 解 (1)①k C kn －n C k －1n －1＝k ×n ！k ！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝0. ②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1 ＝k 2×n ！k ！(n －k )！－n (n －1)×(n －2)！(k －2)！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝k ×n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －2)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －2)！(n －k )！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0.(2)由(1)可知当k ≥2时，(k ＋1)2C kn ＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C kn ＝[n (n －1)C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C kn ＝n (n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C kn .故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n (n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n (C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn )＝(1＋4n )＋n (n －1)2n －2＋3n (2n －1－1)＋(2n－1－n )＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(八)随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2n C 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝69＝23，P (X ＝2)＝3×69×8＝14， P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114，P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以取球次数X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．解 (1)所求概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎪⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 而ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤54.又0≤P 2≤1，∴34≤P 2≤1.3．(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m 个． (1)若m ＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m ＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)． 解 (1)当m ＝1时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3， 所以P (A )＝31－(7＋3)31＝2131.(2)当m ＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， 则P (ξ＝0)＝C 2C 15＋C 2C 25＋C 2C 35＋C 2C 45C 231＝110465＝2293， P (ξ＝1)＝C 15C 25＋C 25C 35＋C 35C 45＋C 45C 55C 231＝205465＝4193， P (ξ＝2)＝C 15C 35＋C 25C 45＋C 35C 55C 231＝110465＝2293，P (ξ＝3)＝C 15C 45＋C 25C 55C 231＝35465＝793， P (ξ＝4)＝C 15C 55C 231＝5465＝193，所以ξ的概率分布为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×2293＋1×4193＋2×2293＋3×793＋4×193＝11093.4．(2018·启东模拟)如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个． 因此P (X ＝3)＝6C 37＝635.(2)由题意知，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个； 其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个； 其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个． 因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835. (九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)． (1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数． (1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n . ∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1. 下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立； 设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ， ∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)， 其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r＋…－C 4t －54(t －1)·4，∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立． 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n.(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明 原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n n≥4.显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n>4.综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n.3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数． (1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1. (1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数， ∴f ′(x )＝－12－x ＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立，∴a ≥12－x.又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数，∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1. 当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立． 假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ， ∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1， 即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立． 下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0， ∴a n <a n ＋1. 综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小．解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k，∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n ) ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n＋n －1，∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0； 当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0； 当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0； 当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0； 当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0； 当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0. 猜想：当n ≥5时，S n －P n >0. 证明如下：①当n ＝5时，由上述可知S n －P n >0.②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时，S k －P k ＝2k －k 2>0. 当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1＝2k ＋1－(k ＋1)2＝2·2k－k 2－2k －1＝2(2k－k 2)＋k 2－2k －1 ＝2(S k －P k )＋k 2－2k －1>k 2－2k －1 ＝k (k －2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0. ∴当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1>0成立．由①②可知，当n ≥5时，S n －P n >0成立，即S n >P n 成立．由上述分析可知，当n ＝1或n ≥5时，S n >P n ；当n ＝2或n ＝4时，S n ＝P n ；当n ＝3时，S n <P n .。