【高中数学】立体几何中的截面问题

专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。

其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

例1 一个正方体接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（ ）分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的接正方体上截得的截面不可能是大圆的接正方形，故选D 。

例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。

高考数学：立体几何截面问题一、引言立体几何是高考数学的重要组成部分，其中截面问题是一个重要的考点。

截面问题涉及到三维空间中的几何形状、位置关系以及函数关系等多个方面，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。

本文将从多个方面介绍截面问题的相关知识，以帮助考生更好地理解和掌握该知识点。

二、截面的定义与性质1.截面的定义：截面是指通过一个平面与三维空间中的几何体相交，所得到的交线或交面的几何形状。

2.截面的性质：截面具有与原几何体相同的形状和大小，但位置关系可能不同。

截面的形状和大小取决于平面与几何体的相对位置和方向。

三、截面与平面几何的关系1.平面几何的基本图形在三维空间中仍然适用，如线段、三角形、四边形等。

2.截面是平面几何图形在三维空间中的表现形式，可以通过平面的移动和旋转来改变截面的形状和大小。

四、截面与立体几何的关联1.立体几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如平行、垂直、平行四边形等。

2.截面问题是立体几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。

五、截面的形状与大小1.截面的形状取决于平面与几何体的相对位置和方向。

不同的位置关系可以得到不同的截面形状，如圆形、椭圆形、长方形等。

2.截面的大小取决于平面与几何体的交线长度或交面积大小。

不同的平面位置可以得到不同的截面大小。

六、截面与空间几何的关系1.空间几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如距离、角度、面积等。

2.截面问题是空间几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。

3.截面问题可以转化为空间几何问题来解决，也可以通过空间几何问题来推导截面问题的解决方法。

七、截面的对称性1.截面问题中常常涉及到对称性，如轴对称、中心对称等。

2.对称性可以帮助我们简化问题，找到解决问题的关键点。

3.对称性也可以帮助我们判断截面的形状和大小，以及确定平面与几何体的相对位置和方向。

立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。

其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能 3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小AB C H A 1 B 1 C 1 D 1E F GDA B C DA 1B 1C 1D 1EF G H图（2）图（1）ACBD孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（）A ．21B ．87C ．1211 D ．4847例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值.基本方法介绍①公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； ②侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究；例5 能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？C 1 A B CD A 1D 1 B 1EG F 图（1）例6 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：此六边形的周长≥一、单选题1．【江西省吉安市2019-2020学年高二上学期期末数学】在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为AD 的中点，E 为棱1D D 上的动点(不包括端点)，过点,,B E F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（） A ．四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形2．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 如图圆锥PO ，轴截面PAB 是边长为2的等边三角形，过底面圆心O 作平行于母线PA 的平面，与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为( )A ．1B ．12C ．13D ．144．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）A ．在平面11BDDB 内存在直线与平面EFG 平行 B ．在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 垂直C ．平面1//AB C 平面EFGD ．直线1AB 与EF 所成角为45︒5．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（）A ．2B ．4C ．D ．6．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成45︒角，则该椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C D ．137．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．68．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（） A ．89πB ．1118πC ．512π D ．49π 9．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π10．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（）A ．B ．C ．D ．12．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．613．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C ．2D 14．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（）A B C ．D ．15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（）A ．90︒B ．30C ．45︒D ．60︒16．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形17．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．318．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C ．4D 19．【四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末数学（文)试题】已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A ．9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3ππC ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（）A ．43B ．94C ．92D ．3二、填空题21．【山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题】已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．22．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是 ③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）23．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ；11 / 11④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）24．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.三、解答题25．【2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析)】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中,116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．。

高考数学立体几何截面问题在高考数学立体几何中，截面问题是一个重要的考点。

本文将从以下几个方面对截面问题进行讲解：截面的形状和性质、截面与几何体的关系、截面与投影的关系以及截面与面积的关系。

一、截面的形状和性质1.截面的形状截面是指通过一个平面与一个几何体相交，所得的交线。

截面的形状可能是一个点、一条直线、一个平面多边形或一个圆。

在解决立体几何问题时，我们需要根据题目所给的条件，判断出截面的形状，并进一步解决问题。

2.截面的性质截面的性质包括以下几点：（1）截面是平面图形，其形状取决于几何体和截面的位置关系。

（2）截面与几何体的边界相交，但不穿过几何体的内部。

（3）截面与几何体的表面平行，因此可以运用平行投影的知识来研究截面的性质。

二、截面与几何体的关系1.截面与正方体的关系正方体的截面有三种情况：三角形、矩形和五边形。

当截面与正方体的中心轴平行时，可以得到一个正方形；当截面与正方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与正方体的中心轴斜交时，可以得到一个矩形或五边形。

长方体的截面也有三种情况：三角形、矩形和五边形。

当截面与长方体的中心轴平行时，可以得到一个矩形；当截面与长方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与长方体的中心轴斜交时，可以得到一个梯形或不规则四边形。

三、截面与投影的关系1.投影的定义及性质投影是指将一个几何体投射到一个平面上的结果。

投影的性质包括以下几点：（1）投影是直线与平面相交的结果。

（2）投影的长度等于被投影线段的长度。

（3）投影的方向与被投影线段的方向相同或相反。

2.截面与投影的关系截面与投影之间存在一定的关系。

如果一个几何体在一个平面上的投影是一个多边形，那么这个多边形的形状就取决于该几何体的形状以及它与平面的相对位置。

因此，在解决立体几何问题时，我们需要通过判断几何体在某一平面上的投影来推断出它的形状和性质。

四、截面与面积的关系1.面积的定义及计算方法面积是指一个平面图形所占的面积大小。

立体几何中的截面问题本文档旨在介绍立体几何中的截面问题，包括截面的定义、性质、计算方法等方面的内容。

通过对截面问题的介绍和详细解析，读者可以更好地理解和应用相关知识。

1、截面的定义在立体几何中，截面是指一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。

截面可以是二维的曲线，也可以是三维的平面。

截面问题主要研究在不同情况下的截面形状、面积、体积等性质。

2、截面的性质截面的性质取决于所截图形的性质以及截面的位置和方向。

主要包括以下几个方面：2.1 几何形状：截面可以是点、线段、圆、椭圆、抛物线等各种几何形状。

2.2 面积：截面的面积可能是有限的，也可能是无限的。

2.3 体积：截面可以用来计算图形的体积，从而解决与立体几何有关的问题。

2.4 位置和方向：不同位置和方向的截面可以得到不同的结果，需要根据具体问题进行分析和计算。

3、截面的计算方法根据截面的性质和具体问题的要求，有多种不同的计算方法可以用来求解截面问题。

常用的计算方法包括以下几种：3.1 几何分析法：通过几何分析截面的形状和性质，利用几何定理和方法计算截面的面积、体积等。

3.2 数学建模法：将截面问题转化为数学模型，利用数学方法和计算机技术进行计算和求解。

3.3 数值模拟法：通过数值模拟和计算机仿真，模拟和计算截面问题的解答。

3.4 实验测量法：通过实际测量和实验，获取截面的相关数据和性质进行计算和分析。

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法律名词及注释：1、立体几何：研究三维空间中点、线、面等几何图形的性质和变换的数学学科。

2、截面：一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。

立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈简介立体几何是研究物体的形状、尺寸和空间关系的一门学科。

在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。

截面问题指的是在一个立体物体中，通过给定的切割平面，研究切割所得的平面图形与原立体物体的关系。

⒉切割平面的表示方法在研究截面问题时，我们通常将切割所用的平面表示为一个方程。

常见的表示方法有点法式、一般式和截距式等。

⑴点法式点法式是通过给定平面上的一点和法向量来表示平面的方程。

设平面上一点为P(x0, y0, z0)，法向量为n(n1, n2, n3)，则平面的点法式为：n1(x ●x0) + n2(y ●y0) + n3(z ●z0) = 0⑵一般式一般式将平面的方程表示为一个二次齐次方程，形式为Ax +By + Cz + D = 0。

其中A、B、C是平面的法向量的坐标，D是一个与平面有关的常数。

⑶截距式截距式是通过平面与坐标轴交点的位置来表示平面的方程。

设平面与x轴、y轴、z轴的交点分别为(x0, 0, 0)，(0, y0, 0)，(0, 0, z0)，则平面的截距式为：x/x0 + y/y0 + z/z0 = 1⒊平面与立体物体的相交及分类当给定切割平面后，它可能与立体物体相交于不同的方式。

根据相交情况的不同，我们将平面与立体物体的相交分为以下几类：⑴完全相交当切割平面与立体物体完全相交时，即切割平面穿过了立体物体的内部，并将其分成两个或多个部分。

⑵部分相交当切割平面与立体物体部分相交时，即切割平面与立体物体的边界相交。

⑶不相交当切割平面与立体物体不相交时，即切割平面与立体物体没有交点。

⒋截面图形的性质通过研究切割平面与立体物体的相交情况，可以得到截面图形的一些性质。

⑴形状截面图形的形状与切割平面的位置和方向有关。

在同一个立体物体中，不同位置和方向的切割平面可能得到不同形状的截面图形。

⑵面积截面图形的面积可以通过计算得到。

对于平面图形，常用的计算方法有面积公式和积分法。

立几截面问题的十大热门题型【题型一】 做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2,AD=3,点E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，点E 、F 、C 1∈平面α，直线A 1D 1⋂平面α=P ，则直线BP 与直线CD 1所成角的余弦值是3378 A 22 C B 3 D 3 99、、、、答案：B解析：如图，计算可得余弦值是223【提分秘籍】基本规律 截面训练基础：模型：如下图E 、F 是几等分点，不影响作图。

可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点方法：两点成线相交法或者平行法特征：1、三点中，有两点连线在表面上。

本题如下图是EF （这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。

方法一：相交法，做法如图方法二：平行线法。

做法如图【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D −相交形成的截面是一个（ ）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形 【答案】D分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N ∈平面HPMF ，P ∈平面HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//A C AC ，所以//HP FM ， 即、、、H P M F 四点共面，因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ，又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP ⊂平面HPMF ，H ∈平面HPMF ， 所以NH ⊂平面HPMF ，得N ∈平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ， 又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH ⊂平面HPMF ，P ∈平面HPMF ，所以PE ⊂平面HPMF ，得E ∈平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面， 平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D −相交形成的截面，故选：D.2.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D1、E 的截面过（ ）A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．CD 中点 D ．BB1中点【分析】根据截面特点结合正方形结构性质求解. 【详解】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，如图，则1EF AD ∥，所以F 在截面上,故选：B3.如图正方体1111ABCD A B C D −，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（ ）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω6【答案】C 【分析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可. 【详解】 解：当102λ<<时，如下图1，Ω是四边形，故A 正确； 当12λ=时，如下图2，Ω为等腰梯形，B 正确： 当314λ<<时，如下图3，Ω是五边形，C 错误； 当1λ=时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，如下图4，由正方体的性质易得1////BM PC AF ，且=1PC AF ，截面Ω为1APC F 为菱形，其面积为1162AC PF ⋅=D 正确.【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确．【详解】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．故选：B．【提分秘籍】基本规律一些容易出错误的地方1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。

§7.9立体几何中的截面、交线问题重点解读“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解．题型一截面作图例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面，写出作法．解如图所示，五边形DQMFN即为所求截面．作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，则五边形DQMFN即为所求截面．思维升华作截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程．(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点．(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线．跟踪训练1如图，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，D 1，M 三点作正方体的截面，作出这个截面图，写出作法．解如图，连接CD 1，连接D 1M 并延长，交DA 的延长线于点N ，连接CN 交AB 于点P ，连接MP ，则四边形CD 1MP 为过C ，D 1，M 三点的正方体的截面．题型二截面图形的形状判断例2(多选)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段DD 1上的动点，若过A ，B 1，E 三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为()A ．等边三角形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形答案ABD解析当点E 与D 1重合时，过A ，B 1，E 三点的截面是等边三角形AB 1D 1，故A 正确；当点E 与D 重合时，过A ，B 1，E 三点的截面为矩形AB 1C 1D ，故B 正确；若截面为菱形，则必有AB 1＝AE ，此时点E 与D 1重合，故C 错误；当点E 与DD 1中点重合时，记C 1D 1的中点为F ，连接EF ，FB 1，C 1D (图略)，易知EF ∥DC 1，由正方体性质可知，AD ∥B 1C 1且AD ＝B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 为平行四边形，所以DC 1∥AB 1，所以EF ∥AB 1且EF ＝12AB 1，设正方体棱长为2，则AE ＝B 1F ＝22＋12＝5，所以过A ，B 1，E 三点的截面为等腰梯形AB 1FE ，故D 正确．思维升华判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置．跟踪训练2已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是()A ．等腰三角形B ．等腰梯形C ．五边形D ．正六边形答案D解析如图①，由图可知，截面ABC 为等腰三角形，选项A 可能；截面ABEF 为等腰梯形，选项B 可能；如图②，截面AMDEN 为五边形，选项C 可能；因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D 不可能．题型三截面图形的周长或面积例3(2024·朔州模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为3，E 为棱BB 1上靠近B 1的三等分点，则平面AED 1截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的截面面积为()A ．211B ．411C ．222D ．422答案C解析延长AE ，A 1B 1交于点F ，连接D 1F 交B 1C 1于点G ，如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵平面AFD 1∩平面ADD 1A 1＝AD 1，平面AFD 1∩平面BCC 1B 1＝EG ，∴AD 1∥GE ，又∵AD 1＝32，GE ＝2，∴四边形AEGD 1是梯形，且为平面AED 1截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的截面．又∵D 1G ＝AE ＝13，在等腰梯形AEGD 1中，过G 作GH ⊥AD 1，∴GH ＝D 1G 2－D 1H 2＝11，∴S ＝12·(AD 1＋EG )·GH ＝12×(2＋32)×11＝222.思维升华几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决．跟踪训练3(2023·新乡模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，过A ，D 1，E 三点的截面把正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1分成两部分，则该截面的周长为()A．32＋25B．22＋5＋3C．9D．22＋25＋22答案A解析如图，取BC的中点F，连接EF，AF，BC1，E，F分别为棱CC1，BC的中点，则EF∥BC1，又在正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面AFED1为所求截面，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，所以EF＝2，D1E＝AF＝22＋12＝5，AD1＝22，所以四边形AFED1的周长为32＋25.课时精练一、单项选择题1．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使截面与底面ABCD 所成二面角为45°，则此截面的形状为()A．三角形或五边形B．三角形或四边形C．正六边形D．三角形或六边形答案D解析过棱AB，BC的中点E，F作正方体ABCD－A1B1C1D1的截面，∵二面角D1－EF－D，二面角B1－EF－B都大于45°，∴当截面为EFHJIG时，如图所示，为六边形；当截面为EFM 时，如图所示，为三角形．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2，AD ＝AA 1＝4，E ，F 分别为BB 1，A 1D 1的中点，过点A ，E ，F 作长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一个截面，则该截面的周长为()A ．62B ．65C ．25＋42D ．45＋22答案D解析如图，连接AF ，过点E 作EP ∥AF 交B 1C 1于点P ，连接FP ，AE ，即可得到截面AFPE ，因为E 为BB 1的中点，EP ∥AF ，所以B 1P ＝12A 1F ＝1，因为AB ＝2，AD ＝AA 1＝4，则AF ＝42＋22＝25，所以EP ＝12AF ＝5，AE ＝22＋22＝22，FP ＝22＋12＝5，所以截面AFPE 的周长为25＋5＋22＋5＝45＋2 2.3．(2023·承德模拟)在三棱锥P －ABC 中，AB ＋2PC ＝9，E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，过E 作平行于AB ，PC 的平面，则该平面截三棱锥P －ABC 所得截面的周长为()A ．5B ．6C ．8D ．9答案B解析如图所示，在三棱锥P －ABC 中，过E 分别作EF ∥AB ，EH ∥PC ，再分别过点H ，F 作HG ∥AB ，FG ∥PC ，可得E ，F ，G ，H 四点共面，因为AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，所以AB ∥平面EFGH ，同理可证，PC ∥平面EFGH ，所以截面即为平行四边形EFGH ，又由E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，且AB ＋2PC ＝9，所以EF ＝13AB ，EH ＝23PC ，所以平行四边形EFGH 的周长为2(EF ＋EH )＝23(AB ＋2PC )＝6.4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，过M ，N 的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为()A ．22B ．25C.3102D.92答案D解析如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA ，其中MN ＝2，AC ＝22，AM ＝CN ＝5，高为h ＝5－12＝322，故面积为12×(2＋22)×322＝92.5.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点)而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为()A ．4π－4B ．4πC ．4π－2D ．2π－2答案C解析截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，设正四棱锥的底面正方形边长为a ，则2a 2＝16，所以a ＝22，正四棱锥的底面正方形的面积为(22)2＝8，由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似，设圆面中挖去一个正方形的面积为S ′，正四棱锥的底面正方形的面积为S ，则S ′S ＝S ′8＝14，从而S ′＝2，所以截面图形的面积为4π－2.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，过M ，N ，B 1三点的平面截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面形状为()A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形答案B解析如图，在AB 上取点Q ，且BQ ＝3AQ ，取CD 的中点P ，连接QM ，BP ，NP ，B 1Q .在DD 1上取点R ，且D 1R ＝3DR ，连接NR ，MR .因为AQ CP ＝AM BC ＝12∠QAM ＝∠PCB ，所以△QAM ∽△PCB ，所以∠AQM ＝∠BPC .又AB ∥CD ，所以∠ABP ＝∠BPC ，所以∠ABP ＝∠AQM ，所以QM ∥BP .因为N ，P 分别为C 1D 1，CD 的中点，所以PN ∥CC 1，且PN ＝CC 1.根据正方体的性质，可知BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1，所以PN ∥BB 1，且PN ＝BB 1，所以四边形BPNB 1是平行四边形，所以B 1N ∥BP ，所以B 1N ∥QM .同理可得NR ∥B 1Q .所以五边形QMRNB 1即为所求正方体的截面．二、多项选择题7．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是()A ．锐角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形答案BC解析对于A ，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形．如图所示的截面为△ABC .设DA ＝a ，DB ＝b ，DC ＝c ，所以AC 2＝a 2＋c 2，AB 2＝a 2＋b 2，BC 2＝b 2＋c 2.所以由余弦定理得，cos ∠CAB ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2a 22a 2＋b 2a 2＋c2>0，所以∠CAB 为锐角．同理可求，∠ACB 为锐角，∠CBA 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形，故A 不符合题意；对于B ，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，不可能是直角梯形，故B 符合题意；对于C ，如图，当截面为五边形时，不可能出现正五边形，故C 符合题意；对于D ，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形，故D 不符合题意．8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，H 是棱BC ，D 1C 1，AA 1上的动点(包含端点)，且满足CE ＝D 1F ＝AH ，则下列结论正确的是()A ．DB 1⊥平面EFHB ．存在E ，F ，H ，使得点D 到平面EFH 的距离为1C ．平面EFH 截此正方体所得截面面积的最大值为33D ．平面EFH 截此正方体所得截面的周长为定值答案ACD解析如图所示，建立空间直角坐标系，设CE ＝D 1F ＝AH ＝m ，m ∈[0,2]，则D (0,0,0)，E (m ,2,0)，F (0，m ,2)，H (2,0，m )，B 1(2,2,2)，DB 1—→·EF →＝(2,2,2)·(－m ，m －2,2)＝－2m ＋2m －4＋4＝0，故DB 1—→⊥EF →，即DB 1⊥EF ，同理可得DB 1⊥EH ，EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ⊂平面EFH ，故DB 1⊥平面EFH ，故A 正确；平面EFH 的一个法向量为DB 1—→＝(2,2,2)，点D 到平面EFH 的距离为|DH →||cos 〈DH →，DB 1—→〉|＝|DH →·DB 1—→||DB 1—→|＝4＋2m 23＝1，解得m ＝3－2，不满足题意，故B 错误；设平面EFH 分别与A 1D 1，AB ，CC 1交于P ，Q ，R ，设P (p ,0,2)，则PF →·DB 1—→＝(－p ，m ,0)·(2,2,2)＝－2p ＋2m ＝0，p ＝m ，即P (m ,0,2)，同理可得，Q (2，m ,0)，R (0,2，m )，故|HR →|＝|PE →|＝|FQ →|＝22，PF ∥HR ∥QE ，如图，过点P 作PM ⊥HR 于M ，EN ⊥HR 于N ，则|PM →|＝62(2－m )，|EN →|＝62m ，截面面积为S ＝12(2m ＋22)×62(2－m )＋12×(22＋22－2m )×62m ＝－3(m －1)2＋33，当m ＝1时有最大值为33，故C 正确；截面的周长为2m ＋2(2－m )＋2m ＋2(2－m )＋2m ＋2(2－m )＝62，为定值，故D 正确．三、填空题9．(2024·曲靖模拟)“中国天眼”(如图1)是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠(球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积S ＝2πRh )．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为________米参考数值：4π－1≈答案130解析由题意得(R －h )2＋2502＝R 2，则2Rh ＝h 2＋2502，则S ＝2πRh ＝πh 2＋2502π＝250000，所以h 2＝250000－2502ππ＝250所以h ＝2504π－1≈250×0.52＝130.10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________．答案32＋14解析由题意可知过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC 1的周长，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各侧面均为矩形，所以AC 1＝AC 2＋CC 12＝14，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面部分展开图如图所示，则在矩形ACC 1A 1中，AM ＋MC 1≥AC 1＝AC 2＋CC 21＝32，所以过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为32＋14.。