正弦函数相关知识点作业

正弦函数测试题及答案高中1. 正弦函数的定义是什么？2. 正弦函数的周期是多少？3. 正弦函数的图像有什么特点？4. 正弦函数的奇偶性如何？5. 正弦函数的值域是什么？6. 写出正弦函数的基本公式。

7. 解释正弦函数在三角恒等式中的作用。

8. 给定一个角度，如何计算其正弦值？9. 解释正弦函数在实际问题中的应用。

10. 给出一个正弦函数的图像，判断其振幅、周期和相位。

答案1. 正弦函数的定义是：对于任意角度 \( \theta \)，正弦函数 \( y = \sin(\theta) \) 表示在直角三角形中，对应角度 \( \theta \)的对边与斜边的比值。

2. 正弦函数的周期是 \( 2\pi \) 弧度，或者 \( 360^\circ \)。

3. 正弦函数的图像是一个周期性的波动曲线，它在 \( -1 \) 和\( 1 \) 之间波动，并且关于原点对称。

4. 正弦函数是奇函数，即 \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \)。

5. 正弦函数的值域是 \( [-1, 1] \)。

6. 正弦函数的基本公式包括：\( \sin(\theta) =\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) \) 和 \( \sin(2\theta) =2\sin(\theta)\cos(\theta) \)。

7. 在三角恒等式中，正弦函数用于表达角度之间的关系，如和角公式、差角公式等。

8. 给定角度的正弦值可以通过查找三角函数表、使用计算器或利用单位圆来计算。

9. 正弦函数在实际问题中应用广泛，如物理学中的振动问题、电子学中的交流电问题等。

10. 正弦函数的图像可以通过振幅 \( A \)，周期 \( T \) 和相位\( \phi \) 来描述，公式为 \( y = A\sin(\omega x + \phi) \)，其中 \( A \) 是振幅，\( T = \frac{2\pi}{\omega} \) 是周期，\( \omega \) 是角频率，\( \phi \) 是相位。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)1．函数y ＝sin x 的一个递减区间是( )A ．(0，π) B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D.(π，2π) 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B.2πC ．π D.π23．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3 B.0C ．－1 D.－1－34．函数f (x )＝2sin x 对于x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π4B.π2 C ．π D.2π5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12处取得最大值，则α的一个可能值是( ) A ．－π3 B.π3C.π6 D .－π66．函数f (x )＝sin2x 的最小正周期是________．7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π2的单调递增区间为________． 8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3时，求函数f (x )的最小值，并求出使y ＝f (x )取得最小值时相对应的x 值．9．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．参考答案1．【答案】B2．【答案】C【解析】由T ＝2π2＝π，故选C. 3．【答案】A【解析】∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴y 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3的值域是⎣⎡⎦⎤－32，1， ∴y ∈[－3，2]，∴最大值与最小值之和为2－ 3.4．【答案】C【解析】由题意可知f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，则|x 1－x 2|的最小值为π，故选C.5．【答案】B【解析】由题可知2×π12＋α＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π3，k ∈Z ， 当k ＝0时，α＝π3，故选B. 6．【答案】π7．【答案】⎣⎡⎦⎤－π，π3 【解析】－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， －5π6＋2k π≤12x ≤π6＋2k π， －5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π， k ＝0时，－5π3≤x ≤π3，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π2， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π，π3. 8．解：(1)对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，它的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 求得－π3＋2k π≤2x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，即－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调递增区间是－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z)． (3)∵0≤x ≤2π3， ∴0≤2x ≤4π3，即－π6≤2x －π6≤7π6. 所以函数f (x )的最小值是－12， 此时，x ＝0或x ＝2π3. 9．解：(1)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z. ∴递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z. (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4. ∴当t ＝5π4即x ＝3π4时，y min ＝2·⎝⎛⎭⎫－22＝－1. ∴当t ＝π2即x ＝3π8时，y max ＝2·1＝ 2.。

)4sin(x y π+=,2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ43,4z)(k k 223.k 22∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππz)(k 43k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππz)(k 4k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ正弦函数练习题（小结）一、选择题1.为了得到函数y =sin(x +3π)，x ∈R 的图象，只需把正弦曲线y =sin x 上的所有的点 ( ) (A) 向左平移3π个单位长度 (B) 向右平移3π个单位长度 (C) 向左平移13个单位长度 (D) 向右平移13个单位长度 2.函数y =sin x 的图象向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( )(A) y =3sin(12x +3π) (B) y =3sin(2x +3π) (C) y =3sin(2x +23π) (D) y =13sin(12x +6π) 3.下列函数在[,]2ππ上是增函数的是（ ）A. y=sinxB. y=sinC. y=sin2xD. y=sin4.下列四个函数中，既是 上的增函数，又是以π为周期的奇函数的是（ ）. A. sinx y = B. y=x 2sinC. x sin y =D.x 2sin y =5.函数 在闭区间 （ ）. A. 上是增函数 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4,43y ππ上是增函数 C. []0，π-上是增函数 D. 上是增函数 6.函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）A. B C. []z)(k k 23,k 2∈+ππππ＋ D. 7.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． ）（2,0πA ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3二. 填空题 1.函数y =3sin2x 的对称中心的坐标可以为 ;2.函数y =sin(πx +4π)的最小正周期是 ; 3.函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 ; 4.不等式sinx ≥22-的解集是______________________. 5.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.6.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．三. 解答题 1.写出函数y =4sin2x (x ∈R )的图像可以由函数y =sin x 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)2.用五点作图法作出)22sin(π-=x y 的函数图像3.已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求函数图像的表达式；(2)试写出函数图像的对称轴方程．。

正弦函数的图像与性质1、函数的部分图像如图所示，则（）.A. B.C. D.2、为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）B．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）C．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标扩大为原来的4倍（横坐标不变）D．向右平行移动个单位长度，再将纵坐标扩大为原来的4倍（横坐标不变3、若将函数的图像向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是________.4、函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间为()A ．[－π12＋k π，5π12＋k π](k ∈Z )B ．[5π12＋k π，11π12＋k π](k ∈Z )C．[π6＋kπ，2π3＋kπ](k∈Z) D．[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)5、当x＝π4时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(3π4－x)()A．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C．是奇函数且图象关于直线x＝π2对称D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称6、设向量，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为____．7、已知角的终边经过点，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为．8、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的单调增区间为______________．9、已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A.函数的最小正周期为2B.函数的值域为C.函数的图象关于对称D.函数的图象向左平移个单位后得到的图象10、将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值为_____________．11、答案与解析1【答案】A【解析】当时，，排除C，D.当时，，代入A满足.故选A.2【答案】A【解析】因为，，所以将的图象向左平行移动个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）可得的图象.选A.3【答案】4．B[y＝2sin(π3－2x)＝－2sin(2x－π3)，故π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递增，解得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ(k∈Z)，即函数y＝2sin(π3－2x)的单调递增区间为[5π12＋kπ，11π12＋kπ](k∈Z)．]5答案C解析∵当x＝π4时，函数f(x)取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2kπ－3π4(k∈Z)，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．678[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )解析因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(w x ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π3)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，解得函数f (x )的单调增区间为[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )．91011。

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一、选择题：1．函数y=sin （2x+错误!）的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ）A.向右平移错误! B 。

向左平移 错误! C. 向右平移 错误! D 。

向左平移错误!2．函数y=sin(π4—2x ）的单调增区间是（ ）A 。

［kπ-错误!, kπ+错误!] (k∈Z) B. [kπ+错误!， kπ+错误!］（k∈Z ）C 。

[kπ-错误!， kπ+错误!] （k∈Z ） D. [kπ+错误!, kπ+错误!] (k∈Z ）3．函数y=sin （x+错误!）的图象是( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称 D 。

关于x=—错误!π对称4．函数f （x ）=cos （3x+φ）的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ）A 。

φ=错误! B. φ= kπ（k∈Z ） C. φ= kπ+错误! (k∈Z ） D. φ= 2kπ-错误! (k∈Z) 5．函数 y=错误!sin2x 图象的一条对称轴是（ ）A 。

x= — 错误!B 。

x= — 错误! C. x = 错误! D 。

x= —错误!二、填空题：6．函数 y=错误!sin(3x —错误!） 的定义域是__________，值域是________,周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________．7．如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=—错误!对称,那么a=_________．8．函数y=sin2x 的图象向左平移 错误!,所得的曲线对应的函数解析式是__________．9．要得到 y=sin2x —cos2x 的图象，只需将函数 y=sin2x+cos2x 的图象沿x 轴向____移___________个单位．10．关于函数f （x)=4sin(2x+错误!） (x∈R ），有下列命题： （1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos （2x —π6 ）；（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数； (3）y=f （x ) 的图象关于点（-错误!，0)对称; (4)y=f(x ） 的图象关于直线x=-错误!对称； 其中正确的命题序号是___________． 三、解答题：11．函数 y=sin （2x+错误!) 的图象，可由函数 y=sinx 的图象怎样变换得到？ 12．已知函数f （x ）=log a cos(2x-错误!）（其中a 〉0,且a≠1）． （1）求它的定义域；（2)求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期．13.已知正弦波图形如下：此图可以视为函数y =A sin （ωx +）（A ＞0，ω＞0，｜｜＜）图象的一部分,试求出其解析式.14． 已知函数y =3sin （x －）。

一、三角函数基本概念1. 求sin60°的值2. 求cos45°的值3. 求tan30°的值4. 求sin(π/3)的值5. 求cos(π/4)的值6. 求tan(π/6)的值7. 求sin(π/2)的值8. 求cos(π/3)的值9. 求tan(π/4)的值10. 求sin(π)的值二、三角函数性质1. 若sinα = 1/2，求α的值2. 若cosβ = √3/2，求β的值3. 若tanγ = 1，求γ的值4. 若sinα = √2/2，求α的值5. 若cosβ = √3/2，求β的值6. 若tanγ = 1，求γ的值7. 若sinα = √2/2，求α的值8. 若cosβ = √2/2，求β的值9. 若tanγ = √3/3，求γ的值10. 若sinα = √3/2，求α的值三、三角函数的诱导公式2. 求cos(π β)的值3. 求tan(π γ)的值4. 求sin(π + α)的值5. 求cos(π + β)的值6. 求tan(π + γ)的值7. 求sin(2π α)的值8. 求cos(2π β)的值9. 求tan(2π γ)的值10. 求sin(3π α)的值四、三角函数的倍角公式1. 求sin2α的值2. 求cos2β的值3. 求tan2γ的值4. 求sin2(π/4)的值5. 求cos2(π/3)的值6. 求tan2(π/6)的值7. 求sin2(π/2)的值8. 求cos2(π/3)的值9. 求tan2(π/4)的值10. 求sin2(π)的值五、三角函数的半角公式1. 求sin(α/2)的值2. 求cos(β/2)的值4. 求sin(π/4/2)的值5. 求cos(π/3/2)的值6. 求tan(π/6/2)的值7. 求sin(π/2/2)的值8. 求cos(π/3/2)的值9. 求tan(π/4/2)的值10. 求sin(π/2/2)的值六、三角函数的化简1. 化简sin(α + β)2. 化简cos(α β)3. 化简tan(α/β)4. 化简sin(α/2 + β/2)5. 化简cos(α/2 β/2)6. 化简tan(α/2 β/2)7. 化简sin(α + β)/cos(α β)8. 化简cos(α + β)/sin(α β)9. 化简tan(α + β)/tan(α β)10. 化简sin(α/2 + β/2)/cos(α/2 β/2)七、三角函数的图像和性质1. 画出y = sinx的图像2. 画出y = cosx的图像3. 画出y = tanx的图像4. 画出y = sin(2x)的图像5. 画出y = cos(2x)的图像6. 画出y = tan(2x)的图像7. 求y = sinx在x = π/2时的值8. 求y = cosx在x = π时的值9. 求y = tanx在x = π/4时的值10. 求y = sin(π/4)的值八、三角函数的应用1. 若sinθ = 0.8，求θ的值2. 若cosφ = 0.6，求φ的值3. 若tanψ = 0.5，求ψ的值4. 若sinα = 0.4，求α的值5. 若cosβ = 0.7，求β的值6. 若tanγ = 0.3，求γ的值7. 若sinx = 0.9，求x的值8. 若cosy = 0.5，求y的值9. 若tanz = 0.2，求z的值10. 若sinw = 0.6，求w的值九、三角恒等变换1. 将sin(α + β) + cos(α β)化简2. 将cos(α + β) sin(α β)化简3. 将tan(α + β) / tan(α β)化简4. 将sin(α/2 + β/2) / cos(α/2 β/2)化简5. 将sin(α + β) cos(α β)化简6. 将cos(α + β) sin(α β)化简7. 将tan(α + β) tan(α β)化简8. 将sin(α/2 + β/2) cos(α/2 β/2)化简9. 将sin(α + β) / cos(α β) + cos(α + β) / sin(α β)化简10. 将tan(α + β) / tan(α β) + tan(α β) / tan(α + β)化简十、三角方程1. 解方程sinx = 1/22. 解方程cosx = √3/23. 解方程tanx = 14. 解方程sin(2x) = √2/25. 解方程cos(2x) = 1/26. 解方程tan(2x) = 17. 解方程sin(π/4 + x) = √2/28. 解方程cos(π/3 x) = 1/29. 解方程tan(π/6 + x) = 110. 解方程sin(π/2 + x) = 1十一、三角方程（续）1. 解方程sin(3x) = √3/22. 解方程cos(4x) = 1/23. 解方程tan(5x) = 14. 解方程sin(2x + π) = 15. 解方程cos(3x π/2) = 06. 解方程tan(x + π/4) = 17. 解方程sin(2x π) = 08. 解方程cos(3x + π) = 1/29. 解方程tan(5x π/2) = 110. 解方程sin(4x + π/3) = √3/2十二、三角函数的积分1. 计算积分∫sin(x)dx2. 计算积分∫cos(x)dx3. 计算积分∫tan(x)dx4. 计算积分∫sin(2x)dx5. 计算积分∫cos(3x)dx6. 计算积分∫tan(4x)dx7. 计算积分∫sin(x)cos(x)dx8. 计算积分∫cos(x)sin(x)dx9. 计算积分∫tan(x)sec^2(x)dx10. 计算积分∫sec(x)tan(x)dx十三、三角函数的微分1. 计算微分d(sin(x))/dx2. 计算微分d(cos(x))/dx3. 计算微分d(tan(x))/dx4. 计算微分d(sin(2x))/dx5. 计算微分d(cos(3x))/dx6. 计算微分d(tan(4x))/dx7. 计算微分d(sin(x)cos(x))/dx8. 计算微分d(cos(x)sin(x))/dx9. 计算微分d(tan(x)sec^2(x))/dx10. 计算微分d(sec(x)tan(x))/dx十四、三角函数的级数展开1. 将sin(x)展开为泰勒级数的前三项2. 将cos(x)展开为泰勒级数的前三项3. 将tan(x)展开为泰勒级数的前三项4. 将sin(2x)展开为泰勒级数的前三项5. 将cos(3x)展开为泰勒级数的前三项6. 将tan(4x)展开为泰勒级数的前三项7. 将sin(x)cos(x)展开为泰勒级数的前三项8. 将cos(x)sin(x)展开为泰勒级数的前三项9. 将tan(x)sec^2(x)展开为泰勒级数的前三项10. 将sec(x)tan(x)展开为泰勒级数的前三项十五、复合三角函数1. 求解方程sin(2x + π/3) = 02. 求解方程cos(3x π/4) = 13. 求解方程tan(4x + π/6) = 14. 求解方程sin(x + π/2) = √2/25. 求解方程cos(x π/3) = √3/26. 求解方程tan(x + π/4) = 17. 求解方程sin(2x π/6) = 1/28. 求解方程cos(3x + π/2) = 09. 求解方程tan(4x π/3) = √3/310. 求解方程si n(x + π) = 1十六、三角不等式1. 证明sinx + cosx ≤ √22. 证明sinx cosx ≥ √23. 证明tanx + cotx = 14. 证明sinx cosx ≤ 1/25. 证明tanx cotx = 16. 证明sinx sinx + cosx cosx = 17. 证明tanx tanx + 1 = sec^2x8. 证明sinx sinx + tanx tanx = 1/cos^2x9. 证明sinx cosx + cosx sinx = sin(2x)10. 证明tanx sinx + cotx cosx = sinx十七、三角函数的极值1. 求函数f(x) = sinx + cosx在[0, 2π]上的最大值和最小值2. 求函数g(x) = tanx cosx在(π/2, π/2)上的最大值和最小值3. 求函数h(x) = sin(2x) + cos(2x)在[0, π]上的最大值和最小值4. 求函数k(x) = tan(3x) + sin(x)在(π/3, π/3)上的最大值和最小值5. 求函数m(x) = cos(4x) sin(4x)在[0, π/2]上的最大值和最小值6. 求函数n(x) = tan(5x) cos(5x)在(π/5, π/5)上的最大值和最小值7. 求函数p(x) = sin(6x) + cos(6x)在[0, π/3]上的最大值和最小值8. 求函数q(x) = tan(7x) sin(7x)在(π/7, π/7)上的最大值和最小值9. 求函数r(x) = cos(8x) + tan(8x)在[0, π/4]上的最大值和最小值10. 求函数s(x) = sin(9x) cos(9x)在[0, π/9]上的最大值和最小值十八、三角函数的周期性1. 证明sin(x)是周期函数，并求其周期2. 证明cos(x)是周期函数，并求其周期3. 证明tan(x)是周期函数，并求其周期4. 证明sin(2x)是周期函数，并求其周期5. 证明cos(3x)是周期函数，并求其周期6. 证明tan(4x)是周期函数，并求其周期7. 证明sin(5x)是周期函数，并求其周期8. 证明cos(6x)是周期函数，并求其周期9. 证明tan(7x)是周期函数，并求其周期10. 证明sin(8x)是周期函数，并求其周期答案一、三角函数基本概念1. sin60° = √3/22. cos45° = √2/23. tan30° = 1/√34. sin(π/3) = √3/25. cos(π/4) = √2/26. tan(π/6) = 1/√37. sin(π/2) = 18. cos(π/3) = 1/29. tan(π/4) = 110. sin(π) = 0二、三角函数性质1. α = π/62. β = π/63. γ = 3π/44. α = 5π/65. β = 5π/66. γ = 3π/47. α = 5π/68. β = 5π/69. γ = 3π/410. α = 7π/6三、三角函数的诱导公式1. sin(π α) = sinα2. cos(π β) = cosβ3. tan(π γ) = tanγ4. sin(π + α) = sinα5. cos(π + β) = cosβ6. tan(π + γ) = tanγ7. sin(2π α) = sinα8. cos(2π β) = cosβ9. tan(2π γ) = tanγ10. sin(3π α) = sinα四、三角函数的倍角公式1. sin2α = 2sinαcosα2. cos2β = cos^2β sin^2β3. tan2γ = 2tanγ / (1 tan^2γ)4. sin2(π/4) = √2/25. cos2(π/3) = 1/46. tan2(π/6) = 1/37. sin2(π/2) = 18. cos2(π/3) = 1/49. tan2(π/4) = 110. sin2(π) = 0五、三角函数的半角公式1. sin(α/2) = ±√[(1 cosα)/2]2. cos(β/2) = ±√[(1 + cosβ)/2]3. tan(γ/2) = sin(γ/2)/cos(γ/2) = ±√[(1 cosγ)/(1 + cosγ)]4. sin(π/4/2) = √2/45. cos(π/3/2) = √3/46. tan(π/6/2) = 1/√37. sin(π/2/2) = 1/√28. cos(π/3/2) = √3/49. tan(π/4/2) = 1/√310. sin(π/2/2) = 1/√2六、三角函数的化简1. sin(α + β) + cos(α β) = sinαcosβ + cosαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ2. cos(α + β) sin(α β) = cosαcosβ sinαsinβ cosαsinβ + sinαcosβ3. tan(α/β) = sin(α/β)/cos(α/β)4. sin(α/2 + β/2) / cos(α/2 β/2) = (sinα +cosβ)/(cosα sinβ)5. sin(α + β) cos(α β) = (sinαcosβ +cosαsinβ)(cosαcosβ sinαsinβ)6. cos(α + β) sin(α β) = (cosαcosβsinαsinβ)(sinαcosβ + cosαsinβ)7. tan(α + β) / tan(α β) = (sinαcosβ +cosαsinβ)/(sinαcosβ cosαsinβ)8. sin(α + β)/cos(α β) + cos(α + β)/sin(α β) = (sin。

1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)学习目标 1.掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间.知识点一 正弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线. 正弦曲线：可得如下性质：由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R ，值域是[－1,1]. 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.知识点二 正弦函数的单调性 正弦函数y ＝sin x 的图象与性质解析式y ＝sin x图象值域[－1,1]单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 上递增， 在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 上递减 最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数.2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 题型一 求正弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间. 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z ).∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ). 反思感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－π3，－2π9，⎣⎡⎦⎤π9，π3 解析 由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z ).又x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， 所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π3，－2π9，⎣⎡⎦⎤π9，π3.题型二 正弦函数单调性的应用命题角度1 利用正弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos 875°与sin 980°.解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.∵0°<16°<66°<90°，且当0°≤x ≤90°时y ＝sin x 是增函数，∴sin 16°<sin 66°， 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos 875°＝cos(720°＋155°)＝cos 155° ＝cos(90°＋65°)＝－sin 65°， sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260° ＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°， ∵sin 65°＜sin 80°， ∴－sin 65°＞－sin 80°， ∴cos 875°＞sin 980°.反思感悟 用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6与sin 49π3； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5与sin ⎝⎛⎭⎫－17π4. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3. ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，且－π2<－π6<π3<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝－sin 2π5， sin ⎝⎛⎭⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4， 因为0<π4<2π5<π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 所以sin π4<sin 2π5，于是－sin π4＞－sin 2π5，∴sin ⎝⎛⎭⎫－17π4＞sin ⎝⎛⎭⎫－23π5.命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围. 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω＋2k πω≤－π3，π2ω＋2k πω≥π4，k ∈Z ，ω>0，即⎩⎨⎧ω≤32－6k ，ω≤2＋8k ，k ∈Z ，ω>0解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 反思感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ，排除D. 题型三 正弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域. 解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质. 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域).(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设sin x ＝t ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)对于形如y ＝a sin x 的函数的最值还要注意对a 的讨论.跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意.若a >0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2.下列不等式中成立的是( ) A.sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B.sin 3>sin 2 C.sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D.sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝sin(π－2)，cos 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－1， 且(π－2)－⎝⎛⎭⎫π2－1＝π2－1＞0，∴π2＞π－2＞π2－1＞0，∴sin(π－2)>sin ⎝⎛⎭⎫π2－1， 即sin 2>cos 1.故选D.3.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 D解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1，故选D. 4.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }. 5.求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间. 解 ∵函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递减区间. 由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∵x ∈(0，π)，∴由k ＝0，得π3≤x ≤5π6.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的取值范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的取值范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x 为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1.函数y ＝1－2sin π2x 的最小值，最大值分别是( )A.－1,3B.－1,1C.0,3D.0,1答案 A解析 ∵sin π2x ∈[－1,1]，∴－2sin π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2sin π2x ∈[－1,3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2.对于函数f (x )＝sin 2x ，下列选项中正确的是( ) A.f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B.f (x )的图象关于原点对称 C.f (x )的最小正周期为2π D.f (x )的最大值为2 答案 B解析 因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是递减的， 所以f (x )＝sin 2x 在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递减的，故A 错误； 因为f (－x )＝sin 2(－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故B 正确； f (x )的最小正周期为π，故C 错误； f (x )的最大值为1，故D 错误.3.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B.(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.(0，π) 答案 C解析 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.5.(2018·江西高安中学高二期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.－1 B.－22 C.22D.0 答案 B解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4取得最小值，为－22. 6.y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A.2B.－2C.1D.－1 答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值为( )A.32B.23 C.2 D.3 答案 A解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω，∴ω＝32.二、填空题8.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是______. 答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]. 9.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________. 答案 sin 3<sin 1<sin 2 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.10.函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析 y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6.要求函数的单调递增区间， 则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π.∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π.11.若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4， 即ω＝34. 三、解答题12.求下列函数的单调递增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间， 即求使f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间.∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ， 整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z . ∴函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 13.求下列函数的最大值和最小值.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.14.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3 答案 B解析 令ωx ＝－π2，则x ＝－π2ω<0， ∵f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取到最小值－2， 则－π2ω∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴－π2ω≥－π3， ∴ω≥32.∴ωmin ＝32. 15.已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0).当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值.解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， ∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2＋ 3.。

三角函数练习题及答案三角函数是数学中的重要内容，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握好三角函数的概念和运用方法，对于解决实际问题具有重要意义。

本文将为大家提供一些三角函数练习题及其答案，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、正弦函数的练习题1. 计算角度为30°的正弦值。

解答：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

在一个单位圆上，角度为30°对应的三角形是一个等边三角形，因此对边与斜边的比值为1/2。

所以，角度为30°的正弦值为1/2。

2. 求解方程sin(x) = 1/2，其中x的取值范围为[0, 2π]。

解答：根据正弦函数的性质，可以知道sin(x) = 1/2的解有两个，分别是30°和150°。

由于x的取值范围为[0, 2π]，所以需要将150°转换为弧度制，即150° *π/180 = 5π/6。

因此，方程sin(x) = 1/2的解为x = 30°和x = 5π/6。

二、余弦函数的练习题1. 计算角度为45°的余弦值。

解答：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值。

在一个单位圆上，角度为45°对应的三角形是一个等腰直角三角形，邻边与斜边的比值为√2/2。

所以，角度为45°的余弦值为√2/2。

2. 求解方程cos(x) = √3/2，其中x的取值范围为[0, 2π]。

解答：根据余弦函数的性质，可以知道cos(x) = √3/2的解有两个，分别是30°和330°。

由于x的取值范围为[0, 2π]，所以需要将330°转换为弧度制，即330°* π/180 = 11π/6。

因此，方程cos(x) = √3/2的解为x = 30°和x = 11π/6。

三、正切函数的练习题1. 计算角度为60°的正切值。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)一、选择题1.函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1(x ∈R )的最小值为( )A.54B.1C.0D.－1 2.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B.πC.2πD.4π 3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±14.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.(π2，π) B.(π，2π) C.(π，3π2) D.(0，π)5.下列不等式中成立的是( )A.sin ⎝⎛⎭⎫－π8＜sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B.sin ⎝⎛⎭⎫－215π＜sin ⎝⎛⎭⎫－174π C.sin 3＞sin 2D.sin 75π＞sin ⎝⎛⎭⎫－25π 6.设函数f (x )＝sin |x |，则f (x )( )A.在区间⎣⎡⎦⎤23π，76π上是减函数 B.是周期为2π的周期函数C.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数 D.对称中心为(k π，0)，k ∈Z二、填空题7.函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________. 8.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________. 9.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________. 10.函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈[π6，56π]的值域是________.三、解答题11.求下列函数的单调增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 2[sin(π3－x 2)].12.设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.13.已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.参考答案1.【答案】D【答案】f (x )＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－1. 2. 【答案】D3. 【答案】A【解析】因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4. 【答案】C【解析】作出函数y ＝|sin x |的图像，如图，观察图像知C 正确，故选C.5. 【答案】A【解析】y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上为增函数，而－π8＜－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π8＜sin ⎝⎛⎭⎫－π10，故选A. 6. 【答案】A【解析】由图易知，f (x )在⎣⎡⎦⎤23π，76π上是减函数.7. 【答案】⎣⎡⎦⎤π2，π8. 【答案】[0,2]【解析】∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]. 9. 【答案】⎣⎡⎦⎤12，54【解析】由π2＜x ＜π，ω＞0得， ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54. 10. 【答案】[1，72] 【解析】令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈[π6，5π6]， ∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2(t ＋12)2－1， ∴1≤y ≤72， ∴函数f (x )的值域为[1，72]. 11.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝log 2[sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2]的单调增区间，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＞0，即sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＜0， 求原函数的单调增区间，即求sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调减区间.∴2k π＋π＜x 2－π3＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得4k π＋8π3＜x ＜4k π＋11π3，k ∈Z ， ∴原函数y ＝log 2[sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 3]的单调增区间为⎝⎛⎭⎫4k π＋8π3，4k π＋11π3，k ∈Z . 12.解 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 13.解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)1．M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A ．23B ．－23C ．－43D ．－22．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－2sin x C ．y ＝1＋sin xD ．y ＝|sin x | 3．函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的单调递增区间为( ) A. ⎣⎡⎦⎤－π，－π2 B. ⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C. ⎣⎡⎦⎤－π，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π2，π4．函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是( ) A ．[－1,1] B. ⎣⎡⎦⎤12，1 C. ⎣⎡⎦⎤12，32 D. ⎣⎡⎦⎤32，15．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°6．若f (x )是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是________． 7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 8．比较大小：sin 21π5________sin 42π5.9．求函数y ＝1－sin x2的单调递增区间．10．求函数y ＝3－2sin x 的最大值、最小值，并求出相应x 的集合．参考答案1．【答案】D【解析】∵M ＝y max ＝13－1＝－23，m ＝y min ＝－13－1＝－43，∴M ＋m ＝－23－43＝－2.2．【答案】D【解析】4个选项中，满足偶函数定义f (－x )＝f (x )的，只有选项D. 3．【答案】B【解析】y ＝sin x 的单调递增区间就是y ＝4sin x ＋3的单调递增区间．故选B. 4．【答案】B【解析】画出y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的图像，知其值域为⎣⎡⎦⎤12，1. 5．【答案】C【解析】∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.6.【解析】当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－sin x ．故函数f (x )的解析式是f (x )＝sin|x |. 【答案】f (x )＝sin|x | 7．【答案】⎣⎡⎦⎤π2，π【解析】由x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，得x ＋π∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.令t ＝x ＋π，由函数y ＝sin t 在⎣⎡⎦⎤π2，2π上的图像，知其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π2，2π，则3π2≤x ＋π≤2π，解得π2≤x ≤π. 8．【答案】<【解析】∵sin 21π5＝sin π5，sin 42π5＝sin 2π5，又0<π5<2π5<π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的， ∴sin21π5<sin 42π5. 9．解：由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．10．解：因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 有最大值5，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 有最小值1，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z .。

初中数学正弦练习题1. 已知直角三角形ABC中，角A的正弦值为0.6，求角A的度数。

2. 在直角三角形中，若角B的正弦值为0.8，求角B的余弦值。

3. 计算下列角度的正弦值：15°，30°，45°，60°，75°。

4. 若sin(θ) = 0.5，求θ的值（答案不唯一，需考虑所有可能的解）。

5. 已知sin(α) = 0.3，求cos(2α)的值。

6. 利用正弦定理求解三角形的边长，若三角形的一边长为10，对角为30°，另一边长为15，求第三边的长度。

7. 在一个直角三角形中，若斜边长为20，且一个锐角的正弦值为0.4，求这个锐角的余弦值。

8. 已知一个角度的正弦值为0.7，求这个角度的正切值。

9. 若sin(β) = 0.6，求tan(β)的值。

10. 利用正弦函数的性质，判断下列角度中哪些是锐角：20°，90°，120°，150°。

11. 计算sin(45°) + cos(30°)的值。

12. 若一个角度的正弦值为0.9，求这个角度的正弦值的平方。

13. 利用正弦函数的周期性，求sin(390°)的值。

14. 在一个直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值为0.5，求这个锐角的度数。

15. 已知sin(θ) = 0.8，求cos(θ)的值。

16. 利用正弦函数的图像，判断下列角度中哪些是钝角：10°，80°，100°，170°。

17. 若sin(α) = 0.2，求sin(180° - α)的值。

18. 计算sin(60°) * cos(30°)的值。

19. 已知一个角度的正弦值为0.3，求这个角度的余弦值。

20. 利用正弦函数的性质，判断下列角度中哪些是直角：0°，45°，90°，180°。

正弦函数、余弦函数的图象和性质一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32 B. ﹣32 C. ﹣34 D. ﹣2 2.函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ---------------------------------------------- ( )(A) {0}(B) [-1,1] (C) [0,1](D) [-2,0]3.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=4．函数cos y x =的一个单调增区间是----------------------------------- ( )A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．对于函数y =sin(132π-x ），下面说法中正确的是------------------------ ( )(A) 函数是周期为π的奇函数(B) 函数是周期为π的偶函数(C) 函数是周期为2π的奇函数(D) 函数是周期为2π的偶函数6．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ）A ．23 B ．32 C ．2 D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)7．函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是.8．函数y ＝1sin 2-x 的定义域是.9．函数y ＝sin(π4－2x)的单调递增区间是.10．已知奇函数y ＝f (x )对一切x ∈R 满足f (x ＋1)＝f (x -1)，当x [1-∈，]0时，f (x )＝943+x ，则f (5log 31)＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)11．求函数f （x ）=2sin （x+3π）的值域，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 。

1．3.1 正弦函数的图象与性质(四)一、基础过关1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B2.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象() A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3.3．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 C4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数答案 D5．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1 答案 B解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .6．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )答案 A解析 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标之差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6. 二、能力提升8．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度答案 B解析 y ＝sin(2x ＋π6)y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6 D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.10.某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．答案 ①③11.为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．答案 32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ的最小正值是32π. 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0<φ<π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的解析式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝2.又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，φ∈(0，π)．故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2， 所以f (x )＝cos 2x .将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x . 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧ －π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2(x ＋π6)＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 g (x )＝0⇒sin(2x ＋π3)＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)1．函数y ＝2sin x ＋1的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤－π6，7π6B ．⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )C ．⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )D ．⎣⎡⎦⎤π6，5π62．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎡⎦⎤12，1C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．⎣⎡⎦⎤32，13．函数y ＝－3sin3x 的最大值与取得最大值时相应的一个x 的值为() A ．1，π2 B ．1，－π2 C ．3，π6 D ．3，－π64．下列所给各组函数中，关于y 轴对称的是( )①y ＝sin x 与y ＝－sin x ；②y ＝sin x 与y ＝sin(－x )；③y ＝sin x 与y ＝sin|x |；④y ＝|sin x |与y ＝sin x .A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③5．函数f (x )＝|lg x |－sin x 的零点个数为________．6．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时值域为________．7．函数y ＝54－cos 2x －3sin x 的最小值是________．8．求下列函数的值域．(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)y ＝sin 2x ＋4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.9．函数y ＝a sin x ＋b 的最大值是4，最小值为－2，求a 、b 的值．参考答案1．【答案】B【解析】由2sin x ＋1≥0，得sin x ≥－12，∴－π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ， 所以函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z ，故选B ． 2．【答案】B【解析】由正弦曲线结合单调性可知B 选项正确．故选B ．3．【答案】D 【解析】 y ＝－3sin3x 的最大值为3，此时x 的值满足3x ＝2k π－π2(k ∈Z )， 即x ＝2k π3－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，故选D ． 4．【答案】A5．【答案】4个【解析】由f (x )＝|lg x |－sin x ＝0，得|lg x |＝sin x ，在同一坐标系中作出y ＝|lg x |与y ＝sin x 的图象，从图象上可知y ＝|lg x |与y ＝sin x 的图象有4个交点，所以函数f (x )的零点有4个．6．【答案】[1,2]【解析】∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴1≤y ≤2.∴函数的值域为[1,2]． 7．【答案】－74【解析】∵y ＝54－(1－sin 2x )－3sin x ＝sin 2x －3sin x ＋14， 设sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2－3t ＋14，t ∈[－1,1]， ∴当t ＝1时，y 取得最小值为y min ＝1－3＋14＝－74. 8．解：(1)∵0≤x ≤π2，∴－π4≤x －π4≤π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤ 22，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤ 2，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的值域为[－2，2]．(2)令sin x ＝t ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴t ∈[0,1]，当y ＝t 2＋4t ＝(t ＋2)2－4， ∴当t ＝0时，y min ＝0， 当t ＝1时，y max ＝5，∴函数y ＝sin 2x ＋4sin x 的值域为[0,5]．9．解：当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，－a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝4，a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1.。

正弦函数基础练习题(必做)题目一已知正弦函数的图像如下:sin(x)](/sinx.png)1.请写出图像中的一个周期内的所有关键点坐标。

2.计算正弦函数在x = π/4 时的函数值。

3.计算正弦函数在x = 3π/2 时的函数值。

4.判断正弦函数的图像是否关于 x 轴对称。

题目二已知函数 f(x) = sin(2x)，请回答以下问题:1.判断函数 f(x) 的周期。

2.判断函数 f(x) 是否关于 y 轴对称。

题目三求解方程 sin(x) = 1 的所有解，并写出解的范围。

题目四已知函数 g(x) = -2sin(x + π/4)，请回答以下问题:1.判断函数 g(x) 的周期。

2.判断函数 g(x) 是否关于 y 轴对称。

题目五已知函数 h(x) = 2cos(2x - π/6)，请回答以下问题:1.判断函数 h(x) 的周期。

2.判断函数 h(x) 是否关于 y 轴对称。

题目六已知函数k(x) = 3sin(3x + π/2)，请回答以下问题:1.判断函数 k(x) 的周期。

2.判断函数 k(x) 是否关于 y 轴对称。

题目七根据题目提供的函数图像，判断正弦函数的周期、振幅和相位角。

sin(x)](/sinx.png)题目八求解方程 2sin(x) - 1 = 0 的所有解，并写出解的范围。

题目九已知函数 p(x) = 4sin(3x)，请回答以下问题:1.判断函数 p(x) 的周期。

2.判断函数 p(x) 是否关于 y 轴对称。

题目十已知函数 q(x) = 2cos(2x)，请回答以下问题:1.判断函数 q(x) 的周期。

2.判断函数 q(x) 是否关于 y 轴对称。

参考答案答案将在课后提供。

请同学们先自行尝试解答。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(二)一、选择题1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．向左右无限伸展B ．与y ＝cos x 的图像形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称2．若函数y ＝sin(x ＋φ)的图像过点⎝⎛⎭⎫π3，0，则φ的值可以是( ) A.π6 B.π3 C ．－π3 D ．－π63．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图像为( )4．在[0,2π]上，使sin x ≥22的x 的取值范围是( ) A ．[0，π6]B ．[π4，3π4]C ．[π4，5π4]D ．[5π4，π]5．与图中曲线对应的函数是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin|x |C ．y ＝－sin|x |D ．y ＝－|sin x |6．已知函数y ＝2sin x (π2≤x ≤5π2)的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π二、填空题7．函数f (x )＝sin x ＋116－x 2的定义域为________________． 8．利用五点法画函数y ＝2－12sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所取的五点的坐标分别为__________．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是________________________．10．若－2π3≤θ≤π6，则sin θ的取值范围为________．三、解答题11．利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．12.用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图．13．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．参考答案1．D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7．(－4，－π]∪[0，π]8．(0,2)，(π2，32)，(π，2)，(3π2，52)，(2π，2)9．{x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N } 10.[－1，12]11．解 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图像，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图像可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立． 所以12<sin x ≤32的解集为{x |π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }．12．解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212(2)描点、连线，如图所示．13．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图像如图所示，若使f(x)的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图像可得k的取值范围是(1,3)．。