7.1 探索直线平行的条件

- 1 - 7．1 探索直线平行的条件

【知识平台】

1．掌握直线平行的条件，并能解决一些问题．

2．会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．

【思维点击】

1．关于同位角、内错角和同旁内角

同位角、内错角和同旁内角是两条直线被第三条直线所截得到的，因此识别这三种角的关键是认清第三条直线，即截线．这三种角有各自的特征．

同位角的特征：在截线的同旁，被截两直线的同方向；

内错角的特征：在截线的两旁，被截两直线的中间；

同旁内角的特征：在截线的同旁，被截两直线之间．

2．关于两条直线互相平行的条件

两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条：

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行．

3．关于过已知直线外一点画这条直线的平行线

利用平行移动三角尺的方法画平行线，这在上学期已经学习过，但当时并不了解其中的道理．在本节中，要求能利用“同位角相等，两直线平行”的结论解释其合理性，并会用这种方法过已知直线外一点画这条直线的平行线．

【考点浏览】

例1 如图，回答下面问题，

（1）由∠1=∠A，可判定哪两条直线平行，并说明理由．

（2）由∠1=∠2，可判定哪两条直线平行，并说明理由．

【解析】因为∠A、∠1是由直线AB、DE被直线AC所截构成的同位角，且∠1=•∠A，所以被截线AB∥DE．（2）类似（1）．

（1）由∠1=∠A，可判定AB∥DE．

理由：同位角相等，两直线平行．

（2）由∠1=∠2，可判定FD∥AC．

理由：内错角相等，两直线平行．

例2 如图，如果要判定AB∥CD，需要什么条件？

【解析】要判定AB∥CD，关键是找出被截线AB、CD被哪一条截线所截，从而找出有关的内错角、同位角即可，而本题有两条截线，所以必须分如下情况．

当考虑截线AD时，只需∠A=∠D，可判定AB∥CD．

当考虑截线BC时，只需∠B=∠C，可判定AB∥CD．

例3 如图，已知BE平分∠ABC，∠1=∠3，则BC∥DE吗？说明理由．

【解析】由BE平分∠ABC得∠1=∠2，又因为∠1=∠3，

所以∠2=∠3，•根据内错角相等，两直线平行可得BC∥DE．

∵BE平分∠ABC（已知）， ∴∠1=∠2（角平分线定义）．

又∵∠1=∠3（已知），

∴∠2=∠3（等量代换），

∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．

【在线检测】

1．如图1，同旁内角共有（ ）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对

（1） （2） （3） （4）

2．如图2所示，同位角共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

3．如图3，内错角的对数是（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

4．如图4，是同位角关系的是（ ）

A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在

5．如图5，内错角共有（ ）

A．10对 B．8对 C．6对 D．4对

（5） （6）

6．如图6，填空：

①∠B=∠1是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的_____角；

②∠2与∠4是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的____角；

③∠ACB与∠6是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的______角；

④∠A与∠B是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的____角；

⑤∠3与∠5是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的____角；

⑥∠5与∠7是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的____角；

⑦∠3与∠B是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的____角；

⑧∠2与∠7是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的____角；

⑨∠B与∠BDE是两条直线______和______被第三条直线______所截，•构成的____角；

7．如图7，∠2与∠3是_____角，∠2与∠4是______角，∠2与∠5是______角，∠2与∠8是______角，∠2与∠6是_______角． - 3 -

（7） （8） （9）

8．如图8，∠1与∠2是______角，∠3与∠4是______角．

9．如图9，∠BDE的同位角是_______，∠BDE的内错角是_______，∠BDE的同旁内角是_______，∠ADE与∠DGC是两条直线______和______被直线______•所截成的_____角．

10．如图10，直线AD、BC被CE所截，∠C的同位角是______，同旁内角是______；•∠1与∠2是两条直线_______和_____被第三条直线______所截得的______角；直线AB和CD被AD所截，∠A的内错角是_______，∠A与∠ADC是______角；直线AB和CD被BD所截，_______和_______是内错角．

（10） （11） （12）

11．如图11，已知AB、CD被EG截于F、G，则∠1的同位角是______，•∠1•的内错角是______，∠1的同旁内角是_______，∠1的邻补角是_______．

12．如图12，已知AB、CB被DG截于E、F两点，则∠1的同位角是______，∠1的内错角是_____，∠1的同旁内角是______，∠1的对顶角是_____，∠1的邻补角是______．

13．如图13，DE经过C点，则∠A的内错角是______，∠A的同旁内角是________．

（13） （14） （15）

14．如图14，三条直线L1、L2、L3两两相交，则图中共有_____对对顶角，______对邻补角，______对同位角，_______对同旁内角，_______对内错角．

15．如图15，BE、CF是射线，则图中的内错角共有_______对，它们是_________．

16．给下列证明过程填写理由．

（1）如图，AB⊥EF，CD⊥EF，垂足分别为点G、H，证明：AB∥CD．

解法一 ∵AB⊥EF于G（ ），

∴∠EGB=90°（ ），

∵CD⊥EF于H（ ），

∴∠EHD=90°（ ），

∴∠EGB=∠EHD（ ），

∴AB∥CD（ ）．

解法二 ∵AB⊥EF于G（ ）， - 4 - ∴∠FGB=90°（ ），

∵CD⊥EF于H（ ），

∴∠EHD=90°（ ）

∴∠FGB+∠EHD=180°，

∴AB∥CD（ ）．

解法三：∵AB⊥EF于G（ ），

∴∠FGB=90°（ ）．

∵CD⊥EF于H（ ），

∴∠EHC=90°（ ），

∴∠FGB=∠EHC（ ），

∴AB∥CD（ ）．

（2）如图，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，证明：BE∥CF．

证明 ∵AB⊥BC于B，CD⊥BC于C（ ），

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（ ），

∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余（ ）．

又∵∠1=∠2（ ），

∴_______=_______（ ），

∴BE∥CF（ ）．

答案：

1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．略 7．邻补；对顶；同旁内；内错；同位

8．内错；内错 9．∠BGC；∠FGD；∠DGC；DE；FC；AB；同位

10．∠ADE；∠ADC；AD；BC；BD；内错；∠ADE；同旁内；∠ABD；∠BDC

11．∠EFB；∠AFG；∠GFB；∠CGF 12．∠AED；∠FEB；∠AEF；∠BFG；∠CFG或∠DFB

13．∠ACD；∠B，∠ACB和∠ACE 14．6；12；12；6；6

15．•4；•∠ABC和∠BCD，∠ABC和∠BCF，∠EBC和∠BCD，∠EBC和∠BCF

16．略