高考不等式题型及解题方法

ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

第4讲基本不等式及其应用知识梳理1、基本不等式如果00a b >>，，那么2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，R +，则2a b+≥a b +≥），当且仅当a b =时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）()()()2000,0.a a R a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a b+≥“a b =”时取“”）．特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）．（3）其他变形：①()2222a b a b++≥（沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式）②222a b ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式）③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式）④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,x y R +∈．（1）如果x y S +=（定值），则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭（当且仅当“x y =”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xy P =（定值），则x y +≥=“x y =”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：0,0)n mx m n x +≥>>，当且仅当x =模型二：()(0,0)n nmx m x a ma ma m n x a x a+=-++≥+>>--，当且仅当x a -=模型三：210,0)x a c c ax bx c ax b x=≤>>++++，当且仅当x =时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mx n mx mx n mx n nx n mx m n x m m m m-+--=≤⋅=>><<（，当且仅当2nx m=时等号成立．必考题型全归纳题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A ．)0,02a ba b +≥>>B ．)20,0aba b a b≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【答案】C【解析】由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++-===-=-=，在Rt OCD △中，CD =所以OC OD ≤，即)0,02a ba b +>>，故选：C例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+B ．2x y y x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D【解析】x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y+≥2y xx y+≥，2xy x y =+当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知0ab ≠，求ab ba+的最小值；解答过程：2a b b a +≥=；②求函数2y 2y =≥；③设1x >，求21y x x =+-的最小值；解答过程：21y x x =+≥-当且仅当21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入4．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab <，a bb a与均为负值，此时2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a=，即0a b =<时等号成立，故①的用法有误，故①错误；对②：2y ≥，1=时取等号，2≥，则等号取不到，故②的用法有误；对③：1x >，10x ->，2211111y x x x x =+=-++≥--，当且仅当1x -=，即1x =+时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A .题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．例4．（2024·河北·高三学业考试）若x ，y +∈R ，且23x y +=，则xy 的最大值为______．【答案】98【解析】由题知，x ，y +∈R ，且23x y +=因为2x y +≥所以3≥所以98xy ≥，即98xy ≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，取等号，故答案为：98例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】因为3a b ab +=-≥a b =时，等号成立），所以230-≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：9例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为___________.【答案】【解析】∵0a >，0b >，1a b +=，∴22a b+≥==22a b =即12a b ==时取等号.故答案为：题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．例7．（2024·全国·高三专题练习）若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为___________.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>+，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.故答案为：0例8．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，则4221x x ++的最小值为__________.【答案】3【解析】442211132121x x x x +=++-≥-=++，当且仅当212x +=，即12x =时，等号成立.故答案为：3.例9．（2024·全国·高三专题练习）若1x >，则2221x x x ++-的最小值为______【答案】4+/4+【解析】由1x >，则10x ->.因为()()22221415x x x x ++=-+-+，所以()22251411x x x x x ++=-++--44≥=+，当且仅当511x x -=-，即1x =+时等号成立，故2221x x x ++-的最小值为4.故答案为：4.例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x 的不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则1241b cb ++-的最小值为_________．【答案】8【解析】因为不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则22Δ404b bc c =-≤⇒≥，因为1b >，所以10b ->，∴2212421(1)4(1)4111b c b b b b b b b ++++-+-+≥=---4(1)4481b b =-++≥+=-．当且仅当411b b -=-，即3b =时，取到等号．故答案为：8题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++884222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即,a b ==222取等号.故选：B.例12．（2024·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44xy y y x xy xy x -+=+=+≥=，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+≥.故答案为:2例13．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，满足2220x xy +-=，则2x y +的最小值是______．.【解析】由2220x xy +-=，得21222x x y x x -==-，(x ∈所以113222222x x x y x x x +=+-=+≥==当且仅当312x x =即3x =时等号成立，所以2x y +.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（）A．3B．C．1+D．2【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例15．（2024·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】由题意，0a >，0b >，0c >，2a b c ++=得：2a b c +=-，设2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，故44242421122a b c a b c c c c c m n+-+=+=+-=+-+--422()1312m n n m m n m n +=⨯+-=++-≥，当且仅当222m n =，即42m n c =-==时取得等号，故4a ba b c+++的最小值为2+故答案为：2+例16．（2024·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．【答案】35+．【解析】令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315{{43225λλμλμμ=+=⇒+==，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b+++=+⋅+++=++++++++3355+≥=，当且仅当21{2(3)34343a b a b a b a b a b+=++⋅++时，等号成立，即11343a b a b +++题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，则2a b +的最小值为______．【答案】7+7【解析】∵直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，231a b∴+=．()232622777b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即2a =3b =时取等号．2a b ∴+的最小值为7+故答案为：7+例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知0,0,23a b a b >>+=，则4212b a b-+的最小值为__________.【答案】73【解析】0,0,23a b a b >>+= ，()4211111112471212122323233b a b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当322a b ==时取等号，则4212b a b -+的最小值为73.故答案为：73例19．（2024·湖南衡阳·高三校考期中）已知13x >，2y >，且37x y +=，则11312x y +--的最小值为______.【答案】1【解析】因为37x y +=，所以3124x y -+-=，即312144x y --+=，因为13x >，2y >，所以3120,044x y -->>，1111312()(31231244x y x y x y --+=++----13111144(31)4(2)422x y y x -=++++---=，当且仅当314(31)4(22)y x x y ----=，即1,4x y ==时取等号.所以11312x y +--的最小值为1.故答案为：1例20．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为4111a b b +=++，所以()()412111a b a b b a b b ⎛⎫⎡⎤+=++++- ⎪⎣⎦++⎝⎭()41411481b a ba b b ++=+-++≥+=++，当且仅当()411b a ba bb ++=++，即4,2a b ==时，取等号，所以2+a b 的最小值为8.故答案为：8.题型七：齐次化求最值【解题方法总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．例21．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c ，3a b +=，则331ac c b ab c +++的最小值为_______________．【答案】2/2-+【解析】由正实数a ，b ，3a b +=，可得2()33a b +=，所以22()333333(111a b a ac c a c c b ab c b ab c ab c ++++=⨯++=⨯++++22423423()313331a ab b a bc cab c b a c +++=⨯+=⨯+++++而44333a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =即24,33a b ==时取等号，故334233()2(1)213311ac c c c b ab c c c ++≥++=++-+++2≥，当且仅当32(1)1c c +=+时，即1c =时取等号，故答案为：2例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号．故答案为：6.例23．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，则222224xy xyx y x y +++的最大值是____________.【答案】3【解析】222222144xy xy x y x y x y x y y x y x+=+++++，设(0)x t t y=>，所以原式=322422223()2123(2)41441545t t t t t t t t t t t t t t t t+++=+==++++++++，令2(0),u t t u t=+>∴≥所以原式=2333311139u u u u =≤=++.(函数1y u u=+在)+∞上单调递增)故答案为：3题型八：利用基本不等式证明不等式【解题方法总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．例24．（2024·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc+++≥【解析】,,a b c都是正数，0a b ∴+≥>（当且仅当a b =时取等号）；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）；0c a +≥>（当且仅当c a =时取等号）；()()()8a b b c c a abc ∴+++≥=（当且仅当a b c ==时取等号），即()()()8a b b c c a abc +++≥.例25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x ，y ，z 为正数，证明：(1)若2xyz =，则2221112x y z x y z ++++≤；(2)若229x y z ++=，则2229x y z ++≥．【解析】（1）因为2xyz =，所以2222y z yz x +=≤，同理可得2222x z y +≤，2222x y z +≤，所以222222222222y z x z x y x y z +++++≤++，故2221112x y z x y z ++++≤，当且仅当x y z ==时等号成立．（2）()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++，因为229x y z ++=，所以2229x y z ++≥，当且仅当2x y z ==时等号成立．例26．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知函数()21f x x x m =+++，若()3f x ≤的解集为[],1n ．(1)求实数m ，n 的值；(2)已知,a b 均为正数，且满足12202m a b++=，求证：22168a b +≥．【解析】（1）因为()3f x ≤的解集为[],1n ，所以(1)3f ≤，即3|1|3m ++≤，所以|1|0m +≤，又|1|0m +≥，所以10m +=，即1m =-.所以()|21||1|f x x x =++-，当12x <-时，()21133f x x x x =---+=-≤,得1x ≥-，则112x -≤<-，当112x -≤≤时，()21123f x x x x =+-+=+≤，得112x -≤≤，当1x >时，()2113f x x x x =++-=3≤，得1x ≤，不成立，综上所述：()3f x ≤的解集为[1,1]-，因为()3f x ≤的解集为[],1n ．所以1n =-.（2）由（1）知，1m =-，所以1222a b+=(0,0)a b >>，所以1222a b =+≥=，当且仅当12a =，2b =时，等号成立，所以1≥ab ，所以22168a b ab +≥=8≥，当且仅当12a =，2b =时，等号成立.题型九：利用基本不等式解决实际问题【解题方法总结】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．例27．（2024·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.例28．（2024·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21()200800002f x x x =-+．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【解析】（1）该单位每月的月处理成本：2211()20080000(200)6000022f x x x x =-+=-+，因100600x ≤≤，函数()f x 在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增，从而得当200x =时，函数()f x 取得最小值，即min ()(200)60000f x f ==.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：21()20080000(100600)2f x x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：()800002002002002f x x xx =+-≥=当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．例29．（2024·湖北孝感·高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）.的变化用指数模型()0ektc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln20.693≈，ln3 1.099≈）(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米(0)a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？【解析】（1）由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 26.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．（2）由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504ay x x=⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08ay x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥768001200a x x =，即x =.故当8≤，即1a ≤，x =时总价最低；当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.题型十：与a b +、平方和、ab 有关问题的最值【解题方法总结】利用基本不等式变形求解例30．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）若实数a ，b 满足221a b ab +=+，则（）A ．1a b -≥-B ．a b -C ．13ab ≥-D ．13ab ≤【答案】BC【解析】221a b ab +=+ ,当0ab >时，222121a b ab ab ab ab +≥⇒+≥⇒≤，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立，得01ab <≤，当0ab <时，2212123a b ab ab ab ab +≥-⇒+≥-⇒≥-，当且仅当a b ==33a b =-=时等号成立，得103ab -≤<，当0ab =时，由221a b ab +=+可得0,1a b ==±或0,1b a ==±综合可得113ab -≤≤，故C 正确，D 错误；222221()11()b ab ab a b b a b b a a a +-=-⇒-=-⇒-=- ，当13ab ≥-时，22141()()33a b a b a b --≥-⇒-≤⇒≤-，故A 错误，B 正确；故选：BC.例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且11a b+=，则（）A ．1b a+的最小值为4B ．221a b +的最小值为14C ．ab 的最大值为14D ．12b a -1【答案】ACD【解析】11111124b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则A 正确；222211112224a a b b ⎛⎫++ ⎪⎛⎫≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，即22112a b +≥，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则B 错误；221111124b a b b b b b b --⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭，当112b =，即2b =时，max 14a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C正确；1111111222b b b a b b b --=-=+-≥-=，当且仅当12a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时取等号，则D 正确.故选：ACD例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，且30x y xy +-+=，则下列说法正确的是（）A ．312xy <≤B ．6x y +≥C ．2218x y +≥D ．11103x y <+≤【答案】BC【解析】对于A：由3xy x y -=+≥，得3xy -≥x y =时，等号成立230-≥3≥，即9xy ≥，故A 不正确；对于B ：由232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，得232x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，当且仅当x y =时，等号成立即()()21240y x x y +-+-≥，解得6x y +≥，或2x y +≤-（舍去），故B 正确；对于C ：()()()()()2222222326x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-++=+-+-，令6t x y =+≥，()()22222261761718x y t t t +=--=----=≥，即2218x y +≥，故C 正确；对于D ，11331x y xy x y xy xy xy +-+===-，令9t xy =≥，113321193x y t +=--=≥，即1123x y +≥，故D 不正确，故选：BC ．例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值为14B ．22a b +的最小值为12C ．41a b+的最小值为9D 【答案】ABC【解析】对于A ，因为0a >，0b >，1a b +=，则21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，因为222(22a b a b ++≤，故2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，即22a b +的最小值12，故B 正确；对于C ，41414()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b =且1a b +=，即13b =，23a =时取等号，所以41a b+的最小值为9，故C 正确；对于D ，2111222+=++⨯=，≤12a b ==D 错误．故选：ABC.。

利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a+1≥2a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；故选：B.【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.22【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x-4≥2x×4x-4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立．故选：B．2(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2-x+9x=x+9x-1≥2x⋅9x-1=5，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，故选：C.3(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【解题思路】依题意可得3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2≥7+21x2⋅12x2=7+43，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故3+1 x21+4x2的最小值为7+4 3.故选：D.【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a-1=a-1+16a-1+1≥2a-1⋅16a-1+1=9，当且仅当a-1=16a-1时取等号，即a=5时取等号，故选：B.【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x-3>0，则y=2x-3+2(x-3)+6≥22x-3⋅2(x-3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.2(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x-2>0，所以y=4x-1+4x-2=4x-2+4x-2+7≥24x-2⋅4x-2+7=15，当且仅当4x -2 =4x -2，即x =3时等号成立，所以函数y =4x -1+4x -2的最小值为15，故选:D ．3(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则2xx -1+4y y -1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则有1x +1y=1，所以x >1，y >1，2x x -1+4y y -1=2x -1 +2x -1+4y -1 +4y -1=6+2x -1+4y -1≥6+22x -1⋅4y -1=6+28xy -x +y +1=6+42，当且仅当2x -1=4y -1，即x =1+22,y =1+2时等号成立.所以2x x -1+4y y -1的最小值为6+4 2.故选：D .【题型3 常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a >0，b >0，若2a +3b=1，则2a +b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a >0，b >0，2a +3b=1，所以2a +b 3=2a +b 3 2a +3b =4+1+2b 3a +6ab ≥5+22b 3a ×6a b=9，当且仅当2b 3a =6ab 时，即a =3，b =9，取等号，故B 项正确.故选：B .【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，点M 1,4 在直线xa +y b=1上，则a +b 的最小值为()A.4B.6C.9D.12【解题思路】根据题意可得1a+4b=1，结合基本不等式运算求解.【解答过程】由题意得1a+4b=1，且a>0,b>0，故a+b=a+b⋅1a+4b=5+b a+4a b≥5+2b a×4a b=9，当且仅当ba=4ab，即a=3，b=6时，等号成立.故选：C.2(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴2y+8x=1,x+y=x+y2y+8x=2x y+8+2+8y x≥22x y×8y x+10=18,∴2 x+y ≤218=19.故选:D.3(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解题思路】首先根据题意求出0≤a<12，0<b≤1，然后将原式变形得2a2a+1+b2+1b=2a+1+1b-1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a+b=1，且a,b为非负实数，b≠0，则a≥0,b>0则b=1-2a>0，解得0≤a<12，2a=1-b≥0，解得0<b≤1，∴2a2 a+1+b2+1b=2(a+1)2-4(a+1)+2a+1+b2+1b=2(a+1)-4+2a+1+b+1b=(2a+b-2)+2a+1+1b=2a+1+1b-12 a+1+1b=42a+2+1b=13(2a+2)+b⋅42a+2+1b=135+4b2a+2+2a+2b≥135+24b2a+2⋅2a+2b=3，当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，故2a+1+1b-1min=2，故选：B.【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为12.【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x-4=9y，可得x-4=2y，即x=2y+4，代入x+8y中，可得2y+4+8y=2y+8y+4≥22y⋅8y+4=12,当且仅当y=2,x=8时，取等号，所以x+8y的最小值为12.故答案为：12.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为62-5.【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2-3x+14x+1，设t=x+1，求得x2-3x+14x+1=t+18t-5，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得y=7-2xx+1，则x+2y=x+2×7-2xx+1=x2-3x+14x+1，设t=x+1，可得x=t-1且t>1，可得x2-3x+14x+1=t2-5t+18t=t+18t-5≥2t⋅18t-5=62-5，当且仅当t=18t时，即t=32时，等号成立，所以x+2y的最小值为62-5.故答案为：62-5.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13.【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b-2>0，由于b>0，所以b>2，故a+2b=b+6b-2+2b=8b-2+2b-2+5，由于b>2，所以8b-2+2b-2≥216=8，当且仅当b=4时等号成立，故a+2b=8b-2+2b-2+5≥13，故a+2b的最小值为13，故答案为：13.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=22+1．【解题思路】将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，进而转化为a,b与圆心0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，由a2-ab+1=0，得b=a+1 a，而c2+d2=1表示以0,0为圆心，1为半径的圆，c,d为圆上一点，则a,b与圆心0,0的距离为：a2+b2=a2+a+1 a2=2a2+1a2+2≥22a2⋅1a2+2= 22+2，当且仅当2a2=1a2，即a=±412时等号成立，此时a,b与圆心0,0的距离最小，即a,b与c,d两点间距离的平方最小，即(a-c)2+(b-d)2取得最小值.当a=412时，ab=a2+1=22+1，故答案为：22+1.【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，即B正确；不等式变形可得2b+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知a+b≥3+22，C错误；将式子配方可得a2-2a+b2 -4b=(a-1)2+(b-2)2-5，再利用基本不等式可得其有最小值-1，无最大值，D错误.【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22，故ab≥8，当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；对于B选项，原式化为a-1b-2=2,b=2aa-1>0，故a-1>0；a=bb-2>0，故b-2>0；所以1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，当且仅当a=2,b=4时等号成立，B正确；对于C选项，原式化为2b+1a=1，故a+b=a+b2b+1a=2a b+1+2+b a≥3+22，当且仅当a=2+1,b=2+2时等号成立，C错误；对于D选项，a2-2a+b2-4b=(a-1)2+(b-2)2-5≥2a-1b-2-5=-1，当且仅当a=1+2,b=2+2时等号成立，故有最小值-1，D错误．故选：B.【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-3【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy-3≥(xy+3)(xy-1)、x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有x=3-yy+1且0<y<3代入x+4y、x+2y，结合基本不等式求最值，注意取等条件.【解答过程】由x+y+xy-3≥xy+2xy-3=(xy+3)(xy-1)，当且仅当x=y=1时等号成立，即(xy+3)(xy-1)≤0，又x>0，y>0，故0<xy≤1，仅当x=y=1时等号成立，所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以(x+y)24+(x+y)-3≥0，即(x+y+6)(x+y-2)≥0，又x>0，y>0，则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy-3=0，x>0，y>0，可得x=3-yy+1，且0<y<3，所以x +4y =3-y y +1+4y =4y 2+3y +3y +1=4(y +1)2-5(y +1)+4y +1=4(y +1)+4y +1-5≥24(y +1)⋅4y +1-5=3，当且仅当y +1=1，即y =0、x =3时等号成立，故x +4y >3，C 错误；同上，x +2y =3-y y +1+2y =2y 2+y +3y +1=2(y +1)2-3(y +1)+4y +1=2(y +1)+4y +1-3≥22(y +1)⋅4y +1-3=42-3，当且仅当y +1=2，即y =2-1、x =22-1时等号成立，故x +2y ≥42-3，D 错误；故选：B .2(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x >2，则函数y =x +1x -1的最小值为3B.若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y 的最小值为5C.若x >0，y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1D.若x >1，y >0，x +y =2，则1x -1+2y的最小值为3+22【解题思路】选项A ：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B ：由基本不等式进行判断即可，选项C ：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D ：对式子进行变形得到1+yx -1+2x -1 y+2，再利用基本不等式进行判断即可．【解答过程】解：选项A ：y =x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2x -1·1x -1+1=3，当且仅当x -12=1时可以取等号，但题设条件中x >2，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y =153x +1y 5x +4y =1519+5x y +12y x ≥1519+25x y ·12y x=19+4155，当且仅当5xy =12y x时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：3-xy =x +y ≥2xy ⇒xy +2xy -3≤0当且仅当x =y 时取等号，令xy =t t ≥0 ，t 2+2t -3≤0，解得-3≤t ≤1，即0<xy ≤1，故xy 的最大值为1，故C 错误；选项D ：x +y =2，(x -1)+y =1，1x -1+2y =1x -1+2y·x -1 +y =1+y x -1+2x -1 y+2≥3+2y x -1·2x -1y=3+22，当且仅当y =2x -2时取等号，又因为x +y =2，故x =2y =2-2 时等号成立，即1x -1+2y最小值可取到3+22，故D 正确．故选：D ．3(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x ,y 满足x +2y =3，则下列说法错误的是()A.y x +3y 的最小值为4 B.xy 的最大值为98C.x +2y 的最大值为2D.x 2+4y 2的最小值为92【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A ，y x +3y =y x +x +2y y =y x +x y +2≥2yxxy+2=4，当且仅当x =y =1时取等号，故A 正确；对于B ，xy =12⋅x ⋅2y ≤12×x +2y 2 2=12×94=98，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时取等号，故B 正确；对于C ，(x +2y )2=x +2y +22xy ≤3+22×98=3+3=6，则x +2y ≤6，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时，故C 错误；对于D ，x 2+4y 2=(x +2y )2-4xy ≥9-4×98=92，当且仅当x =32,y =34时取等号，故D 正确.故选：C .【题型6 多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，满足a +b ≥92a +2b，则a +b 的最小值为()A.5B.52C.52D.522【解题思路】先根据基本不等式求出92a +2ba +b ≥252.然后即可根据不等式的性质得出a +b2≥92a +2ba +b ≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a >0，b >0，a +b >0.因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab≥29b2a×2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2时，两个等号同时成立.所以，a+b≥322+2=522.故选：D.【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1x+2xy=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2yx⋅2xy+1=22+1，当且仅当yx=2xy，即x=2-1，y=2-2时等号成立，此时有最小值22+1；当x<0时，1x+2xy=x+y-x+-2xy=y-x+-2xy-1≥2y-x⋅-2xy-1=22-1.当且仅当y-x=-2xy，即x=-1-2，y=2+2时等号成立，此时有最小值22-1.所以，1x+2xy的最小值为22-1.故选：A.2(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，所以xy +zx=2≥2xy ×z x =2yz ⇒yz ≤1，当且仅当z =yx 2时，yz =1，所以4y +1z≥24y ×1z=24yz≥241=4，当且仅当4y =1z且yz =1时，等号成立；所以当yz =1且4y =1z 时，4y +1z取得最小值4，此时解得y =2z =12 ⇒y +z =52，故选：D .3(2023上·辽宁大连·高一期末)若a >0,b >0,a +b =1，则a 2+3ab a +2b +2b +1-1b 的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【解题思路】由已知可得a 2+3ab a +2b +1b +1=3-2b -1b +1，进而有a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a 2+3ab a +2b +1b +1=a (a +3b )+1b +1=a (2b +1)+1b +1，而a =1-b >0，b >0，所以a (2b +1)+1b +1=2+b -2b 2b +1=1+1-2b 2b +1=1+2(1-b 2)-1b +1=3-2b -1b +1，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b 且0<b <1，又2b +1b≥22b ⋅1b =22，当且仅当b =22时取等号，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b ≤3-22，当且仅当a =1-22,b =22时取等号，即目标式最大值为3-2 2.故选：D .【题型7 实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为400m 2的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为8400元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m 2.设总造价为y (单位：元)，AD 长为x (单位：m ).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】(1)由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400-x2 4x；(2)先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】(1)由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD=400-x24,因此AM=400-x24x，∵AM>0，∴0<x<20.(2)y=8400x2+420×400-x2+160×4×12×400-x24x2=8000x2+3200000x2+152000，0<x<20，由基本不等式y≥28000x2×3200000x2+152000=472000，当且仅当8000x2=3200000x2，即x=25时，等号成立，故当x=25时，总造价y最小，最小值为472000元.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【解题思路】(1)根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】(1)设甲工程队的总造价为y 元，则y =150×2x +16x×3+400×16+800=900x +16x+7200≥900×2x ⋅16x +7200=14400当且仅当x =16x时，即x =4时等号成立.即当宽为4m 时，甲工程队的报价最低，最低为14400元.(2)由题意可得900x +16x +7200>900a x +2 x.对∀x ∈2,6 恒成立.即a <x 2+8x +16x +12令y =x 2+8x +16x +2=x +2 +4x +2+4∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8.令t =x +2,t ∈4,8 ，则y =t +4t+4在4,8 上单调递增.且t =4时，y min =9.∴0<a <9.即a 的取值范围为0,9 .2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x 米(1≤x ≤5)．(1)记y 为甲工程队整体报价，求y 关于x 的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t (x +1)x元，问是否存在实数t ，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t 满足的条件；若不存在，请说明理由．【解题思路】(1)根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;(2)由题意可得不等关系240184x +10x-3120>4800t (x +1)x,对任意x ∈[1,5]都成立，进而转化t <10x 2-13x +18420(x +1)恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【解答过程】(1)由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为3604×24x-2×6,故y=3604×24x-2×6+4×24x×100+2×300×4x+1200=240184x +10x-3120，1≤x≤5.(2)由题意知, 240184x +10x-3120>4800t(x+1)x，对任意x∈[1,5]都成立,即t<10x2-13x+18420(x+1)对任意x∈[1,5]恒成立，令k=x+1,则x=k-1,k∈[2,6]，则t<10(k-1)2-13(k-1)+18420k=10k2-33k+20720k=k2+20720k-3320，而k2+20720k≥2k2⋅20720k=20710，当且仅当k=20710∈[2,6]取等号，故0<t<20710-3320，即存在实数0<t<20710-3320，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【解题思路】(1)根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.(2)根据(1)利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时AD和CD的值.【解答过程】(1)根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为36000cm2，所以AD=36000xcm，又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，所以四个宣传栏的总面积y =CD -5×10 AD -2×10 =x -50 36000x-20 ，其中x -50>036000x -20>0 所以x ∈50,1800 .即y =x -50 36000x-20,x ∈50,1800 .(2)由(1)知y =x -50 36000x-20 ,x ∈50,1800 ，则y =x -50 36000x -20 =37000-20x +1800000x,x ∈50,1800 20x +1800000x≥220x ×1800000x =12000，当且仅当x =300时取等号，则y =37000-20x +1800000x≤25000，当且仅当x =300时取等号，即CD =300cm ,AD =36000300=120cm 时，可使用宣传栏总面积最大为25000cm 2.【题型8 与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c +b cos2A =2a cos A cos B A ≤B .(1)求A ；(2)若角A 的平分线交BC 于D 点，且AD =1，求△ABC 面积的最小值.【解题思路】(1)由已知结合正弦定理边化角即可求解;(2)表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】(1)由已知和正弦定理可得：sin C +sin B cos2A =2sin A cos A cos B ，所以sin C =sin2A cos B -sin B cos2A =sin (2A -B )>0.又因为C ∈(0,π)，2A -B ∈(0,π)，所以C =2A -B 或者C +2A -B =π.当C =2A -B 时，A +B +2A -B =π，A =π3；当C +2A -B =π时，A =2B 与题设A ≤B 不符.综上所述，A =π3.(2)△ABC 面积S =12bc sin π3=34bc ，由AD 是角平分线，∠BAD =∠CAD =π6，因为S △ABC =S △ABD +S △ADC ，得12bc sin π3=12b sin π6+12c sin π6，即b +c =3bc ，由基本不等式3bc ≥2bc ，bc ≥43，当且仅当b=c=233时等号成立.所以面积S=34bc≥34×43=33.故△ABC面积的最小值3 3.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．【解题思路】(1)根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；(2)根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【解答过程】(1)由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3．所以圆C的方程为x2+y2=9．(2)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，则d=2k2+1，|MN|=232-d2=29-4k2+1，同理可得|PQ|=29-41k2+1=29-4k2k2+1，则S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×29-4k2+1×29-4k2k2+1=29-4k2+19-4k2k2+1≤9-4 k2+1+9-4k2k2+1=14，当且仅当9-4k2+1=9-4k2k2+1，即k2=1时等号成立．当直线l的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=232-22=25，此时S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×6×25=65．当直线l的斜率为0时，根据对称性可得S PMQN=65．综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．【解题思路】(1)由题意列方程求解；(2)由函数的单调性转化后求解；(3)参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.【解答过程】(1)由题意得f x =ln x-12x+1+k，f k =ln k-12k+1+k，由于y=ln k-12k+1+k在k∈0,+∞上单调递增，观察ln k-12k+1+k=23，可得k=1；(2)由于f x 在定义域内单调，所以f x +12x+1-ln x为常数，由(1)得f x =ln x-12x+1+1，f x 在x∈0,+∞上单调递增，f-x=ln-x-12-x+1+1=ln-ex-2x2x+1，故原不等式可化为f7+2x>-2x2x+1+ln-ex=f-x，由2x+7>0-x>07+2x>-x，解得-73<x<0，故原不等式的解集为-7 3 ,0；(3)g x =f x -ln x=-12x+1+1=2x2x+1>0，g x ≥mg2x可化为m≤2x2x+1⋅4x+14x=4x+14x+2x=1+-2x+14x+2x对于任意的x∈1,2恒成立，设t=-2x+1∈-3,-1，则-2x+14x+2x=t1-t2+1-t=1t+2t-3，t∈-3,-1，由基本不等式得t+2t=--t+2-t≤-22，当且仅当-t=2-t即t=-2时等号成立，故当t=-2时1t+2t-3min=22-3，故m≤22-2，当且仅当x=log22+1等号成立.实数m的取值范围为-∞,22-2.3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P 在A 1C 1上；(2)若AB =BC ，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值.【解题思路】(1)由二面角定义知AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，利用线面垂直的判定及性质可证PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，结合面APC 与面ACC 1A 1有交线，确定它们同平面，进而证结论；(2)构建空间直角坐标系，令P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，应用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.【解答过程】(1)由∠APC 是二面角A -PD 1-C 的平面角，则AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，又AP ∩CP =P ，AP ,CP ⊂面APC ，则PD 1⊥面APC ，又AC ⊂面APC ，即PD 1⊥AC ，由长方体性质知A 1C 1⎳AC ，故PD 1⊥A 1C 1，由长方体性质：AA 1⊥面A 1B 1C 1D 1，又PD 1⊂面A 1B 1C 1D 1，则PD 1⊥AA 1，又A 1C 1∩AA 1=A 1，A 1C 1,AA 1⊂面ACC 1A 1，故PD 1⊥面ACC 1A 1，而面APC ∩面ACC 1A 1=AC ，且PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，根据过AC 作与PD 1垂直的平面有且仅有一个，所以面APC 与面ACC 1A 1为同一平面，又P ∈面A 1B 1C 1D 1，面ACC 1A 1∩面A 1B 1C 1D 1=A 1C 1，所以点P 在A 1C 1上；(2)构建如下图示的空间直角坐标系A -xyz ，令AB =BC =1，AA 1=k ，由题设，长方体上下底面都为正方形，由(1)知PD 1⊥A 1C 1，则P 为A 1C 1中点，所以P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，则AP =12,12,k ，PC =12,12,-k ，PD =-12,12,-k ，若m =(x ,y ,z )是面PCD 的一个法向量，则m ⋅PC =12x +12y -kz =0m ⋅PD =-12x +12y -kz =0，令y =2，则m =0,2,1k，所以|cos ‹AP ,m ›|=|AP ⋅m||AP ||m |=212+k 2⋅4+1k 2=23+4k 2+12k 2≤23+22=2(2-1)，仅当k =422时等号成立，故直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值为2(2-1).直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x ，y 满足x 2+y 2-xy =1，则()A.x +y ≤1B.x +y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【解答过程】因为ab ≤a +b 2 2≤a 2+b 22(a ,b ∈R )，由x 2+y 2-xy =1可变形为，x +y 2-1=3xy ≤3x +y 2 2，解得-2≤x +y ≤2，当且仅当x =y =-1时，x +y =-2，当且仅当x =y =1时，x +y =2，所以A 错误，B 正确；由x 2+y 2-xy =1可变形为x 2+y 2-1=xy ≤x 2+y 22，解得x 2+y 2≤2，当且仅当x =y =±1时取等号，所以C 正确；因为x 2+y 2-xy =1变形可得x -y 2 2+34y 2=1，设x -y 2=cos θ,32y =sin θ，所以x =cos θ+1 3sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ-π6∈23,2，所以当x=33,y=-33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．2(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2【解题思路】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解答过程】对于A，a2+b2=a2+1-a2=2a2-2a+1=2a-1 22+12≥12，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；对于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b>2-1=12，故B正确；对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=log214=-2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；故选：ABD.3(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.32【解题思路】因为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解答过程】∵C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=bax，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=-bax，解得{x=ay=-b故E(a,-b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8当且仅当a=b=22取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.4(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为22．【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.【解答过程】∵a>0,b>0，∴1 a +ab2+b≥21a⋅ab2+b=2b+b≥22b⋅b=22，当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立，所以1a+ab2+b的最小值为2 2.故答案为：2 2.5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为4【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3，或a=2+3,b=2-3时，等号成立.故答案为：4.6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是45．【解题思路】根据题设条件可得x 2=1-y 45y 2，可得x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0且x 2=1-y 45y 2∴x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y2+4y 25≥215y 2⋅4y 25=45，当且仅当15y2=4y 25，即x 2=310,y 2=12时取等号.∴x 2+y 2的最小值为45.故答案为：45.7(2019·天津·高考真题)设x >0, y >0, x +2y =5，则(x +1)(2y +1)xy的最小值为43【解题思路】把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．【解答过程】∵(x +1)(2y +1)xy =2xy +x +2y +1xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴2xy +6xy ≥2⋅23xyxy =43，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立，故所求的最小值为43．8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【解题思路】得到总费用为4x +600x ×6=4x +900x，再利用基本不等式求最值．【解答过程】总费用为4x +600x ×6=4x +900x≥4×2900=240，当且仅当x =900x，即x =30时等号成立．故答案为30.。

高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

高考数学中如何处理不等式和函数不等式高中生的一大考验就是高考。

而在高考数学中，不等式和函数不等式是必考的考点。

然而，相较于直观的解题方法，不等式和函数不等式常常需要一定的技巧和灵活的思维方式。

本文将从解不等式和函数不等式的基本方法、案例分析和解题技巧等几个方面来探讨高考数学中如何处理不等式和函数不等式。

一、解不等式和函数不等式的基本方法1、将不等式化为一般形式。

处理不等式的第一步是把它化为一般形式，并且尽量把不等式的系数整理规范化。

然后，要对系数进行讨论来确定解不等式的范围。

举个例子：解不等式 $x-1\ge2x+3$。

我们可以移项化简得到$x\le-4$。

这样，我们就得出了不等式的解，也就是 $(-\infty，-4]$。

2、降低不等关系的阶数。

减少不等式中的绝对值、分式、开方等带有异于一次的函数形式，能促进求根工作。

有时还可以利用平方、移项等方法，将含有不等关系的式子处理为左式和右式的关系，即分成两个简单的不等式。

举个例子：解不等式 $|x+2|+|x+3|\ge5$。

我们可以使用等效方法将不等式处理为两个不等式的和，即 $|x+2|\ge1$ 或$|x+3|\ge4$。

最后的解集为 $x\le-3$ 或 $x\le-2$ 或 $x\ge2$。

3、分类讨论解不等式。

不同的不等式形式需要采用不同的解题方法。

没有一个万能的方法。

因此，我们需要根据特点和个别情况，考虑选择合适的解题方法。

举个例子：解不等式 $\frac{3}{1-x}+\frac{x+1}{x-3}\le0$。

我们可以把不等式的解划分为 $x\le-2$，$-2\lt x\lt1$ 和$x\ge1$ 三个区间来分别进行讨论。

二、案例分析1、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念。

例如： $|x-2|<5$ 。

这里，我们可以先把不等式转化成两种不等式：$x-2<5$ 和 $x-2>-5$，再分别求解，得:x<7 和 x>-3。

题型01不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）技法01基本不等式链的应用及解题技巧例1．（2022·全国·统考高考真题）若x ，y 满足221+-=x yxy ，则（ ）A ．1x y +≤B．2x y +≥-【高考数学】答题技巧与模板构建C ．222x y +≤D ．221x y +≥由基本不等式链:2(0,0)112a b a b a b+≥≥≥>>+, 可得22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b R ），对于AB由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；对于C【法一】由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确【法二】由 22222,22x y x y x y xy ++⎛⎫⎛⎫+≥≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得 2222222x y x y x xy y ++⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为 221x xy y -+=,所以 222122x y x y ++⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即 21()1,24x y x y +≤+≤.【法三】 2222221()3()3()24x y x xy y x y xy x y x y +⎛⎫-+=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭,又因为 221x xy y -+=,所以 21()1,24x y x y +≤+≤.【答案】：BC ．1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若【答案】ABC【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解.【详解】解：对A 选项： 0a >，0b >，2a b +=，∴2a b =+≥，即1ab ≤（当且仅当a b =时等号成立），故A 选项正确；对B 选项：2a b += ，而22≤成立，∴2a b +≤成立，故B 选项正确；对C 选项：222221222a b a b ++⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222a b ∴+≥（当且仅当a b =时等号成立），故C 选项正确；对D 选项：132********b a a b a b a a b b ⎛⎫+++⎛⎫+ ⎪⎝⨯+ ⎝⎭⎪⎭==≥2b a a b=时等号成立），2132a b ∴+≥D 选项错误.故选：ABC.【答案】ACD【分析】对于A ，B ，D ，利用基本不等式即可求得答案；对于C ，利用4b a =-，求出2224(3)433a b a -==++，结合a 的范围，利用二次函数的性质即可求得.【详解】对于A ，0,0,a b a b >>+≥22a b+≤=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以A 正确；对于B ，0,0a b >> ，2a b =++44228=+≤+⨯=，0>≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以B 错误；对于C ，4a b +=，40b a =->，所以04a <<，则2222(4)33a a b a +=+-248163a a -+=24(3)443a +=-≥，并且3a =时等号成立.，所以C 正确；对于D ，0,0,4a b a b >>+=，所以14a b+=，则1111(4a b a b a b ++=+⋅1(2)4b a a b =⨯++1(214≥⨯+=，当且仅当ba ab=，即2a b ==时等号成立， 所以D 正确.故选：ACD.【答案】BCD【分析】根据基本不等式可判断ABC ；将题设配方可得2283533y y x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，结合2803y ≥进行求解即可判断D.【详解】对于A ，由2253323224x y xy xy xy xy =+-≥⋅-=当且仅当==x y 54xy ≤，故A 错误；对于B ，由223325x y xy +-=，得()2385x y xy +-=，即()22385852x y x y xy +⎛⎫+=+≤⋅+ ⎪⎝⎭，当且仅当==x y x y ≤+≤B 正确；对于C ，由223325x y xy +-=，得()2222253xy x y x y -=-+≤+，当且仅当=-=x y 2254x y +≥，故C 正确；对于D ，由223325x y xy +-=，得2283533y y x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22853033y y x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，即3y x ≤-≤D 正确.故选：BCD.技法02 权方和不等式的应用及解题技巧因为23a b +=，所以426a b +=由权方和不等式 222()a b a b x y x y++≥+可得()222211111914221442144214421a b a b abab ++=+=+≥=-------+-当且仅当214421a b =--，即72,63a b ==时，等号成立．【答案】C【答案】49【分析】将5x y +=转化为()()12219x y ⎡⎤+++=⎣⎦，然后利用基本不等式求解.【详解】因为5x y +=，所以229x y +++=，即()()12219x y ⎡⎤+++=⎣⎦，因为正实数,x y ，所以20x +>，20y +>，所以()111111222222292249922y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当52x y ==等号成立.故答案为：49.【答案】32+【分析】结合已知条件并由乘“1”法将212a b +-变形为()2232b aa b -++-，再由基本不等式即可求解.【详解】因为4a b +=，所以()22a b +-=，()1212a b ⎡⎤+-=⎣⎦，所以()()222112112322222b a a b a b a b a b ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+=+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦---⎝⎭⎣⎦，因为0,2a b >>，所以由基本不等式得()22211133322222b a a b a b ⎡⎡⎤-⎢+=++≥+=⎢⎥--⎢⎣⎦⎣，当且仅当()2224b a a b a b ⎧-=⎪⎨-⎪+=⎩即4a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩综上所述：212a b +-的最小值是32.故答案为：32.【答案】67,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得22(11)(22)12x y x y +-+-+=++22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-+++++, 最后利用基本不等式的应用求出结果.【详解】已知正数, x y 满足 4x y +=,所以 (1)(2)7x y +++=,所以:12177x y +++=则:2212x y x y +=++22(11)(22)12x y x y +-+-+++22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-++=+++14122412x y x y =+-+++-+++14112x y =++++121417712x y x y ⎛⎫++⎛⎫=+⋅++⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭14(1)24177(2)7(1)7x y y x ++=++++++121677≥+=，当且仅当4(1)27(2)7(1)x y y x ++=++时，取等号；要使 2212x y a x y ≤+++ 恒成立, 只需满足 22min 12x y a x y ⎛⎫≤+ ⎪++⎝⎭ 即可,故 167a ≤.故答案为: 67,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.技法03 普通型糖水不等式的应用及解题技巧【法一】由糖水不等式的倒数形式， 0,0b a c >>>, 则有: cb b a a c+>+ 【法二】()()b b c bac ab c bc ac b a a a c+>⇔+>+⇔>⇔>+，故B 正确；因为0a b c <<<，所以有110,c a b a c a b a->-><--，故A 错误；()()1111b a ac a b c a a b>⇔>⇔>--，故C 正确；()()()()200ab c ac bc c c b a c b c a c b +>+⇔--->⇔-->，故D 正确．【答案】BCD例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【法一】824ln 3lnlnln 3ln 5558ln 5ln 8ln 8ln 5ln 5a b +=<=<=+,又 1339ln 3ln ln ln 3ln 85513ln 5ln13ln13ln 5ln 5a c +=<=<=+ ，用排除法, 选 A 。

高中不等式题型及解题方法高中不等式是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学中必考的考点之一。

不等式的题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式等。

本文将介绍高中不等式的各个题型及解题方法。

一、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最基础的不等式。

解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。

图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。

常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较难的不等式之一。

解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。

图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。

常用的代数法有配方法、求根式、绝对值法等。

三、二元一次不等式二元一次不等式是高中数学中较难的不等式之一。

解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。

图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。

常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。

四、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中较难的不等式之一。

解这类不等式的方法有两种：图像法和代数法。

图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围；代数法是通过将不等式转化为等价不等式，然后进行比较大小来求出解集的范围。

常用的代数法有分段讨论法、绝对值法等。

总之，高中数学中的不等式是一个需要掌握的重要知识点，需要通过大量的练习来熟练掌握各种不等式的解法，才能在高考数学中得到高分。

高中数学不等式解题技巧高中数学中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常见的题型之一。

解不等式题目需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧，帮助高中学生更好地应对不等式题目。

1. 转化形式有时候，我们可以通过转化不等式的形式来简化问题。

例如，对于不等式3x-2>5，我们可以将其转化为3x>7，进一步得到x>7/3。

这样，我们就得到了不等式的解集。

2. 加减法原则对于不等式中的加减法，我们需要注意一些原则。

当不等式的两边同时加上（或减去）一个数时，不等号的方向不变。

例如，对于不等式2x+3>7，我们可以将其化简为2x>4，进一步得到x>2。

3. 乘法原则对于不等式中的乘法，我们同样需要注意一些原则。

当不等式的两边同时乘以一个正数时，不等号的方向不变。

例如，对于不等式2x<8，我们可以将其化简为x<4。

但是，当不等式的两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。

例如，对于不等式-2x>8，我们需要将其乘以-1，同时改变不等号的方向，得到2x<-8，进一步得到x<-4。

4. 绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中常见的题型之一。

解绝对值不等式的关键是找到绝对值的取值范围。

例如，对于不等式|2x-3|<7，我们可以将其拆分为两个不等式2x-3<7和2x-3>-7，得到x<5和x>-2。

综合起来，我们可以得到-2<x<5，即解集为(-2, 5)。

5. 二次函数不等式二次函数不等式也是高中数学中常见的题型之一。

对于二次函数不等式，我们可以通过求解二次函数的零点来确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其化简为(x-1)(x-3)>0，得到x<1或x>3。

综合起来，我们可以得到解集为(-∞, 1)∪(3, +∞)。

综上所述，解不等式题目需要一定的技巧和方法。