特殊平行四边形的判定路线图
特殊平行四边形的判定是每年中考热点.一般来说，首先判定四边形是平行四边形，再结合其边、角、对角线等的特殊性加以证明.为了帮助同学们更好地把握这类问题，本文将处理这类问题的一般思路以流程图的形式加以总结，并通过例题加以分析，供同学们参考. 一、矩形的判定
例1如图1，将□ABCD 的边DC 延长到点
E ，使
CE=DC ，连接AE
，交BC 于点F ．若∠AFC=2
∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．
分析：先证明四边形ABEC 是平行四边形，再证明对角线相等.
证明：∵AB=EC ，AB ∥EC ，
∴四边形ABEC 是平行四边形． ∴AF=EF ，BF=CF ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠D ， 又∵∠AFC=2∠D ，
∴∠AFC=2∠ABC ．
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF ， ∴∠ABF=∠BAF ． ∴FA=FB ．
∴FA=FE=FB=FC ， ∴AE=BC ．
∴口ABEC 是矩形．
点评：本题也通过有一个角是直角的四边形是矩形来证明，请读者思考. 二、菱形的判定 例2如图2，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连结EC.当∠BAC=Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形. 分析：本题可先证明四边形ADCE 是平行四边形，再证明一组邻边相等.
证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ， ∴四边形ABDE 是平行四边形，
B D
E 图1 图2
A
B
C
D E O
∴AE∥BD，且AE=BD，
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴AE∥CD，且AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD=CE.
∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD，
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形.
点评：本题思路不唯一，还可通过对角线互相垂直证明，也可根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据“四条边相等的四边形是菱形”证明.请读者思考.
三、正方形的判定
一般是证明其既是矩形又是菱形即可，可用下面的流程图来体现：
例3例3 如图，在矩形ABCD中，AF、BE、
CE、DF
分别是矩形的四个角的角平分线，E
、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．
图3
分析：首先根据已知条件证明四边形EMFN是矩形，再根据正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形即证明FM=EM即可．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴四个内角均为90°，
∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴∠E=90°，
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，
∴四边形MFNE为矩形，
∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，
∴△DAF≌△CBE（AAS）
∴AF=BE，
∵AM=BM，
∴AF-AM=BE-BM，即FM=EM，
∴四边形MFNE是正方形．
点评：解答本题的关键在于发现并证明图中的等腰直角三角形，再结合正方形的判定的方法加以证明.
