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离散数学(2.2命题函数与谓词)

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离散数学第二章

离散数学第二章

P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
32
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
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§2.1.1 谓词与个体

在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则

《应用离散数学》谓词公式及其解释

《应用离散数学》谓词公式及其解释

§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

（1）))()((y x Q x P x ，→∀（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。

（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。

（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。

2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。

（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。

（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。

离散数学第2章 谓词逻辑

离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学 谓词逻辑

离散数学 谓词逻辑

例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。

离散数学-2-2 命题函数与量词

离散数学-2-2 命题函数与量词
第二章谓词逻辑
2-2 命题函数与量词 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
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一、命题函数
与命题逻辑中命题常量和命题变元的概念 类似，代表个体的个体标识符也可以表示 客体（个体常量） 客体变元 个体变元） 客体变元（ 客体（个体常量）或客体变元（个体变元）
表示具体或特定个体的标识符称作个体常元 个体常元， 个体常元 一般用小写英文字母a、b、c、…或这些英文字 母带下标表示。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为 个体变元，常表示为x、y、z、…等或这些英文 个体变元 字母带下标。
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三、量词
例：用谓词表达式写出下列命题。
（1）爱美之心人皆有之。设F(x):x为人，G(x):x爱美。 为人， 爱美。 为人 爱美 （2）有人爱发脾气。设F(x):x为人，G(x):x爱发脾气。 为人， 爱发脾气。 为人 爱发脾气 （3）说所有人都爱吃面包是不对的。
F(x)：x为人，G(x):x爱吃面包 ： 为人 为人， 爱吃面包
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三、量词
⑵ 存在量词 “存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”等 词统称为存在量词 存在量词，将它们符号化为“∃”。并用(∃x)， 存在量词 (∃y)等表示个体域里有些个体，而用(∃x)F(x)和(∃y)G(y) 等分别表示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具 有性质G。 例 (a)存在一个数是质数。 (b)一些人是聪明的。 (c)有些人早饭吃面包。 设P(x)：x是质数。 M(x): x是人。 E(x): x早饭吃面包。 则 (a)记为(∃x)(P(x)) (b)记为(∃x)(M(x)∧R(x)) (c) 记为(∃x)(M(x)∧E(x))
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二、பைடு நூலகம்体域
例5 (P(x,y) ∧ P(y,z)) → P(x,z)

离散数学作业册

离散数学作业册

离散数学作业册第一章命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！ ( ) 其真值( )(6)5x=． ( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人． ( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q→R∧S). ( )(2)((R→(Q→R)→(P→Q)). ( )(3) (P∨QR)→S. ( )(4)((?P→Q)→(Q→P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)?(P∨?Q).(2)?P→(Q→P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧?(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)?T.(2)P→(Q∧R)?(P→Q)∧(P→R).(3)?(P∨Q)∨(?P∧Q)??P．1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)．(2) (P→Q)→Q?P∨Q．(3)?(P↓Q)??P↑?Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{?，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若A∧C?B∧C，则A?B．(2)若?A??B，则A?B．(3)若A→C?B→C，则A?B．1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)?(P∧Q)∧(?P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)(?(P→Q)∧Q)∨R．(3)(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)?P→(Q∧R)(2) ┑(P?Q)?(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R?┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S?R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S?P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S?R∨S第二章谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语．(1)?x(E(x)∧D(x ，6))．(2)?x(O(x)→?y(P(x)→?D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域．(1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ?∧→?∨．(2)?x(P(x ，y)∨Q(z))∧?y(R(x ，y)→ ?zQ(z))．4.设个体域为A ＝{a ，b ，c}，消去公式?xP(x)∧?xQ(x)中的量词．2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（?x A(x)→B）?(?x(A(x)→B))．(2)（?x A(x)→B）??x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)?x（（┑?yP(x,y)）→(?zQ(z)→R(x))）．(2)?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))．2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。

离散数学第二章谓词逻辑

一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).

离散数学(2.3谓词公式与翻译)

离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
8
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &

离散数学 谓词逻辑

中原子谓词公式，简称原子公式。 下面，由原子公式出发，给出Lp中的合式 谓词公式的归纳定义。
定义2.2.3 合式谓词公式当且仅当由下列规 则形成的符号串 ① 原子公式是合式谓词公式； ② 若A是合式谓词公式，则(A)是合式谓 词公式； ③ 若A，B是合式谓词公式，则(A∧B)， (A∨B)，(A→B)和(AB)都是合式谓词公式； ④ 若A是合式谓词公式，x是个体变元，则 (x)A、(x)A都是合式谓词公式； ⑤ 仅有有限项次使用①、②、③和④形成 的才是合式谓词公式。
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二 元谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。
零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统
一。
n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用 特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命 题。但个体变元在哪些论域取特定的值，对命 题的真值极有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为 某大学的计算机系中的全体同学，则S(x)是真 的；若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是 假的；若x的论域是某剧场中的观众，且观众中 有大学生也有非大学生的其它观众，则S(x)是 真值是不确定的。
④ 有的自然数是素数。
解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国，
N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有
远大理想，P(x)：x是素数。
则例中各命题分别表示为：
①(x)(S(x)L(x))
③(x)(S(x)I(x))
②(x)(N(x)R(x))
④(x)(N(x)P(x))
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后 跟条件式，存在量词(x)后跟合取式。 ④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
例2.2.2 将命题“没有最大的自然数”符号 化。 解 命题中“没有最大的”显然是对所有的 自然数而言，所以可理解为“对所有的x，如果 x 是自然数，则一定还有比 x 大的自然数”，再 具体点，即“对所有的 x 如果 x 是自然数，则一 定存在 y ， y 也是自然数，并且 y 比 x 大”。令 N(x):x 是自然数， G(x,y):x 大于 y ，则原命题表 示为：(x)(N(x)(y)(N(y)G(y,x)))。

左孝凌离散数学课件2.1谓词概念与表示-2.2命题函数与量词


①若x，y，z ∈ R（实数），且P(x,y)：x小于y，则这个式子表 示“若x小于y且y小于z，则x小于z”。这是一永真式。
②若 x，y，z ∈人，且P(x,y)解释为：x为y的儿子，则这个式 子表示“若x为y的儿子且y是z的儿子则x是z的儿子”。这是一 个永假式。
③若x，y，z ∈地面上的房子，且P(x,y)：x距离y 10米，则这 个式子表示“x距离y10米且y距离z10米则x距离z10米”。这 个命题的真值将由x，y，z的具体位置而定，它可能为T， 也可能为F。
的取值范围有关。
2.2命题函数与量词
三、量词 • 量词：全称量词()和存在量词() 1.全称量词：用来表达“一切”、“所有”、“凡”、
“每一个”、“任意”等词，用符号“” 表示，
– ｘ表示对个体域里的所有个体 – ｘＦ(ｘ)表示个体域里的所有个体具有性质F. – 符号“”称为存在量词.
15
2.2命题函数与量词
18
2.2命题函数与量词
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为
x(M(x) ∧ G(x))
19
2.2命题函数与量词
三、量词
2.1谓词的概念与表示
一、基本概念
1. 客体 2. 谓词 3. 表示方法：谓词用大写字母，客体用小写字母 例1、采用谓词表示下列命题
1) 地球绕着太阳转； 2）济南位于北京与南京之间； 3）张三是大学生，李四是工人 解：1）设：L:……绕着……转，a：地球；b：太阳
即，L(a，b) 2）设：L：…位于…与…之间，a：济南；b：北京；c：南京
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Quantifiers)
• 2.2.1 命题函数 (Propositional functions) • 2.2.2 量词(Quantifiers)
3
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
• 2.2.1 命题函数 (Propositional functions)
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
6
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 解:(1) 设F(x): x是素数. G(x): x是偶数. 则命题符号化为： F(2)∧G(2) (2) 设L(x,y) ：x大于y. 则命题符号化为： L(2,3) L(2,4) (3) 设 H(x,y): x比y高. a:张明 b:李民 c：赵亮 则命题符号化为： H(a,b)∧H(b ,c)H(a,c) 注意:命题函数中,客体变元在哪些范围内取特定的值,对 命题的真值极有影响.
12
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers) 2.存在量词(The Existential Quantifiers) 对日常语言中的“有一个”、“有的”、“存在着”、“至 少 有一个”、 “存在一些”等词，用符号“” 表示， ｘ 表 示存在个体域里的个体， ｘＦ(ｘ)表示存在个体域里 的个体具有性质F.符号“”称为存在量词. 例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）一些数是有理数。 （2）有些人活百岁以上。
4
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题.只有用 特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成为命题。我 们称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。一般地我们 有 • 定义2.2.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表达式 H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数. • 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题函数.当 n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题函数不是命题; 特殊情况0元谓词就变成一个命题.
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示客体名称张明, b表示 客 体名称李华,c表示客体名称这只老虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命题, 但它们有一个共同的形式,即 H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示 抽象的或泛指的客体，称为客体变元，常用小写英文字 母 x,y,z, …表示。相应地，表示具体或特定的客体的词称为 客体常项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。 同理，客体变元x，y具有关系L，记作L(x,y);客体变元 x,y,z具有关系A，记作A(x,y,z).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
•
复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及逻辑联 结词组合而成的表达式. 例1:若x的学习好,则x的工作好 设S(x):x学习好；W(x):x工作好 则有S(x) W(x) 例2:将下列命题用0元谓词符号化. (1) 2是素数且是偶数. (2) 如果2大于3,则2大于4. (3) 如果张明比李民高, 李民比赵亮高,则张明比赵亮高.
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
（ 3 ）约定以后如不指定个体域，默认为全总个 体域。对每个客体变元的变化范围,用特性谓词 加以限制. 特性谓词:限定客体变元变化范围的谓词(如例3中 的M（x）). 一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前 件，如（x）(M(x) F(x))；对存在量词，特 性 谓词常作合取项，如（ x）(M(x)∧ G(x)).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量 词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和 存在量词及量化命题的符号化。 作业：P59 （2）单数
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
例3：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡是人都呼吸。 （2）每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 解: (1) 当个体域为人类集合时： 令F(x): x呼吸。则（1）符号化为xF(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（1）符号化为
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 2.2.2 量词(Quantifiers)
• 量词：分为全称量词()和存在量词() 1.全称量词(The Universal Quantifiers) 对日常语言中的“一切”、“所有”、“凡”、“每 一 个”、“任意”等词，用符号“” 表示， ｘ表示 对个体域里的所有个体， ｘＦ(ｘ)表示个体域 里的所有个体具有性质F.符号“”称为全称量词.
Quantifiers)
（x）(M(x) F(x))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x)) （3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x)) （4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
• 若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,
则这个式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于 z” 。这是一个永真式。 如果H(x,y)解释为: “x是y的儿子”, 当x,y,z都指人 时，则这个式子表示“若x为y的儿子 且y 是z的儿 子，则x是z的儿子” 。这是一个永假式。 如果H(x,y)解释为: “x距y10米”, 当x,y,z为平面上 的点，则这个式子表示“若x距y10米且y距z10米， 则x距z10米” 。这个命题的真值将由x,y,z的具体 位置而定，它可能是1，也可能是0。
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
意 谓词A(x),有
Quantifiers)
(x) A(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) （x）A(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
例6：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 （3）没有人登上过木星。 （ 4 ）清华大学的学生未必都是高素质的。 解：令 M(x): x是人。（特性谓词） （1） 令F(x): x长头发。则符号化为：
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 在命题函数中，客体变元的取值范围称为 个体域，又称之为论域。个体域可以是有 限事物的集合，也可以是无限事物的集合。 • 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体 域称为全总个体域。
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为 x(M(x)
∧ G(x))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
有时需要同时使用多个量词。 例5. 命题“对任意的x,存在y, 使得x+y=5”, 取个体域为 实 数集合,则该命题符号化为: x y H(x,y). 其中H(x,y): x+y=5. 这是个真命题. 3. 使用量词时应注意的问题 （1 ）在不同的个体域，同一命题的符号化形式可能相 同也可能不同。 （2 ）在不同的个体域，同一命题的真值可能相同也可 能不同。 ( 如 ,R(x) 表示 x 为大学生。如果个体域为大 学里的某个班级的学生，则 x R(x)为真；若个体域 为中学里的某个班级的学生，则x R（x）为假.).
离散数学(Discrete Mathematics)
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