2012～2013学年下学期高一数学《暑假作业》(共21页)

瓦房店市高级中学2012—2013学年度暑假作业高一数学试题（五）命题人：刘正吉一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝Ø 2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝A ．－45B ．－35 C.35 D.454．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin(2x ＋π6)D ．y ＝sin (x 2＋π6)5．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32C ．2D ．3 6．函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)的一条对称轴为( )A ．x ＝π3B ．x ＝π6C ．x ＝－π3D ．x ＝－5π67.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1，π3B ．1，－π3C ．2，π3D ．2，－π38．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cos π3t ＋10C ．h ＝－8sin π6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋109．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－610．甲船在岛A 的正南B 处，以4km/h 的速度向正北航行，AB ＝10km ，同时乙船自岛A 出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 min B.157h C ．21.5 min D ．2.15 h 11．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形12．已知函数f (x )＝si n(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p∥q ，则角A 的大小为________．14．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝________.15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ， 则BD ＝________. 16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }．③同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点． ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像．⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos(2A ＋π4)的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π2－2x )．求：(1)f (π4)的值；(2)f (x )的最小正周期和最小值；(3)f (x )的单调递增区间．19．(本小题满分12分)如图(a)，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b)所示，θ＝π6，求塔顶E 到公路的距离．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．22．(本小题满分12分)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边终过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12，32)，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．参考答案（五） 一、AABBBCD DDAABC二、13． 30° 14． 2012 15． 2＋ 5 16．①④ 三、17．解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13. (2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A＝2sin A cos A ＝429.所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝(－79)×22－429×22＝－8＋7218.18．解析 (1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π4)＝2×22×22＋0＝1.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋22cos2x )＝2(sin2x cos π4＋cos2x sin π4)＝2sin(2x ＋π4) 所以最小正周期为π，最小值为－ 2.(3)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．19．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝α，由正弦定理得OA ＝aπ－ββ－φ＝a sin ββ－φ；第二步：求OE ，在Rt△EOA 中，∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝a sin βtan θβ－φ.(2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π6，则OE ＝3sin π3tanπ6π3－π6＝3，过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π6，则OB ＝AB ＝a ＝3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，则OF ＝OB sin π3＝3×32＝32，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝32＋322＝212. 20．解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．解 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8.又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16.∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3. (2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1.∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得错误!于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.。

必修1综合测试题参考答案一、选择题：1．B 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 9．D 10．D 11．C 12．D 二、填空题： 13． (]6,8- 14.31 15.9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或 16.21>a三、解答题17．（1）Φ∈a ；（2）{}3≤a a18．解：（1）最大值 37, 最小值1； (2)a 5≥或a 5-≤19．解：（1）()()f x f x -=-，奇函数 （2）设1212)()(,121)(,,,21122121+-+=-+-=<x x x a a x x f a x f x x x x )(,0)1)(1()(22112x f a a a a x x x x ∴>++-=是增函数20．解：（1）()().011,011,011<-+<-+∴>-+x x x x x x 即()()11,11，x f x -∴<<-∴的定义域为（2）证明：()()()x f xxx x x x x f x x x f aa a a -=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=-∴-+=-11log 11log 11log ,11log 1()x f ∴为奇函数.（3）解:当a>1时, ()x f >0,则111>-+x x ，则012,0111<-<+-+x xx x ()10,012<<∴<-∴x x x因此当a>1时,使()0>x f 的x 的取值范围为（0,1）.10<<a 当时, ()1110,0<-+<>xxx f 则则110,110,1xxx x +⎧+>⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩解得01<<-x 因此10<<a 当时, 使()0>x f 的x 的取值范围为（-1,0）.21．解：（1）sin cos )04x x x π+=+>224k x k ππππ⇒<+<+32244k x k ππππ⇒-<<+,所以定义域为322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭（2）是周期函数，最小正周期为221T ππ==（3）令sin cos )4u x x x π=+=+，又2log y u =为增函数，故求u 的递减区间，所以35222224244k x k k x k πππππππππ+<+<+⇒+<<+又32244k x k ππππ⇒-<<+，所以单调递减区间为：Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++432,42ππππ22.由已知得434)3(030≤<∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->x x x x x必修4综合测试题参考答案一、选择题1． C 2. D 3．B 4、B 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C . 10、D 11、A 12、D 二、填空题 13、31，9714、12 15．－8 16． ④②或②⑥ 三、解答题17. 17.（1）21， （2）27或-2 18. 解：∵434π<α<π∴π<α+π<π42 又53)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π∵40π<β< ∴π<β+π<π4343 又135)43sin(=β+π∴1312)43cos(-=β+π∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]43()4sin[(β+π+α+π-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= 19.解：（Ⅰ）由b a ⊥，得0=⋅b a ，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ．…………4分则02cos =x ，得)(4π2πZ ∈+=k k x ．…………………………………5分∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，4π2π|为所求．…………………………………6分 （Ⅱ）+-=-22)323(cos ||x c a =+2)123(sin x )3π23sin(45-+x ，……………10分所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………12分20.解：（I ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(22-=--=-+==)42sin(2π-x ………………………………………………5分所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分R ，所以当∈+=+=-k k x k x (83,2242πππππ即Z ）时，)(x f 的最大值为2.即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,83|{ππZ }……………………8分（II ）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点）1．最小值2)83(=πf ， 最小值2)87(-=πf .………………10分2．增区间];,87[],83,0[πππ减区间]87,83[ππ……………………12分3．图象上的特殊点：（0，－1），（1,4π），（1,2π），)1,(),1,43(--ππ………14分[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]21.解：（1）A 、B 、C 三点共线知存在实数)1(,λλλ-+=使 即1()(1)3a b a tb λλ+=+-，…………………………………………………4分则21,31==t 实数λ………………………………………………………………6分 （2）1||||cos120,2a b a b ⋅=⋅=-22222||21,a xb a x b x a b x x ∴-=+⋅-⋅⋅=++……………………………9分当1,||2x a xb =--时12分 22.解：(1)∵=(cosα-3,sinα)，=(cosα,sinα-3),∴||=αααcos 610sin )3(cos 22-=+-,||=αααsin 610)3(sin cos 22-=-+.由||=||得sinα=cosα.又∵α∈(2π,23π)，∴α=45π.(2)由·=-1得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=32. 又ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++=2sinαcosα.由①式两边平方得1+2sinαcosα=94,∴2sinαcosα=95-.∴95tan 12sin sin 22-=++ααα。

必修1综合测试题参考答案一、选择题：1．B 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 9．D 10．D 11．C 12．D 二、填空题： 13． (]6,8- 14.31 15.9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或 16.21>a三、解答题17．（1）Φ∈a ；（2）{}3≤a a18．解：（1）最大值 37, 最小值1； (2)a 5≥或a 5-≤19．解：（1）()()f x f x -=-，奇函数 （2）设1212)()(,121)(,,,21122121+-+=-+-=<x x x a a x x f a x f x x x x )(,0)1)(1()(22112x f a a a a x x x x ∴>++-=是增函数20．解：（1）()().011,011,011<-+<-+∴>-+x x x x x x 即()()11,11，x f x -∴<<-∴的定义域为（2）证明：()()()x f xxx x x x x f x x x f aa a a -=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=-∴-+=-11log 11log 11log ,11log 1()x f ∴为奇函数.（3）解:当a>1时, ()x f >0,则111>-+x x ，则012,0111<-<+-+x xx x ()10,012<<∴<-∴x x x因此当a>1时,使()0>x f 的x 的取值范围为（0,1）.10<<a 当时, ()1110,0<-+<>xxx f 则则110,110,1xxx x +⎧+>⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩解得01<<-x因此10<<a 当时, 使()0>x f 的x 的取值范围为（-1,0）.21．解：（1）sin cos )04x x x π+=+>224k x k ππππ⇒<+<+32244k x k ππππ⇒-<<+,所以定义域为322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭（2）是周期函数，最小正周期为221T ππ==（3）令sin cos )4u x x x π=+=+，又2log y u =为增函数，故求u 的递减区间，所以35222224244k x k k x k πππππππππ+<+<+⇒+<<+又32244k x k ππππ⇒-<<+，所以单调递减区间为：Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++432,42ππππ22.由已知得434)3(030≤<∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->x x x x x必修4综合测试题参考答案一、选择题1． C 2. D 3．B 4、B 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C . 10、D 11、A 12、D 二、填空题 13、31，9714、12 15．－8 16． ④②或②⑥ 三、解答题17. 17.（1）21， （2）27或-2 18. 解：∵434π<α<π∴π<α+π<π42 又53)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π∵40π<β< ∴π<β+π<π4343 又135)43sin(=β+π∴1312)43cos(-=β+π∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]43()4sin[(β+π+α+π-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= 19.解：（Ⅰ）由b a ⊥，得0=⋅b a ，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ．…………4分则02cos =x ，得)(4π2πZ ∈+=k k x ．…………………………………5分∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，4π2π|为所求．…………………………………6分 （Ⅱ）+-=-22)323(cos ||x c a =+2)123(sin x )3π23sin(45-+x ，……………10分所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………12分20.解：（I ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(22-=--=-+==)42sin(2π-x ………………………………………………5分所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分R ，所以当∈+=+=-k k x k x (83,2242πππππ即Z ）时，)(x f 的最大值为2.即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,83|{ππZ }……………………8分（II ）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点）1．最小值2)83(=πf ， 最小值2)87(-=πf .………………10分2．增区间];,87[],83,0[πππ减区间]87,83[ππ……………………12分3．图象上的特殊点：（0，－1），（1,4π），（1,2π），)1,(),1,43(--ππ………14分[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]21.解：（1）A 、B 、C 三点共线知存在实数)1(,λλλ-+=使 即1()(1)3a b a tb λλ+=+-，…………………………………………………4分则21,31==t 实数λ………………………………………………………………6分 （2）1||||cos120,2a b a b ⋅=⋅=-22222||21,a xb a x b x a b x x ∴-=+⋅-⋅⋅=++……………………………9分当1,||2x a xb =--时12分 22.解：(1)∵=(cosα-3,sinα)，=(cosα,sinα-3),∴||=αααcos 610sin )3(cos 22-=+-,||=αααsin 610)3(sin cos 22-=-+.由||=||得sinα=cosα.又∵α∈(2π,23π)，∴α=45π.(2)由·=-1得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=32. 又ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++=2sinαcosα.由①式两边平方得1+2sinαcosα=94,∴2sinαcosα=95-.∴95tan 12sin sin 22-=++ααα。

16 13． 8
14． a b
三、计算题
15．解析：（ I ） f ( x)
3
1
cos2 x sin 2 x
3
2
2
2
1
依题意得 2
．
63 2
2
3
sin(2 x )
a
32
3
（II ）由（ I ）知， f ( x ) sin( x
)
。
3
2
5
7
1
又 当 x [ , ]时 ， x
[ 0, ]， 故
si n(x
15．设函数 f ( x)= 3 cos 2cos+sin rcos x+a( 其中 ＞0, a R), 且 f ( x) 的图象在 y 轴右
侧的第一个高点的横坐标为 x 。 6
（Ⅰ）求 ω的值；
（Ⅱ）如果 f ( x) 在区间
5 ,
上的最小值为
3 ，求 a 的值。
36
16 （本小题满分 10 分）
) 1， 从 而 f (x) 在 区 间
36
3
6
2
3
π，5π 上的最小值为 3 36
13 a ，故 a
22
31 .
2
16. （ 1）由条件幂函数 f ( x) x 2m2 m 3 (m ) ，在 (0,
得到
2m2 m 3 0
解得 又因为
3 1m ,
2 m Z,
所以 m 0 或 1.
又因为是偶函数
当 m 0 时， f ( x) x3, 不满足 f ( x) 为奇函数； 当 m 1时， f ( x) x2, 满足 f (x) 为偶函数；
17．（本小题满分 12 分）已知圆 C 经过点 A（1， 4）、B（ 3， -2 ），圆心 C 到直线 AB的距离