实变函数点集

实变函数论之集合与点集集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C 表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5}; 一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a 是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为a A.给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为A B 或B A;进而,若同时有A B和B A，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1 集合及相关概念共23=8个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为2 A.1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算, 并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1 任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B 的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB; 推而广之,给定集合族{Aα}α∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}; (1.1)∩α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}. (1.2) 集合{x|x∈A且x B}称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知A B,则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB 简记为B c.而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例 1.1.2 设A j=x0≤x≤1+1j,j=1,2,…,B i=x-1+1i≤x≤1-1i,i=1,2,…,C k=x-1k<x∩nj=1A j=x0≤x≤1+1n, ∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m,∩pk=1C k=x-1p<x<1p.其中n,m,p∈N.由此知∩∞j=1A j={x|0≤x≤1}, ∪∞i=1B i={x|-1<x集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A, A∪A=A, A∪=A, A∩=.(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα).(4) 大小关系(A∩B)A(A∪B).(5) 若AαBα,α∈Γ,则∪α∈ΓAα∪α∈ΓBα, ∩α∈ΓAα∩α∈ΓBα;特别地,若AαC或C Bα,α∈Γ,则∪α∈ΓAαC, C∩α∈ΓBα.证明下面仅证A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα).任取x∈A∩∪α∈ΓBα,则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈Γ(A∩Bα),由x的任意性得A∩∪α∈ΓBα∪α∈Γ(A∩Bα).反过来,任取x∈∪α∈Γ(A∩Bα),则α0∈Γ,使得x∈A∩Bα0,即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A 且x∈∪α∈ΓBα,故x∈A∩∪α∈ΓBα,由x的任意性得∪α∈Γ(A∩Bα)A∩∪α∈ΓBα.综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-B=A∩SB;(2) 若A B,则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De Morgan）律）若A,B X,则(A∪B)c=A c∩B c, (A∩B)c=A c∪B c.一般地∩α∈ΓAαc=∪α∈ΓA cα,∪α∈ΓAαc=∩α∈ΓA cα.证明下面仅证对偶律：若A,B X,则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义,(A∪B)c={x|x∈X且x A∪B}={x|x∈X,x A且x B}={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合{A n} (n=1,2,…）称为集合列,也可记为{A n}∞n=1.属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞A n,或lim n→∞ sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为</x</x<1p.</xlim n→∞A n或lim n→∞ inf A n.等价地,lim n→∞ sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k},lim n→∞ inf A n={x|存在n0∈N,当n≥n0时,x∈A n}.由此知,lim n→∞ inf A n lim n→∞ sup A n.进而,对于给定集合列{A n},若其上、下极限相等,则称集合列{A n}收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列{A n},则lim n→∞sup A n=∩∞n=1∪∞k=nA k, lim n→∞ inf A n=∪∞n=1∩∞k=nA k.证明利用lim n→∞sup A n={x|n∈N,k≥n,使得x∈A k} (1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记A=lim n→∞sup A n,B=∩∞n=1∪∞m=nA m.事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪∞m=nA m,故x∈B,继而A B.反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪∞m=nA m,即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而B A,从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列{A n}满足：A n A n+1,n∈N,则称{A n}是单调增加集合列；若A n A n+1,n∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若{A n}为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪∞n=1A n;若{A n}为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例 1.1.3 设{A n}是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗, m=0,1,2,…,A2m=0,1+12m〗, m=1,2,….我们来确定{A n}的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个A n,n=1,2,…,而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12nN(x)时,x A2n,但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即{A n}中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即{A n}中不含有x的集合不会是有限个.又区间\lim n→∞ sup A n=\n→∞ inf A n=\.例1.1.4 设{A n}为：当n=2k时,A2k=(x,y)0≤x≤2k,0≤y≤12k, k∈N;当n=2k+1时,A2k+1=(x,y)0≤x≤12k+1,0≤y≤2k+1, k∈N.则lim n→∞ sup A n={(x,0)|x≥0}∪{(0,y)|y≥0}; lim n→∞ inf A n={(0,0)}.定义1.1.3 设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y)=(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为X 2.例 1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1. 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是B=;(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).2. 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.3. 设{A n}是一集合列，作B1=A1,B n=A n-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证{B n}互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.4. 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x: f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)g(x)|>a}{x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.5. 试证：(1) ∪∞i=1(A\\B i)=A∩∞i=1B i; (2) ∩∞i=1(A\\B i)=A∪∞i=1B i.6. 设A2n-1=0,1n,A2n=(0,n),n=1,2,….求出集合列{A n}的上限集和下限集.7. 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, k=1,2,…,求集合列A n的上限集和下限集.8. 设A n=mn: m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞ supA n=Q,lim n→∞ inf A n=Z.9. 设{f n(x)}是\上的一列函数,且存在E\使得lim n→∞f n(x)=1, x∈\\\E,0, x∈E.令E n=x∈\: f n(x)≥12,求集合lim n→∞E n.10. 设{f n(x)}以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使{f n(x)}不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx: |f n(x)-f(x)|≥1k. 11. 设εk>0 (k=1,2,…) ,εk随着k→∞单调下降趋于0.f(x),f n(x) (n=1,2,…）定义在E上,lim n→∞f n(x)=f(x)(x∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪∞k=1lim n→∞E\;(2) E\=∩∞k=1lim n→∞E\;(3) E\=∪∞k=1lim n→∞E\.注： E\={x∈E|f(x)>a}.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1 给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ: X→Y并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y 中对应元y称为x在映射φ下的像,x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为φ-1(y).φ(X)={y|y=φ(x),x∈X}Y称为映射φ: X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y 上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集φ-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当φ(x1)=φ(x2)时必有x1=x2,则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即φ-1: φ(X)→X,φ-1(y)=x,当φ(x)=y 时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ: X→Y,及A X,Bφ(X),则A的像集为φ(A)={y|y=φ(x),x∈A},B的原像集为φ-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ(Aα), φ∩α∈ΓAα∩α∈Γφ(Aα);φ-1∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ-1(Aα), φ-1∩α∈ΓAα=∩α∈Γφ-1(Aα).例1.2.1 给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,0,x A.于是A→χA是从X的幂集2X到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：χA(x)≤χB(x)A B,χA(x)χB(x)=0A∩B=.1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A 与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3 设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数n0使得A与{1,2,…,n0}一一对应,而{1,2,…,n0}由n0唯一确定,于是可以认为=n0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:x→tanπx-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3 任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4 给定两个集合A和B,若存在B的子集B1使得A～B1,则称A的基数不大于B的基数,记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ: A→φ(A)B,及双射ψ: B→ψ(B) A.下面用迭代法寻找A′A及B′B,使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′, ψ(B′)=A\\A′,等价地A′=A\\ψ(B′), B′=B\\φ(A′). (1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), B1=B\\φ(A1),A2=A\\ψ(B1), B2=B\\φ(A2),A n=A\\ψ(B n-1), B n=B\\φ(A n),由上述构造知,A i A,B i B,i=1,2,….注意到ψ是一一映射,于是有ψ∩∞i=1B i=∩∞i=1ψ(B i),再结合德摩根律,有∪∞i=1A i=∪∞i=1(A\\ψ(B i-1))=A∩∞i=1ψ(B i-1)=Aψ∩∞i=1B i-1=Aψ∩∞i=1B i,此处记B0=B.类似地,可得∩∞i=1B i=∩∞i=1(B\\φ(A i))=Bφ∪∞i=1A i.从而,式(1.4)有解A′=∪∞i=1A i, B′=∩∞i=1B i.定义映射Φ(x)=φ(x),x∈A′,ψ-1(x),x∈A\\A′.由上述构造知,φ(A′)=B\\B′,ψ-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设A B C,A～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令A*={x: x∈A,φ(x)∈B},则A*A,A*～B,取B*=A,则自然有B*～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.2.3 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5 与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={a1,a2,…,a n,…},反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3 任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定a1∈A,因A\\{a1}仍然是无限集,再任意取定a2∈A\\{a1},依次类推,在A\\{a1,a2}中取出a3,…,在A\\{a1,a2,…,a n}中取出a n+1,照此继续,即得A的可数子集{a1,a2,…,a n,…}.进一步,我们有下述定理.□ 定理1.2.4 若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设X∩Y=.若Y是可数集,记Y={y1,y2,…}.由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集X1={x1,x2,…},于是有分解X=X1∪(X\\X1).令φ: X∪Y→X,使得φ(x n)=x2n,φ(y n)=x2n-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的X1取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5 集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A 亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X\\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6 可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集,A1是A的一个无限子集.首先,因A1A,故A1≤;其次,因A1是无限集,由定理1.2.3可知,≤A 1.于是由伯恩斯坦定理得,A1=,即A1是可数集.□ 定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设A={a1,a2,…},B={b1,b2,…,b n}或B={b1,b2,…,b n,…}.(1) 先设A∩B=,由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a1,a2,…}；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令B*=B-A,则A∩B*=, A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故B*作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2 设A i(i=1,2,…,n)是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个A i是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设{A n} (n=1,2,…）是一列可数集.(1) 先设A i∩A j=(i≠j),因为A i都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…}, n,k=1,2,…, 从而∪∞n=1A n中元素可按下述方式排成一列：∪∞n=1A n={a11,a21,a12,a31,a22,a13,a41,…,a ij,…},规则是：a11排第一位,当i+j>2时,a ij排在第j+∑i+j-2k=1k位.因此∪∞n=1A n是可数集（注：当部分A i是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各A i可能相交,令A*1=A1,A*i=A i-∪i-1j=1A j (i≥2),则A*i∩A*j=(i≠j)且∪∞i=1A i=∪∞i=1A*i.由A i可数易知A*i都是有限集或可数集,如果只有有限个A*i不为空集,则由推论1.2.2 易知∪∞i=1A*i为可数集（因为至少A*1=A1为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）A*i不为空集,则由(1)知∪∞i=1A i=∪∞i=1A*i也是可数集,故在任何场合∪∞n=1A n都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集.例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-N为负自然数全体的集合. 因映射f: N→-N,f(n)=-n,建立了N与-N 之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,… (n=1,2,…),则A n (n∈N）是一列可数集,而Q+=∪∞n=1A n,从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2 若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5 元素(n1,n2,…,n k)是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例 1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n,则整系数多项式的全体可记为∪∞n=1A n，为可数集,其中A n={a a0,a1,…,a n}.代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为r n,则R上至少有一个单位长度的区间不含r1,不妨设此区间为I1=\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含r2,以I2表示这个区间,将I2三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含r3,记为I3,依此类推,可得一串闭区间{I n},满足：(1) I1I2I3…,且I n的长度趋于0;(2) r n I n,n=1,2,….由闭区间套定理知∩∞i=1I n≠,但对任意的m,r m∩∞i=1I n,换言之,∩∞i=1I n不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明,N与R不可能对等.例1.2.8 R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点x1,由柯西（Cauchy）收敛原理可知,f(x1-0)与f(x1+0)均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-f(x)<lim x→x1+f(x)=f(x1+0).表明x1对应开区间(f(x1-0),f(x1+0)).对于两个不同间断点x1和x2,由函数f(x)的单调性可得,开区间(f(x1-0),f(x1+0))与(f(x2-0),f(x2+0))互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.2.4 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9 开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记(0,1)={a(1),a(2),a(3),…}.而每个a(i) (i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,a(2)=0.a(2)1a(2)2a3(2)…,a(3)=0.a1(3)a(3)2a3(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令0.b1b2b3…满足：b n=1,当a(n)n≠1;b n=2,当a(n)n=1. 由上述构造知,0.b1b2b3…∈(0,1),但0.b1b2b3…{a(1),a(2),a(3),…}这与假设(0,1)={a(1),a(2),a(3),…}矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知c>0.例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理 1.2.10 设A1,A2,…,A n,…是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪∞n=1A n也有连续基数.证明注意到\N及\N,故∪∞n=1A n～∪∞n=1\即∪∞n=1A n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c. 类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11 任给一个非空集合A,2A是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则2A>.证明假若A～2A,则存在一一对应φ: A→2 A.于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集A0={x∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素a0与A0对应.由此,若a0∈A0，则与A0的定义矛盾；若a0A0，则由A0的定义知a0又应该属于A0,矛盾.于是A与2A不对等.进而,单点集全体形成2A的真子集,记为A ~,显然A ~～A,因此2A>.□例1.2.10 {0,1}N=c,其中{0,1}N记从自然数集N 到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ: f→∑∞n=1f(n)2n,则φ是从{0,1}N到(0,1\]的一一映射,于是有{0,1}N≤(0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n, x n∈{0,1}.令f x(n)=x n,n∈N,则f x∈{0,1}N.进而,定义映射φ: x→f x,x∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到{0,1}N的一一映射,于是有(0,1\]≤{0,1}N,再利用伯恩斯坦定理即得{0,1}N=(0,1\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即20=c.既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<习题习题1. 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的A,B X,有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的A,B X,若A∩B=,则f(A)∩f(B)=.2. 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的A Y,有f(f-1(A))=A.3. 设映射f: X→Y,AαX,BαY,α∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若Bα1Bα2,则f-1(Bα1)f-1(Bα2),αi∈I,i=1,2;(4) f-1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) f-1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) f-1(Y-Bα)=f-1(Y)-f-1(Bα).4. 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E,0,x∈X-E.如果A,B,A n(n=1,2,…)都是X的子集.证明：(1) χA∪B(x)=χA(x)+χB(x)-χA(x)·χB(x);(2) χA∩B(x)=χA(x)·χB(x);(3) χA-B(x)=χA(x)(1-χB(x));(4) χlim n→∞ sup A n(x)=lim n→∞ sup χA n(x);(5) χlim n→∞ inf A n(x)=lim n→∞ inf χA n(x).5. 设A1A2,B1B2,φ1,φ2分别是A1到B1,A2到B2的一一映射,问是否一定存在A2\\A1到B2\\B1的一一映射?6. 试构造(0,1)与\7. 试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.8. 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x1x2…x n|x k∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.9. 平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.10. 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.11. 如果A=∪∞n=1A n,=c,则至少有一个A n的势为c.12. 试证：若A B,且A～A∪C,则有B～B∪C.13. 证明： \上的全体无理数作成的集合其基数是c.14. 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集.15. 若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f(x+0)存在}是可数集.16. 证明\上的连续函数全体C\的势为c.17. 若对任意有限个x: x1,x2,…,x n,M>0,使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.18. 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3 R n中的点集1.3 R n中的点集1.3.1 n维欧氏空间R n R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2,定义两种线性运算：(1) 加法,x+y=(x1+y1,x2+y2);(2) 数乘,αx=(αx1,αx2),α∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义 1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R, i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地,R n关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间,e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,e n=(0,0,…,0,1)为R n 的一组基.沿用二维线性空间的称谓,R n也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n)∈R n,定义d(x,y)=∑ni=1(x i-yi)212, 则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=0x=y;(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是(R n,d(·))称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。

实变函数-集合与点集集合递减集合列递增集合列上极限集下极限集集合语⾔的相互转化任意: 交集存在：并集映射单射：⼀对⼀满射：每个元素都有对应的像对等：若存在⼀个A->B的映射，可以把A，B中所有的元素⼀⼀联系起来，则称为A~B（A,B对等）证明集合对等:若X与Y的某个真⼦集对等，Y与X的某个真⼦集对等则X～Y基数：若A~B则A和B基数相等，⾃然数集的基数为N0，(0,1]的基数为N1记为c=2N0⼀些常见的对偶集:N~{y:y=2n} y = 2*xN*N~N f(i,j) = 2i-1(2*j - 1)N~Z可列集：⾃然数集的基数为N0，与⾃然数集对等的集合称作可列集在众多的⽆限集中，最⼩的基数是N0可数集：可列集和有限集统称可数集集合在映射下的分解：对于集合X，YX = x1∪x2Y = y1∪y2若存在单射f X->Y, g Y->X则有f(x1) = y1 g(y2) = x2点集的直径:diam(E) = sup(|x-y|),若diam(E) <正⽆穷，则称为有界集，极限点：对于集合E，若存在E中的互异点列{x k}若lim k->∞ |x k - x| = 0,x是E中的极限点，极限点集⼀般写为E'孤⽴点：若x属于E，且x不是E中的极限点，则x为E的孤⽴点R n中任意有界⽆限集⾄少有⼀个孤⽴点闭集：设E⊂R n且E包含E中的所有极限点，则称为闭集有限个闭集的并任是闭集闭集族的交集为闭集闭集套定理若集列F为飞空有界，单调递减的闭集列那么他的下极限不为空集。

（完整版）实变函数论主要知识点实变函数论主要知识点第一章集合1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习：①证明()()A B C A B C --=-U ；②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+U ；2、对等与基数的定义及性质；练习：①证明(0,1):?；②证明(0,1)[0,1]:；3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、不可数集合、连续基数的定义及性质；练习：①(0,1)= ；②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor 集的构造和性质；5、练习：①P =o，P '= ，P = ；②111,,,,2n 'L L = ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ = ，mP = ；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章积分论1、非负简单函数L 积分的定义；练习：①Direchlet 函数在1?上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习：①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积?f 在E 上可测；练习：①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ??=为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。

若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。

若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。

若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。

定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。

二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。

（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。

更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。

定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。

如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。

定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。

第二章习题P291.证明'0p E ∈的充要条件是对于任意含有0p 的邻域()0,N p δ（不一定以0p 为中心）中，恒有异于0p 的点1p 属于E （事实上这样的1p 其实还是有无穷多个）而0p 为E 的内点的充要条件则上有含有0p 的邻域()0,N p δ（同样，不一定以0p 为中心）存在，使()0,N p E δ⊂. 证明：先设'0p E ∈，则()00,,N p E δδ∀> 中有无穷多个点。

现在设()00,p N p δ∈，这表明()00,p p ηρδ≤=<，故()0,y N p δη∀∈-，有()()()00,,,y p y p p p ρρρδηηδ≤+<-+= 故()()0,,N p N p δηδ-⊂故()0,N p E δη- 有无穷个点，自然有异于0p 的点()10,p N p E δη∈-(),N p δ⊂.这就证明了必要性，事实上，(){}00,N p E p δη-- 是无穷集，故(),N p δ中有无穷多个异于0p 的E 中的点.反过来，若任意含有0p 的邻域(),N p δ中，恒有异于0p 的点1p 属于E ，则0δ∀>，(),N p δ中，有异于0p 的点1p 属于E ，记()101,p p ρδ=，则显然1δδ<由条件()01,N p δ中有异于0p 的点2p E ∈，()2021,p p ρδδ=<由归纳法易知，有{}11,1,2,,n n n n δδδδ+∀=<<< 和()01,n n p E N p δ-∈ ，0,1,2,n p p n ≠=这表明()0,N p δ中有无穷个E 中的点.由0δ>的任意性知，'0x E ∈若0p 为E 的内点，则0,δ∃>使()0,N p E δ⊂，故必要性是显然的. 若存在邻域(),N p E δ⊂，使()0,p N p δ∈，则从前面的证明知()()()00,,,N p p p N p E δρδ-⊂⊂，故0p 为E 的内点.2.设1nR R =是全体实数，1E 是[]0,1上的全部有理点，求'11,E E .解：[]0,1x ∀∈，由有理数的稠密性知，()()0,,,N x x x εεεε∀>=-+中有无穷个1E 中的点，故'1x E ∈，故[]'10,1E ⊂.而另一方面，[]0,1x ∀∉，必有0δ>，使()[]0,0,1N x δ=∅ ，故'01x E ∉ 故[]'10,1E ⊂，所以[][]'10,10,1E ⊂⊂. 表明[]'10,1E =而[][]'11110,10,1E E E E === 故[]'110,1E E ==.3.设2n R R =是普通的xy 平面(){}222,;1E x y xy =+<，求'22,E E .解：(){}'222,;1E x y xy =+≤事实上，若()'0002,p x y E =∈，则由于()22,f x y x y =+是2R 上的连续函数，必存在0δ>，使()()0,,x y N p δ∀∈有()22,1f x y x y =+>.故()02,N p E δ=∅ ，故0p 不是'2E 中的点矛盾. 故22001x y +≤时(){}220,;1p x y xy ∈+≤反过来，若()(){}22000,,;1p x y x y x y =∈+≤则0δ∀>，作[]0,1上的函数()()00,f t tp p ρ==t ==-则()f t 是[]0,1上的连续函数，()01f =≤，()10f =，01δ∀<<，[]0,1t δ∃∈使()f t δδ=现在任取()0,0min 1,ηδη>∃<<，使()()00,,N p N p δη⊂. 由上面的结论，存在01t δ<<，使()1f t δδ=<.故0t p δ满足（1）00t p p δ≠；（2）0001t p t p t p t δδδδ==≤<.故02t p E δ∈ （3）()00,t p p δρδη=<，故()0,t p N p δη∈所以(){}020,t p N p E p δη∈-由习题1的结论知'02p E ∈，所以(){}'222,;1E x y xy =+≤.而(){}''222222,;1E E E E x y xy ===+≤ .4.2n R R =是普通的xy 平面，3E 是函数1sin 00x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的图形上的点所作成的集合，求'3E .解：设函数的图形是()(){}{}'131,;,,sin ;0x f x x R Ex x R x ⎧⎫⎛⎫∈=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(){}0,0 . 下证(){}'330,;11E E δδ=-≤≤()'0003,p x y E =∈⇔存在()(){}300,,n n n p x y E x y =∈-，()000,,n n n n n p x y p x x y y =→⇔→→，()0,0n p p ρ→设()'0003,p x y E =∈，则存在()(){}30,,n n x y E x y ∈-使00,nn xx y y →→若00x ≠，则0n x ≠（当n 充分大） 则0011sinsin n n y y x x =→= 所以()003,x y E ∈若00x ≠，则0n x →，01sinn ny y x =→，011y -≤≤ 所以()(){}00,0,;11x y δδ∈-≤≤ 故(){}'330,;11E E δδ⊂-≤≤反过来：()(){}0003,0,;11p x y E δδ∀=∈-≤≤ ， 若00x ≠，001siny x =， 故存在0n x x ≠，使0n x ≠，0n x x →从而011sinsin n x x → 即存在()001,sin,n n x x y x ⎛⎫→ ⎪⎝⎭故'03p E ∈.若()(){}000,0,;11p y δδ=∈-≤≤ 则从[]01,1y ∈-知存在0x 使00sin x y =， 令()010,1,2,2k x k k x π=≠=+ .则()0001sinsin 2sin kk x x y x π=+==， 所以()3011,sin ,,sin 0,k k k k x E x y x x ⎛⎫⎛⎫∈→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()00,0,k x y y →()()00,0,k x y y ≠故'03p E ∈ 故结论成立.5.证明当E 是nR 中的不可数无穷点集时，'E 不可能是有限集. 证明：记B 为E 的孤立点集，则'E B E -= 所以()'E E B B E B =-⊂ .若能证明B 是至多可数集，则若'E 是有限集或可列集知'E B E ⊃ 为至多可数集，这将与E 是n R 中的不可数无穷点集矛盾.故只用证E 的孤立点集B 是至多可数集p B ∀∈，0p δ∃>使(){},p N p E p δ=故(),np p N p R δ⊂ 是B 到n R 中的一个互不相交的开球邻域组成的集的11-对应.而任一互不相交开球邻域作成的集合{},A αα∈Λ是可数的，因为任取α∈Λ，取有理点p A α∈，则从,A A αβαβ=∅≠ 则{},A αα∈Λ与Q 11-对应故{},A αα∈Λ是至多可数集. 证毕P351.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =.证明：因为'F F F = ，若F 为闭集，则'F F ⊂所以'F F F F F F F =⊂=⊂ 故F F =反过来，若'F F F F =⊂ ，则必有'F F ⊂从而F 为闭集.2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集，(){};x f x a ≥都是闭集.证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0,0a x δ∃>， 使()(){}00,,;a x x N x x f x a δ∈⊂≥. 这表明(){};x f x a >是开集.任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知()()0lim n n f x f x a →∞=≥故(){}0;x x f x a ∈≥这表明(){}(){}';;x f x a x f x a ≥⊂≥. 故(){};x f x a ≥是闭集.3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(){}'',;,N p p p p δρδ=<（N 通常称为一闭邻域）证明：()0,p N p δ∀∈，则()00,p p ηρδ≤<()0,Q N p δη∀∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-=故()()0,,N p N p δηδ-⊂. 故(),N p δ是开集得证.(){}(){}'''';,,;,n p p p p p p p p ρδρδ∀∈≤∈≤且 n p p → 则()(),0,,n n p p p p ρρδ→≤ () ()() (),,,,n n n p p p p p p p p ρρρρδ≤+≤+.令n →∞得(),0p p ρδ≤+. 故(){}(){}''''';,;,p p p p p p ρδρδ≤⊂≤.表明(){}'';,p p p ρδ≤是闭集.又(){}'';,p p p p ρδ∀∈≤ 令11k p x p k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则() ()111,1,1,1k p x p p p p p k k k k ρρρδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-≤-< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()()1,,0k x p p p kρρ=→ 故() ,,k k x N p x p δ∈→这表明(){}()()''';,,,p p p N p N p ρδδδ≤⊂⊂而()(){}'',;,N p p p p δρδ⊂≤故()(){}(){}()'''',;,;,,N p p p p p p p N p δρδρδδ⊂≤=≤⊂这表明()(){}'',;,N p p p p δρδ=≤.4.设∆是一有限闭区间，()1,2,3,n F n = 都是∆的闭子集，证明如果1n n F ∞==∅ ，则必有正整数N ，使1Nn n F ==∅ .证明：令1nn i i S F == ，则显知11n n n n F S ∞∞=== ，且12n S S S ⊃⊃⊃⊃(),1i n F i n ∀≤≤为闭集，故n S 也为闭集.下证 N ∃，使1Nn N n F S ===∅ .反证，设,n n S ∀≠∅，则n n x S ∃∈⊂∆， 由于∆是有限闭区间，{}n x 是有界点列，若{},1,2,3,n x n = 为无限集合，则由聚点原理{}n x ∃的子列{}00,,k k n n x x x x →∈∆ 由于12n S S S ⊃⊃⊃⊃故任取,m N k ∈充分大时k k n n m x S S ∈⊂，又m S 为闭集，且0k n m x x S →∈ 由m 的任意性知，011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾.若{},1,2,3,n x n = 为有限集合，则0n ∃，当()00max ,n n m ≥时，0n n m x x S S =∈⊂，故 011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾.所以∃N ，使得1NN n n S F ===∅ .证毕.5.设,nE R μ⊂是一族完全覆盖E 的开邻域，则有μ中的(或有限)多个邻域12,,,m N N N ，它们也完全覆盖了E （ Lindelof 定理）证明：设{};,I αμα=∈ΛΛ为某指标集，则E I αα∈Λ⊂ .,x E ∀∈∃x α∈Λ，使得x x I α∈.由于I Λ是开集，0x δ∃>使(),x N x I δΛ⊂.由有理点在nR 的稠密性易知，存在有理点n x a Q ∈和有理数0x r >，使()(),,x x x x N a r N x I δΛ∈⊂⊂，而n R 中全体以有理点为心，有理数为半径的球作成集合与nQ Q ⨯的一个子集对等，故这些(){},;x x N a r x E ∈至多是一个可数集，从而相应的{};xIx E α∈也是至多可数集.而这些{};x I x E α∈显然为E 的一个开覆盖，因为(),x x x x Ex EE N a r I α∈∈⊂⊂因为每一个上述(),x x N a r 包含在某个I α中，故存在至多可数个i I M ∈，使{};i I i ∈Λ成为E 的一个开覆盖.6.证明nR 中任何开集G 可表成()1n ii G I ∞== 的形式，其中()()()(){}12;,,,,,1,2,3,,niii n j j j I p p x x x c x d j n ==<<=证明：（注意这里并为要求()n iI 互不相交）设G 为nR 中的任意开集，则0x G ∀∈，由开集的定义，∃一个球形邻域()()00,0x x N x G δδ⊂>，令()001200,,,;x n j x j I x x x x x x δδδ⎧⎫==<<+⎨⎩则显然()0000,x x x I N x G δ∈⊂⊂，且x x GG I G ∈⊂⊂ .故x x GG I ∈= ，x I 显然是开区间，也是开集，{},x I x G μ=∈为G 的一个开覆盖.由本节习题5，μ中的至多可数个123,,,,,n I I I I 完全覆盖了G 所以1i i G I G ∞=⊂⊂ .所以1i i G I ∞== ，i I 都是开区间.故本题结论得证.7.试根据Borel 有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass 定理.证明：反证，设E 为有限无穷点集而无聚点，则'E =∅，从而'E E =∅⊂， 故E 为有界闭集，且任意p E ∈，都是E 的孤立点.故0p δ∃>使(){},p N p E p δ= ，所以(),p p EE N p δ∈⊂ .(){},pN p δ形成E 的一个开覆盖，由于E 为有界闭集，由Borel 有界覆盖定理，∃有限个()()11,,,,,m p m p N p N p δδ ，使()1,imi p i E N p δ=⊂()(){}111,,i i mmmi p i p i i i i E E N p E N p p δδ====== .前已知(){},i i p i N p E p δ= .故{}1mi i E p == 为一有限集合，这与E 为有界无穷集矛盾.8. 证明nR 中任意非空开集的基数都是c .证明：∀开集n U R ⊂，显从nU R ⊂知n U R c ≤=.又存在一个点()00,0,,p U N x U δδ∈∃>⊂，()0,N x c δ=， 故()0,U N x c δ≥≥. 所以Berrstein 定理知U c =. 证毕9. 证明对任意nE R ⊂，E 都是nR 中包含E 的最小闭集.证明：任取n E R ⊂，设F 是包含E 的人一闭集，则E F ⊂，''E F ⇒⊂所以''E E EF F F =⊂= ，因为F 为闭集 所以''E F F ⊂=，所以E 是nR 中包含E 的最小闭集.10. 对于1R 定义的实函数()f x ，令()()()''''00,lim sup lim inf x x x x W f x f x f x δδδδ++→→-<-<=-. 证明：对任意的(){}0,;,x W f x εε>≥都是闭集.进而证明()f x 的全体不连续点作成一F δ集.证明：首先 ，当δ单调下降趋于0时，()''sup x x f x δ-<也单调下降趋于某极限（有限或无限）而()''inf x x f x δ-<单调上升地趋于某极限.故()()()''''00,lim sup lim inf x x x x W f x f x f x δδδδ++→→-<-<=-是有确切定义的（可为无限值） 先证明：()f x 在0x x =连续()0,0W f x ⇔=.证：先设()0,0W f x =，则()00,0εδε∀>∃>使00δδ<<时()()''''sup inf x x x x f x f x δδε-<-<-< 所以y ∀满足0y x δ-<时()()()()''''0sup inf x x x x f y f x f x f x δδε-<-<-≤-< 故f 在0x 处连续.反过来，若()f x 在0x x =处连续，则()0000,,0x εδδε∀>∃=>，当00y x δδ-<<时，()()0f y f x εε-<-<又()000,x δδδε∀<=，''''''00,,,y y y x y x δδδδδδ∃-<-<且()()()()'''''''sup ,inf x x x x f x f y f y f x δδδδεε-<-<-≤≤+ 所以()()()()'''00sup x x f x f x f y f x δδεε-<--≤-<()()()()''''00inf x x f x f x f x f y δδεε-<--+≤-< 不等式相加得()()()()''''''''00sup inf 220lim sup lim inf 4x x x x x x x x f x f x f x f x δδδδδδεεε++-<-<→→-<-<--≤≤-≤即()00,4,0W f x εε≤≤<任意. 所以()0,0W f x =为证(){}0;,x W f x ε≥为闭集，只用证(){}0;,x W f x ε<为开集.(){}00;,x x W f x ε∀∈<必有()0,W f x ε<所以存在()00,0x δδε=>使()00,δδ∀∈时，()()()()000sup inf ,2N x N x f f W N x δδδεδ-<()02y N x δ∀∈，由三角不等式，则()()02N y N x δδ⊂.故()()()02,,W f N y W f N x δδε⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以()()02,lim ,W f y W f N y δδε+→⎛⎫=< ⎪⎝⎭这说明()(){}02;,N x x W f x δε⊂<故(){};,x W f x ε<是开集，从而(){};,x W f x ε≥是闭集. 由于()f x 在x 不连续的充要条件是(),0W f x ≥.所以使x 不连续的点集为表为()11;,k F x W f x k ∞=⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭. 由于()1,;,k x W f x k ⎧⎫∀≥⎨⎬⎩⎭是闭集，故F 为一F δ集. 同时我们看出，全体使f 连续的点集是()11;,ck F x W f x k ∞=⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭这是一个G δ集合.推广：（1）对1:n f R R →有一样的结论，只不过在定义(),W f x 时，'x x-理解为nR 中的距离()';x x ρ，其它完全一样，因为三角不等式对().,.ρ成立，（2）若f 是nR 中的开集，G 到1R 的函数，则同样可定义()(),W f x x G ∀∈，因为当(){}0,;,,x x G W f x εε∀>∈<为开集，(){};,x G W f x ε∈≥为闭集.f 的不连续点集为()11;,k x G W f x k ∞=⎧⎫∈≥⎨⎬⎩⎭而f 的不连续点集为()11;,k x W f x k ∞=⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 11. 于nE R ⊂及实数α，定义()(){}1212,,;,,,nnE x x x x x x E αααα=∈ .证明当E 为开集，00,p E αα≠∀∈，则∃0E X ∈，使00p α=XE 开集，0E X ∈，故0δ∃>，使()0,N E δX ⊂.则∀()0,y N αδ∈X ，则yy αα=而0001yy y αδααδαααααX -X --=-X <=.故()0,yN E δα∈X ⊂从而yy E ααα=∈这表明()0,N E αδαX ∈，故E α为开集. 若E 为闭集，0α=，则(){}0,0,0E α=为单点集.当然是闭集，若0α≠，则0,n n p E p p α∈→，则0,,,nn n n n n p p E p p αα=X X ∈=X →表明 0nn p p αα=X →，而E 为闭集，0n p αX →，故np E α∈，从而0p p E ααα=∈.这说明()'E E αα⊂.从而得知E α为闭集.12. 设()f p 是定义于nR 上的实函数，证明()f p 在nR 上连续的充要条件是对于1R 中任何开集G .()(){}1;f G p f p G -∈ 都是 1R 中的开集.证明：设1:n f R R →连续，G 为任一1R 中开集.()10p f G -∀∈，则()0f p G ∈，由G 为开集知，0δ∃>，使()()0,N f p G ε⊂对上述()00,,0p εδδε>∃=>，使当()0,y N p δ∈时()()0f y f p ε-<故()()()0,f y N f p G ε∈⊂ 即()1y fG -∈.这说明()()10,N p f G δ-⊂故()1fG -为开集.现设对1R 中任意开集，()1,G fG -为开集，0,ε∀>()()0,N f p ε是1R 中的开集.故()()()10,f N f p ε-是开集，而()()()100,p f N f p ε-∈.故()()()()00,,f N p N f p δε⊂所以()()()()00,,,y N p f y N f p δε∀∈∈.()()0f y f p ε-<这说明f 在0p 连续 证毕13.nR 上的实函数()f P 称为是下半连续的，若对任意nP R ∈，都有()()()()()0,lim inf lim inf Q PP Q f P f Q f Q δρδ→→<≤ ，证明()f P 下半连续等价于对任意的实数(){},;P f P αα≤都是n R 中的闭集，也等价于(){};P f P α≤是n R 中的开集.现若f 下半连续，1R α∀∈，若(){}0;P P f P α∈>.则()()()()000lim inf N P f P f Q δδα→<≤∀()00022f P αεε-<<，()0,0p δδε∃=>使()()()00inf N P f P f Q δαε<-< 所以()0,y N P δ∀∈，有()()()()00inf N P f P f Q f y δαε<-<≤. 所以()(){}0,;N P P f P δα⊂>.故(){};P f P α>为开集.（从而(){};P f P α>为闭集）f 在n R 上下半连续，0,0nP R ε⇔∀∈∀>，()0,0p δδε∃=>.当()0,P N P δ∈时，()()0f P f P ε-<-. 反过来，若(){}1,;R x f x αα∀∈>为开集.则()(){}000,0,;n P R P x f x f P εε∀∈∀>∈>-由于()(){}0;P f P f P ε>-是开集.所以()0,0P δε∃>使()()(){}00,;P N P P f P f P δε∈⊂>-()0,Q N P δ∀∈有()()0f P f P ε>-，即f 在nR 上下连续，故一个等价性得证. 而f 在nR 上下连续(){}1,;R P f P αα⇔∀∈≤是闭集(){};P f P α⇔>是开集.下证(){}1,;R P f P αα∀∈≤()(){},;,nP y P R f P y ⇔∈≤为闭集.先设(){};P f P α≤为闭集，α任意. 所以()()(){},,;;nn n nnP y P y P R f P y ∀∈∈≤，00,n nP P yy →→.所以0,,N ε∀>∃当n N ≥时0n y y ε≤+. 故(){}0;n P P f P y ε∈≤+，这是闭集. 而(){}00;n P P P f P y ε→⇔≤+ 所以()00f P y ε≤+，()0ε∀>故()00f P y ≤. 这表明()()(){}00,,;;nP y P y P R f P y ∈∈≤是闭集.若()(){},;;nP y P R f P y ∈≤是闭集，而(){}0;,nnP P f P P P α∈≤→则()()(){},,;;nn P P y P R f P y α→∈≤，()()0,,n P P αα→.因为()(){},;;nP y P R f P y ∈≤为闭集，故()()(){}0,,;;nP P y P R f P y α∈∈≤所以()0f P α≤.这说明(){}0;P P f P α∈≤ 故(){};P f P α≤为闭集. 得证.14. 设,A B 是nR 中的有界闭集，01λ<<，证明()(){}121;,,,n A B x x x x λλ+- 有()()1212,,,,,,,n n y y y A z z z B ∈∈ ，使()1,1,2,i i i x y z iλλ=+-= 为有界闭集.举例说明当,A B 无界时，()1A B λλ+-可以不是闭集. 证明：,A B 有界，故存在 M 使,x A B x M ∀∈=特别地 i x M ≤.()1x A B λλ∀∈+-，有()1x A B λλ∀∈+-使 ()1i i i x y z λλ=+-，故()1x y z λλ=+-.故()()()111x y z y z M M M λλλλλλ∈+-≤+-≤+-=. 所以01λ≤≤时，()1A B λλ+-也有界.为证()1A B λλ+-为闭集，设()1n x A B λλ∈+-，0n x x →， 则,n n y A z B ∃∈∈使()1n n n x y z λλ=+-.由,A B 有界，()1n x A B λλ∈+-，,n n y A z B ∈∈，由聚点原理，n y ∃的子列k n y 使0k n y y →，{}k n z 有子列{}k ln z 使0k ln z z →，{}k l n x 有子列{}k li n x使()0k lin x x i →→∞从()1k k k lililin n n x y z λλ=+-所以()0001x y z λλ=+-，而,A B 为闭集，故00,y A z B ∈∈.从而有()01x A B λλ=+- 这说明()1A B λλ+-是闭集.若,A B 不全是有界闭集时，()1A B λλ+-可不为闭集，在2R 上考虑()()(){}11,;,0,,,0;1,2,A x y y R x y x B n n ⎧⎫=∈∈∞=⎨⎬⎩⎭=-= B 是全由孤立点组成的集合，显然为闭集，但无界.任取(),n n x y A ∈，若()()100,,n n x y x y R →∈，则00,x y 为有限数，故从01n ny y x =→知00x ≠ 所以00010,x y x >=这说明()00,x y A ∈，故A 为闭集合，显然0x +→时，1y x=→∞，故A 无界. 但1122A B +都不是闭集. 取()1,0,,n B n A n ⎛⎫-∈∈ ⎪⎝⎭则()111111,0,0,22222n p n n A B n n ⎛⎫⎛⎫=-+=∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然()0,0n p →，但()110,022A B ∉+. 因为若()110,022A B ∈+，则()0001,0,,n B x A x ⎛⎫∃-∈∈ ⎪⎝⎭使()()0001110,0,,022x n x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故00011,0x n x =≥=得矛盾 所以1122A B +不是闭集. P402. 证明区间[]0,1上的全体连续函数所作成的集合的基数是c ，同样[]0,1上的左连续的单调函数的全体所作成的集合的基数是c .证明：记[],a b 上的常数函数的集合为[],C a b ，因为[],a b 上的常数函数都是[],a b 上的连续函数，所以1R 与[],C a b 中的一个子集对等.所以[]10,1C R c ≥=，其次对每个[],C a b ϕ∈，我们取一个平面有理点集合2Q Q Q ⨯=中的一个子集对应，即作映射f 如下：()()[](){},;,,f s t Q Q s a b t s ϕϕ=∈⨯∈≤易知f 是从[],C a b 到2Q 的一个单设 若()()ff ϕψ=，则必有ϕψ=.事实上从()[](){}()[](){},;,,,;,,s t Q Q s a b t s s t Q Q s a b t s ϕψ∈⨯∈≤=∈⨯∈≤若ϕψ≠，则存在[]()()000,,x a b x x ϕψ∈≠. 不妨设()()00x x ϕψ<.则由,ϕψ连续和有理数的稠密性知，0δ∃>使()00,x x x δδ∀∈-+有()()x x ϕψ<. 特别，()00,r x x Q δδ∀∈-+ 有()()r r ϕψ<.取定一个()000,r x x Q δδ∈-+ ，任取一个t Q ∈，且()()00r t r ϕψ<< 则()()0,r t f ψ∈()()()200,r t Q t r ψ⇔∈≤且 但()()0,r t fϕ∉，这与()()f f ϕψ=矛盾.故ϕψ=于[],a b故[]2:,2Qf C a b 是单射而22,22Q N Q N .由习题第一章第二节有2Nc =知[]2,2Q C a b c ≤=，故由Berstein 定理知[],C a b c =.下证：[],a b 上全体单调函数所作成的集合的势是c .证明：[],a b ∀上的一个单调函数f 其间断点至多为可数个，记为()i a （i a 可为0）故可令()()i f a ϕ=从而建立了[],a b 上单调函数到全体实数序列的一个对应. 设[],a b 中全体有理数的集合为{}123,,,,n r r r r[],a b ∀上的单调函数，设其至多可列个间断点为{}()1,2,,n x n = f 或n=1,2,n对于这样一个()f x ，当=∞f n 时，令()()()()()()()()()111222,,,,,,,,,,n n n f f a f b x f x f r x f x f r x f x f r当<∞f n 时，令()()()()()()()()()111222,,,,,,,,,,f f fn n n f f a f b x f x f r x f x f r x f x f r若,f g 为[],a b 上两单调函数对应之f g =则f 与g 的间断点重合，在间断点的值也重合，在,a b 处的值也重合 下证[]()(),,x a b f x g x ∀∈=，从而上述对应是单射.由于()()()()()(),,n n f a g a f b g b f r g r ===且两函数的间断点重合，且在间断点的值相等，故两函数的连续点也重合，又注意两函数在有理点的值也重合， 故,f g ∀的共同连续点[]0,x a b ∈，必有[],a b 中的有理数0n r x → 故()()()()00lim lim n n n n f x f x g x g x →∞→∞===这说明f g =于[],a b .由此[],a b 上全体单调函数的集合的势≤（全体实数列的集合的势）c =另一方面，1c R ∀∈，另()f x c ≡于[],a b ，则f 是单调的，故[],a b 上全体单调函数的集合的势1R c ≥=由Berstein 定理知，可知[],a b 上全体单调函数的集合的势为c .当然[],a b 上全体左连续的单调函数的集合的势不大于[],a b 上全体单调函数所作成的集合的势.另一方面，1c R ∀∈，令()f x c ≡于[],a b 知，f 是连续的单调函数，故[],a b 上左连续的单调函数的集合的势不小于1R c =.从而由Berstein 定理知[],a b 上左连续的单调函数的集合的势为c .P42P25第四节习题1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,,n r r r r Q =. 则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1i i Q r ∞== 是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.这里用到：Baire 定理，设nE R ⊂是F δ集，即1k k E F ∞== .k F ()1,2,k = 是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点（最后再证之）反证设{};1,2,i Q r i == 为G δ集，即1i i Q G ∞== ，（i G 为开集，1,2,i = ）1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =ℵ.证明：任取1R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为12,,,,m x x x （可为有限）设1R 中的有理数为{}12,,,,,n Q r r r f =∀∈令 ()()()()()()()()(){}21111,,,,,,,,i i i i f x f x r f r x f x r f r R ϕ=⊂ .则()f ϕ为2R 中可数集.若,f g ∈ ，使()()f g ϕϕ=，则()()(),i i x f x f ϕ∀∈存在 ()()(),j j x g x g ϕ∈使()()()(),,i i j jx f x x g x =所以 () (),ijijx xf xg x ==， 从而()(),i i i x Q f r g r ∀∈=.f ∀的无理数间断点i x ，i x 也是g 的无理数间断点，且()()i i g x f x =.反过来也是的，g ∀的无理间断点，i x 也是f ，的无理数间断点，且()()i i g x f x =. 故()()f g ϕϕ=表明f 与g 在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值. 所以f g =于1R ，所以ϕ是11-的.利用下面结论：Claim ：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势. 知：c ≤ .另一方面()(){},0,1c c f x x c c ==+∈≤ 证毕.Lemma :设为,X Y 两集合，:X Y ϕ→是一个满射，则Y X ≤.即存在X 的一个子集,A A Y .证明：因为ϕ为满射，()(){}1,;,y Y y x x X x y ϕϕ-∀∈=∈=≠∅且,,y z Y y z ∈≠时必有()()11y z ϕϕ--=∅ .令(){}1;y y Y ϕ-Γ=∈，则由选择公理存在一个集合X ，它由Γ中每一个集合()1y ϕ-中恰取一个元素而形成，显 ,X X a X ⊂∀∈，存在唯一一个y Y ∈，使()1a y ϕ-∈.所以X 与Y 是对等的，故Y X ≤. 证毕.选择公理：若Γ是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合X ，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.2. 证明[]0,1上全体无理数所作成的集合不是F δ集.证明：设[]0,1上全体无理数所作成的集合是 ，则[]0,1Q =- ，（Q 为1R 上全体有理数的集合）若 为F δ集，则存在闭集,1,2,i F i = 使1i i F ∞== .所以[]10,1cc i i Q F ∞===为G δ集.[][]{}{}110,10,1i k i k Q F r ∞∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}k r ，i F 为闭集，{}k r 无内点. 1i i F ∞== 显为内点.所以i F 无内点.这说明[]0,1无内点（Baire 定理）得矛盾. 证毕.3. 证明不可能有在[]0,1上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数. 证明：若存在这样的[]0,1上的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续.()f x 的全体不连续点的集合为[]0,1上的全体无理数为 ，由本章第二节习题10结论知为F δ集，这于本节习题2的结论： 不是F δ集矛盾.故不存在这样的[]0,1上的函数.4. 证明1R 中全体开集构成一基数为c 的集合，从而1R 中全体闭集也构成一基数为c 的集合.证明：对任意的1R 上开集合，由开集的构造定理，存在{}{}1,,,i i R αβαβ∞∞∈∞-∞使得()()()1,,,i i i G αββα∞∞∞==-∞+∞ .下面建立1R 上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射I . 若1G R =，令()()0,0,,0,I G = .若1G R ≠，则()()()1,,,mi i i G αββα∞∞==-∞+∞ .令()()1122,,,,,,I G k k αβαβ∞∞= .这里k β∞∞=，若,0k β∞∞≠-∞=；若,k βα∞∞∞=-∞=；若,0k α∞∞≠+∞=；若α∞=+∞则这个映射I 是单射. 若112,G G R⊂()1212,GR G R ≠≠且()()12I G I G =.()()()()()()11''''21,,,,,,i i i i i i G G αββααββα∞∞∞=∞∞∞==-∞+∞=-∞+∞则'''',,,i i i i ααββααββ∞∞∞∞====. 故12G G =.又若()()0,0,0,I G = 则必有1G R =（否则()I G 至少有一个分量不等于零）.故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 令一方面，()1,,1a R a a ∀∈+是一开集，令11:IR R 上全体开集之集合， 则1c R ≤≤“1R 上全体开集之集的势”c ≤， 由Berstrein 定理，1R 上全体开集之集合的势为c . 证：记可数集(){}()()()(){}111,;,,,,,,mnmB x r x Q r QB x r B x r υ=∈∈= .显()(){}12:0,1,,,;01mm u a a aa ϕ∞→== 或()()()12,,,,,m B x r VU B x r a a a ⊂=()()()()1,0,m m m m cm B x r U a B x r U ⎧⊂⎪=⎨≠∅⎪⎩()()()()(),,,,n U V B x r U x r Q Q B x r V ϕϕ+=⇒⊂∈⨯⇔⊂所以U V =. ϕ为单射.所以{}(){}()0,1,;0,c B x r r R c υ∞+=≥≥∈=∞=. 由Berstein 定理c υ={}{}n c n F F R F F R c υ=⊂=⊂== 为闭集为闭集.故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 另一方面，()1,,1a R a a ∀∈+是一开集令11:IR R 上全体开集的集合 则1c R ≤≤“1R 上全体开集的集合的势”c ≤， 由Berstein 定理，1R 上全体开集的集合的势为c .P441.证明定理2：设E 是一点集，0,d U >是所有到E 的距离小于d 的点p 作成的点集，即(){};,U p p E d ρ=<，则U 是一开集，且U E ⊃.证明：p E ∀∈，显然(),0p E d ρ=<，故p U ⊂，从而U E ⊃. 下证U 为开集.p U ∀⊂，令(),d p E δρ=-，则0δ>，且()()(){},,,inf,;N P q E q y y E εδρρ∀∈=∈.取y E δ∈，使得()(),,2p y p E δδρρ<+.则()()()()(),,,,,22q E q y q p p y p E δδδδρρρρρ≤≤+<++()()(),,,p E d p E p E d δρρρ=+=-+=.故q U ∈，从而(),N P U δ⊂. 这就证明了U 为开集.2. 证明任何闭集都可表成可数多个开集的交.证明：设F 为任一闭集.,n N ∀由本节第一题知()1;,n U p d p F n ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭为开集， 且(),1,2,n F U n ⊂= ，从而有1n n F U ∞=⊂ .下证1n n F U ∞=⊂ ，这只用证1n n U F ∞=⊂ ，1n n p U ∞=∀∈ .反证设p F ∉则cp F ∈，故从F 为闭集知cF 为开集.故0δ∃>使(),c N P F δ⊂.从而有(),,q F d p q δ∀∈≥（否则(),d p q δ≥(),c q N P F δ⇒∈⊂c q F F ⇒∈=∅ 矛盾）这说明()(),inf ,q Fd p F d p q δ∈=≥.另一方面，1n n p U ∞=∈ 表明,n n p U ∀∈，从而有()1,p F nρ=. 令n →∞知(),0p F ρ=. 这与(),0d p F δ≥>矛盾. 所以p F ∈，从而1n n p U ∞=∈ 得证.3.举例说明定理1中的，,A B 都无界时，结论不成立. 解：令(){}(){}1,;0,,,0;xA x y x y eB x x R -=≥==∈.则B 显然是闭集。

第二章点集（总授课时数 8学时)教学目的：欧氏空间n R上的测度与积分是本课程的主要研究对象。

本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念。

通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集，闭集和Borel集，Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础。

本章要点由n R上的距离给出邻域，内点，聚点的定义,从而给出开集，闭集的定义.由开集生成一个σ-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质。

应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观，可以帮助理解本节的内容。

本章难点Borel集、Cantor 集的性质。

授课时数8学时————-—---———————-——-——-—-—————本章先介绍n R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集,并讨论了开集与闭集的性质及其构造。

最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.§1 度量空间，n维欧氏空间教学目的1、深刻理解n R中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用。

2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念。

本节难点度量空间的概念。

授课时数2学时——-———————————————-—————-——--—一、度量空间⨯→为一映射，且满足定义1：设X为一非空集合,d:X X R（1）(,)0d x y ≥,(,)0d x y x y =⇔= (正定性） （2）(,)(,)d x y d y x = （对称性)（3)(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式) 则称(,)X d 为度量空间。

例1：（1） 欧氏空间(,)nR d ,其中(,)d x y =（2） 离散空间(,)X d ，其中1(,)0x yd x y x y ≠⎧=⎨=⎩（3） [],a b C 空间（[],a b C 表示闭区间[],a b 上实值连续函数全体）， 其中(,)max |()()|a t bd x y x t y t ≤≤=-二、 邻域定义2： 称集合0{|(,)}P d P P δ<为0P 的δ邻域，并记为0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心,δ称为邻域的半径。