六年级下册数学试题-思维拓展训练：计数综合练习 全国通用

【学生注意】本讲练习满分100 分，考试时间70 分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8 小题，每题 6 分）1. 用0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有个．2. 从1 到30 中选出两个不同的数相加，和大于30 的情况有种．3. 从1000 到2010 中，十位数与个位数相同的数有个．4. 在用数字0、1 组成一个6 位数中，至少有4 个连续的1 的数共有个．5. 3 个海盗分30 枚金币，如果每个海盗最多分12 枚，一共有种不同的分法．6. 图中有条线段，个三角形，个梯形．7. 一台综艺节目，由2 个不同的舞蹈和3 个不同的演唱组成．C如果第一个节目是舞蹈，那么共有种不同的安排方法．8. 有身高各不相同的5 个孩子，按下列条件排成一行：条件1：最高的孩子不排在边上；条件2：最高的孩子的左边按由高到矮向左排列；条件3：最高的孩子的右边按由高到矮向右排列．那么符合上述所有条件的排队方法有种．F 第6 题二、填空题Ⅱ（本题共有4 小题，每题7 分）9.（1）平面上7 个点，任意三点不共线，那么可以连出个三角形；（2）两条平行线上各有 4 个点，从这些点中任取 3 个作为顶点，可以连出 个三角形．10. 如图是由 22 个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选如右边箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内．一只蚂蚁从六边形A 出发，选择不经过六边形B 的路线到达六边形C ， 那么这样的路线共有条．第 10 题11. 8 块相同的奥运纪念徽章分给小高、卡莉娅、墨莫、萱萱四人，每人至少分一块， 有种不同的分法．12. 由 0、1、2、…、9 组成的小于 5000 且没有重复数字的四位数共有 个，其中从小到大第 2010 个是．三、填空题Ⅲ（本题共有 3 小题，每题 8 分）13. 有些三位数，相邻两个数字的差都不超过 2，比如 424，244，110，…，所有这4 4 4 4样的三位数有 个．14. 各位数字之和为 4 的四位数有个，其中能被 11 整除的有 个．15. 在下面数字谜中，七个不同汉字表示七个不同数字，“小学升学尖子班”表示的七位数有 种不同的取值．小 学 升 学+ 尖子 班 2 0 2 0。

六年级数学下册思维综合训练试题3（附答案）前言在琳琅满目的教辅类图书前——孩子的心声：奥数真难，大人们为什么总要我们学习奥数呢？家长的心声：太难的奥数，让孩子越来越没自信学习数学了。

教师的心声：现行的奥数比课本难多了，若有一套配合课本进度，并能提高学生抽象思维能力的奥数书，将能真正作为课堂教学的延伸。

针对以上种种心声，将此作为课题来研究，在多所名校和社会信誉度较高的办学单位试行的基础生，推出了这套《同步奥数培优》，内容力求体现：配套现行教材以新课标北师大版内容为知识体系，做到在已有知识基础上的拓展，重视知识的螺旋上升，在和教材同步的同时，培养学生的抽象思维能力。

【适当加入一些同学们感兴趣的内容】。

注重素质提高学好数学的前提是要有兴趣，这是编写此套丛书的出发点。

为了更全面综合地提高学生的数学素质，此书适合大多数学生的学习与使用。

强化思维训练数学的学习是思维的学习。

此套丛书在章节安排上，重视对学生系统思维的训练，能结合学生学习的特点，相对形成知识编排上的系统性。

即能以知识为章，以知识点为节，由浅入深，层层深入，使学生的认知相对完整。

本书将本着自学能会，教师能辅导、家长能参考的宗旨，全心全意为莘莘学子、为酷爱奥数的同学们而编，望你们用心学习，对以后的学习有所帮助，由于编写时间仓促，书中难免有些不妥之处，敬请广大同学们在使用过程中批评指正，以使本书更加完善。

《五年级奥数》编写组目录第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)练习卷 (5)第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)练习卷 (10)第三讲分数除法应用题 (11)练习卷 (15)第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)练习卷 (20)第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)练习卷 (24)第六讲百分数（浓度问题） (25)练习卷 (28)综合演习（1）…………………………………………………………29综合演习（2）…………………………………………………………31第一讲分数乘法例题讲学例1（1）×19（2）27×【思路点拨】观察这两道题中数的特点，第（1）题中的比1少，可以把看作1-，然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和相乘，再运用乘法分配律使计算简便。

第14讲 计数综合三兴趣篇1. 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。

走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？ 【分析】 例如登上一级台阶有1种走法，登上第二级台阶有2种走法(一步走两级或者走两步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为123+=．又知道走上第四级台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上235+=2. 小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？ 【分析】 递推法。

吃1块只有1种吃法，吃2块有11+和2两种吃法，吃3块有1+1+1,1+2，2+1,3共4种吃法，吃4块有：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1共7种；吃5块有2+4+7=13种吃法，吃6块有4+7+13=24种吃法……事实上，吃n 块巧克力，吃最后一块前，吃掉的块数是在第1n -块或2n -块或n -3块上，所以吃n 块巧克力的吃法数相当于吃第1n -块和第2n -块以及第n -3块的总和。

依照这一规律，列表写出吃1到10块各块的吃法数。

最后递推得到吃第10块巧克力有274种吃法。

3. 用⨯12的小方格覆盖⨯27的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？【分析】 递推法．若用12⨯的小长方形去覆盖2n ⨯的方格网，设方法数为n A ，那么11A =，22A =．当3n ≥时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：⑴用1个12⨯的小长方形竖着覆盖，那么剩下的()21n ⨯-的方格网有1n A -种方法；⑵用2个12⨯的小长方形横着覆盖，那么剩下的()22n ⨯-的方格网有2n A -种方法，根据加法原理，可得12n n n A A A --=+．递推可得到3123A =+=，4235A =+=，5358A =+=，65813A =+=，781321A =+=，所以覆盖27⨯的方格网共有21种不同方法．4. 如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？ 【分析】 一条直线时，分平面内为2个部分；增加一条直线，即2条时，显然它应该与原来那条直线相交才能把平面分的多，这是增加了2部分，总数2+2；再增加1条时，同理应该与前两条都相交，这时增加了3部分，总数2+2+3； 增加到4条时，分平面增加4部分，总数2+2+3+4；由此我们发现，每增加一条直线，多分平面部分逐个递增，即n 条直线最多分平面(1)223412n n n ++++++=+。

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六年级数学思维训练试题 1姓名____________1、计算:（1)28×1111＋9999×8= （2)36×1.09＋1.2×67。

3 =2、计算：(1)4.75－9.63＋(8.25－1.37）= （2）2004×错误!=3、甲乙丙三个共存钱1620元，已知甲存的钱是丙的3倍，乙存的钱是丙的2倍,那么甲存钱（）元，乙存了（）元,丙存了( ）元。

4、一台彩电的价钱是一台冰箱价钱的3倍，买一台彩电比买一台冰箱多用2800元，那么一台彩电（）元。

5、两个数的和是78，差是16，那么较大的一个数是（），较小的一个数是（）.6、今年小明和小刚年龄和是25岁，四年后,小刚比小明大3岁，那么四年后小刚( )岁.7、两个数的和是80，积是1456，这两个数分别是（）和（ )。

8、有10个同学握手话别，每两个同学握一次手，他们一共握了（）次手.9、有一列字母ACAABAACAABA AC……问:第74个字母是（），这前74个字母中一共有（）个A。

10、右图中有( )个三角形.11、 22只小鸡和小兔在一起，共有脚64只,那么其中有（）只小鸡，有（）只小兔。

12、两个数的和是374，大数去掉十位数字后和小数一样大，那么大数是( ）。

六年级下册数学试题-思维能力训练试卷（1）（无答案）全国通用六年级数学思维能力训练试卷（第1套）(总分100分时间90分钟)题号一二合计得分一、填空题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．在NBA总决赛的一场比赛中，骑士球星詹姆期全场27投16中加上8罚6中，得41分，已知3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球算2分，罚球算1分，则詹姆期本场比赛投中了个3分球。

2．一根粗细均匀的竹竿（长约1米），在中点的位置打个小孔并拴上绳子．左边的塑料袋在刻度4上，放3个棋子，右边的塑料袋在刻度3上，放个棋子才能保持平衡。

3．蜡烛每分钟燃烧的长度一定，一支蜡烛点火8分钟后长12厘米，点火18分钟后长7厘米，这支蜡烛点火分钟的长度是1厘米。

4．有一个空罐如右图，如果倒人6碗浓果汁和3杯水，刚好倒满；如果倒入2碗浓果汁和2杯水，液面到达A处。

那么，要想倒到这个空罐的一半需要碗浓果汁或者杯水。

5．一个等腰三角形底和高的比是8：3，如果沿着它的高剪开后，拼成一个长方形，这个长方形的面积是192平方厘米，然后再把拼成的长方形卷成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积立方厘米（π=3）。

6．A是大于0小于10的自然数，B是0，用字母A、B组成一个能同时被2、3、5整除的四位数是7．计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制“逢二进一”，(1101)2表示二进制数，将它转化成十进制形式是1´23+1´22+0´21+1´20=13，那么将二进制数(11011)2转化成十进制形式是数8．何师傅将一批博易新思维教材装箱，当他装满15箱时，发现已装的书比这批书的4还少24本，接着他又装满13箱，正好装完。

这批书共有本。

79．一个盒子里有黑、白、红三色的珠子共17颗，其中白色珠子的颗数是红色珠子的7倍，那么盒子里最少有颗黑珠子。

10．如图：某公园的外轮廓是四边形，被对角线AC、BD分成四个部分，三角形AOD的面积是1平方千米，三角形BOC的面积是2平方千米，三角形COD的面积2是3平方千米，公园人工湖的面积是3千米。

小升初数学思维训练第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算一：知识地图：二：基础知识（一）：比较大小1、分数的大小比较1）通分：a ） 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小；b ） 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。

2）比倒数：倒数大的分数小。

3）与1相减比较法：a ） 真分数：与1相减，差大的分数小；b ） 假分数：与1相减，差大的分数大。

4）经典结论：a ） 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；b ） 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。

对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较： （a b >，且,,a b c 为非零自然数时） （1）,b b c b b ca a c a a c+-<>+- 即“真分数越加越大，越减越小”（0a c -≠）如331331,551551+-<>+-； （2）,a a c a a cb bc b b c+->>+-即“假分数越加越小，越减越大”。

5）放缩法。

6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。

切记！ 7）两个数相除进行比较。

如：34和57，352114720÷=>，所以3547>。

2、小数的大小比较常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。

比较大小分数的大小比较通分 比倒数 与1相减比较法 经典结论放缩法 化成小数比较两个数相除进行比较 对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较小数的大小比较估算常用方法经典步骤 定义新运算（二）估算问题1、常用方法1） 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。

2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。

六年级数学专题思维训练—计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有组，2、如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有种不同的走法．4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有种不同的可能．7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有条．9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）11、一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有种不同的放法．A. 15 B．18 C．20 D．2413、以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

六年级数学下册思维拓展训练（第2套）班级姓名得分【资料使用建议】：每日1题，坚持训练1.如下图所示，用一块面积为36平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。

问余下的边角料的总面积是多少平方厘米？2.六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？3.一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有多少种不同排法？4.一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少天？5.4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。

每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少千克油？6.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有多少种?7.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？8.某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？9.如图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？10.一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几?参考答案（1，1，1，1，1，1）—→（0，3，1，1，1，0）—→（2，2，1，1，0，0）—→（4，1，1，0，0，0）—→（6，0，0，0，0，0）3.【答案】首先，将8人的身高从低到高依次编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现在就相当于要将这8个数填到一个4*2的方格中，要求每一行的数依次增大，每一列上面的要比下面的大．下面我们将1、2、3、4、5、6、7、8依次往方格中填，按照题目规则，很容易就发现：第二行填的的数字的个数永远都小于或等于第一行数字填的个数．也就是说，不能出现下图这样的情况．而这个正好是“阶梯型标数”题型的基本原则．于是，我们可以把原题转化成：在这个阶梯型方格中，横格代表在第一行的四列，纵格代表第二行的四列，那么此题所有标数的方法就相当于从A 走到B 的最短路线有多少条．例如，我们选择一条路线：它对应的填法就是：最后，用“标数法”得出从A 到B 的最短路径有14种，如下图：4.【答案】把这项工程的工作总量看作“1”。

已知1+2+3+…+n （n ＞2）的和的个位数为5，十位数为0，则n最小值是_ 。

【解析】因为 1+2+3+…+n （n ＞2）的和的个位数为5，十位数为0所以 1+2+3+…+n-5= n （n+1）÷2-5能被100整除。

也即n （n+1）的个位数字为0，所求的数至少是100，经试算n=14，1+2+3+…+n=105，符合要求，n 最小值是14 。

有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2和5、7、……、21，若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有_ 个至少一面有漆的。

【解析】（213-193）+（193-173）+（173-153）+……+（73-53）+（53-33）+23=213-27+8=9261-27+8=9242讲演者：得分：讲演者：得分：第二讲 培优选讲计算（0.12+0.22+0.32+0.42+0.52）÷(0.13+0.23+0.33+0.43)= _ 。

【解析】（0.12+0.22+0.32+0.42+0.52）÷(0.13+0.23+0.33+0.43)=[（12+22+32+42+52）÷100] ÷[(13+23+33+43)÷1000]=[55÷100] ÷[100÷1000]= 55÷100÷100×1000=5.5图1是一个正方体木块，棱长为4厘米，A、B、C、D、E、F、G、H分别是正方体的八个顶点。

AM=BN=3厘米，ME=NF=5厘米，从正方体（即图1）上沿平面MNFE截下如图2的一块，截面MNFE是_ 形，截下的另一块（即图3）的表面积是_ 平方厘米。

【解析】截面MNFE是长方形。

截下的另一块的表面积：（4-3）×4+4×4×2+5×4+（4-3+4）×4÷2×2= 4+32+20+20= 76如下图，共有_ 个三角形。

六年级思维训练8 计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有组，2、如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有种不同的走法．4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有种不同的可能．7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有条．9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）11、一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有种不同的放法．A. 15 B．18 C．20 D．2413、以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

六年级数学思维训练题11、两个相同的瓶子装满酒精溶液。

一个瓶中酒精与水的比2︰3，另一个瓶中酒精与水的比是3︰5，若把两瓶酒精溶液混合，混合后酒精与水的比是多少？分析与解答：因为两个瓶子相同，可以分别求出每个瓶中酒精占瓶子容积的几分之几，在求出混合后酒精和水各占容器容积的几分之几，即可求出混合后酒精与水的比。

2、某饮料店有一桶奶茶，上午售出其中的25%，下午售出30升，晚上售出剩下的10%，最后剩下的奶茶再减6升刚好半桶，问一桶奶茶共有多少升？【考点】L6：分数和百分数应用题【分析】设一桶奶茶共有a升，则晚上售出（a﹣25%a﹣30）×10%，此时剩下（a﹣25%a﹣30）×（1﹣10%），对应着50%a+6，列出方程求解。

【解答】解：设一桶奶茶共有a升（a﹣25%a﹣30）×（1﹣10%）＝50%a+6（0.75a﹣30）×0.9＝0.5a+60.675a﹣27＝0.5a+60.175a＝333、学校里买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱。

每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶和每个茶杯各多少元?分析与解:根据每个保温瓶的价钱是每个茶杯的4倍，可把5个保温瓶的价钱转化为20个茶杯的价钱。

这样就可把5个保温瓶和10个茶杯共用的90元钱，看作30个茶杯共用的钱数。

解:每个茶杯的价钱:90÷(4×5+10)＝3(元)每个保温瓶的价钱3×4＝12(元)答:每个保温瓶12元，每个茶杯3元。

4、某工地运进一批沙子和水泥，运进沙子袋数是水泥的2倍。

每天用去30袋水泥，40袋沙子，几天以后，水泥全部用完，而沙子还剩120袋，这批沙子和水泥各多少袋?分析与解:由己知条件可知道，每天用去30袋水混，同时用去30×2袋沙子才能同时用完。

但现在每天只用去40袋沙子，少用(30×2-40)袋，这样オ累计出120袋沙子。

六年级数学下册思维拓展训练（第1套）班级姓名得分【资料使用建议】：每日1题，坚持训练1.有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

2.水泥厂原计划12天完成一项任务，由于每天多生产水泥4.8吨，结果10天就完成了任务，原计划每天生产水泥多少吨？3.四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形(如图)大正方形的面积是49平方米，小正方形面积是4平方米。

问长方形的短边长度是几米?4.一个矩形长33厘米，宽32厘米，用正方形如下图分割，已知最小正方形边长为1厘米，第二个小正方形边长为4厘米，请在图中填出其余正方形的边长.5.足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？6.仓库里的货物运走3/5以后，又运进56吨，这时仓库里货物吨数正好是原来的2/3，原来仓库里有货物多少吨?7.A B C三项工程工作量之比1：2：3,由甲乙丙三个工程队分别承担,开工若干天后,甲完成的工作量是乙未完成工作量的二分之一,乙完成的工作量是丙未完成的工作量二分之一,丙完成的工作量等于甲未完成的工作量,甲乙丙的工作效率?8.一群学生搬砖，如果有12人每人各搬7块，其余的每人搬5块，那么最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，其余的每人搬7块，那么最后余下20块。

问学生共有多少人？砖有多少块？9.张先生以标价的95%买下一套房子，经过一段时间后，又以超出原标价30%的价格把房子卖出。

这样他一共获利10.5万元。

这套房子原标价 ( )万元。

10.甲乙两人在河边钓鱼，甲钓了三条，乙钓了两条，正准备吃，有一个人请求跟他们一起吃，于是三人将五条鱼平分了，为了表示感谢，过路人留下10元，甲、乙怎么分？参考答案1.【答案】首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉。

六年级数学思维拓展训练题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：六年级数学思维拓展训练题数学是一门需要大量思维和逻辑推理的学科，通过不断的练习和训练可以提高学生的数学思维能力。

为了进一步拓展六年级学生的数学思维，我们设计了以下一些拓展训练题，希望可以帮助学生提升数学解题的能力。

1. 填空题(1) 用1，2，3，4，5这五个数字，组成一个没有相同数字的五位数，求这个五位数的最大值和最小值分别是多少？(2) 用0，1，2，3，4这五个数字，组成一个没有相同数字的五位数，求这个五位数可以被3整除的个数是多少？(3) 用1，3，5，7，9这五个数字，组成一个整数，使得这个数可以被11整除，问这个数有多少种可能性？2. 选择题(1) 有一枚硬币，摔了100次，出现正面和反面的次数一样多的概率是多少？A. 0.5B. 0.25C. 0.7D. 0.4(2) 假设一个矩形的长比宽长3米，如果周长是24米，矩形的长是多少？A. 6米B. 7米C. 8米D. 9米(3) 在下面的等式中，A、B、C、D四个数字是多少？A +B = 12B +C = 14C +D = 9A + D = 11A. A=5, B=7, C=7, D=4B. A=6, B=6, C=8, D=3C. A=4, B=8, C=6, D=3D. A=7, B=5, C=9, D=23. 解答题(1) 一个水缸可以容纳150升水，现在里面已经装了50升水。

如果每小时加水10升，每小时漏水5升，问10小时后水缸里的水有多少升？(2) 15个人围成一个圈，从第一个人开始报数，报到3的人要离开圈子，然后下一个人从1开始继续报数，问最后剩下的人是谁？(3) 一辆汽车以每小时60km的速度行驶，A地到B地的距离是300km，B地到C地的距离是400km，那么汽车从A地出发到C地一共需要多长时间？(4) 有一只狼、一只羊、一只白菜和一个人要过一条河，只有人可以划船，但船只能装两样物品（包括人），如果狼和羊在一起，狼会吃掉羊；如果羊和白菜在一起，羊会吃掉白菜。

小升初奥数思维进阶训练与拓展（五）1.老师买了同样数目的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学1个田格本、3个横线本和5个练习本，这时横线本还剩24个，那么田格本和练习本共剩了（）个．2.一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同，其中数学书和英语书共有16本，语文书和英语书共有17本．有一种书恰好有9本，这种书是（）书．3.有9张纸牌，分别写着1～9.A、B、c、D四人取牌，每人取2张．已知A取的两张牌之和是10;B取的两张牌之差是1;C取的两张牌之积是24;D取的两张牌之商是3．剩下的一张牌是（）。

4．明明在做一道加法题时，错把其中一个加数十位上的5看成了3，另一个加数个位上的1看成了7，结果他算出的和是382，那么，正确的和是多少？5．小马虎在做一道加法题时，把第二个加数135看成531，结果算出来的和是716，你知道正确的得数是多少吗？6.丁丁和爸爸、妈妈在公园里玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的丁丁和妈妈同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸坐的一端仍然着地；丁丁借来一个重量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果丁丁这一端着地．如果丁丁的体重是整数千克，那么丁丁的体重是（）千克．7.猴王带领一群猴子去摘桃，下午收工后，猴王开始分配，若每只大猴分5个，每只小猴分3个，猴王可以留10个，若每只大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中（不笔括猴王），大猴比小猴多（）只．8.小明在专卖店购买了价格为1299元的正品运动鞋，又去淘宝购买了同款价格为199元的仿品运动鞋，他将仿鞋拿去专卖店原价退掉，并将正品在咸鱼上以999元的价格售出，扣除包邮费用18元后，问小明在这一系列操作中：A.亏318元B.亏800元C.赚800元D.赚782元9．一道减法算式，被减数是83，它与减数、差相加的和除以被减数，商是．10.甲、乙、丙、丁、戊五名学生排队，要求甲和乙之间最多只能排两个人，则有多少种排列方法？（）A.84种B.114种C.96种D.lO8种11.动物园管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5棵还剩余10棵，如果大熊猫增加两倍少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还差8棵，则共有多少棵竹子？（）A.70棵B.l2O棵C.150棵D.50棵12.有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为9余数为6，如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则商为5余数为3。

六年级数学思维训练：计数综合四（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【答案】【解析】试题分析：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．而且，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．据此即可解答．解：观察图形可知：在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，所以不同的取法共有49×4=196（种）．答：一共有196种不同的取法．点评：通过上面解答可以知道，当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候，可考虑采用相等的原则，把问题转化成求另一个集合的元素个数．【题文】冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？【答案】【解析】试题分析：4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4个位置，根据组合公式共有==70种吃法．解：==70（种）答：共有70种吃法．点评：此题考查排列组合的实际运用，注意灵活运用计数原理解决问题．【题文】常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，评卷人得分请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？【答案】【解析】试题分析：七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有2×=2×=70种不同的方式．解：2×=2×=2×35=70（种）答：比赛过程一共有70种不同的方式．点评：此题考查排列组合的实际运用，注意分两种情况探讨：常昊胜或古力胜．【题文】10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？【答案】【解析】试题分析：利用插板法可知：10个橘子排成一行有9个间隔，从当中选出2个间隔各插入一个板子，将10个橘子分成了3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个橘子，一共==36种分法．解：==36（种）答：一共36种分法．点评：此题考查排列组合的实际运用，理解题意，转化思路是解决问题的关键．【题文】一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？【答案】【解析】试题分析：8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变，采用插板法：+×+×+=165种安排播出的方法．解：+×+×+=4+×7+4×+=4+42+84+35=165（种）答：共有165种安排播出的方法．点评：此题考查排列组合的实际运用，理解题意，转化思路是解决问题的关键．【题文】某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？【答案】【解析】试题分析：三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为0，所以我们可以用插板法，先加3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每组减1个人就剩下40个人了，而且满足有0的情况，所以共有==861种．解：有==861（种）答：三个选项的统计数字共有861种不同的可能．点评：此题考查排列组合的实际运用，理解题意，转化思路是解决问题的关键．【题文】海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？【答案】【解析】试题分析：根据插空法可知：将这7盏灯，插到剩下的11盏灯里．有12个位置．所以熄灯方案有==792种．解：==792（种）答：一共有792种熄灯方案．点评：此题考查排列组合的实际运用，理解题意，转化思路是解决问题的关键．【题文】数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？【答案】【解析】试题分析：利用插板法：9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．解：9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔，共有==28（个）中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔，共有==56（个）答：三位数共有28个，四位数共有56个．点评：此题考查排列组合的实际运用，注意问题的转化．【题文】有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？【答案】【解析】试题分析：利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可．解：用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．因此，可能有3×3×3×3×3=243个不同的五位数．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法，即12332，23321代表同一种涂法．但是，有些数的反序数就是它自身，如11111，12321．这样的数只要确定前三位，它就确定了．因此一共有3×3×3=27（个）．从243个不同的五个数中去掉这27个，还有243﹣27=216（个）．这216个数中每一个数和它的反序数都代表同一种着色方法，即两个数决定一种着色方法．所以216个数代表216÷2=108（种）着色方法，连同前面27种，一共有135种不同着色的棒．点评：此题可以考虑用三进制来表示数．在棒的第一节写进0、1、2中的一个数字，得到一个三进位制的五位数．最大的三进制的五位数是22222，将它写成十进制的数是2×34+2×33+2×32+2×3+2=242，即有242个不同的数，加上00000，共有243个不同的数．与解法一相同，一个三进位制的数与它的反序数代表同一种涂法，其中有27个数的反序数就是它自身，所以27+（243﹣27）÷2=135种．【题文】给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）【答案】【解析】试题分析：由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论．解：×2=5×2=10（种）答：共有10种不同的染色方式．点评：本题考查了较复杂的排列组合知识，关键是理解确定顺时针和逆时针两种情况．也可以自己制作粘贴成一个正四面体．操作一下对小学生比较好理解．【题文】在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？【答案】【解析】试题分析：先讨论8×8中可以排多少个三个格子的直排：1、8×8再次简化为单列为8格的方格组合：①由如为3格的单列三个格子可以排成1个；②4格可以排成2个；…可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；2、8×8的格阵中那么应该可以排成6×8×2=96（单算行共有8行×8，行列相等×2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L：①一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96×4=384个；②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4×6×2=48（边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）；③384﹣48=336个；所以应该有336个．解：6×8×2×4﹣4×6×2=384﹣48=336（个）答：一共可以数出336个由4个单位小正方形组成的“L”型．点评：此题考查图形的计数，注意从简单入手，找出规律，解决问题．【题文】一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？【答案】【解析】试题分析：由题意可知：只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共7个靶子，第一列三个靶子共种顺序，第二列和第三列依次有和种，由此由乘法原理得共××种顺序．解：××=35×6=210（种）答：击碎全部7个靶子共有210种不同的顺序．点评：此题考查排列组合的实际运用，注意理解题意，合理利用两种计数原理解决问题．【题文】（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？【答案】【解析】试题分析：（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，每一种排法就对应着青蛙的一种跳法，有=6（种）；（2）分为两类：第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“下”“左”“右”排成一列，有=24（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似（1），有×2=12（种），所以共24+12=36（种）．解：（1）=6（种）答：这只青蛙共有6种可能的跳法．（2）+×2=24+12=36（种）答：这只青蛙共有36种可能的跳法．点评：此题考查排列组合的运用，注意两种计数原理的灵活运用解决问题．【题文】如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？【答案】【解析】试题分析：以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2），其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2），依此即可确定三角形的个数．解：一条直线上有3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应3个三角形，另一条直线也是如此，也有3个三角形．以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2）．其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C （N﹣1，2）当n=10时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210（个）．答：从图中最多可以数出210个三角形．点评：此题主要考查了组合图形的计数，根据图形画出符合要求的答案进而得出规律是解题的关键．【题文】把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？【答案】【解析】试题分析：（1）每个小朋友至少分得3个苹果，先每个小朋友都分得3个苹果，满足要求；那么还剩（20﹣3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得0至17个苹果，当其中两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法；…当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；共有：18+17+16+…+1=171（种）．（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法．解：18+17+16+…+1=171（种）20+1=21（种）答：每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．点评：此题考查加法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1+M2+…+Mn种不同的方法．【题文】冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？【答案】【解析】试题分析：每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．解：29=512（块）；答：一共有512种不同的吃法．点评：此题考查排列组合的运用，注意计数原理的灵活运用．【题文】美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？【答案】【解析】试题分析：因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，…当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．解：赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，…当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）答：共有71395种可能的三种票数的统计情况．点评：此题考查加法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1+M2+…+Mn种不同的方法．【题文】有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？【答案】【解析】试题分析：不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．解：7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”，共有==56（种）答：有56种不同的选法．点评：本题考查排列、组合的运用，关键要掌握特殊问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．【题文】一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？【答案】【解析】试题分析：考虑两种方法：①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；②利用插空法解决：相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．解：方法一：四盘都一样：10，三盘一样：10×9=90，两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360，没有两盘一样的，=210，最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）．方法二：让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．答：共有715种选菜方案．点评：本题考查排列、组合的运用，关键要掌握特殊问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．【题文】3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？【答案】【解析】试题分析：也有三种，（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子可以分类：3，2+1，1+1+1；共有20种，所以站成一排共有20××种方法；（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8三个位置；所以共有×种．解：（1）20××=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1=604800（种）答：3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法；（2）×=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1=30240（种）答：如果站成一圈共有30240种排列方法．点评：此题考查排列组合的实际运用，注意理解题意，正确利用组合排列公式计算．【题文】一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）【答案】【解析】试题分析：体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．解：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．答：这样的长方体有25个．点评：此题通过对2310分解质因数，根据质因数的个数分为两种情况，解决问题．【题文】用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？【答案】【解析】试题分析：首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果．解：首先涂法可分两类：用3种颜色和用4种颜色；用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种，此步情况数N=4×3×2=24（种）当使用四种颜色，6个面4个颜色：相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色换成剩下的那个颜色有24×3=72（种）所以，总情况数24+72=96（种）答：共有96种不同的染色方法．点评：本题是一个分类与分步原理综合应用问题，需要利用排列组合的基础知识与分类讨论思想，解题的关键是利用计数原理，不重不漏的表示出所有符合条件的事件数，本题是一个难题．【题文】某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？【答案】【解析】试题分析：当3个红球都不相邻时，7÷3=2…余1；所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案．解：按两个红球间隔白球的数量分类用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：最多间隔4个白球的有4种不同规格：类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格．最多间隔7个白球的有1种规格．所以，共有不同规格：2+4+3+2+1=12（种）；答：这类玩具一共可以有12种不同的规格．点评：本题还可以这样理解：7分成3个数的和：007、016、025、034、115、124、133、223共8种，注意这是不加圆盘正面向上这个条件时的答案（即不可反扣），加上这个限制，可以认为016、025、034、124这4个都可以变化出第2种不同排列顺序来，所以是12种．【题文】对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？【答案】【解析】试题分析：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；然后分类讨论，求出可以进行5次操作的六位数有多少个即可．解：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；A1：6﹣﹣﹣﹣5时，（仅举四种情况之一）因为第二次交换的是第五位，所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一个，因此原数有6﹣﹣﹣45，6﹣﹣﹣35，6﹣﹣﹣25三种情况；A11：6﹣﹣﹣45时，（仅举三种情况之一）因为第三次交换第四位，所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一个，因此有：6﹣﹣345；6﹣﹣245二种情况；A111：6﹣﹣345时，（仅举两种情况之一）因为第四次交换第三位，所以第三位不能是1，只能是2，因此有：6﹣2345一种情况；第二位只能是1：即612345，第五次交换第二位，结果是162345；综上，以6开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有：4×3×2×1=24（个），而开头的数字可以是2、3、4、5、6这五个数字之一，故可以进行5次操作的六位数共有：5×4×3×2×1=120（个）．答：可以进行5次操作的六位数有120个．点评：此题主要考查了通过操作实验探索发现规律问题的应用．【题文】大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？【答案】【解析】试题分析：利用插空法分析：圆圈代表蓝色，三角代表黄色，菱形代表红色．先放好大圆圈，之后再放置三角，最后放菱形，○△◇．进一步分情况探讨即可．解：○代表蓝色，△代表黄色，◇代表红色．先讨论大圆圈与三角的放置，同时考虑对称性，因为翻转后重合的是同一种有：△○△○○；此种有5种△○○△○；5种．△○○○△；1种．○△○△○；5+3+1=9种．剩下的就会重复，但还有一种要记得，那就是○△△○○；1种．总共5+5+1+9+1=21种．排成一圈的，注意旋转或翻转后重合的为同一种．只有两种．点评：此题考查圆排列定义：从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列．如果一个m﹣圆排列旋转可以得到另一个m﹣圆排列，则认为这两个圆排列相同．【题文】有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？。

第四讲应用题综合（下）1、巩固包含与排除和抽屉原理的解题方式。

2、复习前一讲内容。

3、培养学员发现数学中的美，激发学员学习探索的意识。

有重叠部分的若干对象的计数问题。

能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式酌重复计数问题。

抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

讲演者：得分：森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜，白菜和青草中的一种或者几种，爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，如果三种食物都爱吃的小白兔又有五只，那么这群小白兔共有多少只？【解析】萝卜①②③④⑤⑥⑦白菜青草爱吃萝卜的小白兔中不爱吃白菜的部分是①③，共12只。

爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草，所以②⑤是23只。

爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，所以⑥⑦是34只。

三种都喜欢的小白兔有5只，所以④是5只。

以上4部分正好构成小白兔的全部，所以将它们相加即可，共有12＋23＋34＋5=74只。

解答：这群小白兔共有74只。

讲演者：得分：从1到99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于100？最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？【解析】解析：（1）将99个自然数分成50组：（1，99），（2，98），（3，97），……，（49，51），50，每组中取出一个数，则这50个数中每两个数的和都不等于100，满足要求。

（2）将99个自然数如下分组：（1，6），（2，7），（3，8），（4，9），（5，10）；（11，16），（12，17），（13，18），（14，19），（15，20），……，（91，96），（92，97），（93，98），（94，99），95；在每组中选取一个数，满足题目的要求。

2014 年六年级数学思维训练：计数综合三一、兴趣篇1.一个楼梯共有10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10 级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2.小悦买了10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3 块，直到吃完，共有多少种吃法？3.用1×2 的小方格覆盖2×7 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4.如果在一个平面上画出4 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20 条直线，最多可以分成几个部分？5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6 次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？7.由1、3、4 组成的四位数的各位数字之和为9 的多位数共有多少个？8.一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？9.一个十位数只含有数字l 或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？10.一个六位数由1、2、3、4、5 组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？二、拓展篇11.老师给冬冬布置了12 篇作文，规定他每天至少写l 篇，如果冬冬每天最多能写3 篇，那么共有多少种写完作文的方法？12.用10 个1×3 的长方形纸片覆盖一个10×3 的方格表，共有多少种覆盖方法？13.现有14 块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？14.如果在一个平面上画出8 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8 个圆，最多可以把平面分成几个部分？15.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1 次传球，经过8 次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？16.如图所示，一个圆环被分成8 部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？17.圆周上有10 个点A1，A2，…，A10 以这些点为端点连结5 条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共有多少种连结方式？18.在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如137、36712 等．请问：在1 至10000 中有多少个这样的多位数？19.有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7 和5，例如1975、75675 等，但432579．不算在内．请问：具有这种性质的六位数有多少个？20.用1 至9 这9 个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个？21．一个七位数，每位都是1、2 或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有个．22.满足下面性质的四位数称为“好数”：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如1346、2579 是好数，但1567 就不是好数．请问：一共有多少个好数？三、超越篇23.一个九位数，它只由数字l、2 和3 组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字1、2 和3 每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个？24．（1）如果在一个平面上画出8 个三角形，最多可以把平面分成多少个部分？（2）如果在一个平面上画出3 个四边形、2 个圆、l 条直线，最多可以把平面分成多少个部分？25.如图所示，阴影部分是一个圆环，4 条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分？26.用15 个1×2 的小纸片覆盖如图，共有多少种不同的覆盖方法？27．（2011•西安校级自主招生）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1．如此进行直到为l 时操作停止．问：经过9 次操作变为1 的数有多少个？28.用4 种不同的颜色将如图中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有多少种涂法？（不允许旋转、翻转图）29.圆周上有15 个点A1，A2，…，A15，以这些点为顶点连出5 个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连接方式？30.有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果．如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”（一个人可以有多次“怨言”）．在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”．例如：六位同学按下面的顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级，那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、0、l、2、0、l，这种排列的“怨言数”就是4．请问：有多少种“怨言数”为7 的排列顺序？2014 年六年级数学思维训练：计数综合三参考答案与试题解析一、兴趣篇1.一个楼梯共有10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10 级台阶，一共可以有多少种不同的走法？【分析】从第1 级开始递推，脚落到第1 级只有从地上1 种走法；第二级有两种可能，从地跨过第一级或从第一级直接迈上去；登上第3 级，分两类，要么从第1 级迈上来，要么从第2 级迈上来，所以方法数是前两级的方法和；依此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和；直到10 级，每一级的方法数都求出，因此得解．【解答】解：递推：登上第1 级：1 种登上第2 级：2 种登上第3 级：1+2=3 种（前一步要么从第1 级迈上来，要么从第2 级迈上来）登上第4 级：2+3=5 种（前一步要么从第2 级迈上来，要么从第3 级迈上来）登上第5 级：3+5=8 种登上第6 级：5+8=13 种登上第7 级：8+13=21 种登上第8 级：13+21=34 种登上第9 级：21+34=55 种登上第10 级：55+34=89 种；答：一共可以有89 种不同的走法．2.小悦买了10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3 块，直到吃完，共有多少种吃法？【分析】利用归纳法，记有n 块巧克力，有m 种吃法，从小数开始算起，找到规律，然后递推出大数的情况．【解答】解：设有n 块糖，有m 种吃法，n=1 时，m=1，有1=1n=2 时，m=2，有2=1+1n=3 时，m=4，有4=1+2+1n=4 时，m=7，有7=1+2+4n=5 时，m=13，有13=2+4+7…可以发现：从第四项开始，每项的方法数等于前三项的方法和，所以，后面的方法数是：24、44、81、149、274…所以，10 块巧克力，共有274 种吃法．答：共有274 种吃法．3.用1×2 的小方格覆盖2×7 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？【分析】本题分类计数：全部竖排1 种；1 个竖排有4 种；3 个竖排有10 种；，5 个横排有6 种；然后加在一起，即可得解．【解答】解：1+4+10+6=21（种）答：共有21 种不同的覆盖方法．4.如果在一个平面上画出4 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20 条直线，最多可以分成几个部分？【分析】根据直线两两相交，每三条不交于同一点，可把平面分成最多部分，根据两条直线最多分成的部分比一条直线分成部分增加2，三条直线最多分成部分比两条直线最多分成部分增加三，以此类推找出规律，可得答案．【解答】解：2 条直线最多可将平面分成4 个部分，如图：；三条直线最多分成可将平面分成7 个部分，如图：；四条直线最多分成可将平面分成11 个部分，如图：；n 条直线最多分成可将平面分成2+2+3+4+…+n=+1 个部分；所以画20 条直线，最多可以分成+1=211 个部分．答：在一个平面上画出 4 条直线，最多可以把平面分成11 个部分；如果画20 条直线，最多可以分成211 个部分．5.甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6 次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？【分析】利用递推法，设经过n 次传球回到甲手中的过程有A n 种可能，n 至少为2．从简单分析探讨得出答案即可．【解答】解：设经过n 次传球回到甲手中的过程有A n 种可能，n 至少为2．A2=2，A3=2，对于A n，若第一次回到甲的手中是经过两次传球，有2 种可能，此时还剩余2 次，有A2种可能，总共有2A2种可能；若第一次回到甲手里是经过四次传球（不需要考虑第一次回到甲手里是经过三次传球，这样四次传球不可能回到甲的手中）有2 种可能，所以A4=2A2+2=2A2+A3=6．对于A5，若第一次回到甲的手中是经过两次传球，有2 种可能，此时还剩余3 次，有A3 种可能，总共有2A3种可能；若第一次回到甲的手中是经过三次传球有2 种可能，此时还剩余2 次，有2A2种可能；若第一次回到甲的手中是经过5 次传球有2 种可能，（不需要考虑第一次回到甲的手中是经过4 次传球，这样5 次传球不可能回到甲的手中）有2 种可能，所以A5=2A3+2A2+2=2A3+A4=10．以此类推，可以得到A n=2A n﹣2+2A n﹣3+L+2A2+2=2A n﹣2﹣A n﹣1，A6=2A4+A5=22．即整个传球过程共有22 种不同的可能．6.一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？【分析】由题意，相邻两个数字的和为16，可以是前两个数字和是16 或后两个数字和是16，且16=7+9=8+8，据此分类枚举即可．【解答】解：因为16=7+9=8+8，所以可分前两位数是79、97、88 以及后两位数是79、97、88 六种情况枚举，790﹣﹣﹣﹣﹣799 10 个970﹣﹣﹣﹣﹣979 10 个880﹣﹣﹣﹣﹣889 10 个179﹣﹣﹣979 9 个﹣1 个=8 个（与前面重复一个为979）197﹣﹣﹣997 9 个﹣1 个=8 个（与前面重复一个为797）188﹣﹣﹣988 9 个﹣1 个=8 个（与前面重复一个为888）所以共有10+10+10+8+8+8=54 个答：这样的三位数共有54 个．7.由1、3、4 组成的四位数的各位数字之和为9 的多位数共有多少个？【分析】因为1+1+3+4=9，再找出由1、1、3、4 组成的四位数共有多少个即可．【解答】解：1+1+3+4=9，这四位数以1 开头，有6 个；这四位数以3 开头，有3 个；这四位数以4 开头，有3 个；总共有6+3+3=12 个．8.一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？【分析】5 个不同的数和为18，则平均值是3.6；如果出现3 时，这5 个数可能是：1，2，3，4，8，和1，2，3，5，7；如果出现4 时，这5 个数可能是：1，2，4，5，6；再根据分类计数原理解答即可．【解答】解：把18 分成4 个不同的数之和，可能是：1，2，3，4，8，和1，2，3，5，7 和1，2，4，5，6；由1，2，3，4，8 组成的五位数有：5×4×3×2×1=120（个）；同理可得：由1，2，3，5，7 组成的五位数有120 个；由1，2，4，5，6 组成的五位数有120 个；所以这样的五位数共有：120×3=360（个）；答：这样的五位数共有360 个．9.一个十位数只含有数字l 或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？【分析】每一位都有两种可能，或1 或2，共10 位．根据乘法原理，一共有2×2×2…×2=210个．【解答】解：每一位都有两种可能，或1 或2，共10 位．那就有2×2×2…×2=210个．答：共有210个这样的十位数．10.一个六位数由1、2、3、4、5 组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？【分析】通过分析：以1 开头的和以5 开头的满足六位数的数目一样，都是9 个；以2 开头的和以4 开头的满足六位数的数目一样，都是18 个；以3 开头的六位数的是18 个，所以共计：9×2+18×2+18=72 种，据此解答即可．【解答】解：①以1 开头的和以5 开头的满足六位数的数目一样，都是9 个；②以2 开头的和以4 开头的满足六位数的数目一样，都是18 个；③以3 开头的六位数的是18 个，所以共计：9×2+18×2+18=72（种）答：这样的六位数有72 个．二、拓展篇11.老师给冬冬布置了12 篇作文，规定他每天至少写l 篇，如果冬冬每天最多能写3 篇，那么共有多少种写完作文的方法？【分析】利用递推法：对于A1，若第一天写1 篇，剩余3 篇，有A3种可能；若第一天写2篇，剩余2 篇，有A2 种可能；若第一天写3 篇，剩余1 篇，有A1 种可能，所以A4=A3+A2+A1=7，以此类推，得出A n=A n﹣1+A n﹣2+A n﹣3，解决问题．【解答】解：设写完a 篇作文的有An 种方法，A1=1，A2=2，A3=4，对于A1，若第一天写1 篇，剩余3 篇，有A3 种可能；若第一天写2 篇，剩余2 篇，有A2种可能；若第一天写3 篇，剩余1 篇，有A1 种可能，所以A4=A3+A2+A1=7，以此类推，A n=A n﹣1+A n﹣2+A n﹣3，可得A12=A11+A10+A9=927．12.用10 个1×3 的长方形纸片覆盖一个10×3 的方格表，共有多少种覆盖方法？【分析】本题采用递推法．若用1×3 的小长方形去覆盖3×1 的方格网，有1 种方法，去覆盖3×2 的方格网有2 种方法，覆盖3×3 的方格网会得到1+2=3 种方法…依次进行求解，发现这是一个斐波那契数列，由此进行求解．【解答】解：若用1×3 的小长方形去覆盖3×n 的方格网，设方法数为A n，那么A1=1，A2=2 当n≥3 时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：（1）用1 个1×3 的小长方形竖着覆盖，那么剩下的3（n﹣1）的方格网有An﹣1 种方法；（2）用2 个1×3 的小长方形横着覆盖，那么剩下的3（n﹣2）的方格网有A n﹣2 种方法，根据加法原理，可得：An=A n﹣1+A n﹣2．A3=1+2=3A4=2+3=5A5=3+5=8A6=5+8=13A7=8+13=21A8=13+21=34A9=21+34=55A10=34+55=89答：覆盖3×10 的方格网共有89 种不同方法．13.现有14 块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？【分析】利用归纳法，记有n 块糖，有m 种吃法，从小数开始算起，找到规律，然后递推出大数的情况．【解答】解：设有n 块糖，有m 种吃法，n=1 时，m=1，有1=1n=2 时，m=1，有2=1+1n=3 时，m=2，有3=1+1+1=3n=4 时，m=3，有4=1+1+1+1=1+3=3+1n=5 时，m=5，有5=1+1+1+1+1=1+1+3=1+3+1=3+1+1=5…可以发现：从第三项开始，每项的方法数等于前两项的方法和，所以，后面的方法数是：8、13、21、34、55、89、144、233、377、…所以，14 块糖，阿奇共有377 种吃法．答：阿奇共有377 种吃法．14.如果在一个平面上画出8 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8 个圆，最多可以把平面分成几个部分？【分析】（1）根据直线两两相交，每三条不交于同一点，可把平面分成最多部分；在一个平面上画出1 条直线，最多可以把平面分成2 部分；在一个平面上画出2 条直线，平面数量增加2，最多可以把平面分成2+2=4 部分；在一个平面上画出3 条直线，平面数量增加3，最多可以把平面分成：4+3=7 部分；…，据此求出8 条直线最多可以把平面分成几个部分即可；（2）画1 个圆可以把平面分成2 部分；画第2 个圆时与第1 个圆最多新产生2 个交点，平面数量多2，即2+2=4，把分成4 部分；画第3 个圆时，与前两个圆最多新产生4 个交点，平面数量增加4，即2+2+4=8，平面被分成8 部分…每多画1 个圆，平面数量分别增加2、4、6、8…，据此求出画8 个圆，最多可以把平面分成几个部分即可．【解答】解：根据分析，可得（1）在一个平面上画出8 条直线，最多可以把平面分成：2+2+3+4+…+8==37（个）；答：如果在一个平面上画出8 条直线，最多可以把平面分成37 个部分．（2）在一个平面上画出画8 个圆，最多可以把平面分成：2+2+4+6+8+10+12+14=58（个）．答：如果在一个平面上画出8 个圆，最多可以把平面分成58 个部分．15.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1 次传球，经过8 次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？【分析】设第n 次传球后，球又回到红衣人手中的传球方法有a n 种，可以想象前n﹣1 次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每一次都有3 种可能，由乘法原理，共有3×3×3×…×3（n﹣1 个3）=3n﹣1 种传球方法．这些传球方法并不都是符合要求的，它们可以分为两类：一类恰好第n﹣1 次恰好传到红衣人手中，这有a n﹣1 种传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给红衣人；另一类是第n﹣1 次传球，球不在红衣人手中，第n 次持球人再将球传给红衣人，有a n 种传法；根据加法原理有a n=a n﹣1﹣a n﹣2，由于红衣人是发球者，一次传球后又回到红衣人手中的传球方法是不存在的，所以a1=0，利用递推a2=3﹣0=3，a3=3×3﹣3=6，a4=3×3×3﹣6=21，a5=3×3×3×3﹣21=60，a6=3×3×3×3×3﹣60=183，a7=3×3×3×3×3×3﹣183=546，a8=3×3×3×3×3×3×3﹣546=1641．说明经过8 次传球后球仍然回到红衣人手中，整个传球过程共有1641 种不同的可能．【解答】解：设第n 次传球后，球又回到红衣人手中的传球方法有a n 种，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每一次都有3 种可能，由乘法原理，共有3×3×3×…×3（n﹣1 个3）=3n﹣1 种传球方法．第n﹣1 次传球，球不在红衣人手中，第n 次持球人再将球传给红衣人，有a n 种传法；根据加法原理有a n=a n﹣1﹣a n﹣2，可得a1=0，递推a2=3﹣0=3，a3=3×3﹣3=6，a4=3×3×3﹣6=21，a5=3×3×3×3﹣21=60，a6=3×3×3×3×3﹣60=183，a7=3×3×3×3×3×3﹣183=546，a8=3×3×3×3×3×3×3﹣546=1641．答：经过8 次传球后球仍然回到红衣人手中，整个传球过程共有1641 种不同的可能．16.如图所示，一个圆环被分成8 部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？【分析】按照顺时针方向考虑：首先第一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一有3 种方法，则第二至七部分各有2 种选择，最后一部分只有一种选择，根据乘法原理得出答案即可．【解答】解：3×2×2×2×2×2×2×1=192（种）答：共有192 种染色方法．17.圆周上有10 个点A1，A2，…，A10 以这些点为端点连结5 条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共有多少种连结方式？【分析】为了叙述的方便，不妨这10 个点用下标数数字1、2、3、4、5…10 表示，分情况探讨得出答案即可．【解答】解：（1）如图的连法：共 5 种1、连12，310，49，58，67，2、连23，14，510，69，78，3、连34，…4、连45，…5、连56，…以下5 种与上面的重复，不考虑6、连67，…（与1 重复）…10、连110，…（与5 重复）（2）如图的连法：共2 种1、连12，34，56，78，9102、连23，45，67，89，110（3）如图的连法：共10 种（4）如图的连法：共10 种（5）如图的连法：共5 种（6）图的连法：共10 种合计共5+2+10+10+5+10=42 种连法．18.在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如137、36712 等．请问：在1 至10000 中有多少个这样的多位数？【分析】本题可分情况进行讨论，分别求出1 至10000 中一位数，两位数，三位数，四位数、五位数中有多少个奇数的个数比偶数多的数，再相加即可．【解答】解：一位数中奇数的个数比偶数个数多的数：0 个；两位数中奇数的个数比偶数个数多的数：5×5=25 个；三位数中奇数的个数比偶数个数多的数分两种情况：①两位数是奇数一位数是偶数，这样的数有5×5×5×3﹣5×5=375﹣25=350 个；②三位数是奇数，这样的数有：5×5×5=125 个；四位数中奇数的个数比偶数个数多的数分两种情况：①三位数是奇数一位数是偶数，这样的数有5×5×5×5×4﹣5×5×5=2500﹣125=2375 个；②四位数是奇数，这样的数有：5×5×5×5=625 个；五位数即10000 中没有；1 至10000 中有共有这样的数：25+350+125+2375+625=3500 个答：1 至10000 中有3500 个这样的数．19.有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7 和5，例如1975、75675 等，但432579．不算在内．请问：具有这种性质的六位数有多少个？【分析】此题分为以下几种情况：①当75 在首位时，剩余4 位数字随意选；②当75 不在首位时，75 看作一个整体，位置有4 种情况；③对于最高位的数有1﹣9 共9 种选择，剩余的3 个数都有10 种选择．求出每种情况的个数，解决问题．【解答】解：当75 在首位时，剩余4 位数字随意选，有10×10×10×10=10000（个），当75 不在首位时，75 看作一个整体，位置有4 种情况（在23，34，45，56 位），对于最高位的数有1﹣9 共9 种选择，剩余的3 个数都有10 种选择，一共有4×9×10×10×10=36000（个）具有这种性质的六位数有10000+36000=46000（个）．20.用1 至9 这9 个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个？【分析】1，2 有12，21 都可以．3可以加两边，所以有2×2 种；4继续加两边，有2×2×2 种；9个数是8 个 2 相乘．据此解答．【解答】解：1，2 有12，21 都可以．3 可以加两边，所以有2×2 种．4 继续加两边，有2×2×2 种．9 个数是8 个2 相乘，即28=256种．答：这样的九位数共有256 个．21.一个七位数，每位都是1、2 或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有 1224 个．【分析】首先从1 开始分析：从没有1 到最多4 个1，逐一分析探讨七位数的个数，再进一步合并即可．【解答】解：当没有1 时，每一个位置都有两种选择，一共有27=128 个；当有1 个1 时，1 有7 个位置，而2 或者3 有6 个位置可选，一共有×26=448 个，以此类推，当有2 个1 时，一共有×25=480 个，当有3 个1 时，一共有×24=160 个，当有4 个1 时，一共有23=8 个，所以这样的七位数一共有128+448+480+160+8=1224个．故答案为：1224．22.满足下面性质的四位数称为“好数”：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如1346、2579 是好数，但1567 就不是好数．请问：一共有多少个好数？【分析】此题运用枚举法解答：①百位比千位大1，十位比百位大1，个位比十位大1；② 两个1、一个2；③两个2、一个1；④三个2：千位有3 种取法；⑤两个1、一个3；⑥ 两个3、一个1；⑦三个3；⑧两个2、一个3；⑨两个3、一个2；还有一种：一个1、一个2、一个3．把这几种情况的取法求出来后相加即可．【解答】解：三个1：百位比千位大1，十位比百位大1，个位比十位大1，其实就是千位随便取，后面每个大1．这时为了保证个位≤9，千位有6 种取法，所以有6 个数．两个1、一个2：千位有5 种取法．两个1、一个2 的安排方法有3 种，所以有15 个数．两个2、一个1：千位有4 种取法，有12 个数．三个2：千位有3 种取法，有3 个数．两个1、一个3：4×3=12 个数．两个3、一个1：2×3=6 个数．三个3：0 个数．两个2、一个3：2×3=6 个数．两个3、一个2：1×3=3个数．一个1、一个2、一个3：3×6=18 个数．总共有：6+15+12+3+12+6+6+3+18=81（个）答：一共有81 个好数．三、超越篇23.一个九位数，它只由数字l、2 和3 组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字1、2 和3 每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个？【分析】它的任意连续两位数都不等于12、21、22 或31，即1 后面可能是1 或3，2 后面只能是3，3 后面可能是2 或3．当九位数以2 开头，232333232，不满足数字1、2 和3 每个数字都至少出现一次，可发现九位数以2 和3 开头都不符合要求，因此只能以1 开头，111111132；111111323；111111332…．【解答】解：它的任意连续两位数都不等于12、21、22 或31，即1 后面可能是1 或3，2 后面只能是3，3 后面可能是2 或3．共177 个．由以上分析，如果还要求数字1、2 和3 每个数字都至少出现一次，只能以1 开头，111111132；111111323，111111332；111113232，111113232，111113233，111113233…；因此共有：1+2+4+7+12+20+33=79（个）答：这样的自然数有177 个，这样的九位数有79 个．24．（1）如果在一个平面上画出8 个三角形，最多可以把平面分成多少个部分？（2）如果在一个平面上画出3 个四边形、2 个圆、l 条直线，最多可以把平面分成多少个部分？【分析】（1）一个三角形可把平面分成两部分，第2 个三角形最多和第1 个三角形有6 个交点，平面增加了6 部分，所以可把平面分成：2+6=8 个部分；第3 个三角形最多和前两个三角形有12 个交点，平面增加了12 部分，所以可把平面分成：2+6+12=20 个部分；同理，第4 个三角形可把平面分成：2+6+12+18=20 个部分，…；所以n 个三角形可把平面分成的部分数为：2+6+12+18+24+…=2+3n（n﹣1），据此解答即可．（2）3 个四边形最多可以把平面分成26 部分，2 个圆可以把平面分成4 个部分，再画一条直线，那么这条直线最多和前面的2 个圆有4 个交点，会多出4 个部分，所以2 个圆和一条直线最多把平面分成4+4=8 个部分．【解答】解：（1）根据分析，可得2+3×8×（8﹣1）=2+168=170（个）答：8 个三角形最多可以把平面分成170 个部分．（2）3 个四边形最多可以把平面分成26 部分，2 个圆可以把平面分成4 个部分，再画一条直线，那么这条直线最多和前面的2 个圆有4 个交点，会多出4 个部分，所以2 个圆和一条直线最多把平面分成4+4=8 个部分，则最多可以把平面分成：26+8=34（个）．答：最多可以把平面分成34 个部分．25.如图所示，阴影部分是一个圆环，4 条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分？【分析】如图，当4 条直线两两相交时，最多可以把这个阴影分成13 个部分，据此解答即可．【解答】解：如图，当 4 条直线两两相交时，最多可以把这个阴影分成13 个部分．26.用15 个1×2 的小纸片覆盖如图，共有多少种不同的覆盖方法？【分析】总共有8 行，不妨把n 行的方法数记为f（n），按如图编辑数字，不妨先考虑6 号方格，（1）6，7 一起，则必有3，2 一起，1，4 一起，5，8 一起，此时的方法数为f（6）；（2）6，3 一起，则必有7，10 一起，11，14 一起，15，18 一起，19，22 一起，23，26 一起，27，30 一起，29，28 一起，25，24 一起，21，20 一起，17，16 一起，13，12 一起，9，8 一起，剩下的1，2，4，5 共2 种；（3）6，5 一起，同（2）一样的分析过程，只有 1 种；（4）6，9 一起，同（3），1 种；所以f（8）=f（6）+2+1+1=f（6）+4，f（8）变f（6）的时候去掉了编号前8 个，同样的有f（6）=f （4）+4，f（4）=f（2）+4，f（2）=3，f（2）的时候只剩最后6 个，所以f（8）=4+4+4+3=15 种．【解答】解：如图：（1）6，7 一起，则必有3，2 一起，1，4 一起，5，8 一起，此时的方法数为f（6）；（2）6，3 一起，则必有7，10 一起，11，14 一起，15，18 一起，19，22 一起，23，26 一起，27，30 一起，29，28 一起，25，24 一起，21，20 一起，17，16 一起，13，12 一起，9，8 一起，剩下的1，2，4，5 共2 种；（3）6，5 一起，同（2）一样的分析过程，只有 1 种；（4）6，9 一起，同（3），1 种；所以f（8）=f（6）+2+1+1=f（6）+4，f（8）变f（6）的时候去掉了编号前8 个，同样的有f（6）=f （4）+4，f（4）=f（2）+4，f（2）=3，f（2）的时候只剩最后6 个，所以f（8）=4+4+4+3=15 种．27．（2011•西安校级自主招生）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1．如此进行直到为l 时操作停止．问：经过9 次操作变为1 的数有多少个？【分析】本题可以通过所给的变换规律，由易到难，确定操作可变为1 的数组成斐波拉契数列，再根据所发现的规律求出经过9 次操作变为l 的数的个数．【解答】解：通过1 次操作变为1 的数有1 个，即2；经过2 次操作变为1 的数有2 个，即4、1；经过3 次操作变为1 的数有2 个，即3、8；…；经过6 次操作变为1 的数有8 个，即11、24、10、28、13、64、31、30；经过1、2、3、4、5…次操作变为1 的数依次为1、2、3、5、8…，这即为斐波拉契数列，后面的数依次为：5+8=13，13+8=21，21+13=34，34+21=55．即经过9 次操作变为1 的数有55个．答：经过9 次操作变为1 的数有55 个．28.用4 种不同的颜色将如图中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有多少种涂法？（不允许旋转、翻转图）【分析】先给各个圆圈命名，如图，最中间的E 和其它圆圈相连最多，先从E 着手，如果E 有4 种不同的涂色方法，那么与之相连的B 有3 种涂色的方法，C 与B、E 都相连，那么C。

六年级数学下册思维拓展训练（第3套）班级姓名得分【资料使用建议】：每日1题，坚持训练1.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从上向下走到底，共走了100级，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到头，共走了50级，如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，能看到的部分有多少级？2.一个运输队运送一批货，第一天，运了全部的30%，第一天和第二天运量的比是3：2，还剩520吨没运走，这批货原有多少吨？3.在一根粗钢管上接细钢管。

如果接2根细钢管共长18米，如果接5根细钢管共长33米。

一根粗钢管和一根细钢管各长多少米？4.学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？5.好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？6.甲、乙两人分别以每小时6千米和每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进。

当两人之间的距离是10千米时，他们走了几小时？7.兔妈妈摘了15个磨菇，分装在3个筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果允许有空筐，共有多少种不同的装法？8.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。

当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要 15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?9.已知小明与小强步行的速度比是2：3，小强与小刚步行的速度比是4：5。

已知小刚10分钟比小明多走420米，那么小明在20分钟里比小强少走几米？10.一个长方体的棱长总和是48cm ，己知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求它的体积。

参考答案1.【答案】解：（100+50）÷2 =150÷2 =75（级）答：能看到的部分有75级。

2.【答案】这批货原有1040吨【解析】第一天运送30%，第一天与第二天运量比例是3：2，则第二天运了20%，共计50%，剩余50%为520吨，故总共有520×2=1040吨。