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北航算法导论官方课件1

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最新第2章-算法概要教学讲义PPT课件

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2.4.2 用流程图表示算法
美国国家标准化协会ANSI(American National Standard Institute)规定了一些 常用的流程图符号：
起止框
判断框
处理框
输入/输出框
注释框
流向线
连接点
例2.6 将求5!的算法用流程图表示
如果需要将最后结 果打印出来，可在 菱形框的下面加一 个输出框。
S6：如果i≤n-1，返回S3。否则打印 n “是素
实际上，n不必被2到(n-1)的整数除，只需 被2到n/2间整数除，甚至只需被2到 之n 间的 整数除即可。
2.3 算法的特性
一个算法应该具有以下特点： • 有穷性：包含有限的操作步骤。
• 确定性：算法中的每一个步骤都应当是确 定的。
• 有零个或多个输入：输入是指在执行算法 时需要从外界取得必要的信息。
第2章-算法概要
主要内容
2.1 算法的概念 2.2 简单算法举例 2.3 算法的特性 2.4 怎样表示一个算法 2.5 结构化程序设计方法
2.1 算法的概念
广义地说，为解决一个问题而采取的方
法和步骤，就称为“算法”。
算法：
为了解决一个问题而采取的有限步骤。
计算机算法：
如何使计算机一步一步地工作的具体过程。
S7：deno=deno+1
S8：若deno≤100返回S4
反复执行S4到S8步骤，直到分母大于100为止。 一共执行了99次循环，向sum累加入了99个分数 。sum最后的值就是多项式的值。
例2.5 对一个大于或等于3的正整数，判断 它是不是一个素数。
概念：所谓素数，是指除了1和该数本身之外， 不能被其它任何整数整除的数。例如，13是 素数。因为它不能被2，3，4，…，12整除。
算法导论第1次课

算法导论第1次课


n
Βιβλιοθήκη n最好情况：输入数据状态为升序，此时A[i]≤key，所以tj=1 T(n) = C1n+C2(n-1)+C3(n-1)+C4(n-1)+C7(n-1) = (C1+C2+C3+C4+C7)n-(C2+C3+C4+C7) = An+B 最坏情况：输入数据状态为倒序，此时A[i]>key，所以tj=j T(n) = C1n+C2(n-1)+C3(n-1)+C4 = ½(C4+C5+C6)n2+(C1+C2+C3+½C4-½C5 -½C6+C7)n-(C2+C3+C4+C7) = An2+Bn+C
特别提示，大O既可表示紧上界也可表示松上界。
2.3 Ω符号(渐进下界) def: Ω(g(n)={f(n):存在正常数C和n0，使得对于所有 的n≥n0，都有0≤Cg(n)≤f(n)} 记为：f(n) = Ω(g(n))
例5：证明f(n)=3n2 = Ω(n) proof: 即要证 Cn≤3n2 Θ,O,Ω符号之间存在关系如下： 定理3.1（P29） 对于任意的函数f(n)和g(n)，当且仅当f(n)=O(g(n))且 f(n)=Ω(g(n))时，f(n)=Θ(g(n))。
1 例6：f (n ) n(n 1), g(n ) n 2 2 例7：f (n ) l g n, g(n ) n
第二章 渐进符号(Asympototic notation)
2.1 Θ符号(渐近符号)
def: Θ(g(n)) = { f(n):存在大于0的常数C1、C2和n0，使得
a11-chap15(4)-dp 算法导论 教学课件

a11-chap15(4)-dp 算法导论 教学课件

15.4 Longest common subsequence LCS Problem
Given two sequences X= <x1, x2, ..., xm> and Y= <y1, y2, ..., yn>, how to find a maximum-length common subsequence of X and Y .
（设zk≠xm, 令Z’= <z1 , ... , zk , xm>，则 Z’ 是 X 和 Y 的相同子序列，且 length(Z’)=k+1 ⇒ Z’ 是比 Z 更长的子序列 ⇒ 与题设 Z 是LCS矛盾）
Now show Zk-1 is an LCS of Xm-1 and Yn-1. Clearly, it’s a CS. Now suppose there exists a CS W of Xm-1 and Yn-1 that’s longer than Zk-1 ⇒length(W) ≥ k. Make subsequence W’ by appending xm to W. W’ is CS of X and Y , length(W’)≥k+1 ⇒ contradicts Z being an LCS.
举出 X 的所有子序列，逐项核查这些子序列是否为 Y 的子序列）
Each subsequence of X corresponds to a subset of the
indices {1, 2, ..., m} of X. There are 2m subsequences of
X . Exponential time, impractical for long sequences.
算法导论电子版

算法导论电子版

算法导论电子版
算法导论是一本非常著名的介绍算法理论的著作，它由Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest和Clifford Stein共同编写而成。

本书面向的阅读对象有编程项目经理，系统管理和软件工程师，信息系统专业的大学生，准备参加CS类考试的学生的人群，以及想要了解和掌握算法理论知识的技术人员。

本书深入浅出地介绍了各种类型的算法，无论是经典的算法还是改进版本，都包含了详细的、清晰的描述和实用的示例以及详细的图表。

本书涵盖了各种类型的算法，从基本的排序算法，搜索算法，数据结构，到图论，动态规划，和随机化算法，都有详细的介绍和实用性的示例。

此外，本书还提供了算法的电子版，支持使用者的视频学习和在线测试，方便了使用者们更进一步深入掌握算法理论知识，用于实际应用和研究。

算法导论电子版展示了一种优雅的、用户友好的界面设计，既能让使用者对算法有更深入的理解，同时又能更好地辅助计算机数据处理，可以说是非常实用的一本算法理论的精要书，比之纸质书更容易获得，可以满足市面上大部分使用者的需求，为计算机领域的发展带来了重大的贡献。

[1]算法导论

[1]算法导论


实例：求最大公约数
算法1.1 Euclid(m,n)
输入：非负整数 m, n，其中m与n不全为0 输出：m 与 n 的最大公约数 1. while m>0 do 2. r n mod m 3. n m 4. m r 5. return n
实例：改进的顺序检索
算法1.2 Search(L,x)
课程主要内容
近似 算法
随机 算法
处理难解问 题的策略
问题处理策略 计算复杂性理论 算法分析方法 算法设计技术 基础知识
NP 完全理论 算法分析与问题的计算复杂性 分治 动态 贪心 回溯与 策略 规划 算法 分支限界 数学基础、数据结构
算法的基本概念
1. 2. 3. 4. 5. 为什么要研究算法？ 什么是算法？ 算法化求解问题的过程 重要的问题类型 算法设计策略
Decrease and conquer Transform and conquer
20
Backtracking and Branch and bound Space and time tradeoffs
求：总等待时间最少的调度方案，即求S的排列i1, i2, …, in使得
min{k 1 ( n k 1)t ik }
n
求解方法 • 贪心策略：加工时间短的先做 • 如何描述这个方法？这个方法是否对所有的实例都能得到 最优解？如何证明？这个方法的效率如何？
例2 排序算法的评价 已有的排序算法：考察元素比较次数
2-1. 计算判别式d 2-2. 根据d的值进行不同处理 2-2-1:if d>0 x1=… x2=… 2-2-2:if d=0 x1=x2=… 2-2-3:if d<0 ….
4 算法的伪码描述
算法导论详解PPT课件

算法导论详解PPT课件


computing
“计算机算法的圣经”
Bibliography
《Introduction to Algorithms》(Second Edition),
T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest (2002, Turing Award),
The MIT Press
}
利用此界面使 方法sum通用化
18
第18页/共25页
1.3 描述算法
6.通用方法
（2）parable 界面 Java的Comparable 界面中惟一的方法头compareTo用于比较
2个元素的大小。例如pareTo(y) 返回x-y的符号，当x<y时返回负数，当x=y时返回0，当x>y时返 回正数。 （3）Operable 界面
8
第8页/共25页
1.2 表达算法的抽象机制
2.抽象数据类型
抽象数据类型是算法的一个数据模型连同定义在该模型上 并作为算法构件的一组运算。
抽象数据类型带给算法设计的好处有：
（1）算法顶层设计与底层实现分离； （2）算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构自由选择； （3）数据模型和该模型上的运算统一在ADT中，便于空间和时间耗费的折衷； （4）用抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性； （5）算法自然呈现模块化； （6）为自顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和工具； （7）算法结构清晰，层次分明，便于算法正确性的证明和复杂性的分析。
期末闭卷考试：
about 70%
课程安排
课堂讲解：基本理论讲解，基本方法的介绍分析
上机实践：基本习题和经典习题的上机实践
第4页4 /共25页
主要内容介绍
高一数学算法的概念(课件)

高一数学算法的概念(课件)


02
算法的流程结构
顺序结构
顺序结构是算法中最 基本的结构，按照顺 序依次执行语句。
顺序结构适用于简单 的程序，如计算一个 数的加法或乘法。
顺序结构的特点是程 序从上到下，按顺序 执行，没有分支和循 环。
选择结构
选择结构是根据条件判断来选择执行不同的语句。
选择结构通常使用if语句来实现，根据条件判断的结果来选择执行不同的代码块。
04
算法的应用实例
排序算法
冒泡排序
通过重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过 来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
选择排序
在未排序的序列中找到最小（或最大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后再从剩余 未排序的元素中继续寻找最小（或最大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推， 直到所有元素均排序完毕。
算法的特点
确定性
算法的每一步都必 须清晰明确。
输入
算法可以有输入。
有穷性
算法必须在有限步 骤内完成。
可行性
算法的每一步都能 被实现。
输出
算法必须有输出。
算法的表示方法
01
02
03
04
自然语言
用日常语言描述算法步骤。
伪代码
用简化的语言描述算法步骤。
流程图
用图形表示算法步骤。
程序设计语言
用编程语言描述算法步骤。
优化算法
通过改进算法的步骤或减 少重复计算，可以加快算 法的执行速度。
并行计算
利用多核处理器或多台计 算机同时执行算法，可以 加快计算速度。
算法的发展趋势与未来展望
人工智能与机器学习
北航算法导论官方课件5

北航算法导论官方课件5



Exam3 Multiplication of two matrices（矩阵相乘） two n×n matrices A and B, Complexity(C=A×B) = ? × × Divide and conquer
An n×n matrix can be divided into four n/2×n/2 matrices, × ×
Define P1 = (A11+A22)(B11+B22) P2 = (A11+A22)B11 P3 = A11 (B11−B22) P4 = A22 (−B11+B22) − P5 = (A11+A12)B22 P6 = (−A11+A21)(B11+B12) − P7 = (A12− A22)(B21+B22) C11=P1+P4−P5+P7, C12=P3+P5 C21=P2+P4, C22=P1+P3−P2+P6
8
Complexity analysis: T(1)=1, T(n)=3T(n/2)+O(n). Applying Master Theorem, we have
T (n) = O(nlog 2 3 ) = O(n1.59 )

Exam3 Multiplication of two matrices（矩阵相乘） two n×n matrices A and B, Complexity(C=A×B) = ? × × Standard method
10

Exam3 Multiplication of two matrices（矩阵相乘） two n×n matrices A and B, Complexity(C=A×B) = ? × ×
算法导论课件5

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analysis: n2 multiplications and at most n2-1 additions (加法). So, T(n)=O(n2).
6

Exam2 Multiplication of two numbers （整数相乘） two n-digit numbers X and Y, Complexity(X × Y) = ? � Divide and Conquer algorithm Let X=ab Y=cd where a, b, c and d are n/2 digit numbers, e.g. 1364=13×102+64. Let m= n/2. Then XY = (10ma+b)(10mc+d) =102mac+10m(bc+ad)+bd
11

Exam3 Multiplication of two matrices （矩阵相乘） two n×n matrices A and B, Complexity(C=A×B) = ?
�
Divide and conquer (Strassen Algorithm) An n×n matrix can be divided into four n/2×n/2 matrices, ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B11 B12 ⎤ ⎡ C11 C12 ⎤ A= ⎢ ,B= ⎢ ,C= ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣A 21 A 22 ⎦ ⎣B21 B22 ⎦ ⎣C21 C 22 ⎦
12
Complexity analysis: Totally, 7 multiplications, and 18 additions. T(1)=1, T(n) = 7T( ⎡n/2⎤ )+ cn2. Applying Master Theorem,
第1讲算法导论讲述

第1讲算法导论讲述

• 什么是算法？ • 算法是解决一个计算问题的一系列计算步骤有序、 合理的排列。对一个具体问题（有确定的输入数 据）依次执行一个正确的算法中的各操作步骤， 最终将得到该问题的解（正确的输出数据）。
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第3页
算法分析与设计 3
算法(Algorithm)
• 算法是指解决问题的一种方法或一个过程。 • 算法是若干指令的有穷序列，满足性质： • (1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。 • (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。
lim
n
• 若λ=非零常数，则称Ỹ（n）是T（n）的渐近表达式， 或称T（n）渐近等于Ỹ（n），记为 T（n）=Θ（Ỹ（n）），这个记号称为算法运 行时间的渐近Θ-记号，简称为Θ-记号。
T ( n)

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第11页
算法分析与设计 11
5．有效算法
• 如果两个算法运行时间的渐近表达式相同，则将 它们视为具有相同时间复杂度的算法。显然，渐 近时间为对数幂的算法优于渐近时间为幂函数的 算法，而渐近时间为幂函数的算法则优于渐近时 间为指数函数的算法。我们把渐近时间为幂函数 的算法称为是具有多项式时间的算法，渐近时间 不超过多项式的算法则称其为有效的算法。
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第9页
算法分析与设计 9
3．实例
• 在线性表A中查找。 • （a）查找值为x=1的元素， 从A[1]起依次要进行5次检测， 第一次找到值为1的元素。 • （b）查找值为x=11的元素， 从A[1]起依次检测完所有元素 （进行10次检测），没有找到 值为11的元素——最坏情形。 • （c）查找值为x=3的元素， 从A[1]起仅进行一次检测就找 到值为3的元素——最好情形。
算法导论

算法导论

几种重要的算法一高级技术和分析技术1.动态规划------------------------------------------------------√1.1动态规划的本质动态规划是在20世纪50年代初,为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。

那么,什么样的问题被称作多阶段决策问题呢?多阶段决策问题通过下面这个例子来说明。

[例一]多段图中的最短路径问题：在图1.1中找出从Al到D1的最短路径(图中的边上的数字表示该边上的权)。

图1多阶段决策问题这个图有一个特点,就是可以将图中的点分为四类(图1.1中的A、B、C、D)，那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间,并且都从前一类点指向后一类点。

这样,图中的边就被分成了三类(A→B、B→C、C→D)。

这时需要从每一类中选出一条边来，组成从Al到Dl的一条路径,并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。

这是多阶段决策问题。

更精确的定义如下：多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。

要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。

多阶段决策问题有两个要素：一个是阶段，一个是决策。

1.1.2阶段与状态阶段:将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。

常用字母k表示阶段变量。

阶段是问题的属性。

多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上图中就有A、B、C、D这四个阶段。

在一般情况下,阶段是和时间有关的；但是在很多问题中，阶段和时间是无关的。

从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点：一是“相互联系”，二是“次序”。

阶段之间是怎样相互联系的?就是通过状态和状态转移。

状态:各阶段开始时的客观条件叫做状态。

描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用Sk表示第k阶段的状态变量，状态变量Sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。

状态是阶段的属性。

算法导论doc

第1章算法在计算中的作用章算法在计算中的作用什么是算法?为什么要对算法进行研究?相对于计算机中使用的其他技术来说，算法的作用是什么?在本章中，我们就要来回答这些问题. 1. 1算法算法简单来说，所谓抹法(also*llem)就是定义良好的计算过程，它取一个或一组值作为输入，并产生出一个或一组值作为输出。

并产生出一个或一组值作为输出。

亦即，亦即，算法就是一系列的计算步驭，算法就是一系列的计算步驭，用来将输人数据转换用来将输人数据转换成输出结果。

成输出结果。

我们还可以将算法看作是一种工具。

用来解决一个具有良好规格说明的计算问题。

有关该问题的表述可以用通用的语言，来规定所需的输人/输出关系。

与之对应的算法则描迷了一个特定的计算过程，用于实现这一输人/输出关系输出关系例如.假设需要将一列数按非降顺序进行排序。

在实践中，这一问皿经常山现。

它为我们引入许多标准的算法设计技术和分析工具提供了丰富的问题场景。

下面是有关该排序间题的形式化定义，的形式化定义，输入:由n 个数构成的一个序列编出:对输人序列的一个排列(重排) 例如，给定一个输人序列(31. 41. 59. 26, 41, 58).一个排序算法返回的怕出序列是(26, 31. 41. 41. 58, 59).这样的一个输人序列称为该排序问趣的一个实例G .-e)。

一般来说，。

一般来说，某一个问题的实例包含了求解该间题所需的输人(它满足有关该同题的表述中所给出的任何限制)。

在计算机科学中，排序是一种基本的操作(很多程序都将它用作一种申间步骤)。

因此，迄今为止，科研人员提出了多种非常好的排序算法。

科研人员提出了多种非常好的排序算法。

对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，如何选择最如何选择最佳的排序算法要考虑多方面的因素，其中最主要的是考虑待排序的数据项数、这些数据项已排好序的程度、对数据项取值的可能限制、对数据项取值的可能限制、打算采用的存储设备的类型打算采用的存储设备的类型〔内存、磁盘、磁带)等。

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课堂要求
学术很自由，课堂很严肃：不迟到、早退；不允许接听电话、大声聊天…
考核形式与分数比例
30分：平时上机（5分*6次）
10分：课堂测验（2分*5次）
30分：期末上机
30分：期末笔试
10分：大作业（软件创作；一定代码量的应用程序，演示效果好，用到 一些典型的算法；小论文；竞赛获得比较好的奖；......）
如何读这本书
8

Introduction to Algorithms
Practice and contest / New OJ is coming…
Slides /songyou/
Computing: information processing Scientific computing (modeling, computing, verifying )
数学：公理、规则 => 定理 “上帝创造”。描述客观世界，给人们带来无穷乐趣和痛苦。
例如：Pi的小数点后面是否存在1000个连续的7 1900, Hilbert, 巴黎世界数学家大会，“是否存在一个通用的过程
< 31,41,59,26,12,58 > <31,41,26,12,58,59> <31,26,12,41,58,59>
……
Output
“冒泡”排序是可 计算过程
<12,26,31,41,58,59>
Well-defined: know what to do each step; always halts with correct answer . Efficiency: good or bad?
input sequence siuncshtatnhacte a1' a2' L an'
uestiones
(input) ?
be computed
input1 ?
An instance of the sorting problem
input2 ?
Input: <31,41,59,26,41,58>
if, for every input instance, it halts with the correct output
Incorrect algorithm
might not halt at all on some input instances, or might halt with an answer other than the desired one can sometimes be useful (if error rate can be controlled)
➢ Input size: n = 3*109
➢ Insertion sort: running time n2
t = s/v :
3109 3109instruc 9109seconds
9 109
y 31.71years
109 instruc/s
Байду номын сангаас
60 60 24365
2

10分：讨论班（课堂知识点分析；上机题分析；相关最新算法分析；一 些工程应用的算法分析；……）
10分：鼓励同学们参与出题（包括上机题。给出题目和解题报告。）
7

Introduction to Algorithms
课程安排 课堂讲解：基本理论讲解，基本方法的介绍分析 上机实践：基本习题和经典习题的上机实践 实际的项目训练：在以后的整个软件工程实践中，注 重程序设计的可行性，程序实现的效率，软件测试的 性能分析，……。

First Example: Identifying Genes in Human DNA (基因识别)
Identifying all the 100,000 genes in human DNA determining the sequences of the 3 billion(109) chemical base pairs that make up human DNA.
Introduction to Algorithms
算法导论
北京航空航天大学 软件学院
College of Software, Beihang University 宋 友 (Song You)
Tel : 010-8233-8263 Email : SongYou@ Homepage: /songyou/ Office: 工程训练中心 301-2
1974, Turing Award
“计算机程序设计
B正il优l G秀a《 《的teT计s程:h算“e序如D机员果e和s，i你g难n请认解a读n为性dK你A》n是nu，ath一lyM的s名i.sR真o.f
Computer Algori理th论ms的》荷, A马ho史诗” 加里，D. S. 约翰逊
Problem:to sort a sequence of numbers into nondecreasing order
Input: A sequence of n numbers <a1,a2,L , an >
Output: A permutation (reordering) <a1' ,a2' ,L , an' > of the
Algorithm (a tool)
instance (input) ?
input1 ? input2 ? input3 ? ……
output
13

1.1 What are algorithms
2. Algorithm is a tool for solving a well-specified comutational problem (example)
Paper, project to submit songyou@
9

1 The Role of Algorithms in Computing
What are algorithms?
Why is the study of algorithms worthwhile?
➢ Insertion sort: running time n2
3109 3109instruc 109 instruc/s

9 109
seconds

60

9 109 60 24
365
y

31.71years
➢ Merge sort: running time nlgn
3109
lg(3109 )instruc 109 instruc/s
《Introduction to Algorithms》(Second Edition),
T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest (2002, Turing Award),
The MIT Press
《The Art of Computer Programming》, Donald E, Knuth
注册用户数3.7亿，在线商品数8亿（2011年1月）
产品分类？不同类型产品成交金额分析？消费行为分析？ 物流配送？
大数据量稀疏矩阵的SVD（奇异值分解）算法R=U·S·V’
支付宝、阿里巴巴 全国居民身份证管理系统： n = 1.3×109 人 国家安全防护指纹识别系统：n >= 1.3×109 人 2671 = A B ……
（算法），可以自动判定任意命题是否正确？”
Before 1936
算法：过程、工具 “人创造”。方便人们研究数学；解决实际问题。
1936, Turing ( undergraduate in Cambridge Univ.) 1946, John Von Nouma, first electronic computer
（30亿组化学基对组成人类DNA，如何界定这些序列，从而进行基因识别）
➢ Computer: 3G Hz CPU, 3*109B/s, suppose that it executes one billion instructions per second
（设该计算机的运行速度为 10亿条基本指令/s ）
First Example: Identifying Genes in Human DNA
Identifying all the 100,000 genes in human DNA determining the sequences of the 3 billion(109) chemical base pairs that make up human DNA.
re_type f(type n) {
if(n<=2) return 1;
else return f(n-1)+f(n-2);
}
f1 = 1; f2 = 1;
for(i=3; i<=n; i++){ f = f1 + f2; f1 = f2; f2 = f;
}
4

Examples… 淘宝网 ()
（为什么算法研究非常有意义）
What is the role of algorithms relative to other technologies used in computers?
（相比计算机科学的其他技术，算法的角色和地位）
10

1.1 What are algorithms
5