方程与不等式应用题

方程与不等式应用题（讲义）

知识点睛

1.理解题意：分层次，找结构

借助表格等梳理信息

2.建立数学模型：方程模型、不等式（组）模型、函数模型等

①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程；

②显性、隐性不等关系等，考虑不等式（组）；

③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑

函数．

3.求解验证，回归实际

①数据是否异常；

②结果是否符合题目要求及取值范围；

③结果是否符合实际意义．

精讲精练

1.为支持某地区抗震救灾，A，B，C三地现在分别有赈灾物资

100 吨，100 吨，80吨，需要全部运往重灾地区的 D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨．要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60 吨，

A地运往D县的赈灾物资为x 吨（x 为整数），B 地运往D县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的 2 倍．其余的赈灾物资全部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过

23 吨．已知 A，B，C 三地的赈灾物资运往 D，E 两县的费用如

下表：

A 地

B 地

C 地

运往D 县的费用（元/吨）220 200 200

运往 E 县的费用（元/吨）250 220 210

（1）这批赈灾物资运往 D，E 两县的数量各是多少？

（2）A，B 两地的赈灾物资运往 D，E 两县的方案有几种？请

你写出具体的运送方案．

（3）为及时将这批赈灾物资运往 D，E 两县，某公司主动承担

运送这批赈灾物资的总费用，在（2）的条件下，该公司承担

运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

2.为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了 3 台甲型和

2台乙型污水处理设备，共花费资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的 80%．实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水 180 吨，每台乙型设备每月能处理污水 150 吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为

1 万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5 万

元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共 8 台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过 74 万元，预计二期工程完成

后每月将产生 1 250 吨的污水．

（1）每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？

（2）请求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．（3）若两种设备的使用年限都为10 年，则在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+ 各种维护费和电费）

3.为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A，B两类薄弱学校

全部进行改造．根据预算，共需资金 1 560 万元．已知改造

1 所 A 类学校和

2 所 B 类学校共需资金 230 万元；改造 2 所 A

类学校和 1 所 B 类学校共需资金 205 万元．

（1）改造 1 所A 类学校和 1 所B 类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的 A 类学校不超过 9 所，则 B 类学校至少有多少

所？

（3）我市计划今年对该县 A，B 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨

付的改造资金不超过 400 万元，地方财政投入的改造资金不少于 75 万元，且地方财政投入到 A，B 两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和每所 15 万元．请你通过计算求出所有的改造方案．

4.某制造厂开发了一款新式机器，计划一年生产安装 240 台．由于

抽调不出足够的熟练工来完成新式机器的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后能独立进行机器的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和 2 名新工人每月可安装

8 台新式机器；2名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 台新式机

器．

（1）求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少台新式

机器．

（2）如果工厂招聘n（0

（3）在（2）的条件下，工厂每月给安装新式机器的每名熟练工发 4 000 元的工资，给每名新工人发 2 400 元的工资，那么工厂招聘多少名新工人，才能使新工人的数量多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？

5.某校八年级 270 名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客

运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位．学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还空余 30 个座位．

（1）求中巴车和大客车各有多少个座位．

（2）客运公司为该校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用 350 元，租用大客车每辆往返费用 400 元．学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用任何一种车型都要便宜．则按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？

【参考答案】

1．（1）这批赈灾物资运往D县180 吨，运往 E县100 吨．（2）A，B两地的赈灾物资运往 D，E两县的方案有 3种．方案一，A地运往 D县 41吨，运往 E县 59吨；B地运往 D 县79 吨，运往 E县21 吨．

方案二，A 地运往 D 县 42 吨，运往 E 县 58 吨；B 地运往 D 县 78 吨，运往 E 县 22 吨．

方案三，A 地运往 D 县 43 吨，运往 E 县 57 吨；B 地运往 D 县 77 吨，运往 E 县 23 吨．

（3）该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是 60 390 元． 2．（1）每台甲型设备的价格是 10 万元，每台乙型设备的价格是 8 万元．

（2）共有 4 种购买方案．

方案一，购买甲型设备 2 台，乙型设备 6 台；方

案二，购买甲型设备 3 台，乙型设备 5 台；方

案三，购买甲型设备 4 台，乙型设备 4 台；方

案四，购买甲型设备 5 台，乙型设备 3 台．

（3）方案四的总费用最少，即购买甲型设备 5 台，乙

型设备 3 台．

3．（1）改造 1 所A类学校所需的资金是 60 万元，改造 1 所 B 类学校所需的资金是 85 万元．

（2）B 类学校至少有 12 所．

（3）共有 3 种改造方案．

方案一，改造 A 类学校 1 所，B 类学校 5 所；方

案二，改造 A 类学校 2 所，B 类学校 4 所；方案

三，改造 A 类学校 3 所，B 类学校 3 所．

4．（1）每名熟练工每月可以安装 4 台新式机器，每名新工人每月可以安装 2 台．

（2）工厂共有 4 种新工人的招聘方案．

方案一，招聘 2 名新工人，抽调 4 名熟练工；方

案二，招聘 4 名新工人，抽调 3 名熟练工；方

案三，招聘 6 名新工人，抽调 2 名熟练工；方

案四，招聘 8 名新工人，抽调 1 名熟练工．

（3）工厂招聘 4 名新工人，才能使新工人的数量多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额尽可能的少．