27.2.3 相似三角形应用举例（1课时）
实验中学刘柏槐
一、内容和内容解析
（一）内容
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度或高度．
（二）内容解析
解决不能直接测量某物其长度或高度的问题，通常是利用可测物的高度或宽度来表示不可测物的高度与长度．我们曾利用全等三角形的知识解决过有关问题，但要测一些大型建筑物的高度或宽度，用全等三角形的知识就不大方便．
相似三角形的对应边成比例，反映的是线段间的一种等量关系，利用相似三角形的性质可以有效地解决不便直接测某物其长度或高度的问题．要利用相似三角形的知识解决这类问题，就要设法构建一对相似三角形，且使构建的相似三角形模型中有表示测物长度或高度的线段及部分可测大小的线段．
基于上述分析，可以确定本节课的教学重点是：把实际问题转化成相似三角形模型的构
建与应用．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．体会数学建模思想．
2．构建相似三角形模型解决简单实际问题．
（二）目标解析
1．“寻模——建模——用模”是应用数学知识解决实际问题的常用思路，在解决数学问
题时，首先在题设中寻求适合解决问题的模型，如果没有现成的模型可用，则要根据实际情况构建相应模型，然后使用该模型的相关性质解决问题．
2．会根据实际情况用建模思想构建相应的相似三角形模型，能运用相似三角形的知识
解决有关线段度量的简单问题．
三、教学问题诊断分析
学生有过用所学知识解决不能直接测量某物其长度或高度的问题的体验，但用全等三角形的知识测一些大型建筑物的高度或宽度（如测金字塔的高度），有些不切实际．解决这类问题需构建两个相似三角形，并要测量出其中相应某些边的长度值，最后利用相似三角形的性质求出对应的待测物的边长，其间就是借助成比例的线段中的已知线段求出未知线段；相似三角形的构建及获取相应的某些线段的长度值，学生往往难以做到．
本节课的教学难点是：相似三角形模型的构建与相关线段长度值的获取．
四、教学支持条件分析
flash软件，几何画板．
五、教学过程设计
（一）复旧引新
师生活动：教师利用多媒体课件出示：
（1）怎样判断两个三角形相似？
（2）相似三角形的性质有哪些？
（3）怎样作一个三角形与已知三角形相似？
设计意图：复习相似三角形的判定与性质一方面巩固了旧知识，另一方面便于学生找出实际问题中的相似三角形模型，有利于学生使用性质解决相关问题．特别是问题（3），它是构建一个三角形与已知三角形相似模型的依据．
师生活动：教师利用多媒体课件展示金字塔图片并播放下列文字录音：
你知道埃及金字塔的故事吗?神秘的金字塔引来无数游客观光旅游．
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
设计意图：通过展示图片与叙说历史故事，让学生感悟人类的智慧与勤劳，引发学生对知识的向往和对科学家的崇拜，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，有利于引入新课，利用课件辅助教学可以提高课堂效率．
（二）例题解析 课件展示：
同学们有过测量某物高度的体验吗？你有什么方法测量金字塔的高度？ 师生活动：
大家曾利用全等三角形的知识解决过不知某物其高或长的问题：先作一个三角形使待测物的高或长是该三角形的一边，再构建一个三角形（这个三角形的三边都可知）与含有待测边的三角形全等，然后利用全等三角形的对应边相等求出待测物的长或高．
能否用全等三角形知识测金字塔的高呢？
设计意图：解题就是利用解过的题解决新问题．如果以往的方法不能解决眼下的问题，则要进行重新联想与创新；此时若用全等知识解决，势必要构建一对巨大的全等三角形，这不切实际．问题促使学生自主改变思路，调整思考方向，有利于提高学生的思维能力！
学生思考，教师关注学生的方案，随后展示教材上的测高方法：
例４：据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图27.2—15木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO .
E
B
怎样测出OA
的长？
解：太阳光是平行光线，因此
∠BAO ＝∠EDF ．
又∠BOA ＝∠EFD ＝90°， ∴ △ABO ∽△DEF ． ∴
BO OA EF FD
＝， ∴ BO ＝
FD EF OA ⋅＝2012
3
⨯＝134（m ） 因此金字塔的高度为134 m
设计意图：通过对例题的分析，让学生知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造实物所在三角形及与实物所在的三角形相似的三角形，而且在构建的三角形中要能测量出相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式求解；此时相似三角形的构建是利用了在同一时刻、同一地点的太阳光线下物高与其影长的比是一个定值这个事实，解决好实际问题需要的不仅仅是书本上的知识，重要的是生活中的隐形知识；解决问题的关键是金字塔的高线BO 所在的三角形中的OA 的长怎样测量，让学生思索，再加以引导．使学生积极参与多解的探索，提高分析问题的能力，体验成功的愉悦．
课件演示：
如右图，为了估算河的宽度，我们可以怎样做？ 让学生思考，交流各自的想法后出示教材上的例题：
例5 如图27.2—16 ，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ ． 分析：按照例5中的方案请思考：
（1）直线QR 与ST 有什么位置关系，为什么？ （2）图中是否有相似三角形？哪两个三角形相似？ （3）怎样求PQ ？
师生共同分析后，由学生独立完成，其间教师要关注学生能否准确快速证出两三角形相似；由相似得到的比例式能否解决问题；学生书写是否规范.
解：∵∠PQR ＝∠PST =90°，∠P ＝∠P ，
∴△PQR ∽△PST ．
∴ST
QR PS PQ =， 图27.2-16
T
a
R
b
S
Q P
