2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”4.函数图像与函数方程

【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌

握系列》4.函数图像与函数方程

1．（河北省质检）函数y ＝e sin x

(－π≤x ≤π)的大致图象为 ( )．

解析 因－π≤x ≤π，由y ′＝e sin x cos x >0，得－π2

为增函数，排除A 、B 、C ，故选D.

答案 D

2.（西安模拟）如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，

22，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为

f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )．

解析 当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C. 答案 C

3.(2012·江西)如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，

点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0

V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为

( )．

解析 (1)当0

2

时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ，

由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI 的面积S ＝FG ×GH ＋1

2

FI ×

EF 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

2FI 2＝22x －32x 2，

∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x

3

－2x 2

＋

2

6

，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D. (2)当1

2≤x <1时， 过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°

＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC 底面FGC 上的高h ＝EC sin 45°＝2

2

(1－x )，

∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3

，

∴V ′(x )＝－2(1－x )2

，

又显然V ′(x )＝－2(1－x )2

在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，V ′(x )<0⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，

∴函数V (x )＝23(1－x )3

在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B ，应选A. 答案 A

4.（广州市调研）对任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2

－4x ＋3中的最大的一个，

则f (x )的最小值是

( )．

A ．2

B ．3

C ．8

D ．－1

解析 画出函数y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2

－4x ＋3在同一坐标系中的图象，则函数f (x )

的图象为图中实线部分(如图)．当x ＝1时，f (x )取最小值2.

答案 A