《函数的零点》课堂教学设计
一．教学内容
本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。
1．知识背景
2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想通
过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容
《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步
探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标
知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在
研究和解决问题过程的一般思维方法。
（2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的
关系，掌握零点存在的判定条件。
（3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。
情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想,
理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。
三．教学重点
重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点．
具体流程设计
一、创设情境
画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x 的根的关系。
[师生互动]
师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。
x
y
O
x
O
x
y
O
生：独立画图，独立思考。
设计意图：通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。
再次利用《几何画板》绘制函数122+-=x x y 、223y x x =-+的图像，并观察它们的图像与对应的一元二次方程2210x x -+=、223=0x x -+的根的关系。
[师生互动]
师：引出零点的概念，将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 生：完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
设计意图：利用《几何画板》的帮助，使学生的认知起点与新知识平顺对接，形成零点概念的初步认识。几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，
为学生
归纳方程与函数的关系铺好了台阶。
二、组织探究
对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点(zero point)． 函数零点的意义：
函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
[师生互动]
师：引导学生仔细体会理解零点的概念，进而感悟其中的思想方法
生：结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点的意义探索其求法．
设计意图：通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识
三、意义构建
函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． [师生互动]
师：引导学生就将由图象得到的概念进一步深化，得到函数零点的求法。 生：得到函数零点的求解方法，第一:代数法,即求解函数对应的方程；
第二：几何法，画出函数图像，找出零点。
设计意图：深刻认识图象与函数性质的关系，并掌握用几何法求函数的零点。 二次函数()20y ax bx c a =++≠零点个数的判定方法：
判别式
一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠ 二次函数
()20y ax bx c a =++≠
240b ac =-> 有两个不相等的实根 有两个零点
240b ac =-=
有两个相等的实根（重
根） 有一个二重的零点或有二阶零点
240b ac =-<
没有实根
没有零点 [师生互动]
师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．
生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析 ，总结概括形成结论，并进行交流。
设计意图：让学生对特殊的函数零点产生直观认识，深化零点概念
四、探索研究
（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象
①在区间[3,1]-上有零点______；(3)f -=______，=)1(f _______,()(3)1f f -⋅_____0（>或<）
． ②在区间[2,4]上有零点______；)2(f ·(5)f ____0（>或<）． 结论：二次函数零点的性质 （1）当函数的图象通过零点时（不是二重零点）函数的值变号. （2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象
①在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)
(b f _____0（>或<）．
②在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（>或<）． ③在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（>或<）.
结论：零点存在性定理 如果函数()y f x =在区
间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<，
那么，函数()y f x =在区间(),a b 内至少存在一个零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.
注意：（1）此性质成立的前提：函数图象是连续不间断的一条曲线；
（2）零点c 并不一定是唯一的，但一定存在；
（3）()()0>•b f a f 是函数)(x f y =在区间()b a ,内有零点的充分条件。但是若函数
)(x f y =是一次、二次函数时，则()()0>•b f a f 是函数)(x f y =在区间()b a ,内有
x
y
O x
y
O a b
c d
