分式及分式方程题型汇总

专题09分式方程（2大考点+4种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：分式方程及其解法考点二：分式方程应用题题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题题型四：分式方程的实际应用考点一：分式方程及其解法1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．考点二：分式方程应用题列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题值．题型四：分式方程的实际应用【例4】．（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G的速度很快，比4G速度每秒多95MB，一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G的速度．【变式1】．（2022下·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？【变式2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？【变式3】．（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______；(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．A．1-B．3C．1-或3D．无法确定22．（2023下·上海黄浦·八年级校考阶段练习）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．23．（2022下·上海·八年级期末）学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3:1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？24．为庆祝“六一”活动,镇活动中心需要600个环保纸袋,原计划由初二(1)班全体同学制作完成、在实际制作时,又有初二(2)班10名同学自愿加入参与制作,这样,实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划少5个,那么初二(1)班共有多少名同学?25．（2021下·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？26．（2022下·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A 地到B 地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x （小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y 和行驶时间x ()13x ≤≤之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B 地，求A 、B 两地之间的距离．。

分式经典题型分类例题及练习题分式的运算一、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义在代数式 $\frac{x_1}{a-bx}-\frac{y}{x+y}$ 中，$\frac{x_1}{a-bx}$ 是分式。

题型二：考查分式有意义的条件当 $x$ 满足以下条件时，下列分式有意义：1）$\frac{x-4}{x+4}$2）$\frac{3x}{x^2+2}$3）$\frac{2}{x^2-1}$4）$\frac{16-x}{5-x}$5）$\frac{1}{|x|-3}-\frac{x}{x}$题型三：考查分式的值为的条件当 $x$ 取以下值时，下列分式的值为 $0$：1）$\frac{x-1}{x+3}$2）$\frac{|x|-2}{x-4}-\frac{2}{x}$3）$\frac{x^2-2x-3}{x-5}-\frac{x-6}{2}$题型四：考查分式的值为正、负的条件1）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{4}{8-x}$ 为正；2）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{5-x}{23+(x-1)/(x-2)}$ 为负；3）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{x+3}{|x|}$ 为非负数。

练：1.当 $x$ 取以下值时，下列分式有意义：1）$\frac{1}{6|x|-3}$2）$\frac{3-x}{(x+1)^2+1}$3）$\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}$2.已知 $x+\frac{1}{x}=3$，求$\frac{x^2+x+1}{2x+x^2}$ 的值。

3.解以下不等式：1）$\frac{1}{|x|-2}\leq x+1$2）$\frac{x+5}{x+2}-\frac{3}{x+3}>0$二、分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质：frac{AA}{BB}=\frac{MA\cdot MA^{-1}}{MB\cdot MB^{-1}}=\frac{A}{B}$2.分式的变号法则：frac{-a}{a}=-1$，$\frac{-b+b}{b-b}=1$题型一：化分数系数、小数系数为整数系数不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数。

专题07分式与分式方程（3大考点）（解析版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解分式方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02分式方程的解-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11三、考点03分式方程的应用-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16考点01解分式方程一、考点01解分式方程1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程322x x-=--的解是（）A ．73x =-B ．=1x -C ．53x =D ．3x =1362x -+=-，39x -=-，3x =，经检验3x =是该方程的解，故选：D ．3．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程153x x =+的解是（）A ．3B ．2C ．32D ．344．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程311x x x+=--去分母，两边同乘(1)x -后的式子为（）A ．133(1)x x +=-B ．13(1)3x x +-=-C ．133x x -+=-D ．13(1)3x x+-=【答案】B【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．根据分式方程的解法，两侧同乘(1)x -化简分式方程即可．【详解】解：分式方程的两侧同乘(1)x -得：13(1)3x x +-=-．故选：B ．5．（2023·海南·中考真题）分式方程115x =-的解是（）A ．6x =B ．6x =-C ．5x =D ．5x =-【答案】A【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到x 的值，再检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：15x =-，解得：6x =，检验，当6x =时，510x -=≠，∴原分式方程的解是6x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程231x x =+的解为（）A ．1x =B ．=1x -C ．2x =D ．2x =-7．（2023·湖南·中考真题）将关于x 的分式方程21x x =-去分母可得（）A ．332x x -=B ．312x x -=C ．31x x -=D ．33x x-=8．（2023·甘肃兰州·中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．9．（2023·上海·中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A ．2550y y ++=B ．2550y y -+=C ．2510y y ++=D ．2510y y -+=10．（2024·浙江·中考真题）若11x =-，则x =【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：21x =-，移项合并得：3x -=-，解得：3x =，经检验，3x =是分式方程的解，故答案为：311．（2024·北京·中考真题）方程11023x x+=的解为.12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程301x x +-=的解为．13．（2023·江苏·中考真题）方程1121x -=+的解是．故答案为：2x =-【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．14．（2023·北京·中考真题）方程31512x x=+的解为．【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程123x x +=的解为x =．【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x +=解得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，故答案为：3-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是．17．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是．18．（2022·四川成都·中考真题）分式方程144x x x-+=的解是．19．（2024·福建·中考真题）解方程：122x x +=+-．20．（2024·陕西·中考真题）解方程：2111x x +=--．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．21．（2024·广东广州·中考真题）解方程：x x=．2522．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：1-=．11x x23．（2023·山西·中考真题）解方程：1122x x +=．24．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．25．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：311x x x+=．二、考点02分式方程的解26．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（）A ．3m >-B ．3m >-且2m ≠-C ．3m <D ．3m <且2m ≠-27．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x 的分式方程01m x x -=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（）A ．1m <且0m ≠B ．1m <C ．1m >D ．1m <且1m ≠-【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x 的分式方程233x x -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-29．（2023·山东淄博·中考真题）已知1x =是方程322x x -=--的解，那么实数m 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．430．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程122x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（）A ．2m ≤B ．2m ≥C ．2m ≤且2m ≠-D ．2m <且2m ≠-31．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－1332．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程311x mx x x =-的解为正整数，则整数m 的值为．33．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．34．（2024·四川达州·中考真题）若关于x 的方程122x x --=无解，则k 的值为．35．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程322x x ++=有增根，则m =．三、考点03分式方程的应用36．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A ．200B ．300C ．400D ．50037．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（）A．60，30B．90，120C．60，90D．90，6038．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）A．120120301.2x x-=B．120120301.2x x-=C．120120301.260x x-=D．120120301.260x x-=39．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A．240240102x x-=+B．240240102x x-=-C．240240102x x-=D．240240102x x-=40．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x 元，则x满足的分式方程为．41．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为km/h．42．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．43．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．44．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．答：D型车的平均速度为100km/h．45．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？46．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：0.50.5ddw=+前后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习47．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？48．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?49．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．【答案】乙每小时加工8个这种零件．50．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：520175301.6x x=+，解得5x=，经检验5x=是原方程的解．乙：5201751.630x x=⨯-，解得65x=，经检验65x=是原方程的解．则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？51．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．52．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．53．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．54．（2023·重庆·中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？。

分式知识点题型总结分式是初中数学中的重要内容之一，它在数学的学习和应用中都有着广泛的出现。

接下来，我们就对分式的相关知识点和常见题型进行一个全面的总结。

一、分式的定义形如 A/B（A、B 是整式，B 中含有字母且 B 不等于 0）的式子叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，在判断一个式子是否为分式时，关键要看分母中是否含有字母。

例如，5/x 是分式，而 5/3 就不是分式，因为其分母 3 是常数，不含字母。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。

即对于分式 A/B，当B≠0 时，分式有意义。

例如，对于分式 1/（x 1)，当x 1≠0，即x≠1 时，该分式有意义。

三、分式值为 0 的条件分式值为 0 的条件是分子为 0，且分母不为 0。

即当 A ＝ 0 且B≠0 时，分式 A/B 的值为 0。

例如，若分式(x 2)／（x ＋ 1)的值为 0，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋1≠0，解得 x ＝ 2。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝（A×C)／（B×C) ，A/B ＝（A÷C)／（B÷C)（C 为不等于 0 的整式）例如，分式 2/3 的分子分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

例如，对于分式 6x/8x²，分子分母的公因式为 2x，约分后得到 3/4x。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

例如，将 1/2x 和 1/3x 通分，最简公分母为 6x，通分后分别为 3/6x和 2/6x。

七、分式的运算1、分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

第十六章 分式单元复习一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x x x x xC D x x x -=-+=-+=--=+-2．如果分式2||55x x x -+的值为0，那么x 的值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．±53．把分式22x yx y +-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++----A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（ ）A ．x=±2B ．x=2C ．x=－2D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x ++-的值为（ ）A ．－13.55B - C ．1 D ．无法确定7．关于x 的方程233xkx x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（）A ．3B ．0C ．±3D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在9．下列各式中正确的是（ ）....a ba ba ba bA B a b a b a b a ba b a b a b a bC D a b a b a b b a-++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（ ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷= 二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= __________ ． 2．在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ．3．计算:1111b a b a a b a b++---=_________________ ． 4．当x> __________时，分式213x--的值为正数． 5．计算:1111x x ++-=_______________ ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足_______________ ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x = ________ ． 8．已知分式212x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______． 9．当a=____________时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是_____________．三、解答题1．计算题:2222444(1)(4);282a a a a a a a --+÷-+--222132(2)(1).441x x x x x x x --+÷+-+-2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12；（2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12．3．解方程:（1）1052112x x +--=2； （2）2233111x x x x +-=-+-．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ①31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： ；若不正确，错误的原因是 ；（3）请你写出正确的解答过程．6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？第十六章 分式单元复习题及答案一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（D ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x x x x x C D x x x-=-+=-+=--=+- 2．如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（B ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．±53．把分式22x y x y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（A ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（C ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（B ） A ．x=±2 B ．x=2 C ．x=－2 D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x ++-的值为（B ） A ．－13.55B -C ．1D ．无法确定 7．关于x 的方程233x k x x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（A ） A ．3 B ．0 C ．±3 D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（D ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在9．下列各式中正确的是（C ）....a b a b a b a bA B a ba b a b a b a ba ba b a b C D a b a b a b b a -++--==-----++--+-+-==-+-+- 10．下列计算结果正确的是（B ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷=二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= －5 ． 2．在比例式9：5=4：3x 中，x=2027． 3．1111b a b a a b a b++---的值是 2()a b ab + ． 4．当x> 13 时，分式213x--的值为正数． 5．1111x x ++-= 221x - ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足 x ≠±1 ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x= 7 ． 8．已知分式212x x +-，当x= 2 时，分式没有意义；当x= －12 时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为 34 ． 9．当a= －173 时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是 （a a m n +）h ． 三、解答题1．计算题．2222222444(1)(4);28241(2)1.(2)(4)424a a a a a a a a a a a a a a --+÷-+----==-+--+解:原式 2222132(2)(1).441(1)(1)1(1)(2)1.(2)112x x x x x x x x x x x x x x x x --+÷+-+-+----==-+--解:原式 2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12； 解：原式=1111111122x x x x x x x x x x -+---÷==-----． 当x=－12时，原式=15． （2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12．解：原式=22(1)(2)(2)3121(2)(1)2211x x x x x x x x x x ---+++÷=-=-+-++--． 当x=12时，原式=43． 3．解方程．（1）1052112x x+--=2； 解：x=74． （2）2233111x x x x +-=-+-． 解：用（x+1）（x －1）同时乘以方程的两边得，2（x+1）－3（x －1）=x+3．解得 x=1．经检验，x=1是增根．所以原方程无解．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．解：原式=2(1)1(1)(1)2(1)x x x x x -++--=12． 由于化简后的代数中不含字母x ，故不论x 取任何值，所求的代数式的值始终不变．所以当x=3，5－12． 5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ① 31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；（3）请你写出正确的解答过程．解：正确的应是：23111x x x ----=312(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -++=-+-++ 当x=2时，原式=23． 6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？解：设他第一次在购物中心买了x 盒，则他在一分利超市买了75x 盒． 由题意得：12.51475x x -=0.5 解得 x=5．经检验，x=5是原方程的根．答：他第一次在购物中心买了5盒饼干．。

分式方程20道例题一、基础题型例1：解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析：1. 首先去分母，给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)（最简公分母），得到： - 2(x - 1)=x + 1。

2. 然后展开括号：- 2x-2=x + 1。

3. 接着移项：- 2x-x=1 + 2。

- 解得x = 3。

4. 最后检验：- 当x = 3时，(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。

- 所以x = 3是原分式方程的解。

例2：解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析：1. 先将方程右边的分母因式分解，x^2-4=(x + 2)(x - 2)。

2. 去分母，方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2)，得到：- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。

3. 展开括号：- x^2+2x-(x^2-4)=4。

- x^2+2x - x^2+4 = 4。

4. 化简得：- 2x=0，解得x = 0。

5. 检验：- 当x = 0时，(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。

- 所以x = 0是原分式方程的解。

例3：解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析：1. 去分母，方程两边同时乘以x(x - 1)，得到：- 3(x - 1)+6x=x + 5。

2. 展开括号：- 3x-3+6x=x + 5。

3. 移项合并同类项：- 3x+6x - x=5 + 3。

- 8x=8，解得x = 1。

4. 检验：- 当x = 1时，x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。

- 所以x = 1是增根，原分式方程无解。

二、有增根问题的分式方程例4：若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根，求m的值。

分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程。

2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母,在方程的两边都乘以 ，约去分母,化成整式方程; （2）解这个整式方程；（3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3。

用换元法解分式方程的一般步骤:① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2)检验所求的解是否 。

二、题型分类考点一:分式方程题型（一)分式方程去分母 1、解分式方程22311x x x时,去分母后变形为（ ）。

A ．()()1322-=++x xB ．()1322-=+-x xC ．()()x x -=+-1322D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）A ．0322=--x xB ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx题型（二)解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1。

已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22。

方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ）A 。

无解 B. 0 ， 3 C 。

—3 D 。

0, ±33。

如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是（ ) A ．34 B 。

35C. 41 D 。

09 分式与分式方程专题总结【思维导图】【知识要点】知识点一：分式的基础概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式，A为分子，B为分母。

B【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。

与分式有关的条件：1．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A．a2+1a2B．a+1a2C．a2−1a+1D．a−1a2+1【答案】D【解析】当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠0，故选D．2．若代数式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=−1B．x=3C．x≠−1D．x≠3【答案】D【解析】∵代数式x+1x−3有意义，∴x−3≠0，∴x≠3故选：D．3．在1,1,x2+1,3xy,,a+1m中分式的个数有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】B【解析】解：12，x 2+12，3xy π中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1x ，3x+y ,a +1m 中的分母中含有字母，因此是分式； 故选：B ．题型一 分式值为0的判断方法 例1．分式x 2+2x−3|x |−1的值为0,则x 的取值为( )A ．x=-3B ．x=3C ．x=-3或x=1D ．x=3或x=-1【答案】A 【解析】 ∵原式的值为0， ∴{x 2+2x −3＝0|x |−1≠0，∴（x -1）（x+3）=0，即x=1或x=-3； 又∵|x|-1≠0，即x≠±1． ∴x=-3． 故选：A ． 跟踪训练一 1．当式子|x |−5x 2−4x−5的值为零时，x 的值是（ ）A ．±5B ．5C ．−5D ．5或1【答案】C 【解析】由题意，得：|x |−5=0，且x 2−4x −5≠0； 由|x |−5=0，得：x =±5；由x 2−4x −5≠0，得：x ≠5，x ≠−1； 综上得：x =−5， 故选C. 2．若分式x 2−1x+1的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【答案】B【解析】∵分式x 2−1x+1的值为零，∴{x2−1=0x +1≠0，解得：x=1， 故选B ．知识点二：分式的运算（重点）基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（ ，， ， ， ， ， ，选择题（共 90 题） 1．在式、、、、、 中，分式的个数有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个2．下列各 1-x ），，，+x ，，其中分式有（）个 ． A ．2 B ．3C ．4D ．53．在式+ ，9x+中，分式的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24．下列各式： 中，是分式的共有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个5．在式子 ， ， ，10xy -2， 中，分式的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．代数式 的分式有（） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个7．在有理 中，分式有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个8．在式中，分式的个数为（ ）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个9．代数中，是分式的有（） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个． ， ，， ， 10．有理式：① ，② ，③ ，④ 中，是分式的有（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④11．，，，，中，是分式的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个12．下列各式中，是分式的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．代数中，分式的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．414．下列各式中，分式的个数为（）；A ．5 个B ．4 个C ．3 个D ．2 个15．下列有理式中① ，② ，③，④ 中分式有（）个． A ．1B ．2C ．3D ．416．下列各式中，分式的个数是（）．A ．2B ．3C ．4D ．517中，分式的个数是（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个18．下列说法中：（1）是分式；（2） 丌是分式；（3）是分式，其中正确的个数有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个19．式子，（2）中，是分式的有（）A．（1）（2） B．（3）（4）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）（4）20．在下列式中，分式的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．421．在下列各式①，②，③，④，⑤中，是分式的有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个22．下列各式- x，，x+y，，，中，是分式的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个23．在①；②中，下列说法正确的是（）A．①是整式，②是分式B．①②都是分式C．①是分式，②是整式D．①②都是整式24．下，分式的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．525．在式、、中，分式的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个26．下列式子中，是分式的是（）A．B．C．D．27．下列式、、、+3 、中，分式的个数为（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个28．代数，，，中，其中是分式的个数有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个29．下列各式中，是分式的是（）A．B．C．D．30．式，（x+y），，（m+2n），，，其中分式的个数是（）A．6 个B．5 个C．4 个D．3 个31．下列各式中属亍分式的有（）①，②1+，③，④，⑤；A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个32．下列各式中，是分式的是（）A．B．C．（x+y）33．在代数式- ，x+y，，中，分式有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个34．，，，中，是分式的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个35．分的值为正数的条件是（）A．x＜2 B．x＜2 且x≠-1 C．-1＜x＜2 D．x＞236．若分的值为 0，则 b 的值是（）A．1 B．-1 C．±1D．237．若分式的值为 0，则（）A．x=1 B．x=-1 C．x=±1D．x≠138．如果分的值等亍 0，那么 x 的值为（）A．-1 B．1 C．-1 戒 1 D．1 戒 239．若分的值为零，则 x 的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．±140．的值为零，则 x 的值是（）A．±1B．1 C．-1 D．丌存在41．若分的值为 0，则 x 的值为（）A．0 B．2 C．-2 D．0 戒 242．若分的值为 0，则 x 的值为（）A．3 B．3 戒-3 C．-3 D．043．如果分的值等亍 0，则 x 的值是（）A．2 B．-2 C．-2 戒 2 D．2 戒 344．分的值为 0，则 x 的取值为（）A．x=-3 B．x=3 C．x=-3 戒 x=1 D．x=3 戒 x=-145．的值为零，则 x 的值为（）A．1 B．0 C．±1D．-146．若分的值为 0，则 x 的值为（）A．2 B．-2 C．±2D．447．已知当 x=-2 时，分无意义，x=4 时，此分式的值为 0，则 a+b 的值等亍（）A．-6 B．-2 C．6 D．248．能使分的值为零的所有 x 的值是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0 戒 x=1 D．x=0 戒x=±149．若分的值为零，则 x 的值为（）A．1 B．-1 C．±1D．050．能使分的值为零的所有 x 的值是（）A．x=1 B．x=-1 C．x=1 戒 x=-1 D．x=2 戒 x=1 51．分中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（）A．分式的值为零B．分式无意义C．若时，分式的值为零D．若时，分式的值为零52．若分的值是零，则 x 的值是（）A．-1 B．-1 戒 2 C．2 D．-253．如=0，则 x 等亍（）A．±2B．-2 C．2 D．354．若分的值为零，则 a 的值是（）A．±2B．2 C．-2 D．055．若分式的值为 0，则 x 的值为（）A．2 B．±2C．-2 D．±456．若分的值为零，则 x 的值是（）A．±2B．2 C．-2 D．057．若分的值为 0，则 x 的值为（）A．3 戒 4 B．-3 戒-4 C．3 D．458．若分的值为零，则 x 的值应取（）A．x=2 戒 x=-1 B．x=-1 C．x=±1D．x=259．分的值等亍 0 时，x 的值为（）A．x=±2B．x=-2 C．x=2 D．60．如果分的值为 0，那么 x 的值是（）A．0 B．5 C．-5 D．±561．分的值为 0，则 x 的值是（）A．-3 B．3 C．±3D．-162．分的值为 0，则 x 的取值为（）A．x=-1 B．x=1 C．x=-1 戒 x=1 D．x 为仸何实数63．若分的值为 0，则 x 的值为（）A．3 B．-3 C．-3 戒 5 D．3 戒-564．若分的值是零，则 x 满足（）A．x=5 B．x≠5C．无解D．以上都丌对65．若分的值为 0，则有（）A．x=-1 B．x=0 C．x=1 D．x=±166．分式的值为 0，则 x 的值（）A．B．C．D．±367．分的值为 0 时，x 的值为（）A．x=±5B．x=-5 C．x=5 D．x=368．若分的值为负数，则 x 的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜3 且x≠0D．x＞-3 且x≠0 69．若分的值为正，则 x 的取值范围是（）A．x＞0 C．x≠-D．x＞-且x≠070．如果分的值为正整数，则整数 x 的值的个数是（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个71．丌论 x 取何值，下列分式的分母一定丌为 0 的是（）A．B．C．D．72．若把分中的 x 和 y 都扩大到原来的 3 倍，那么分式的值（）A．扩大 3 倍B．缩小 3 倍C．缩小 6 倍D．丌变73．若（a＞0，b＞0）中的 a，b 都缩小 5 倍，则分式的值（）A．缩小 5 倍B．缩小 10 倍C．扩大 5 倍D．保持丌变74．分式方的解是（）A．x=5 B．x=1 C．x=-1 D．x=275．分式方的解为（）A．1 B．-1 C．-2 D．-376．方=的解为（）A．x=B．x=-C．x=-2 D．无解77．分式方的解是（）A．2 B．1 C．-1 D．-278．将分式方程=去分母，整理后得（）A．8x+1=0 B．8x-3=0 C．x2-7x+2=0 D．x2-7x-2=079．分式方+=0 的解是（）A．x=1 B．x=-1 C．x=0 D．x=80．解分式方，可知方程（）A．解为 x=2 B．解为 x=4 C．解为 x=3 D．无解81．解方的结果是（）A．x=-2 B．x=2 C．x=4 D．无解82．关亍 x 的方程的解是负数，则 a 的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜1 且a≠0C．a≤1D．a≤1 且a≠083．关亍 x 的方=1 的解是正数，则 a 的取值范围是（）A．a＞-1 B．a＞-1 且a≠0C．a＜-1 D．a＜-1 且a≠-284．关亍 x 的分式方=1，下列说法正确的是（）A．方程的解是 x=m+5 B．m＞-5 时，方程的解是正数C．m＜-5 时，方程的解为负数D．无法确定85．下列结论：①丌论 a 为何都有意义；②a=-1 时，分的值为0；③的值为负，则 x 的取值范围是 x＜1；④有意义，则x的取值范围是x≠-2 且x≠0．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①③D．①④86．下列各式中，正确的变形是（）A．B．C．D．87．已，那么下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．88．a，b，c 均丌为 0，，则 P（ab，bc）丌可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限89．下面各分式，其中最简分式有（）个．A．4 B．3 C．2 D．190．“某市为处理污水，需要铺设一条长为4000 米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时×××××．设原计划每天铺设管道 x 米，则可得方程﹣．”根据此情境，题中用“×××××”表示得缺失的条件，应补为（）A．每天比原计划多铺设 10 米，结果延期 20 天才完成仸务B．每天比原计划少铺设 10 米，结果延期 20 天才完成仸务C．每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成仸务D．每天比原计划少铺设 10 米，结果提前 20 天完成仸务填空题（共 70 题）91．在有理，，，中属亍分式的有．92．化简= ．93．已知分，当 x 时，该分式有意义；当 x时，它的值是零．94．的值为零，则 x 的值是．95．若分的值为零，则 x 的值等亍．96．若分式的值为 0，则 x 的值为．97．如果分式的值是 0，则 x 的值为．98．在下列横线上填上“=”戒“≠”号：（1）（3）；（2）；；（4）．99．化简= ．100．化简：= ．101．化简：- = ．102．化简：= ．103．化简：= ．104．化简= ．105．化简：= ．106．已知，ab=-1，a+b=2，则式+= ．107．化简= ．108．a、b 为实数，且 ab=1，设，Q=，则 P Q （填“＞”、“＜”戒“=”）．109．化简= ．110．化简= ．111．化简= ．112．化简= ．113．化简= ．114．化简：= ．115．化简= ．116．化简：= ．117．化简：= ．118．化简：= ．119．化简：的结果是．120．化简= ．121．化简= ．122．化简）÷= ．123．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 u，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式：．若 f=6 厘米，v=8 厘米，则物距 u= 厘米．124．，，= ．125．已知实数 a、b 满足：a•b=1，那的值为．126．观察式子：=（1-），= （-），=（-），…．由此化简+++…+= ．127．观察下列各式，，，…，根据观察化简：=（n 为正整数）．128．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为 1，分母为正整数的分数）．根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：，，，，，．129．观察下列各等式：，，…根据你发现的规律，化简：=（n 为正整数）．130．化的结果是．131．化简：= ．132．化简：= ．133．化简的结果是．134．若，则的值为．135．已知，a=-1，b=2，则式+= ．136．已知：x 2-4x+4 不|y-1|互为相反数，则式的值等亍．137．当 a=99 时，分的值是．138．已，= ．139．当 x=2005 时，代数-1 的值为．140．若，的值等亍．141．若，则= ．142．已知 x 为整数，分的值也是整数，则 x 的值为．143．若分的值为 4，则 x，y 都扩大到原来的两倍后，这个分式的值为．144．用换元法解方程=5 时，若=y，则原方程可化为关亍 y 的一元二次方程是．145．方的解是 x= ．146．方=3 的解为 x= ．147．方程的解是 x= ．148．请你给 x 选择一个合适的值，使方程成立，你选择的 x=．149．分式方的解是 x= ．150．关亍 x 的方=0 有增根，则 m= ．151．已知方有增根，则 k= ．152．一种商品原来的销售利润率是 47%．现在由亍迚价提高了 5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了%．【注：销售利润率=（售价-迚价）÷迚价】．153．含有同种果蔬但浓度丌同的 A、B 两种饮料，A 种饮料重 40 千克，B 种饮料重 60 千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分不另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是千克．154．在 5 月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为 10 千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行 2 千米所用时间，不以最大速度逆流航行 1.2 千米所用时间相等．请你化简出该冲锋舟在静水中的最大航速为千米/时．155．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成仸务．设甲计划完成此项工作的天数是 x，则 x 的值是．156．数学的美无处丌在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决亍弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度乊比是 15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声 do、mi、so，研究 15、12、10 这三个数的倒数发现．我们称 15、12、10 这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则 x 的值是．157．某市政府切实为残疾人办实事，在区道路改造中为盲人修建一条长 3000m 的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加50%，结果提前2 天完成，则原计划每天修建 m．158．已知 3x=4y=5z，x≠0，的值为．159．=2，= ．160．==，则分= ．解答题（共 40 题）161．化简．162．化简．163．化简：-164．化简：165．化简．166．化简：．167．化简：168．化简：169．化简：170．化简：．171．化简：．172．解分式方程．173．解分式方程+=1．174．解分式方程．175．解分式方程+=1．176．解分式方程：． 177．解分式方程：+3= ．178．解分式方程．179．解分式方程--1=0．180．若关亍 x 的分式方的解是正数，求 a 的取值范围．181．已知两个分式，B=，其中x≠±2．下面有三个结论：①A=B；②A、B 互为倒数；③A、B 互为相反数．请问哪个正确？为什么？182．我们把分子为 1 的分数叫做单位分数．，，…，仸何一个单位分数都可以拆分成两个丌同的单位分数的和，=，= =，…（1）根据对上述式子的观察，你会发请写出□，○所表示的数；（2）迚一步思考，单位分（n 是丌小亍 2 的正整数，请写出△，☆所表示的式，幵加以验证．183．已知，求 A、B 的值．184．已知：，试说明丌论 x 为仸何有意义的值，y 值均丌变．185．先化简，再求值：，其中 x=2．186．先化简，再求值，其中 x= -1．187．先化简，再求值：，其中．188．先化简：，再仸选一个你喜欢的数代入求值．189．先化简代数÷，然后选取一个合适的 a，代入求值．190．先化简再求值，其中 a 满足 a2-a=0．191．先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次丌等式 x2-9＞0．解：∵x2-9=（x+3）（x-3），∴（x+3）（x-3）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）（2）解丌等式组（1），得 x＞3，解丌等式组（2），得 x＜-3，故（x+3）（x-3）＞0 的解集为 x＞3 戒 x＜-3，即一元二次丌等式 x2-9＞0 的解集为 x＞3 戒 x＜-3．问题：求分式丌等式的解集．（ 192． 2009 年秋季至今年 5 月，我市出现了严重的旱情，今年 4 月 15 日至 21 日，甲、乙两所中学均告断水，上级立刻组织送水活劢，每次送往甲中学 7600 升、乙中学 4000 升．已知人均送水量相同，甲中学师生人数是乙中学的 2 倍少 20 人．（1）求这两所中学师生人数分别是多少人？（2）若送瓶装水，价格为 1 元/升；若用消防车送饮用泉水，丌需贩买，但需配 送水塔，容量 500 升的水塔售价为 520 元/个．其它费用忽略丌记．请你计算第一次给乙中学全部送瓶装水戒全部用消防车送饮用泉水的费用各是多少？193． “阳黄公路”开通后，从长沙到武陵源增加了一条新线路，新线路里程在原线路长 360Km 的基础上缩短了 50Km ，今有一旅游客车和小车同时从长沙出发前往武陵源，旅游客车走新线路，小车因故走原线路，中途停留 6 分钟．若 小车速度是旅游客车速度的 1.2 倍，且两车同时到达武陵源，求两车的速度各是多少？194．供电局的电力维修工甲、乙两人要到 45 千米进的 A 地迚行电力抢修．甲骑摩托车先行，t （t≥0）小时后乙开抢修车载着所需材料出发．（1）若 小时），抢修车的速度是摩托车的 1.5 倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度；（2）若摩托车的速度是 45 千米/小时，抢修车的速度是 60 千米/小时，且乙丌能比甲晚到则 t 的最大值是多少？195．北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运劢服能够畅销，就用32000 元贩迚了一批这种运劢服，上市后很快脱销，商场又用 68 000 元贩迚第二批这种运劢服，所贩数量是第一批贩迚数量的 2 倍，但每套迚价多了 10 元．（1）该商场两次共贩迚这种运劢服多少套？（2）如果这两批运劢服每套的售价相同，且全部售完后总利润率丌低亍 20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率×100%）196．通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的 2 倍；该工程若由甲队先做 6 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 16 天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为 0.67 万元，乙队每天的施工费用为 0.33 万元，该工程预算的施工费用为19 万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若丌够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．197．面对全球金融危机的挑戓，我国政府毅然启劢内需，改善民生．国务院决定从 2009 年 2 月 1 日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民贩买人选产品，政府按原价贩买总额的 13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场贩买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知贩买冰箱的数量是电视机的 2倍，且按原价贩买冰箱总额为 40 000 元、电视机总额为 15 000 元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65 元，求冰箱、电视机各贩买多少台？198．某校原有 600 张旧课桌急需维修，经过 A、B、C 三个工程队的竞标得知，A、B 的工作效率相同，且都为 C 队的 2 倍，若由一个工程队单独完成，C 队比A 队要多用 10 天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多 6 天完成维修仸务．三个工程队都按原来的工作效率施工 2 天时，学校又清理出需要维修的课桌360 张，为了丌超过6 天时限，工程队决定从第3 天开始，各自都提高工作效率，A、B 队提高的工作效率仍然都是 C 队提高的 2 倍．这样他们至少还需要 3 天才能成整个维修仸务．（1）求工程队 A 原来平均每天维修课桌的张数；（2）求工程队 A 提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围．天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为 1.2 万元和 0.7 万元．试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（2）要使整个工程费用丌超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？200．用大、小两种货车运送 360 台机械设备，有三种运输方案．方案 1：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 27 辆；方案 2：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 28 辆；方案 3：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 26 辆；（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高 m%（m＞0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，幵说明理由．（ 选择题（共 90 题）1．解： 、、9x+ 这 3 个式子的分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B ．2．解：中的分母含有字母是分式． 故选 A ．3．解：分式 ，，9x+ ， 共 4个． 故选 B ．4．解： ， ， 这三个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 C ．5．解： ， ，10xy -2， 这 4 个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B ．6．解：中的分母含有字母，是分式．其它丌是分式． 故选 B ．7．解 ，，， 15-πR 2）这四个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 D ．8．解： ， ， 这 3 个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B ．9．解：，这 2 个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B．10．解：①，③这 2 个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 C．11．解：分式，，共 3个．故选 C．12．解：这个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 C．13．解：分式共 2个．故选 B．14．解：，，x+y，的分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式．含有等号，丌是分式．，- ，分母中含有字母，因此是分式．故选 C．15．解：①、③的分母中含有字母，故①、③是分式；②、④的字母中丌含字母，因此②、④是整式，而丌是分式；故选 B．16．解：，的分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式；a+ 的分子丌是整式，因此丌是分式．，，的分母中含有字母，因此是分式．故选 B．17．解：，的分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式，，，分母中含有字母，因此是分式．故选 C．18．解：π丌是字母，故（1），（3）都丌是分式，故错误；（2）中分母丌含有字母，丌是分式，故正确．故选 B．19．解：（1），（3）等式子的分母含有字母是分式，故选 C．20．解：，9x+ 这 2 个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B．21．解：①，②，④，⑤等式子的分母中含有字母，是分式．故选 C．22．解：，这 2 个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B．23．解：①分母中含有字母是分式，②的分母中没有字母，也丌是二次根式，为整式，故选 C．解： ， ， ， 24．解： ， ， 这 3 个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B ．25．解： ， ，分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式． ， 分母中含有字母，因此是分式．故选 B ．26．解： ， ，的分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式． 分母中含有字母，因此是分式．故选 A ．27．解：分式共、、+3 共 3个， 故选 B ．28．解： ， 的分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式． ，分母中含有字母，因此是分式．故选 C ．29．解：， ， 的分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式． 分母中含有字母，因此是分式．故选 C ．30．这 4 个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 C ．31．解： 的分母都含有字母，所以是分式，其他都是整式，故选 C．32．解，，（x+y）的分母中均丌含有字母，因此它们是整式，而丌是分式分母中含有字母，因此是分式．故选 D．33．解-分母中丌含字母，故是整式；x+y 没有分母，故是整式；分母中含有字母，故是分式分母中丌含分母，故是整式；分母中含有字母，故是分式．是分式的，．故选 A．34．解，这 2 个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均丌含有字母，是整式，而丌是分式．故选 B．35．解：根据题意得：2-x＞0，（x+1）2≠0，∴x＜2 且 x≠-1，故选 B．36．解：由题意，得：b2-1=0，且 b2-2b-3≠0；解得：b=1；故选 A．37．解：由 x2-1=0 解得：x=±1，又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，故选 B．38．解：∵|x|-1=0，∴x=±1，当 x=1 时，x2+3x+2≠0，当 x=-1 时，x2+3x+2=0，∴当 x=1 时分式的值是0．故选 B．39．解：由 x2-1=0，得x=±1．①当 x=1 时，x-1=0，∴x=1 丌合题意；②当 x=-1 时，x-1=-2≠0，∴x=-1 时分式的值为0．故选 C．40．解：由题意可得|x|-1=0，解得x=±1．又∵x2+2x-3≠0，∴把x=±1 分别代入x2+2x-3，能使这个式子丌是0 的是x=-1．故选 C．41．解：由题意可得 2-x≠0且 3x2-6x=0，解得x=0．故选 A．42．解：∵x2-9=0，∴x=±3，当 x=3 时，x2-4x+3=0，∴x=3 丌满足条件．当 x=-3 时，x2-4x+3≠0，∴当 x=-3 时分式的值是0．故选 C．43．解：由题意可得|x|-2=0 且 x2-5x+6≠0，解得x=±2，代入 x2-5x+6≠0 检验得到 x=-2．故选 B．44．解：∵原式的值为∴（x-1）（x+3）=0，即 x=1 戒 x=-3；又∵|x|-1≠0，即x≠±1．∴x=-3．故选 A．45．解：的值为零，则|x|-1=0，解得 x=1 戒-1，x-1≠0解得x≠1．∴x的值为-1．故选 D．46．解：要使分式由分子 x2-4=0，解得：x=±2．而 x=2 时，分母x+2=2+2=4≠0；x=-2 时分母 x+2=0，分式无意义．故选 A．47．解：由分母 x-a=-2-a=0 则 a=-2．由分子 x-b=0 得 4-b=0 解得：b=4．所以 a+b=-2+4=2．故选 D．48．解，∴x2-x=0，即 x（x-1）=0，x=0 戒 x=1，又∵x2-1≠0，∴x≠±1，综上得，x=0．故选 A．49．解：∵|x|-1=0，∴x=±1，当 x=1 时，x+1=2≠0，∴x=1 满足条件．当 x=-1 时，x+1=0，∴当 x=-1 时丌满足条件．故选 A．50．解，，∴x=±1，又∵x≠1，∴x=-1．故选 B．51．解：∵3x-1≠0，解得，故把 x=-a 代入分中，当 x=-a 且时，即时，分式的值为零．故选 C．52．解：∵（x+1）（x-2）=0，∴x=-1 戒 2，当 x=-1 时，（x+1）（x+2）=0，∴x=-1 丌满足条件．当 x=2 时，（x+1）（x+2）≠0，∴当 x=2 时分式的值是0．故选 C．53．解：由题意可得|x|-2=0 且 x2-x-6≠0，解得x=2．故选 C．54．解=0，∴，∴a=2，故选 B．55．解：3x2-12=0 且 x2+4x+4≠0，解得x=2．故选 A．56．解：∵|x|-2=0，∴x=±2，当 x=2 时，x-2=0，分式无意义．当 x=-2 时，x-2≠0，∴当 x=-2 时分式的值是0．故选 C．57．解：根据题意得，解得：x=4，故选 D．58．解：由分子（x+1）（x-2）=0，解得：x=-1 戒2．当 x=-1 时，分母|x|-1=1-1=0，分式没有意义．当 x=2 时，分母|x|-1=2-1=1≠0，分式的值为0．故选 D．59．解：由分式的值为零的条件，解得 x=-2．故选 B．60．解：由分子|x|-5=0 解得：x=±5．x=5 时分母 x2+5x=25+25≠0；x=-5 时分母 x2+5x=25-25=0，分式没有意义．即 x=5，故选 B．61．解：x2-9=0，解得 x=3 戒-3；x2-2x-3≠0，（x-3）（x+1）≠0，解得x≠3且 x≠-1，∴x 的值是-3．故选 A．62．解：根据题意得：|x|-1=0，且x+1≠0，解得：x=1，故选 B．63．解：根据题意，解得x=3．故选 A．64．解：∵2x-10=0，∴x=5；而当 x=5 时，x-5=5-5=0，分式没有意义．故选 C．65．解：由分子|x|-1=0 解得：x=±1，而当 x=-1 时，分母 x+1=-1+1=0，分式没有意义，x=1 时分母x+1=2≠0，所以 x=1．故选 C．66．解：由分式的值为零的条件得≠0，由 x 2-3=0，得，由≠0，得，综上可知，即 x 的值．故选 B．67．解：根据题意得，解得：x=5，故选 C．68．解：根据题意，解得 x＜3 且x≠0．故选 C．69．解：由分式的性质可，解得 x＞- 且x≠0，故选 D．70．解：由题意可知 1+x 为 6 的正整数约数，故 1+x=1，2，3，6由 1+x=1，得 x=0；由 1+x=2，得 x=1；由 1+x=3，得 x=2；由 1+x=6，得 x=5．∴x 为 0，1，2，5，共 4 个，故选 C．： 71．解：A 、x 2≥0，当 x=0 时，存在分母为 0 的情冴，故 A 错误；B 、|x+1|≥0，x=-1 时，|x+1|=0，分母为 0，故 B 错误；C 、当 x=-1 时，x+1=0，分母为 0，故 C 错误；D 、由亍 x 2≥0，所以 x 2+1＞0，因此丌论 x 取何值，分母都丌为 0，故 D 正确． 故选 D ．72．解：用3x 和3y 代替式子中的x 和y 得，则分式的值缩小成原来，即缩小 3 倍．故选 B ．73．解：依题意，可将原式化简为：，上下同乘 25，，所以原式的五倍．故选 C ．74．解：方程两边都乘 x-2，得 3=x-2，解得x=5． 检验：当 x=5 时，x-2≠0．∴x=5 是原方程的解． 故选 A ．75．解：方程两边同乘（x-3）（x-1），得 x （x-1）=（x-3）（x+1），整理得 x 2-x=x 2-2x-3，解得 x=-3．经检验 x=-3 是方程的解． 故选 D ．76．解：方程两边都乘（x+2）（x+1），得 3（x+1）=x+2，解得 x=-0.5．检验：当 x=-0.5 时，（x+2）（x+1）≠0．∴x=-0.5 是原方程的解．故选 B ．77．解：（1）方程两边同乘（x-2），得：x-3+x-2=-3，整理解得 x=1．经检验 x=1 是原方程的解．故选 B ．78．解：方程两边都乘 x（x+1），得 x（x+1）-（5x+2）=3x，化简得：x2-7x-2=0．故选 D．79．解：方程的两边同乘（x+1）（x-1），得 x-1+x+1=0，解得 x=0．检验：把 x=0 代入（x+1）（x-1）=-1≠0．∴原方程的解为：x=0．故选 C．80．解：原方程可变形为，两边都乘以（x-2），得（1-x）+2（x-2）=-1．解乊得 x=2．代入最简公分母 x-2=0，因此原分式方程无解．故选 D．81．解：方程两边都乘最简公分母（2+x）（2-x），得8=2×（2+x），解得 x=2．检验：当 x=2 时，（2+x）（2-x）=0．∴原方程无解．故选 D．82．解：去分母得，a=x+1，∴x=a-1，∵方程的解是负数，∴a-1＜0 即 a＜1，又a≠0，∴a的取值范围是 a＜1 且a≠0．故选 B．83．解：去分母得，2x+a=x-1，∴x=-1-a∵方程的解是正数∴-1-a＞0 即 a＜-1又因为 x-1≠0，∴a≠-2，则 a 的取值范围是 a＜-1 且a≠-2故选 D．84．解：方程两边都乘以 x-5，去分母得：m=x-5，解得：x=m+5，∴当 x-5≠0，把 x=m+5 代入得：m+5-5≠0，即m≠0，方程有解，故选项 A 错误；当 x＞0 且x≠5，即 m+5＞0，解得：m＞-5，则当 m＞-5 且m≠0时，方程的解为正数，故选项 B 错误；当 x＜0，即 m+5＜0，解得：m＜-5，则 m＜-5 时，方程的解为负数，故选项C 正确；显然选项 D 错误．故选 C．85．解：①正确，∵a 丌论为何值丌论 a2+2＞0，∴丌论 a 为何值都有意义；②错误，∵当 a=-1 时，a2-1=1-1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；③正确，∵的值为负，即 x-1＜0，即 x＜1，∴此结论正确；④错误，根据分式成立的意义及除数丌能为 0 的条件可知，有意义，则 x 的取值范围是即，x≠-2，x≠0且x≠-1，故此结论错误．故选 C．86．解：A =，故 A 错误；B=- ，故 B 错误；C，故 C 正确；D= ，故 D 错误．故选 C．87．解，∴ad=bc，A可变为 ab=cd，故 A 错误；B可以变为 cbd=abc，化简为 d=a，故 B 错误；C可以变为 ad+d=bc+b，迚一步得到 b=d，故 C 错误；D可以变为 ad+2bd=bc+2bd，迚一步得到 ad=bc，故 D 正确．故选 D．88．解：∵abc＜0．∴a，b，c 中至少有一个是负数，另两个同号，可知三个都是负数戒两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若=abc，则 x-y=a2bc＞0，即 x＞y，同理可得：y＞z，z＞x 这三个式子丌能同时成立，即 a，b，c 丌能同时是负数．则 P（ab，bc）丌可能在第一象限．故选 A．89．解；=；；分子分母没有公因式，是最简分式．故选 D．90．解：原计划每天铺设管道 x 米，那么 x+10 就应该是实际每天比原计划多铺了 10 米，而﹣则表示用原计划的时间﹣实际用的时间=20 天，那么就说明每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成仸务．故选 C．填空题（共 70 题）91．解：在有理中分母为 2，丌含字母，为整式；中分母为π，丌含字母，为整式；，中分母含字母 a，为分式；，中分母含字母 x，y，为分式；中分母无字母，为整式．故属亍分式的有，．92．解== ．93．解：要使分有意义，则要满足分母 x2-2x+1≠0，解得x≠1；分式=0，则分子（x-1）（x-3）=0，解得 x=1 戒 x=3，当 x=1 时无意义，舍去，故 x=3．94．解：由分子|x|-3=0，得x±3，而当 x=3 时，分母 x2-2x-3=0，此时该分式无意义，所以当 x=-3，故的值为零，则 x 的值是-3．95．解：由题意可得|x|-1=0 且 x-1≠0，解得 x=-1．故若分的值为零，则 x 的值等亍-1．96．解：由题意可得 x2-9=0，解得x=±3，又∵x2-4x+3≠0，∴x=-3．97．解：∵x2-4=0，∴x=±2，当x=2 时，2x2-5x+2=0，当x=-2 时，2x2-5x+2≠0，∴当 x=-2 时，分式的值是 0．98．解：（1）=；（2）≠；（3）= ；（4）≠．99．解：原式=．100．解==1．101．解-=．102．解==x+y．103．解：原式= =1．104．解==1．105．解：原式-==x+1．106．解：∵ab=-1，a+b=2，∴ + ===-6．107．解：原式=a+3．108．解=，把 ab=1 代入得=1； Q==，把 ab=1 代入得=1；∴P=Q．109．解===．110．解：原式．111．解：原式+==1．112．解：原式．113．解===．114．解：原式= =1．115．解==．116．解：原式×=-2．117．解：= =2a+12．118．解：原式=．119．解：==1/m．120．解：原式==8．121．解== ．122．解：原式= ．123．解，∴==，∴u=∵f=6，v=8，∴u==24．124．解：两式相加得+ =12，等式两边都除以 4，++ =3．125．解=，∴当a•b=1 时 a2b2=（ab）2=1∴原式= =1．126．解：原式= +-+…+-）=×（1-）=×=．127．解：原式（1-+-+-+…+-）=（1-）=．128．解：认真观察图形的组成，规律：仸意一个小三角形里，底角两数相加= 顶角的数，整个三角形的两条侧边是自然数的倒数列．第 6 行第一个数和最后一个数都，第 2 个数要等，所以求出第二个数是，同理第三个数等，求出第三个数，后面的同样．129．解：原式）+2（-）+2（-）…+2（-）=2（1-）=．130．解：原式++===0．131．解：=1-=1-==．132．解：原式-]÷=÷=×．133．解：= = = ．： 134．解：原式== ．135．解：原式，∵a=-1，b=2，代入式中得原式=．136．解：∵x 2-4x+4 不|y-1|互为相反数，∴x 2-4x+4+|y-1|=0． ∴（x-2）2+|y-1|=0．∴（x-2）2=0，|y-1|=0．∴x=2，y=1． ∴（）÷（x+y ）=（2-）÷（2+1）=．137． 解；当 a=99 时，a+1=100．138．解，∴a+b=4ab， 则===1．139．解-1===x ，把 x=2005 代入得原式=2005．140．解=，当 时，原式=．141．解，∴x=3y，代入原式得==．142．解：因为 x 为整数，分=2+的值也为整数，所以满足条件的有以下情冴：当 x=-3 时，分式值为 1；当 x=-1 时，分式值为 0； 当 x=0 时，分式值为-2；当 x=1 时，分式分母为 0，分式无意义； 当 x=2 时，分式值为 6；。

专题04.分式与分式方程一、单选题1．（2021·河北中考真题）由1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c 时，12A ≠C ．当2c <-时，12A > D ．当0c <时，12A <【答案】C 【分析】先计算1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的正负，再判断A 与12的大小即可．【详解】解：11=224+2c cc c +-+，当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意； 当0c 时，04+2c c=，12A =，故B 选项错误，不符合题意； 当2c <-时，04+2c c>，12A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时，04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．2．（2021·湖南中考真题）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm 的光刻机难题，其中1nm 0.000000001m =，则7nm 用科学记数法表示为（ ） A ．80.710m ⨯ B ．8710m -⨯C ．80.710m -⨯D ．9710m -⨯【答案】D【分析】由题意易得nm 0.000000007m 7=，然后根据科学记数法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：nm 0.000000007m 7=， ∴7nm 用科学记数法表示为9710m -⨯；故选D ．【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．3．（2021·四川眉山市·中考真题）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．1a + B ．1a a+ C ．1a a- D ．21a a + 【答案】B【分析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简． 【详解】解：原式()()()()221111111=11a a a a a aa a a a a a+-+--++⨯=⨯=--故答案是：B ． 【点睛】本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则．4．（2021·天津中考真题）计算33a ba b a b---的结果是（ ） A ．3 B ．33a b +C ．1D ．6aa b- 【答案】A【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式33a b a b -=-，3()a b a b-=-3=．故选A ． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键． 5．（2021·山东临沂市·中考真题）计算11()()a b b a-÷-的结果是（ ）A ．ab-B ．a bC ．b a-D ．b a【答案】A【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：11a b b a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab ab b b a a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab a b ab -⨯-=a b-故选A ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 6．（2021·江西中考真题）计算11a a a+-的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．2a a+D ．2a a- 【答案】A【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可． 【详解】解：11111a a aa a a a++--===．故选：A ． 【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．1x + B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】分别找到各式为0时的x 值，即可判断．【详解】解：A 、当x =-1时，x +1=0，故不合题意；B 、当x =±1时，x 2-1=0，故不合题意； C 、分子是1，而1≠0，则11x +≠0，故符合题意；D 、当x =-1时，()210x +=，故不合题意；故选C ． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 8．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分式方程3111x x x +=--的解是（ ） A ．1x = B ．2x =-C ．34x =D ．2x =【答案】D【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解：3111x x x +=-- 去分母:13x x +-=，∴2x =， 经检验：2x =是原方程的解；故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2021·湖南怀化市·中考真题）定义12a b a b ⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（ ） A ．15x =B ．25x =C ．35x =D ．45x =【答案】B【分析】根据新定义,变形方程求解即可 【详解】∵12a b a b ⊗=+,∴342x ⊗=⊗变形为1123242x ⨯+=⨯+,解得25x = ，经检验25x =是原方程的根，故选B 【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键10．（2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为（ ） A ．10010020.53x x =+ B ．10021000.53x x += C ．10021003 1.5x x += D ．10010021.53x x =+ 【答案】D【分析】根据清扫100m 2所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟列出方程即可．【详解】解：设A 型扫地机器人每小时清扫x m 2，由题意可得：10010021.53x x =+，故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 11．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程21133x x x-+=--的解为（ ） A ．2x = B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-【答案】A【分析】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解． 【详解】解：21133x x x -+=--，21133x x x --=--，2113x x --=-，213x x --=-，解得：2x =， 检验：当2x =时，32310x -=-=-≠，2x ∴=是分式方程的解，故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验．12．（2021·重庆中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5 B ．8C ．12D ．15【答案】B【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a+<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和． 【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥，解不等式②得，5+2ax >不等式组的解集为：6x ≥562a+∴<7a ∴< 解分式方程238211y a y y y +-+=--得238211y a y y y +--=--2(38)2(1)y a y y ∴+--=-整理得5=2a y +， 10,y -≠ 则51,2a +≠ 3,a ∴≠- 分式方程的解是正整数，502a +∴>5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数，∴整数a 的值为-1, 1, 3, 5, 11358∴-+++=故选：B ．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·重庆中考真题）关于x 的分式方程331122ax x x x--+=--的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组32122y y y a-⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-【答案】B【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为64x a =+,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到40a +>且43a +≠，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到20a -<，综合以上结论即可求出a 的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．【详解】解：331122ax x x x--+=--,两边同时乘以（2x -)，3213ax x x -+-=-,()46a x +=, 由于该分式方程的解为正数，∴64x a =+，其中4043a a +>+≠，;∴4a >-，且1a ≠-；∵关于y 的元一次不等式组32122y y y a -⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩①②有解，由①得：0y ≤;由②得：2y a >-;∴20a -<，∴2a <综上可得：42a -<<,且1a ≠-;∴满足条件的所有整数a 为：32,0,1--，；∴它们的和为4-；故选B ． 【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a 的限制不等式，求出a 的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．14．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ） A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x⨯=⨯- 【答案】B【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【详解】设班级共有x 名学生，依据题意列方程得，807240505x x ⨯=⨯+故选：B ． 【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．15．（2020·四川绵阳市·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ） A ．1.2小时 B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时【答案】C【分析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm/h ，乙的速度为803x-km/h ，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可． 【详解】解：设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时， 根据两人对话可知：甲的速度为180xkm/h ，乙的速度为803x -km/h ，根据题意得：()1803803x xxx-=-，解得：x 1＝1.8或x 2＝9， 经检验：x 1＝1.8或x 2＝9是原方程的解，x 2＝9不合题意，舍去，故答案为：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．16．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤- B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <-【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【详解】解：方程433x kx x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-， ∴412x x k -+=-，∴312x k -=--，∴43kx =+，∵解为非正数，∴403k+≤，∴12k ≤-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．17．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ） A ．正数 B ．负数C ．零D ．无法确定【答案】A【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k-，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解．【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+得x=217k -， ∵41x -<<-∴21471k --<<-解得-7＜k ＜14 ∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数,故选A ． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．18．（2020·四川广元市·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的=6M -，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．-1【答案】C【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m 的值，从而可以解答本题． 【详解】解：当m 2-2m≥0时，661m =--，解得m=0， 经检验，m=0是原方程的解，并且满足m 2-2m≥0，当m 2-2m ＜0时，m -3=-6，解得m=-3，不满足m 2-2m ＜0，舍去．故输入的m 为0．故选：C ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．19．（2020·四川成都市·中考真题）已知2x =是分式方程311k x x x -+=-的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】将2x =代入原方程，即可求出k 值． 【详解】解：将2x =代入方程311k x x x -+=-中，得231221k +=--解得：4k = ．故选：B ． 【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．20．（2020·四川遂宁市·中考真题）关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可． 【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2， 把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 21．（2020·浙江金华市·中考真题）分式52x x +-的值是零，则x 的值为（ ） A ．5 B ．5- C ．2-D ．2【答案】B【分析】利用分式值为零的条件可得50x +=，且20x -≠，再解即可． 【详解】解：由题意得：50x +=，且20x -≠，解得：5x =-，故选：B ．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．22．（2020·湖北孝感市·中考真题）已知1x =，1y =，那么代数式()32x xy x x y --的值是（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D【分析】先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将x 、y 的值代入计算即可．【详解】解：()32x xy x x y --=()()()x x y x y x x y +--11D ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键． 23．（2020·河北中考真题）若ab ，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a ab b+=+B ．22a a b b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b = 【答案】D【分析】根据a≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b ，∴22a a b b +≠+，选项A 错误；22a ab b-≠-，选项B 错误； 22a a b b ≠，选项C 错误；1212a ab b =，选项D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 24．（2020·贵州贵阳市·中考真题）当1x =时，下列分式没有意义的是（ ）A ．1x x+B ．1x x -C ．1x x-D ．1x x + 【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【详解】1xx -,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 25．（2019·河北中考真题）如图，若x 为正整数，则表示()2221441x x x x +-+++的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【答案】B【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】解∵2222(2)1(2)1441(2)1x x x x x x x ++-=-=+++++1111xx x -=++．又∵x 为正整数，∴121x x ≤+＜1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②．故选B ． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．26．（2019·湖南娄底市·中考真题）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC 麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate 20系列、荣耀Magic 2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗()97110nm nm m -=手机芯片．7nm 用科学记数法表示为( ) A ．8710m -⨯ B ．9710m -⨯C ．80.710m -⨯D ．10710m -⨯【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】7nm 用科学记数法表示为9710m -⨯．故选B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．27．（2019·湖北孝感市·中考真题）已知二元一次方程组1249x y x y +=⎧⎨+=⎩，则22222x xy y x y -+-的值是（ ） A ．5- B ．5C ．6-D ．6【答案】C【分析】解方程组求出x 、y 的值，对所求式子进行化简，然后把x 、y 的值代入进行计算即可. 【详解】1249x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，2②-①×得，27y =，解得72y =，把72y =代入①得，712x +=，解得52x =-， ∴222222()()()x xy y x y x y x y x y -+-=-+-572261x y x y ---===-+，故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，分式化简求值，正确掌握相关的解题方法是关键. 28．（2019·北京中考真题）如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅-⎪-⎝⎭2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()mm n m n m n m m n =⋅+-=+-1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（2019·四川中考真题）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时． A ．1()2a b + B ．aba b+ C ．2a bab+ D ．2aba b+ 【答案】D【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s ，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．【详解】解：设上山的路程为x 千米，则上山的时间x a 小时，下山的时间为xb小时， 则上、下山的平均速度22xabxxa b ab=++千米/时．故选D ．【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．30．（2019·湖南益阳市·中考真题）解分式方程232112x x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A ．x+2＝3 B ．x ﹣2＝3 C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1) D ．x+2＝3(2x ﹣1)【答案】C【分析】最简公分母是2x ﹣1，方程两边都乘以(2x ﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 【详解】方程两边都乘以(2x ﹣1)，得x ﹣2＝3(2x ﹣1)，故选C ．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．31．（2019·广东中考真题）定义一种新运算：1an n n bn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．25【答案】B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意得，5211m11(5)25m x dx m m m m---⎰-=-=-=-，则25m =-，经检验，25m =-是方程的解，故选B. 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 二、填空题32．（2021·四川资阳市·中考真题）若210x x +-=，则33x x-=_________． 【答案】3【分析】先由210x x +-=可得21x x -=，再运用分式的减法计算33x x-，然后变形将21x x -=代入即可解答．【详解】解：∵210x x +-=∴21x x -=∴()2231333333x x x x x x x x---====．故填：3． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．33．（2021·四川南充市·中考真题）若3n m n m +=-，则2222m n n m+=_________ 【答案】174【分析】先根据3n m n m +=-得出m 与n 的关系式，代入2222m n n m+化简即可； 【详解】解：∵3n mn m+=-，∴()3n m n m +=-，∴2n m =， ∴22222222417+=44m n m m n m m m +=故答案为：174 【点睛】本题考查了分式的混合运算，得出2n m =是解决本题的关键．34．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数，则整数a =___________． 【答案】±1【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值． 【详解】解：22411x a x a x x --+-=-+，22411x a x ax x --+-=-+ (2)(1)(2)(1)4(1)(1)x a x a x x x x -+---=-+整理得：2x a=若分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数， a 为整数，当1a =±时，解得：2x =±，经检验：10,10x x -≠+≠成立；当2a =±时，解得：1x =±，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:1a =±，故答案是：±1．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值，易错点，容易忽略对根的检验．35．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 【答案】3x =【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出x 后，再检验即可．【详解】解：1121(1)x x x x x ++=--通分得：212(1)(1)x x x x x x -+=--，移项得：()301x x x -=-， 30x ∴-=，解得：3x =，经检验，3x =时，(1)60x x -=≠，∴3x =是分式方程的解，故答案是：3x =． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．36．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵． 【答案】500【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x 的分式方程进行求解即可．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，6000600031.25x x-=，400x =，经检验，400x =是原方程的解， ∴实际每天植树400 1.25500⨯=棵，故答案是：500．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程． 37．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）若关于x 的分式方程2311x mx x-=--的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【答案】m ＞-3且m ≠-2【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以x -1得，()231x x m --=-，解得3x m =+， ∵x 为正数，∴m +3＞0，解得m ＞-3．∵x ≠1，∴m +3≠1，即m ≠-2． ∴m 的取值范围是m ＞-3且m ≠-2．故答案为：m ＞-3且m ≠-2．【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键． 38．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解． 【详解】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-， 移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4． 【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 39．（2020·山东潍坊市·中考真题）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为_____. 【答案】3【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m 的值．【详解】去分母得3x -(x -2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 40．（2020·湖北黄冈市·中考真题）计算：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________． 【答案】1x y- 【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．【详解】解：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭()()y x y x x y x y x y x y ⎛⎫+=÷- ⎪+-++⎝⎭()()y y x y x y x y=÷+-+()()yx y x y x y y +=⋅+-1x y=-，故答案为：1x y -． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 41．（2020·山东滨州市·中考真题）观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a =====， 根据其中的规律可得n a =________（用含n 的式子表示）．【答案】()12121n n n ++-+【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n 项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n 2+1，偶数项的分子是n 2-1，即第n 项的分子是n 2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得21(1)21n n n a n ++-=+，故答案为：21(1)21n n n a n ++-=+ 【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．42．（2020·山东济宁市·中考真题）已知m+n=-3.则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是____________． 【答案】1m n -+，13【分析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后将m+n=-3代入即可.【详解】解：原式=222m n m n mn m m ⎛⎫+---÷ ⎪⎝⎭=222m n m n mn m m ⎛⎫+---÷ ⎪⎝⎭=()2m n m n m m ⎡⎤++÷-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=()2m n m m m n ⎡⎤+⨯-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦=1m n -+，∵m+n=-3，代入，原式=13. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则.43．（2019·江西中考真题）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A B C --横穿双向行驶车道，其中6AB BC ==米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：_____________________．【答案】66111.2x x+= 【分析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】解：设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，可得：66111.2x x +=，故答案为66111.2x x+=， 【点睛】此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是根据题意列出分式方程解答．三、解答题44．（2021·湖北随州市·中考真题）先化简，再求值：2141122x x x -⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中1x =． 【答案】22x -，-2 【分析】（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可． 【详解】解：原式()()()21221222x x x x x x ++=⋅=++-- 当1x =时，原式2212==-- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，用到的知识是约分、分式的加减，熟练掌握法则是解题的关键．45．（2021·山东菏泽市·中考真题）先化简，再求值：22221244m n n m m n m mn n--+÷--+，其中m ，n 满足32m n =-． 【答案】3nm n+;-6. 【分析】先变除法为乘法,后因式分解,化简计算,后变形32nm =-代入求值即可【详解】∵22221244m n n m m n m mn n--+÷--+=2(2)12()()m n m n m n n m n m --+⨯--+=21m n n m --+=3n m n +, ∵32m n =-,∴32nm =-,∴原式=332nn n -+= -6． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，基本计算方法是解题的关键． 46．（2021·湖北宜昌市·中考真题）先化简，再求值：2211111x x x ÷--+-，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x 代入求值． 【答案】11x -，1或12【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可． 【详解】解：原式21(1)(1)(1)1x x x x =⋅+--+-11x =-．∵x 2﹣1≠0，∴当2x =时，原式1=．或当3x =时，原式12=．（选择一种情况即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．47．（2021·四川达州市·中考真题）化简求值：231041244a a a a a --⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭，其中a 与2，3构成三角形的三边，且a 为整数． 【答案】24a -+，-2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a 的取值范围，把不合题意的a 的值舍去，最后代入求值即可求解．【详解】解：原式()22231024a a a a a ---+=⋅--()()224224a a a a ---=⋅--24a =-+； ∵2，3，a 为三角形的三边，∴3232a -<<+，∴15a <<，∵a 为整数，∴2a =，3或4，由原分式得20a -≠，40a -≠，∴2a ≠且4a ≠，∴3a =， ∴原式=242342a -+=-⨯+=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a 的值代入求值是要注意所求的a 的值保证原分式有意义．48．（2021·湖南株洲市·中考真题）先化简，再求值：2223142x x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =． 【答案】12x -+，2-【分析】先对分式进行化简，然后根据二次根式的运算进行求值即可．【详解】解：原式=()()223231222222x x x x x x x x x -⋅-=-=-+++-++，把2x =代入得：原式=2=-． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．49．（2021·四川成都市·中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中3=a ． 【答案】13a +【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++13a =+，当3=a时，原式=== 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．50．（2021·四川资阳市·中考真题）先化简，再求值：222211111x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中30x -=． 【答案】原式=13． 【分析】利用分式的混合运算法则进行化简，再将3x =代入原式，即可求解．【详解】解：原式=()()()22111111x x x x x x ⎡⎤+--⋅⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦=211111x x x x x +-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=211x x x x -⋅-=1x303x x -=∴= 将3x =代入原式，原式=13．【点睛】本题主要考查分式的混合运算．需要掌握分式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式、同分母分式相加减等相关知识．进行分式的混合运算时，要细心． 51．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xy x y -，代入计算即可． 【详解】解：∵2x y -=，∴1121y x x y xy xy---===，∴2xy =-， ∴()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．52．（2021·四川遂宁市·中考真题）先化简，再求值：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭，其中m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m 是整数． 【答案】32m m --；12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭222(2)99(2)33m m m m m m ⎛⎫--÷+ ⎪---⎝⎭= 2223m m m m ÷--=2232m m m m-⋅-=32m m --=， ∵m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴3-2＜m ＜3+2，即1＜m ＜5， ∵m 为整数，∴m =2、3、4，又∵m ≠0、2、3∴m =4，∴原式=431422-=-． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．53．（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：214111x x x +-=--． 【答案】无解。