平面向量与复数的联系与应用

平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。

通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。

本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。

比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。

它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。

3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。

5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。

6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。

复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。

即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。

2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。

3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。

如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。

复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。

一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。

复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。

2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。

共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。

3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。

复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。

4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。

欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。

二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。

平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。

减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。

2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。

数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。

3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。

4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.5复数最新考纲1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．(×)(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于()A ．0 B.12C ．1D.2答案C 解析∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是()A ．1－2i B ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案D解析CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1答案A解析∵z 为纯虚数，2－1＝0，－1≠0，∴x ＝－1.题组三易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．(2020·模拟)若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B.7．i 2014＋i 2015＋i 2016＋i 2017＋i 2018＋i 2019＋i 2020＝________.答案－i解析原式＝i 2＋i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝－i.题型一复数的概念1．(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 的虚部为()A.35B ．－35C.35i D ．－35i答案B解析因为(1＋2i)z ＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋2i＝(1－i )(1－2i )5＝－1－3i5，因此复数z 的虚部为－35，故选B.2．(2019·钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是()A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12iD.32＋12i 答案D解析由复数2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，所以共轭复数为32＋12i ，故选D.3．(2018·烟台模拟)已知复数a ＋2i2－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于()A ．－4B ．4C ．1D ．－1答案C解析a ＋2i 2－i ＝(a ＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2a －2＋(a ＋4)i5，∵复数a ＋2i2－i为纯虚数，∴2a －2＝0且a ＋4≠0，解得a ＝1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i.(2)i (2＋3i )等于()A ．3－2iB ．3＋2iC ．－3－2iD ．－3＋2i答案D解析i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于()A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案D解析1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z (1＋i)＝1－i ，则z 等于()A ．iB ．－iC ．1＋iD ．1－i答案A解析由题意，复数z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－i ，所以z ＝i ，故选A.命题点3复数的综合运算例3(1)(2018·达州模拟)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|z |等于()A.2B ．3＋4i C ．5D ．7答案C解析z ＝－1＋7i 1＋i＝(－1＋7i )(1－i )2＝3＋4i ，故z ＝3－4i ⇒|z |＝5，故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③|αβ|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确；③|αβ|＝|－i |＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确．故选C.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为()A ．1或－1B ．1C ．－1D ．不存在的实数答案A解析由题意得z ＝3－a i ，故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A.(2)(2018·潍坊模拟)若复数z 满足z (2－i)＝(2＋i)·(3－4i)，则|z |等于()A.5B ．3C ．5D ．25答案C解析由题意z (2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i ，则z ＝10－5i 2－i ＝(10－5i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5，所以|z |＝5，故选C.题型三复数的几何意义例4(1)(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位，复数1－ii在复平面上对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析由题意得1－i i ＝(1－i )i i 2＝1＋i－11－i ，因为复数－1－i 在复平面上对应的点在第三象限，故选C.(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．解①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2(1)(2018·洛阳模拟)已知复数z ＝5i 3＋4i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点在()A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案A解析∵z ＝5i 3＋4i ＝5i·(3－4i )(3＋4i )·(3－4i )＝45＋35i ，∴z ＝45－35i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．答案5解析由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，x ＋y ＝3，x －y ＝－2，＝1，＝4，故x ＋y ＝5.1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2等于()A ．－8－6iB ．－8＋6iC ．8＋6iD ．8－6i答案C解析∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i.2．(2018·聊城模拟)设复数z ＝(1－i )21＋i，则|z |等于()A ．4B ．2 C.2D ．1答案C解析z ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－i(1－i)＝－1－i ，|－1－i|＝2，故选C.3．(2018·海淀模拟)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则()A ．z ＋1是实数B ．z ＋1是纯虚数C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数答案C解析由题意得复数z ＝1－i ，所以z ＋1＝2－i ，不是实数，所以选项A 错误，也不是纯虚数，所以选项B 错误．所以z ＋i ＝1，是实数，所以选项C 正确，z ＋i 是纯虚数错误，所以选项D 错误．故选C.4．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i＝1＋i ，那么|z |等于()A ．1 B.2C.5D ．5答案C解析∵z ＋i z －i＝1＋i ，z ＋i ＝(1＋i)(z －i )，i z ＝(2＋i)i ，∴z ＝2＋i ，∴|z |＝1＋4＝5，故选C.5．(2018·成都七中模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若i －2a －i为纯虚数，则a 等于()A.12B ．－12C ．2D ．－2答案B 解析由题意知i －2a －i ＝(i －2)(a ＋i )(a －i )(a ＋i )＝(－2a －1)＋(a －2)i a 2＋1＝－2a －1a 2＋1＋a －2a 2＋1i ，又由i －2a －i为纯虚数，所以－2a －1＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选B.6．若复数z 满足(3＋4i )z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于()A ．－15－75iB ．－15＋75iC ．－125－725iD ．－125＋725i 答案D解析由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i ，故选D.7．(2018·济南模拟)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是()A ．|z |＝2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限答案D解析z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝2，复数z 的虚部是1，z ＝1－i ，复数z 在复平面内所对应的点为(1,1)，显然在第一象限．故选D.8．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案3或6解析∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．9．(2018·江苏)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．答案2解析由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ，∴z 的实部为2.10．(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.答案4－i解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.11．已知复数z 满足z ＋3z ＝0，则|z |＝________.答案3解析由复数z 满足z ＋3z＝0，则z 2＝－3，所以z ＝±3i ，所以|z |＝ 3.12．若复数z ＝1－i ，则z ＋1z 的虚部是________．答案－12解析z ＋1z ＝1－i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 2＝32－12i ，故虚部为－12.13．(2018·厦门质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 3，则|z |＝________.答案22解析由题意知z ＝i 31－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－i ＋12＝12－12i ，则|z |＝22.14．(2019·天津调研)已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________．答案－52解析由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ，则z 的虚部为－52.15．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解(1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，2－4>0，4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝又z ＋3＝a ＋3＋b i 的实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，0，＋3＝－b ，因为b ≠02＋b 2＝5，＝－b －3，＝－1，＝－2＝－2，＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.17．(2018·威海模拟)若复数a ＋i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C 解析由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2，因为z 在复平面内对应的点在第一象限，＋1>0，－a >0，所以－1<a <1.故选C.18．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i∈R ，则复数z ＝________.答案3解析∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝(a ＋3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3(1＋a )＋(3－a )i 4＝3(1＋a )4＋3－a 4i ∈R ，∴3－a 4＝0，即a ＝3.则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.19．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是()A ．[－1,8] B.－916，1C.－916，7 D.916，7答案A 解析由复数相等的充要条件可得＝2cos θ，－m 2＝λ＋4sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋4sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－4sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－4sin θ＋4＝4sin 2θ－4sin θ＝θ－1，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－4sin θ∈[－1,8]．20．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．。

复数的应用平面向量复数的应用——平面向量复数是数学中的一个重要分支，它在平面向量的研究中起到了关键作用。

平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，它可以用复数来表示。

本文将介绍复数在平面向量中的应用。

一、复数的定义与基本运算复数是由实数和虚数构成的数，形式可表示为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。

复数的加减法与实数的加减法相似，乘法与实数的乘法也遵循相同的规律。

二、复数表示平面向量复数可以表示平面向量的长度和方向。

对于平面上的向量AB，可以用复数表示为a+bi，其中a和b分别为向量的水平分量和竖直分量。

复数的模表示向量的长度，辐角表示向量的方向。

三、复数的加法平面向量的加法可以转化成复数的加法。

设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相加的结果为(a+c)+(b+d)i，即两个复数实部相加得到新复数的实部，虚部相加得到新复数的虚部。

四、复数的乘法平面向量的乘法可以通过复数的乘法运算来实现。

设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相乘的结果为(ac-bd)+(ad+bc)i，即两个复数的实部和虚部按照一定规律相乘。

五、复数的共轭与模的平方复数的共轭指将复数的虚部取相反数，记作z*。

对于复数z=a+bi，其共轭为z*=a-bi。

复数的模表示复数到原点的距离，可以通过复数的实部和虚部计算得到，即|z|=√(a²+b²)。

复数的模的平方可以表示为|z|²=a²+b²。

六、复数表示向量的旋转复数的辐角可以表示向量的旋转角度。

将平面上的向量表示为复数z=a+bi，其辐角θ可以通过计算得到，即θ=arctan(b/a)。

同时，可以通过构造模为1的复数来表示旋转角度θ的向量，即z=cosθ+isinθ。

七、复数的应用举例1. 平面向量的加减法可通过复数的加法和减法来实现，简化了运算过程。

2. 复数的乘法可以用于向量的缩放和旋转操作，方便了平面向量的变换。

重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。

随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。

复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。

第06讲-平面向量与复数一、高考热点牢记概念公式，避免卡壳1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念(1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数.(2)z 的共轭复数z －＝a －b i.(3)z 的模|z |＝a 2＋b 2.2.复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bdc 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0).3.平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb .两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |.(2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.活用结论规律，快速抢分1.复数的几个常用结论(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算.3.z ·z －＝|z |2＝|z －|2.4.三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB→，AC →共线； 向量P A →，PB →，PC →中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得P A →＝αPB→＋βPC →，且α＋β＝1. 5.向量的几个常用结论(1)在△ABC 中，P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心.(2)在△ABC 中，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心.(3)在△ABC 中，向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心.(4)在△ABC 中，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心.二、真题再现1．设3i12i z -=+，则z =A ．2BCD ．1【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．设z=i(2+i)，则z =A ．1+2iB ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．3．设z=-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．4．若(1i)2i z +=，则z =（ ）A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．5．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且ba b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 6．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rAB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】【分析】 本题先计算a b -r r ，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r ，所以||a b -==r r故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．7．已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t)，BC u u u v =1，则AB BC ⋅u u u v u u u v =A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u r g g ．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．8．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-v v ，则cos ,a b =v v ___________.【答案】10-【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】2826cos ,10a b a b a b ⨯-+⨯<>===-r rr r g r r g ．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．9．已知向量a v =（－4，3），b v =（6，m ），且a b ⊥v v ，则m=__________.【答案】8.【分析】利用a b ⊥r r 转化得到0a b •=r r 加以计算，得到m .【详解】向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r （），（），，则•046308a b m m =-⨯+==r r，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 10．已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2c a =r r ，则cos ,a c <>=r r ___________. 【答案】23. 【解析】【分析】根据2||c v 结合向量夹角公式求出||c v，进一步求出结果.【详解】因为2c a =v v ，0a b ⋅=v v ，所以22a c a b vv v v ⋅=⋅2=，222||4||5||9c a b b =-⋅+=v v v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v v v v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．三、名校精选1．复数421i z i -=+的虚部为( ) A ．1- B ．3- C ．1 D ．2【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.【详解】()()()()42142426131112i i i iz i i i i -----====-++-,则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi.2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2z z +=（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】【分析】由1z i =+可求出1z i =-,22(1)2z i i =+=代入原式计算即可.【详解】Q 复数1z i =+，∴1z i =-，22(1)2z i i =+=，则2121z z i i i +=-+=+.故选A ．【点睛】本题主要考查复数的基本运算,难度容易.3．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由(1)4z i -=，得4221z i i ==+-所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限.故选A 项.【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.4．已知i 是虚数单位，若32i az i +=+是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．12 C ．12- D ．2-【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z ，再令实部为0，即得解.【详解】 由于3()(2)(21)(2)22(2)(2)5i a a i a i i a aiz i i i i +-----+====+++- 若为纯虚数，则12102a a -=∴=故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z = )A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+， ||2z ∴=，故选B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．6．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =u u u v u u u v ，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数m 的值是（ ）A ．14 B ．1 C ．12 D ．32 【答案】C【解析】【分析】以,AB AC u u u v u u u v 作为基底表示出AP u u u v ，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P N ，分别是BN AC ，的中点，∴()111222AP AB BP AB BN AB AN AB AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v 111224AN AB AC +=+u u u r u u u r u u u r.又14AP mAB AC =+u u u r u u u r u uu r，∴12m =.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．7．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，()23a b +=r r ，则||a b -=r r （ ）A 3B 7C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】由()222()2()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，求解a b ⋅r r ，再根据22||()2()a b a a b b -=-⋅+r r r r r r .【详解】由于()222()2()3a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r1a b ⋅∴-=r r||a b ∴-===r r 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积在模长求解中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．35- D ．45- 【答案】B【解析】【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r ，得a b ==r r 设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．9．已知向量()()1,,,2,a k b k ==r r 若a r 与b r 方向相同，则k 等于( )A ．1B ．C ． D【答案】D【解析】【分析】依题a r //b r ，且a r 与b r 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a r 与b r 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>r r， 因为()()1,,,2a k b k ==r r ，所以(,2)b k λλλ=r ，所以12k kλλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >， 所以2k =. 故答案选：D 【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.10．如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =u u u v u u u v ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u v u u u v u u u v ，若ABC ∆的面积为23，则AP u u u v 的最小值为( )A 2B ．43 C ．3 D 3【答案】D【解析】【分析】 运用平面向量基本定理，得到m 的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可．【详解】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ()21132k AB k AC mAC AB =+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合 ABC ∆的面积为231332AC AB u u u v u u u v ⋅=得到8AC AB ⋅=u u u v u u u v ，所以AP ==≥u u u v D ． 【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难．11．已知向量(1,2)m =-v ，(1,)n λ=v ．若m n ⊥u v v ，则2m n +v v 与m u v 的夹角为_________． 【答案】4π 【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r ，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r 与m u r的夹角.【详解】 因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ， 因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m u r 的夹角为θ，因此有(2)cos 22m m n m m n θ+⋅===+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=. 【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12．已知1e r ，2e r 是夹角为120°的两个单位向量，则122a e e =+r r r 和212b e e =-r r r 的夹角的余弦值为_________．【答案】7【解析】【分析】 首先利用数量积公式求得3a b ⋅=r r,a =r b =r 利用夹角公式代入即可.【详解】设a r 与b r的夹角为θ，因为()()221221122243a b e e e e e e ⋅=+⋅-=-+=u u r u u r r r u r u u r u u r u r ，a ===rb ==r ，所以cos a b a b θ⋅===r r ．故答案为:. 【点睛】 本题考查单位向量的概念,向量数量积的计算公式及运算,向量的数乘运算.较易.13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v____________. 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算2a b +=r r .【详解】 由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ， 因此，2a b +====r r ，【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．已知向量()4,2a =v ，(),1b λ=v ，若2a b +v v 与a b -v v 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．【答案】()(12,1+U【解析】【分析】先求出2a b +r r 与a b -r r 的坐标，再根据2a b +r r 与a b -rr 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，．【详解】Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r r ，若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r 与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值， 即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-r r r r 220420λλ=+->，求得11λ<<2λ≠．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．15．在等腰ABC ∆中，已知底边2BC =，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上一点且满足2EB AE =，若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r ，则EC AB ⋅=u u u r u u u r _____． 【答案】43【解析】【分析】根据已知条件求出BA BC ⋅u u u r u u u r 和BA u u u r 的值，然后以BC uuu r 、BA u u u r 为基底表示向量EC uuu r ，利用平面向量数量积的运算律可计算出EC AB ⋅u u u r u u u r 的值.【详解】D Q 为AC 的中点，()()111222BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r r u ur ， AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，()()()22111222BD AC BC BA BC BA BC BA ∴⋅=+⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即2221BA -=-u u u r，可得BA =u u u r ， ()22222AC BC BA BC BA BC BA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2122BA BC BC ∴⋅==u u u r u u u r u u u r ， ()22224523333EC AB BC BE AB BA BC BA BA BC BA ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：43．【点睛】本题考查了向量的线性运算、数量积运算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中档题．。

1第一节平面向量的线性运算及共线定理知识梳理一向量的有关概念名称内容向量既有大小又有方向的量叫做向量向量的模向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行（共线）向量方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量平面向量有个重要特点，即可以自由平移，平移过程中不改变方向和大小，因此平行向量又叫共线向量.向量可以平移，但在几何中，具体的点、线、面相对位置固定，这是向量与几何的一个重要区别．二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a +b =b +a 结合律：(a+b )+c =a +(b +c )减法向量a 加上向量b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a +(-b )=a -b三角形法则a -b =a +(-b )数乘实数λ与向量a 的积是一个向量记作λa(1)模：|λa |=|λ||a |；(2)方向：当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0设λ，μ是实数．(1)λ(μa )=(λμ)a (2)(λ+μ)a =λa +μa (3)λ(a +b )=λa +λb .三平面向量共线定理向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b =λa .若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得AB =λAC (或BC =λAB等).推论：若OA =λOB +μOC(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ+μ=1.2题型探究一向量的基本概念与线性运算一向量的基本概念1(多选题)(2021·临沂模拟)下列命题中的真命题是( )A.若|a|=|b|，则a=bB.若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a=b，b=c，则a=cD.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b2设a，b都是非零向量，下列四个条件，使用a|a |=b|b|成立的充要条件是( )A.a=bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a∥b且方向相同1(2022·湖北宜昌)已知a，b是两个非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ，使a=λb2(2022·全国·高三专题练习)给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4名师点拨(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a与a|a |的关系是：a|a |是a方向上的单位向量．3二零向量的特殊性1下列命题正确的是( )A.向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b =λa B.在△ABC 中，AB +BC +CA=0C.不等式||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |中两个等号不可能同时成立D.若向量a ，b 不共线，则向量a +b 与向量a -b 必不共线名师点拨在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0 与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．1下列叙述正确的是( )A.若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a +b 与a ，b 其中之一的方向相同B.|a |+|b |=|a +b |⇔a 与b 的方向相同C.AB +BA =0D.若λ≠0，λa =λb ，则a =b 三向量的线性运算1如图，在梯形ABCD 中，BC =2AD ，DE =EC ，设BA =a ，BC =b ，则BE=( )A.12a +14b B.13a +56b C.23a +23b D.12a +34b 2如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB=( )A.AC -AD B.2AC -2ADC.AD -ACD.2AD -2AC41(滨州2020)已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果AB=a ，AD=b，那么向量MN=()A.12a -12bB.-12a +12bC.a +12bD.-12a -12b2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且EO=2AE，则EB=()A.16AB-56ADB.16AB+56ADC.56AB-16ADD.56AB+16AD四根据向量线性运算求参数1(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE=-2DE，若EF=xAB+yAD，则x+y=( )A.1B.6C.16D.132在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO=λAB+μBC，其中λ，μ∈R，则λ+μ等于( )A.1B.12C.13D.231(济宁2020)在平行四边形ABCD中，DE=3CE，若AE交BD于点M．且AM=λAB+μAD，则λμ=()A.23B.32C.34D.4352在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP =2PC ，AP =λAB +μAC，则2λ+μ=.名师点拨平面向量线性运算法则的选取原则(1)首先确定所选取基底的两个基向量，它们的公共起点是哪个点.(2)当所求的向量的起点和基底的公共起点相同时，用加法或数乘运算.(3)当所求的向量的起点和基底的公共起点不同时，用减法或数乘运算.(4)当所求向量是一整个线段的一部分时，用数乘运算.(5)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．(6)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．二共线向量定理及其应用一共线定理的基本应用1(2022·河南·平顶山市)已知向量e 1 ，e 2 不共线，且向量λe 1 +3e 2 与2e 1 -5e 2 平行，则实数λ=()A.-35B.-65C.-103D.-42已知向量e 1，e 2不共线，如果AB =e 1+2e 2，BC =-5e 1+6e 2，CD=7e 1-2e 2，则共线的三个点是.名师点拨平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b =λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．61设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线．3引申上例中，若ka +b与a+kb反向，则k=；若ka+b与a+kb同向，则k=.2(2022·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c=λa+b，d=a+(2λ-1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )A.1B.-12C.1或-12D.-1或-123已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于( ) A.a B.bC.cD.0二向量共线定理的综合应用1(2022·全国·高三专题练习)在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE交AF于点G，则AG=()A.25AB-45BCB.25AB+45BCC.-25AB+45BCD.-25AB-BC72(2022·青海·海东市)已知在△ABC 中，AD =-3BD ，CD =λCE ，AE =μAB +23AC，则μ=()A.14 B.12C.34D.11(2022·河南郑州)在△ABC 中，D 是BC 上一点，BD =2DC ，M 是线段AD 上一点，BM =tBA+14BC，则t =()A.12B.23C.34D.582如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 满足AN =23AB，AM 与CN 交于点D ，AD =λAM ，则λ等于()A.23B.34C.45D.568跟踪测验基础巩固1P是△ABC所在平面上一点，满足P A+PB+PC=2AB，△ABC的面积是S1，△P AB的面积是S2，则( )A.S1=4S2B.S1=3S2C.S1=2S2 D.S1=S22如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE=G，则()A.AF=AD+12ABB.EF=12(AD+AB)C.AG=23AD-13ABD.BG=3GD3(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A.若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC，则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM，则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC，且x+y=12，则△MBC的面积是△ABC面积的124(2022·全国·高三专题练习)若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足AG=xAM+yAN，其中x+y=1．若AM=35AB，则△AMN与△ABC的面积之比为．5设a，b是平面内两个向量，“|a|=|a+b|”是“|b|=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6已知向量a和b不共线，向量AB=a+mb，BC=5a+3b，CD=-3a+3b，若A，B，D三点共线，则m等于()A.3B.2C.1D.-27在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，则|a-b+c|等于()A.1B.2C.3D.48如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，且FC=λFD+μFE，则λ+μ等于()A.1B.2C.3D.499已知△ABO 中，OA =OB =1，∠AOB =π3，若OC 与线段AB 交于点P ，且满足OC =λOA+μOB ，|OC|=3，则λ+μ的最大值为()A.23B.1C.3D.210(2022·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA +2EB+3FC=(　D )A.12ADB.32ADC.12ACD.32AC能力提升11已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA -4OB +3OC =0，则|AB||CA |等于()A.13B.34C.12D.4312已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是()A.|MA |=|MB |=|MC |B.MA +MB +MC =0C.BM =23BA +13BDD.S △MBC =13S △ABC13设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP =25AB+15AC ，AQ =14AB +23AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为()A.45B.85C.43D.31014(2023·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD |=13|AC|，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数x ，y 满足AQ =xAB +yAC ，则1x+1y的最小值为．15(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若BM =13BC ，则AM =13AC +23ABB.若AM =2AC -3AB ，则点M ，B ，C 三点共线C.若点M 是△ABC 的重心，则MA +MB +MC=0D.若AM =xAB +yAC 且x +y =13，则△MBC的面积是△ABC 面积的2316如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC=CN CE =r ，当r =时，B ，M ，N 三点共线．17(2022·全国·高三专题练习)直角三角形ABC中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP =2PC，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM=mAB ，AN =nAC ，m >0,n >0 ，则下列结论错误的是()A.1m+2n 为常数B.m +n 的最小值为169C.m +2n 的最小值为3D.m 、n 的值可以为m =12，n =21018如图，在△ABC 中，AQ =QC ，AR =13AB，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ；(2)如果AI =AB +λBQ =AC +μCR，求实数λ和μ的值；(3)确定点P 在边BC 上的位置.第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示知识梳理一平面向量基本定理如果e1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.若e1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得：a =x i +y j ，那么(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a=(x ，y )，显然i =(1,0)，j =(0,1)，0 =(0,0).三平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2)，a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，λa =(λx 1，λy 1)，|a |=x 21+y 21.2向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB =(x 2-x 1，y 2-y 1)，|AB|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.四向量共线的坐标表示若a =(x1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.五常用结论1向已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为x 1+x 22，y 1+y 22；2已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33 .第二节基本定理及坐标表示题型探究一平面向量基本定理一识别一组基底1下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e 1=(0,0)，e 2=(1,2)B.e 1=(2，-3)，e 2=12，-34C.e 1=(3,5)，e 2=(6,10)D.e 1=(-1,2)，e 2=(5,7)二基本定理的应用1在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD =2DC ，CE =3EA ，若AB =a ，AC=b ，则DE 等于( )A.13a +512bB.13a -1312bC.-13a -512bD.-13a +1312b 2已知在△ABC 中，点O 满足OA +OB +OC=0，点P 是线段OC 上异于端点的任意一点，且OP =mOA+nOB ，则m +n 的取值范围是.名师点拨应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．1如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE =2EO ，则ED等于()A.13AD -23AB B.23AD +13AB C.23AD -13AB D.13AD +23AB第五章平面向量复数2(2023·天津模拟)已知在△ABC 中，AB =a ，AC=b ，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，若BP=xa +yb ，则x +y =.3(多选)下列命题中正确的是()A.若p =xa +yb ，则p 与a ，b 共面B.若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y 使得p =xa +ybC.若MP =xMA +yMB ，则P ，M ，A ，B 共面D.若P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y 使得MP =xMA +yMB二平面向量的坐标运算一坐标的基本运算1(1)已知A (-2,4)，B (3，-1)，C (-3，-4)．设AB =a ，BC =b ，CA=c ，且CM =3c ，CN =-2b .①求3a +b -3c ；②求满足a =mb +nc 的实数m ，n ；③求M ，N 的坐标及向量MN的坐标．(2)设向量a ，b 满足|a |=25，b =(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为.2(2015·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC=(-4，-3)，则向量BC =()A.(-7，-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)名师点拨平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．第二节基本定理及坐标表示1如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD =DC =2AB ，E 为AD 的中点，若CA =λCE+μDB(λ，μ∈R )，则λ+μ的值为()A.65B.85C.2D.832已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底a ，b 表示c ，则()A.c =2a -3bB.c =-2a -3bC.c =-3a +2bD.c =3a -2b二向量共线的坐标表示1(2022·海南文昌)已知a =(1,3)，b =(-2，k )，且(a +2b )∥(3a -b )，则实数k =.2(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a =(1,2)，b =(2，-2)，c =(1，λ)．若c ∥(2a +b )，则λ=.三利用向量共线求解综合问题1(角度1)已知向量OA=(k ,12)，OB =(4,5)，OC =(-k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k =.2在△ABC 中，若AD=2DB ，CD =13CA +λCB ，则λ=( )A.-13B.-23C.13D.23名师点拨利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求一个与已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是：x 1y 2-x 2y 1=0”比较简捷．第五章平面向量复数1如图△ABC 中，AE =EB ，CF =2FA ，BF 交CE 于G ，AG =xAE +yAF，则x +y =( )A.25 B.35C.45D.752(2022·山东曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +29AC，则实数m 的值为()A.13B.19C.1D.3跟踪测验基础巩固1(2022·巴中模拟)向量AB =(2,3)，AC=(4,7)，则BC等于()A.(-2，-4) B.(2,4)C.(6,10)　D.(-6，-10)2设向量a =(2,4)与向量b =(x ,6)共线，则实数x =()A.2　B.3　C.4　D.63(2022·陕西汉中月考)已知向a ，b 满足a -b =(1，-5)，a +2b =(-2,1)，则b =()A.(1,2)B.(1，-2)C.(-1,2)D.(-1，-2)4(2022·山西晋中)若向量a =(1,1)，b =(-1,1)，c =(4,2)，则c =()A.3a +b B.3a -b C.-a +3b D.a +3b5(多选)下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A.a =(1,2)，b =(0,0)B.a =(1，-2)，b =(3,5)C.a =(3,2)，b =(9,6)D.a =-34，12，b =(-3，-2)6向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa +μb (λ，μ∈R )，则λμ=()第二节基本定理及坐标表示A.2B.4C.12 D.147(多选)已知M (3，-2)，N (-5，-1)，且|MP|=12|MN|，则P 点的坐标为()A.(-8,1) B.-1，-32C.1，32D.7，-528已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC =2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为.9(2021·广西贺州联考)已知向量AB=(m ，n )，BD =(2,1)，AD=(3,8)，则mn =.10设向量a =(3,2)，b =(-1,3)，向量λa -2b 与a +b 平行，则实数λ=.11(2022·江西南昌模拟)已知向量a =(m ，n )，b =(1，-2)，若|a |=25，a =λb (λ<0)，则m -n =.12已知a =(1,0)，b =(2,1)．(1)当k 为何值时，ka -b 与a +2b 共线；(2)若AB =2a +3b ，BC=a +mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．13已知向量a =(sin θ，cos θ-2sin θ)，b =(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |=|b |,0<θ<π，求θ的值．能力提升14如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e 1与e 1+e 2B.e 1-2e 2与e 1+2e 2C.e 1+e 2与e 1-e 2D.e 1-2e 2与-e 1+2e 215已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且P A+PB +PC=0，则()A.P A =-13BA +23BCB.P A =23BA +13BCC.P A =-13BA -23BCD.P A =23BA -13BC第五章平面向量复数16(2023·南京模拟)设平面向量a =(1,2)，b =(-2，y )，若a ∥b ，则|3a +b |等于()A.5B.6C.17D.2617(2021·豫南九校联考)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量有()A.OA+2OB B.12OA +13OBC.34OA +OB D.34OA -15OB18如图，在正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边BC ，CD 的中点，AP =x AC +y BQ，则x 等于()A.1113B.65C.56D.3219在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，BM =a ，BN =b ，则BD 等于()A.34a +23b B.23a +23b C.23a +34b D.34a +34b 20如图，扇形的半径为1，且OA⊥OB ，点C 在弧AB 上运动，若OC =xOA+yOB ，则2x +y 的最小值是．第三节平面向量的数量积运算第三节平面向量的数量积运算知识梳理一平面向量的夹角两个非零向量a 与b ，过O 点作OA=a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角；两个向量夹角的范围是[0，π]，规定零向量0 与任意向量的夹角为0；a 与b 的夹角为π2时，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .二平面向量的数量积1定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 ·a =0.2几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．注意：该“投影”为老教材中的概念，但可以帮助我们理解数量积的几何意义.三平面向量数量积的性质及其坐标表示1设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．①数量积：a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.②模：|a |=a ·a =x 21+y 21.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |=|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.④夹角：cos θ=a ·b|a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22.⑤已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.(或|a ·b |=|a |·|b |)．⑥|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2+y 1y 2|≤x 21+y 21·x 22+y 22.2平面向量数量积的运算律①a ·b =b ·a (交换律)；②λa ·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(结合律)；③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律)．3平面向量数量积运算的常用公式①(a +b )·(a -b )=a 2-b 2；②(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2.第五章平面向量复数四平面向量数量积的注意事项1两个向量的数量积是一个实数．∴0 ·a =0而0·a =0.2数量积不满足结合律(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )．3a ·b 中的“·”不能省略．a ·a =a 2=|a |2.4向量a 与b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a 与b 不共线；a 与b 的夹角为钝角⇔a ·b <0，且a 与b 不共线．当a 、b 为非零向量时a 、b 同向⇔a ·b =|a ||b |；a 、b反向⇔a ·b =-|a ||b |.5a 在b 方向上的投影|a |·cos θ=a ·b|b |.（老教材中概念）五投影向量（新教材中概念）设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，AB =a ，CD =b ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1 叫做向量a 在向量b 上的投影向量（记为|a |cos θb |b |）．设e 是与b 方向相同的单位向量，则投影向量记为|a |cos θe .MONM 1abθ（1）MO NM 1abθ（2）MONM 1abθ（3）如图，在平面内取一点O ，作OM =a ，ON=b .记a 与b 的夹角是θ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1 就是向量a 在向量b 上的投影向量.即OM 1 =|a|cos θb|b |，又因为θcos =a ·b|a ||b |，所以OM 1 =|a |cos θb |b |=|a|⋅a ·b |a ||b |⋅b |b |=a ·b |b |⋅b |b |=a ·b ⋅b |b|2ABC DA 1B 1ab第三节平面向量的数量积运算题型探究一投影向量1(2023·广西·模拟预测)向量a=23,2 在向量b =1,3 上的投影向量为()A.32B.34,34C.3,3D.342(2023上·广东广州·白云中学校考)已知向量a =0,-2 ，b =1,t ，若向量b 在向量a上的投影向量为-12a，则a ⋅b =()A.-2B.-52C.2D.1123在等边△ABC 中，AD=2AB +3AC ，则向量AD 在向量BC 上的投影向量为()A.13BCB.12BCC.-13BCD.-12BC4已知向量a =1,3 ，b =-2,m ，若向量a在向量b 方向上的投影为-3，则m 的值为()A.3B.-3C.-233D.2331(2024·全国·模拟预测)已知向量a =1,3 ，b =-2,m ，若向量a 在向量b 上的投影向量为-34b，则实数m 的值为()A.3 B.-3C.-233D.2332已知a =1,2 ，若b =1，且a ,b =π6，则b 在a 方向上投影向量的坐标为.第五章平面向量复数3已知a ,b 为平面向量，b =2．若a 在b 方向上的投影向量为b2，则a -b ⋅b=.4(2023上·贵州贵阳·高三校考)如果平面向量a =1,-1 ,b =-6,2 ，则向量a +b 在a 上的投影向量的坐标为.5向量AB =2,1 在向量AC =0,12 上的投影向量为λAC ，则AB +λAC =()A.23B.22C.8D.12二平面向量数量积的运算1已知向量e 1，e 2，|e 1|=1，e 2=(1，3)，e 1，e 2的夹角为60°，则(e 1+e 2)·e 2=()A.355B.255C.5D.52已知点A ，B ，C 满足|AB |=3，|BC |=4，|CA |=5，则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB的值是.反思感悟向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b =|a ||b |cos θ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示所求数量积的向量求解．(4)建系用坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2))．1(2021·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中，|AB +AC |=|AB -AC |，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE ·AF=()A.109 B.259C.269D.89第三节平面向量的数量积运算三向量的模、夹角一向量的模1若平面向量a 、b 的夹角为60°，且a =(1，-3)，|b |=3，则|2a -b |的值为()A.13B.37C.13D.12(2022·黄冈调研)已知平面向量m ，n 的夹角为π6，且|m |=3，|n |=2，在△ABC 中，AB =2m +2n ，AC =2m -6n ，D 为BC 的中点，则|AD |=.3(2021·全国甲)若向量a ，b 满足|a |=3，|a -b |=5，a ·b =1，则|b |=.反思感悟平面向量的模的解题方法(1)若向量a 是以坐标(x ，y )形式出现的，求向量a 的模可直接利用|a |=x 2+y 2.(2)若向量a ，b 是非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2=a 2=a ·a ，或|a ±b |2=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”二向量的夹角1(2021·八省联考)已知单位向量a ，b 满足a ·b =0，若向量c =7a +2b ，则sin <a ，c >=()A.73B.23C.79D.292(2020·全国Ⅲ理)已知向量a ，b 满足|a |=5，|b |=6，a ·b =-6，则cos 〈a ，a +b 〉=()A.-3135B.-1935C.1735D.19353(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知非零向量a ，b 满足|a |=2|b |，且(a -b )⊥b ，则a 与b 的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6第五章平面向量复数反思感悟求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式：cos θ=a ·b|a ||b |.(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．三平面向量的垂直1(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是()A.a +2bB.2a +bC.a -2bD.2a -b2(2022·安徽宣城调研)已知在△ABC 中，∠A =120°，且AB =3，AC =4，若AP =λAB +AC ，且AP⊥BC，则实数λ的值为()A.2215B.103C.6D.1273(2021·全国乙，14,5分)已知向量a =(1,3)，b =(3,4)，若(a -λb )⊥b ，则λ=.反思感悟平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a ·b =0求解．1(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka -b 与a 垂直，则k =.2(2021·山西康杰中学期中)已知向量a 、b 满足|b |=2|a |=2，a 与b 的夹角为120°，则|a -2b |=()A.13B.21C.13D.213(2021·江西七校联考)已知向量a =(1，3)，b =(3，m )，且b 在a 上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为.第三节平面向量的数量积运算四数量积的综合应用一有关数量积的最值(范围)问题1(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ·(PB +PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-12(2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ·AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)反思感悟平面向量中有关最值(范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．1已知向量a ，b ，c 满足|a |=|b |=a ·b =2，(a -c )·(b -2c )=0，则|b -c |的最小值为()A.7-32B.3-12C.32D.722已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0，则|c |的最大值是()A.1B.2C.2D.22二用已知向量表示未知向量1(2023·六安模拟)在等边△ABC 中，AB =6，BC =3BD ，AM =2AD ，则MC ·MB=.第五章平面向量复数2已知正方形ABCD 的对角线AC =2，点P 在另一条对角线BD 上，则AP ·AC的值为()A.-2B.2C.1D.43如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD =2，∠BAD =π4，若AB ·AC =2AB ·AD ，则AD ·AC=.1已知△ABC 满足AB =1，AC =2，O 为∠BAC 的平分线与边BC 的垂直平分线的交点，AO=354，则AB ⋅AC =()A.32B.35C.65D.4552正三角形△ABC 中，AB =2，P 为BC 上的靠近B 的四等分点，D 为BC 的中点，则AP ⋅BD=()A.-12B.14C.34D.323如图，平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =2且∠BAD =60°，M 为边CD 的中点，AD在AB 上投影向量是AD，则AD ⋅AM =.第三节平面向量的数量积运算跟踪测验基础巩固1已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a -b )·b =()A.-1B.0C.1D.22若向量a 与b 的夹角为60°，a =(2,0)，|a +2b |=23，则|b |=()A.3　B.1　C.4　D.33已知向量a =(k ,3)，b =(1,4)，c =(2,1)，且(2a -3b )⊥c ，则实数k =()A.-92B.0C.3D.1524(2022·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8.若CE =-7DE ，3BF =FC ，则AF ·BE =()A.11　B.10　C.-10　D.-115(2021·甘肃兰州模拟)已知非零单位向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则a 与b -a 的夹角为()A.π6 B.π3 C.π4 D.3π46已知向量a =(-2，-1)，b =(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是()A.-12，+∞ B.(2，+∞)C.-12，2 ∪(2，+∞)　D.-12，0 ∪0，+∞ 7(多选)已知两个不等的平面向量a ,b 满足a=1,λ ,b=λ-1,2 ，其中λ是常数，则下列说法正确的是( )A.若a ⎳b，则λ=-1或λ=2B.若a ⊥b ，则a -b 在a +b 上的投影向量的坐标是-15,-75 C.当a +2b 取得最小值时，a =295D.若a ,b 的夹角为锐角，则λ的范围为13,+∞ 8(多选)(2021·武汉调研)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB ·AC 的值()A.与圆C 的半径有关　B.与圆C 的半径无关C.与弦AB 的长度有关　D.与点A ，B 的位置有关9(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a =(2,2)，b =(-8,6)，则cos a ，b=.10已知向量a =(3,4)，b =(x ,1)，若(a -b )⊥a ，则实数x 等于.11(2021·新高考Ⅱ)已知向量a +b +c =0，|a |=1，|b |=|c |=2，a ·b +b ·c +c ·a =12已知b 在a上的投影向量的坐标为(4,-3)，a=4，则a ⋅(a-2b )=．第五章平面向量复数13已知|a |=4，|b |=3，(2a -3b )·(2a +b)=61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a +b |；(3)若AB =a ，BC =b ，求△ABC 的面积．14已知空间三点A 2,0,-2 ，B 1,-1,-2 ，C 3,0,-4 ．(1)求向量AB 与AC夹角θ的余弦值；(2)求向量AB 在向量AC 上的投影向量a．能力提升15若向量a ，b 满足|a |=10，b =(-2,1)，a ·b =5，则a 与b 的夹角为()A.90°　B.60°　C.45°　D.30°16(2022·新乡质检)已知向量a =(0,2)，b =(23，x )，且a 与b 的夹角为π3，则x =()A.-2 B.2　C.1　D.-117在△ABC 中，AP =PB ，且|CP|=23，|CA |=8，∠ACB =2π3，则CP ·CA =()A.24 B.12C.243　D.12318如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA =OB =1，AB =4AC ，则OC ·(OB -OA)=.19(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD=λBC ，AD ·AB =-32，则实数λ的值为；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN |=1，则DM ·DN的最小值为.20在△ABC 中，AB =3AC =9，AC ·AB=AC 2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A 2+PB 2+PC 2取得最小值时，求P A ·BC的值．第四节平面向量的综合应用第四节平面向量的综合应用知识梳理一平面向量在几何中的应用1用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，b ≠0垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ=a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |=a 2=x 2+y 2，其中a =(x ，y )，a 为非零向量2向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题．二平面向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．三平面向量与其他知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．四三角形的“四心”1三角形的重心G （三角形三条中线的交点）2三角形的外心O （三角形三条垂直平分线的交点）3三角形的内心I （三角形三条角平分线的交点）4三角形的垂心H （三角形三条高线的交点）第五章平面向量复数题型探究一平面向量与平面几何名师点拨平面几何问题的向量解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来求解．一判断三角形的形状名师点拨三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB |=|AC|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB ·AC=0，则△ABC 为直角三角形；③若AB ·AC<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB ·AC >0，BA ·BC >0，且CA ·CB >0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB +AC |=|AB -AC|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB +AC )·BC=0，则△ABC 为等腰三角形．1若P 为△ABC 所在平面内一点，且|P A -PB |=|P A +PB -2PC|，且△ABC 的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2(2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA)=0，则△ABC 的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形引申若条件改为“|OB -OC |=|OB +OC -2OA|”，则选()引申若条件改为“AB 2=AB ·AC +BA ·BC +CA ·CB”，则选()。