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FDTD原理及例子

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fdtd有限时域差分在光刻中的应用 -回复

fdtd有限时域差分在光刻中的应用 -回复

fdtd有限时域差分在光刻中的应用-回复FDTD（Finite-difference time-domain）有限时域差分方法是一种应用于电磁场求解的数值模拟方法。

其在光刻领域中的应用主要用于设计和优化光刻光源、光刻机相场、光掩模和光刻介质等关键元件。

本文将详细介绍FDTD方法在光刻中的应用，并逐步解释其工作原理和算法。

第一部分：FDTD方法的基本原理FDTD方法是一种时域全波求解方法，其基本思想是将Maxwell方程组在时域内进行离散化，利用差分格式进行数值求解。

对于三维情况，它在空间上将求解区域划分为网格，时间上将求解区域划分为时步。

通过在网格上离散Maxwell方程组，可以得到电场和磁场的时序演化。

FDTD方法具有广泛的适用性和数值稳定性，能够模拟复杂光学器件的电磁传输和相场分布。

第二部分：光刻中的应用场景1. 光刻光源设计和优化光刻光源的设计和优化是提高光刻分辨率和工艺品质的关键因素。

通过在FDTD模拟中引入设计参数，如波长、光束形状等，可以评估不同方案的光源性能，并提供光刻工艺改进的建议。

2. 光刻机相场分析光刻机在光刻过程中的相场分布对于芯片的精度和质量至关重要。

利用FDTD方法，可以模拟光刻过程中光源的照射、掩模的光透过、投影镜头的衍射等过程，分析在不同光刻条件下的相场分布，从而指导光刻机的调整和优化。

3. 光掩模设计光刻过程中的掩模设计也是提高分辨率和衍射限制的重要方向。

通过在FDTD模拟中建模掩模的二维结构和材料参数，可以得到在光照条件下的透射率和相位分布，进而评估掩模对光照模式的影响和光刻效果。

4. 光刻介质设计光刻介质作为光刻过程中的能量接收和传输介质，对于光刻分辨率和工艺过程中的能量损失起着重要作用。

利用FDTD方法，可以模拟光照条件下光刻介质的电磁传输和光损耗情况，评估不同材料参数对光刻效果的影响，并指导光刻介质的优化设计。

第三部分：FDTD方法的算法步骤1. 网格划分将求解区域离散化为规则的网格，网格的大小和密度与所求解问题的复杂程度和准确度要求相关。

fdtd inverse design原理

fdtd inverse design原理

fdtd inverse design原理FDTD Inverse Design原理引言•介绍FDTD Inverse Design方法，概括其原理和应用领域。

•提出本文将由浅入深解释相关原理。

FDTD方法简介•解释FDTD（Finite-Difference Time-Domain）方法的基本原理和工作原理。

•强调FDTD方法在光学领域的重要性和广泛应用。

Inverse Design概述•介绍Inverse Design的概念和目标，以及与传统设计方法的区别。

•强调Inverse Design方法在光学器件设计中的优势。

FDTD Inverse Design原理概述•解释FDTD Inverse Design方法的基本思想和核心原理。

•简要介绍反向传播算法的基本步骤。

步骤一：目标设定•详细描述在FDTD Inverse Design中设定设计目标的重要性。

•介绍目标设定的具体方法和注意事项。

步骤二：参数化设计•解释参数化设计在FDTD Inverse Design中的作用和意义。

•强调参数选择的重要性和不同的参数配置方法。

步骤三：优化算法•介绍常用的优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。

•提示选择适合特定问题的优化算法的重要性。

步骤四：反向传播算法•详细解释反向传播算法在FDTD Inverse Design中的关键作用。

•描述反向传播算法的原理和步骤。

•强调使用FDTD方法进行反向传播的优势。

步骤五：验证和改进•介绍完成设计后的验证和改进步骤。

•强调验证的重要性，以确保设计的准确性和可行性。

应用实例•给出几个典型的应用实例，例如光学透镜设计、光波导设计等。

•说明FDTD Inverse Design方法在这些应用中的成功之处。

结论•简要总结FDTD Inverse Design的原理和应用。

•强调该方法在光学器件设计中的巨大潜力和前景。

•提醒读者进一步学习和探索该领域的相关研究。

引言FDTD Inverse Design方法是一种应用于光学器件设计的重要技术，通过反向传播算法和优化算法，可以实现对用户设定的设计目标的高效优化。

FDTD法模拟无源区域二维TE波的传播

FDTD法模拟无源区域二维TE波的传播

FDTD 法模拟无源区域二维TE 波的传播摘要：自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。

本文首先介绍了FDTD 的基本原理，推导了无源区域二维TE 波的FDTD 差分方程公式，接着推导了一阶，二阶Mur 吸收边界条件差分公式及四个角点的迭代公式，然后用matlab 模拟了TE 波的传播过程，最后简要地比较Mur 一阶和二阶吸收边界条件。

关键词：FDTD,TE 波，Mur 吸收边界条件1. 引言FDTD 自Yee(1966年)提出以来发展迅速，获得广泛应用。

FDTD 法以Yee 元胞为空间电磁场离散单元，将Maxwell 方程转化为差分方程，表述简明，容易理解，结合计算机技术能处理十分复杂的电磁问题。

在时间轴上逐步推进地求解，有很好的稳定性和收敛性，因而在工程电磁学领域倍受重视。

2. FDTD 的基本原理根据电磁场基本方程组的微分形式，若在无源空间，其空间中的媒质是各向同性、线性和均匀的，即媒质的参数不随时间变化且各向同性，则Maxwell 旋度方程可写成：E EH σε+∂∂=⨯∇t（2-1a ）H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （2-1b ）式中，E 是电场强度，单位为伏/米（V/m ）；H 是磁场强度，单位为安/米（A/m ）；ε表示介质介电系数，单位为法拉/米（F/m ）； μ表示磁导系数，单位为亨利/米（H/m ）；σ表示介质电导率，单位为西门子/米（S/m ）；m σ表示导磁率，单位为欧姆/米（m /Ω）。

在直角坐标系中，可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z zx y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε （2-2）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x yz H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2-3） 这六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。

FDTD软件介绍及案例分析一

FDTD软件介绍及案例分析一
该软件用于下一代光子学产品的精确多功能高性能仿真设计精确严格求解3维矢量麦克斯韦方程是学术界尖端研究和工业界产品开发易学易用的设计工具及时地充分利用高性能计算技术该软件可解决具有挑战性关键设计的技术能高效准确地模拟色散材料的难题独有的多系数材料模型为准确描述色散材料的性质提供了理想的工具wwwhikeysheenraycomfdtdsolutions软件介绍特点获得纳米器件设计精确结果需要长时间的难题及时地充分利用现代计算技术的硬件提供需要最少代价的最新网格化技术可解决具有挑战性关键设计的技术多系数材料模型极大地提高了计算结果的精度lumerical公司独用的技术多系数材料模型mcms提供比前述罗伦次杜德模型超好的拟合软件给出拟合曲线和拟合误差自动拟合材料色散数据用户可以设定系数个数拟合允差和波长范围用户可自行导入自己的材料或选择内置材料库中的材料wwwhikeysheenraycomfdtdsolutions软件介绍特点高性能计算技术高速计算引擎优化的源代码并行计算充分利用多核计算机系统的高性能cpu使用的最大化支持常用的各种操作系统软件授权许可证与硬件操作系统无关
比较模拟性能的理想化设备相对的装置,就能制造的——在 这儿,把表面粗糙度测量通过原子力显微镜的测量——可以帮 助找出在设计和生产过程的设备性能改善的好处。
11

CMOS图像传感器像素设计
12

CMOS图像传感器像素设计
14

CMOS图像传感器像素设计
• 第三步:优化角度回应的CMOS图像传感器和测量主要射线 角度:增加光学效率、降低光谱光相声
测量光谱光相声,向下的功率流在邻近的sub-pixels可以 计算,结合矢量。光谱光相声一般产生最小光学效率最大化, 但在陡峭的角度入射高浓度的相声观察到,在某种程度上,不 可避免的。更复杂的装置设计,由其他的像素元素(如互连) 也改变时,可以提供一种方法,可以减少整体相声水平。

基于FDTD方法的电磁波传输计算模拟

基于FDTD方法的电磁波传输计算模拟

基于FDTD方法的电磁波传输计算模拟随着科技的不断发展，电磁波传输计算模拟在无线通讯、雷达探测、光学器件等领域中得到了广泛应用。

其中，FDTD（Finite-Difference Time-Domain）方法是一种常用的计算电磁波传输的数值模拟方法。

本文将介绍FDTD方法的原理、应用和优缺点。

一、FDTD方法的原理FDTD方法是利用计算机数值模拟的方法求解Maxwell方程组。

Maxwell方程组是电磁场理论的基本方程，包括电场和磁场的连续性、运动学和力学关系，可以用来描述电磁波在自由空间和介质中的传播、反射、折射、衍射等现象。

FDTD方法是一种差分法，通过将时域和空间离散化，使Maxwell方程组变为一组差分方程，然后利用迭代算法求解。

具体来说，可以将空间划分成网格，时间划分成时间步长，然后在每个时刻和每个点上求解电场和磁场。

由于FDTD方法是一种显式差分法，因此计算速度很快，非常适合处理三维的复杂场景。

二、FDTD方法的应用FDTD方法可以用于电磁波传输的计算模拟和分析。

下面分别介绍其在无线通讯、雷达探测和光学器件中的应用。

1. 无线通讯在无线通讯领域中，FDTD方法可以用来计算无线信号在各种环境中的传输特性，如在建筑物内、山间、海洋等复杂环境中的信号传输。

通过模拟电磁波在这些环境中的传播，可以预测无线信号的传输距离、干扰和被干扰情况，对无线通讯系统的设计和优化具有重要意义。

2. 雷达探测在雷达探测领域中，FDTD方法可以用来模拟雷达信号的传播和反射，以及雷达波束在探测目标上的散射、反射和衍射等现象。

通过模拟雷达与目标之间的交互作用，可以优化雷达的设计和参数选择，提高雷达探测的精度和效率。

3. 光学器件在光学器件领域中，FDTD方法可以用来模拟光在介质中的传输和反射、折射、衍射、干涉等现象。

通过模拟这些现象，可以优化光学器件的设计和性能，提高其透光率、反射率和抗干扰能力。

三、FDTD方法的优缺点FDTD方法具有以下优点：1. 精度高。

FDTD案例分析续篇

FDTD案例分析续篇

11

纳米粒子散射
12

实例二 ：纳米线栅偏振器
1、纳米线网格偏振镜紧凑光子偏振控制元素——与解决方 案设计和优化FDTD • 高对比度极化控制装置的组成sub-wavelength金属光栅纳米线偏振器件——正在取代网格批量光学元素。纳米线 网格偏振器件提供改进消光比对比,最小的吸收来解决高 亮度照明,紧凑的形式因素促进大规模生产和集成在小型 光学组件。然而,纳米线偏振器件是富有挑战性的网格组 件来设计,特别是如果制造缺陷都考虑进去。在这个应用 程序中,我们将展示FDTD解决方案可以用来最大化对比度 的纳米线偏振镜网格任意角度,同时保持高传播。
33

SPR纳米光刻
• 第三步：分析了表面等离子体共振光刻近场数据 详细的研究结果和数值的解决方案,所有复杂的光学波的 交互的接口的许多材料,包括硅基片上的反射,准确地对待。 一个阴谋的近场强度在截面通过银丝面膜层(y=0到60海里) 和光刻胶层(y = -50到0 nm)显示在对数。表面等离子体模 式是清楚地看到在银胶面罩/接口。周期性结构允许入射光 束夫妇counter-propagating表面等离子体波,这引起了亚波 长的变化在光阻层强度的设计思想。
18

纳米线栅偏振器
19

纳米线栅偏振器
• 第四步：模拟得到的响应非正态纳米线网格发病率照明。 铝光栅wiregrid偏振镜有TE传播的大约85%的normallyincident平面波。现在,与一个源呈四十五度角,传播下降到 大约83%。这些结果生成模拟一个时期的wiregrid偏振镜,然 后使用复杂的脚本的环境,在解决方案将FDTD响应从单个光 栅牙的反应,multi-tooth组成部的铝光栅。
36

FDTD时域有限差分法

–是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后 被称为Yee网格空间离散方式 –核心思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分 形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应 – 号称目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还 在发展完善之中 – 国外已有多种基于FDTD算法的电磁场计算的软件: XFDTD，等等
对时间离散:
(2)
FDTD基本原理(续)
9
为了满足(1)式空间精度的要求，并满足(2)式，Yee 把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置:
Yee把E 和H 在时间长相差半个步长计算(为了满足精度的要求)。
FDTD基本原理(续)
10
根据这一原则可以写出六个差分方程:
每个网格点上的各场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻 的值，即该点周围的邻近点上另一场量在早半个时间步长时的值。 因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通 过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。
C：为光速，自由空间中： c
数值色散
14
• 产生原因
–FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改 变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须 考虑
• 适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到 理想情况
–3-D方形网格：取波沿对角线传播 (数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。 –2-D方形网格:也是沿对角线传播， （也是数值稳定的极限状态） –1-D网格 (数值稳定的极限状态)
参考文献
21
• 电磁波时域有限差分方法（第二版），葛德彪， 闫玉波，西安电子科技大学出版社 • 工程电磁场数值计算，倪光正
22
练习要求：

FDTD原理及例子ppt课件

对于有耗媒质：
H D J t
E B t
•B 0
•D
时谐场形式：
H
D t
Je, Je
E
B E t Jm , Jm sH
• B m
• D e
H j( j )E
E jH
E(x, y, z, t) E0 (x, y, z,t)e jt H (x, y, z, t) H0 (x, y, z,t)e jt
)
z r (k)
只要给定了所有空间点上电/磁场的初值，就可以一步一步地求出任 意时刻所有空间点上的电/磁场值。
一维Maxwell方程的Yee算法
Ex Hy
Ex
n2 n 3/2
Hy Ex
n 1 n 1/ 2
n0
0
1
2
3k
H~
n1/ 2 y
(k
1) 2
H~
n1/ 2 y
(k
1) 2
ct zr (k
FDTD数值分析法
目录
1.麦克斯韦方程的基础知识 2.一维和三维Maxwell方程的Yee算法 3.数值稳定性分析 4.吸收边界条件 5.波源的设置 6.编程思路
麦克斯韦方程微分形式：
BPM 方式
基础知识
H D J t
E B t
•B 0
•D
基础知识
麦克斯韦方程微分形式：
FDTD方式将时间进 行差分，并且磁场与 电场交替迭代更新
DbHy i,
j,
k
Ex i,
j,
k
x
1, n
z
Ex i,
j, k, n
H z i, j, k, n 1 DaHz i, j, kH z i, j, k, n

FDTD原理及例子


n
1
y
2 t CaEw 2 t Ew所在空间位置
2t
CbEw 2 t Ew所在空间位置
第12页/共40页
三维Maxwell方程的Yee算法
媒质参数赋值 在所有空间点给电磁场分量赋初值
求所有空间离散点上n+1时间步的磁场 求所有空间离散点上n+1时间步的电场
n=n+1
No
n>nmax
Yes 结束
Hz*
0
H z t
*Hz
E x y
E y x
分分别别表表示示自自由由空空间间中中的的电电导导率率和和磁磁阻阻率率
Berenger为了引入规定损耗和阻抗匹配的新自由度，将 HHzz分
裂为两个分量H zx 和 H zy，即 H z H zx H zy 同时引入了新的电导
率
x , y
和磁损耗
* x
FDTD方式将时间进 行差分，并且磁场与 电场交替迭代更新
对于有耗媒质：
H D J t
E B t
•B 0
•D
时谐场形式：
H
D t
Je, Je
E
B E t Jm , Jm sH
• B m
• D e
H j( j )E
E jH
E(x, y, z, t) E0 (x, y, z,t)e jt H (x, y, z, t) H0 (x, y, z,t)e jt
2 2 2
E y n
E E y i, j1,k1
y i, j 1,k
2
2
O
z 2
可以看到有个2阶
z i, j 1 ,k 1
z
22
Ez n

fdtd布尔运算

fdtd布尔运算fdtd布尔运算是一种基于有限差分时域方法的数值计算方法，广泛应用于电磁场的数值模拟和计算机仿真中。

它通过将空间离散化为网格，时间离散化为时步，利用差分方程来模拟电磁波在空间和时间上的传播和相互作用。

布尔运算是一种逻辑运算，用于判断两个逻辑表达式的真假关系。

在fdtd布尔运算中，布尔运算常用于判断电磁场的边界条件和材料性质。

比如，在计算电磁波在介质中传播时，我们需要根据介质的电磁性质来确定电场和磁场的计算公式。

这些计算公式中通常会涉及到布尔运算，用于判断介质的边界条件和材料性质。

在fdtd布尔运算中，常用的布尔运算符有与运算（AND）、或运算（OR）、非运算（NOT）等。

与运算用于判断两个逻辑表达式是否同时为真，如果两个表达式都为真，则结果为真；或运算用于判断两个逻辑表达式是否有一个为真，如果两个表达式中有一个为真，则结果为真；非运算用于对一个逻辑表达式取反，如果表达式为真，则结果为假。

在fdtd布尔运算中，布尔运算常常与条件语句结合使用，用于根据一定的判断条件来决定电场和磁场的计算方式。

比如，在计算电磁波在介质中传播时，我们可以根据介质的电磁性质来判断电场和磁场的计算方式，如果介质是各向同性的，则可以使用标准的fdtd算法进行计算；如果介质是各向异性的，则需要根据介质的各向异性性质来调整电场和磁场的计算方式。

在fdtd布尔运算中，布尔运算常常与逻辑表达式结合使用，用于根据逻辑关系来判断电场和磁场的计算方式。

比如，在计算电磁波在介质中传播时，我们可以根据电磁波的频率和介质的色散关系来判断电场和磁场的计算方式，如果电磁波的频率处于介质的色散区域内，则需要考虑介质的色散效应；如果电磁波的频率处于介质的非色散区域内，则可以忽略介质的色散效应。

在fdtd布尔运算中，布尔运算常常与数值计算结合使用，用于根据数值计算结果来判断电场和磁场的计算方式。

比如，在计算电磁波在介质中传播时，我们可以根据电场和磁场的数值计算结果来判断场的稳定性，如果场的数值计算结果不稳定，则需要采取一定的数值稳定化方法；如果场的数值计算结果稳定，则可以继续进行计算。

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u
n i 1

2uin

u
n i 1

2u
n i

u
n1 i
t2 c 2O x2 O t2
得： e jt
ct 2
e jk~x
2 e jk~x

2 e jt
x
最后得色散关 系
k~

1 x
cos
1
基础知识
麦克斯韦方程微分形式：
FDTD方式将时间进 行差分，并且磁场与 电场交替迭代更新
对于有耗媒质：
H D J t
E B t
•B 0
•D
时谐场形式：
H

D t

Je, Je
E
B E t Jm , Jm sH
Da Ca , Db Cb
，并注意到E与H在时间上差半个步长，
可以直接从磁场FDTD公式得到电场的FDTD公式。如：
Ex i, j, k, n 1 CaEx i, j, kEx i, j, k, n CbEx i, j, k
H y i, j, k 1, n 1 H y i, j, k, n 1

DbHy i,
j,
k

Ex i,
j,
k
x
1, n
z
Ex i,

j, k, n

H z i, j, k, n 1 DaHz i, j, kH z i, j, k, n
Ex i, j 1, k, n Ex i, j, k, n
数值稳定性问题
二维的Yee算法数值Courant稳定性条件
t
1
c 11
x2 y2
三维的Yee算法数值Courant稳定性 条件
t
1
c 111
x2 y2 z2
便于理解，当Yee元胞 为立方体时，此两式表 明时间间隔必须等于或 小于波以光速通过yee 元胞对角线长度1/3或 1/2所需时间
求所有空间离散点上n+1时间步的磁场 求所有空间离散点上n+1时间步的电场
n=n+1
No
n>nmax
Yes 结束
三维Maxwell方程的Yee算法
介绍了求解矢量Maxwell方程的FDTD Yee算法，归纳起 来，Yee算法的主要特点有：
1）Yee算法采用耦合的Maxwell旋度方程，同时在时间和 空间求解电场和磁场，而不是采用波动方程只求解电场或 磁场。
y i, j 1,k 1
y
22
H x i, j, k, n 1 DaHx i, j, kH x i, j, k, n
最后得：
E y i, j, k 1, n E y i, j, k, n

DbHx i,
j,
k

Ez
i,
j
1, k,zn

H z


H

E

E
t
E x t

1


H z y
H y z

Ex

E y t

1

H x z
H z x

E
y

E z t

1

H y

x
H x y

Ez

三维Maxwell方程的Yee算法
1.每一个磁场分量由 四个电场分量环绕； 每一个电场分量由 四个磁场分量环绕
2.这种空间取样方式 符合法拉第感应定 律和安培环路定律
3.电场和磁场在时间 上交替抽样，抽样 时间彼此相差半个 时间步
Hz Ey
Ex Ez
Ex
Ey
Ez
Ez
Hy
Hx
z
Ey
Ex
( i, j, k )
y
x
FDTD离散中的Yee元胞
用计算机语言表示的FDTD公式
Hy[k] Hy[k] ca[k]* Ex[k 1] Ex[k] Ex[k] Ex[k] cb[k]* Hy[k] Hy[k 1]
式中，时间变量已隐含在迭代公式中，以及
Hy[k ]

H~
y
(k

1 ); Ex[k] 2

E x [k ];
0
E x t
yEx


H zx H zy y
0
E y t
xEy


H zx H zy x
0
H zx t


* x
H
zx
E y x
换句话说，Berenger构造了一般新的非物 理媒质（称为PML媒质），在该媒质中 场满足左端的方程（并不一定是Maxwell 方程）
1 2
)

H
n1 y
/
2
(k

1 2
)


1
E
n x
(k

1)

E
n x
(k
)
t
0r
(k

1 2
)
z
一维Maxwell方程的Yee算法
采用归一化磁场
H~ 0 H 0
使得电场与归一化磁场有相同的数量级，于是可以得到FDTD
迭代公式为
H~
n1/ 2 y
(k

1) 2

H~
n1/ 2 y


H
z
i,
j
1,
k,
n
z
1
H
z
i,
j, k,
n

1

y

2 t CaEw 2 t Ew所在空间位置
2t
CbEw 2 t Ew所在空间位置
三维Maxwell方程的Yee算法
媒质参数赋值 在所有空间点给电磁场分量赋初值
Berenger为了引入规定损耗和阻抗匹配的新自由度，将 HHzz分
裂为两个分量H zx 和 H zy，即 H z H zx H zy 同时引入了新的电导
率
x , y
和磁损耗
* x
,
* y
，并规定TE情形的四个场分量（而不
是通常的3个）由下列方程耦合在一起：
Berenger完美匹配层（PML）
三维Maxwell方程的Yee算法
Maxwell旋度方程为


E


H

H
t
H x t

1 Ey


z
Ez y

H x

H y t

1 Ez
x
Ex z

H
y

H z t

1


E x y
E y x
2 2 2
E y n
E E y i, j1,k1
y i, j 1,k

2
2
O
z 2
可以看到有个2阶
z i, j 1 ,k 1
z
22
Hale Waihona Puke Ez n E E n z i, j 1,k 1
n z i, j,k1

2
2
O
y 2
小量，这个要忽略 掉，因此是近似的
吸收边界条件
理论上说，求解空间是无限大的，但是由于计算的数据容量 问题，需要在有限空间的周围做特殊处理，使得向边界面行进 的波在边界处保持“外向行进”，无明显的反射现象，并且不 会使内部空间的场产生畸变。
1）Mur吸收边界条件 2）Berenger完美匹配层（PML） 3）各向异性匹配层吸收边界条件
2） Yee网格在三维空间这样安排E和H分量，使得每一个 E或H分量由四个H或E循环的分量所环绕。
3） Yee算法以蛙跳算法在时间上安排E和H分量。在某一 时刻，使用前一时刻的E数据计算所有H分量。然后，再 使用刚计算的H数据计算所有的E分量。如此循环，直至 完成时间步进过程。
数值稳定性问题
（1）FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进， 误差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增 加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值 不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。 （2）FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小 于一定值以避免数值不稳定性。 （3）数值稳定性分析方法是建立在Courant等人几十年 前提出的经典方法基础上。这种方法首先把有限差分算 法分解为相互分离的时间和空间本征值问题。
• B m
• D e
H j( j )E
E jH
E(x, y, z, t) E0 (x, y, z,t)e jt H (x, y, z, t) H0 (x, y, z,t)e jt
一维Maxwell方程的Yee算法
一维Maxwell方程，介质参数和场量均与x，y无关(无损，电导率和 磁导率为0)
Berenger完美匹配层（PML）
只考虑二维TE情况，对于二维TM和三维情况可采用类似方法 进行分析。 分析范围在PML层内
0
E x t
Ex

H z y
0
E y t
Ey
H z x
Hz*
0
H z t
*Hz

E x y