[理学]《生态岛平衡》数模论文
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生物地理学论文生物地理学生物地理学是生物学和地理学间的边缘学科。
研究生物在时间和空间上分布的一门学科。
即生物群落及其组成成分,它们在地球表面的分布情况和及形成原因。
研究生物的地理分布以及和它相关的各种问题的科学。
按其问题和方法分,有生物区系地理学、生物系统地理学、历史生物地理学等涉及植物相和动物相的分布,即生物的区系分布及生物生态地理学这两大分支。
此外根据作为对象的生物群来划分,有植物地理学、动物地理学、昆虫地理学等。
研究对象主要研究生物群及其组成成分在地球表层的分布特点和规律,以及形成、演分类其分支学科主要有植物地理学和动物地理学。
此外,尚包括历史生物地理学:研究生物区系的起源、分类、扩展和灭绝;生态生物地理学:根据有机体与物理环境和生物环境的相互关系,来阐明生物分布的现状;古生态学:是上述两个分支学科的中间过渡;栽培生物地理学:研究栽培植物及驯养动物的起源、演化、分布及其与人类文化发展的关系;理论生物地理学:研究生物群起源、分布、演变、发展的基本理论变生物地理学于19世纪早期产生并迅速发展。
达尔文关于物种形成和生物演化的理论促进了生物地理学的发展。
洪堡被誉为植物地理学的创建人,华莱斯用自然选择和演化的理论,综合了动物地理学的基本概念和原理,提出了著名的“华莱斯线”。
孟德尔、摩尔根学派的新达尔文主义者认为,“突变”是生物种内遗传变异的基本来源,导致形成亚种和新的物种,而且生理学和细胞学的差异与自然条件有关,说明了物种形成、系统发育和多样性的根本原因。
板块构造、海底扩张理论的兴起和魏格纳大陆漂移说的复活,促进了生物地理学的发展。
麦克阿瑟和威尔逊的岛屿生物地理学平衡理论,说明了岛屿生物群落的平衡点与拓殖和灭绝速度的关系。
及其与环境条件的关系植物地理学植物地理学是研究植被的空间分布规律的学科,它研究植被的组分、性质的分布类型,及其形成的原因、动态以及实践中的应用等。
地球植被分陆地的和海洋的两部分,陆地植被中的自然植被和栽培植被都在植物地理学的研究范围之内。
景观⽣态学期末论⽂-⼏个重要概念和其之间联系以及在本课中的地位《景观⽣态学》期末论⽂总体把握景观定义:景观是⼀个由不同⼟地单元镶嵌组成,具有明显视觉特征的地理实体;它处于⽣态系统之上,⼤地理区域之下的中间尺度;兼具经济、⽣态和⽂化的多重价值。
景观⽣态学以⼈类对景观的感知作为景观评价的出发点,通过⾃然科学与⼈⽂科学的交叉,实现建⽴宜⼈景观与保护⾃然景观的⽬标。
景观⽣态学以⼈类活动对于景观的⽣态影响作为研究重点,注重景观管理、景观规划和设计的研究,因⽽它应该属于应⽤⽣态学体系;相对于保护⽣态学和恢复⽣态学⽽⾔,不妨称之为建设⽣态学。
⼀. 临界阈(critical threshold)对于所提出的研究结果有时需要进⾏外推,及根据已知值进⾏推测,将信息从⼀个尺度转移到另⼀尺度,或从⼀个系统转移到另⼀个系统。
此时将系统在性质、属性或现象上产⽣变化的点称为临界阈值(critical threshold)。
*渗透理论与临界阈现象间的联系:渗透理论(percolation theory),它认为当介质密度达到某⼀临界值(critical density)时,渗透物突然能够从介质的⼀端到达另⼀端。
这种因为影响因⼦或环境条件到达某⼀阈值(threshold)⽽发⽣的从⼀种状态过渡到另⼀种截然不同状态的过程被称为临界阈现象,它在⾃然界⼴泛存在,显⽰出由量变到质变的特征。
⽣态学的限制因⼦定律和最⼩存活种群,流⾏病的传播与感染率,景观连接度对于种群动态、⽔⼟流失和⼲扰蔓延等影响,都属于⼴义的临界阈现象。
⼆. 空间异质性(heterogeneity)(⼀)异质性的定义由不相关或不相似的组成构成的系统(webster's new dictionary)。
景观是由异质要素组成,异质性作为⼀种景观的结构特性,对景观的功能和过程有重要影响,它可以影响资源、物种或⼲扰在景观中的流动与传播。
异质性同抗⼲扰能⼒、恢复能⼒、系统稳定性和⽣物多样性有密切联系,景观异质性程度⾼有利于物种共⽣,⽽不利于稀有内部物种的⽣存。
兰州市地质生态环境的改善研究发布时间:2022-01-10T01:38:10.020Z 来源:《科学与技术》2021年28期作者:铁夏琼[导读] 兰州地处我国西北地区腹部,铁夏琼甘肃建筑职业技术学院甘肃省兰州市 730050摘要:兰州地处我国西北地区腹部,位于黄土高原之黄河谷地内,与青藏高原相邻近,由于受地质构造的控制,黄河在兰州形成三个串珠状多阶型的河谷盆地。
除西部及南部植被较好外,大部分为荒山,植被较差,沟谷切割密度较高,且坡陡谷深,严重的水土流失使泥石流的形成发育有普遍性。
从黄河柴家峡水电站引水的充分性考虑,从桃花溪水利枢纽出发,构建兰州市的都江堰工程,积极改善兰州市地质生态环境。
关键词:地质灾害泥石流兰州市柴家峡引言兰州市辖三县五区,面积13558平方公里,大部分地区被黄土所覆盖,是陇西黄土高原的西北部,海拔1500-2000m,黄土梁、峁和沟谷等地形广泛分布,可分为山地、半山地、河川地三种类型,山地面积占全市面积的65%,以黄河为界,分为南北两山,南山区突起于黄土高原之上,北山区山峦重叠、地势陡峻;半山地多属山间盆地;河谷川地地势平坦,水源充足。
本市除西部及南部植被较好外,大部分为荒山,植被较差,沟谷切割密度较高,且坡陡谷深,严重的水土流失使泥石流的形成发育有普遍性。
一、兰州地形地貌一般概况兰州地处我国西北地区腹部,位于黄土高原之黄河谷地内,与青藏高原相邻近,由于受地质构造的控制,黄河在兰州形成三个串珠状多阶型的河谷盆地。
自西而东有:八盘峡至柴家峡之间的新城——河口盆地,柴家峡至金城关峡之间的西固——七里河盆地,金城关峡至桑园峡之间的城关——雁滩盆地。
三个相联的河谷盆地,东西长达50公里,最宽处达7.5公里,最窄处不足1公里。
黄河在三个盆地内均发育有多级阶地,其中,西固——七里河盆地和雁滩——城关盆地河漫滩和一、二级阶地较发育,新城——河口盆地规模较小,河漫滩和一级阶地不发育。
由于南北两山之限和黄河纵贯盆地之中,致使兰州市发展成为一个东西长、南北窄、沿河两岸分布的带状城市。
岛屿生物地理平衡学说英语Well, the island biogeography equilibrium theory is kind of fascinating. It basically talks about how species diversity on islands is determined by two main factors: immigration and extinction. You know, like how some animals or plants find their way to an island, and then others might go extinct over time due to lack of resources or other reasons.The thing is, not all islands are created equal. Some are closer to mainlands, so they get more chances for new species to arrive. And some are pretty isolated, so the creatures there have to adapt or they'll go extinct. It's a balancing act, really.One cool part of this theory is that it helps us understand how ecosystems evolve over time. Like, if an island was formed recently, it might not have a lot of species diversity yet. But give it some time, and as new species arrive and others adapt, you'll see a more diverseecosystem develop.And it's not just about islands, either. You can apply this theory to other isolated habitats, like mountain peaks or even lakes. It's a universal concept that helps us understand the balance between immigration, extinction, and diversity in any closed environment.In a nutshell, the island biogeography equilibrium theory tells us that diversity on islands is constantly in flux, with new species arriving and others disappearing.It's a dynamic system that's always changing, butultimately finds a balance that works for the specific environment.。
附一:封面样式课程设计报告课程设计题目:海岛居民服务中心选址问题姓名1:张龙森学号:09110126姓名2:楮小伟学号:09110103姓名3:刘俊学号:09110114专业:软件工程班级:091101指导教师:李熊2011年 5 月20 日1附件二:论文评分表东华理工大学课程设计评分表学生姓名:张龙森、楮小伟、刘俊班级:091101 学号:09110126 、9110103 、09110114课程设计题目:海岛居民服务中心选址问题2摘要:本文分析了12个居民点的平面图:某海岛上有12个主要的居民点,每个居民点的位置(用平面坐标x,y表示,距离单位:km)和居住的人数(R)如下表所示。
现在在海岛上建一个服务中心为居民提供各种服务.居民可以在小岛上任意两点间沿直线前进。
居民人数,位置不变。
不考虑居民点大小。
每个居民点内的每一个人去服务中心的概率一样。
不考虑自然因素。
分别采用欧氏距离,建立无约束非线形规划模型。
调用lingo优化函数求解。
由函数解出(3.6010,6.4870)为服务中心的最佳位置最后,我们发现检验的结果与开始的求解基本上相一致。
本模型可用于城市中建筑地点的选取,也可用于湖泊中鱼饵投食点的选取,运用较为广泛。
3模型中没有考虑到居民点的居民人数,位置,居民点大小和每个居民点内的每一个人去服务中心的概率;特别是:在现实生活中最佳位置往往有自然因素的影响。
对于出现上面的任何一种情况我们都需要另外建立更加复杂模型。
这些都是需要大力改进的地方。
关键词:欧氏距离非线形规划模型1问题的提出某海岛上有12个主要的居民点,每个居民点的位置(用平面坐标x,y表示,距离单位:km)和居住的人数(R)如下表所示。
现在准备在海岛上建一个服务42 问题的分析本题要考虑服务中心的建立,到底服务中心建立何处比较合适呢?我们可采用下面的方法进行考虑:首先,分析上表中的数值,我们会发现都会有一个区间,数值都在区间范围内,再考虑的就是既然要在小岛上建立服务中心,那么我们就可以这样认为服务中心必定在小岛上,也就是说服务中心所对应的横坐标必须在[0,9.76]内,纵坐标必须在[0,9.96]内。
西安交通大学毕业设计(论文)基于遥感的城市热岛效应研究学院名称地理与规划学院专业名称地理科学学生学号12345678学生姓名学生姓名指导教师教授姓名助理指导老师老师姓名202X年X月摘要本文利用丰城市2010年landsat5 TM影像数据,运用遥感数据温度反演和监督分类等数据分析手段,综合研究丰城市地面温度分布与城市土地利用类型间的相关性。
得出城市下垫面及人工热源等因素与城市地面热力场分布息息相关,而水体及城市绿化面积对城市热效应有积极缓解作用等结论。
最后将之与北方大城市的城市热岛效应研究情况相比较,总结出南方中小城市的热岛效应的特点,即热岛效应相对较轻,市中心与郊区温差存在但相对较小,河流与植被对其的影响非常显著。
由此可见,丰城市今后的城市规划发展,应直视城市热岛问题,合理布局城市各项工程用地建设,切实践行城市可持续发展所提倡的“生态城市”建设,制定合理的城市发展战略,力求人工环境与自然环境的统一。
关键词:遥感;热岛效应;土地利用;南方中小城市;丰城市AbstractThe Fengcheng City 2010 landsat5 TM image data, using remote sensing data of temperature inversion and supervised classification data analysis method, a comprehensive study of the Fengcheng City ground temperature distribution and urban land use types of correlation. That urban underlying surface and artificial heat sources and urban ground thermal field distribution have closely relation, and water and urban greening area of urban heat effect is positive the alleviation effect conclusion. Finally compared with the big cities of the north of the urban heat island effect research, summed up the characteristics of the urban heat island effect in medium-sized and small cities in the south.The heat island effect is relatively light, downtown and suburban temperature difference exists but is relatively small, rivers and vegetation on the effect is very significant. Thus, Fengcheng City Urban Planning in the future development should be open urban heat island, reasonable layout of urban projects in the construction, cut practice for urban sustainable development advocated by the "ecological city" construction, formulate rational urban development strategy, strive for the unity of the artificial environment and the natural environment.Key words: RS;urban heat effect;land use;Medium-Small-Sized Cities in the Southern China;Fengcheng City第1章绪论1.1 研究意义及背景在全球变暖和高速城市化的大背景下,世界上许多城市都出现了高强度的城市热岛效应,特别是城市局部地区温度居高不下,给城市居住人口的生产生活带来极大影响。
简述岛屿生物地理学中动态平衡的主要内容岛屿生物地理学中的动态平衡是指岛屿上的生物种群和生态系统通过一系列的相互作用、适应和调节,达到一种动态稳定状态的过程。
岛屿生物地理学主要研究岛屿上的物种形成、分布和演化,以及岛屿与大陆间的生物地理关系。
动态平衡的主要内容包括岛屿的形成、物种迁移、适应与适应性辐射等。
1.岛屿的形成:岛屿可以通过多种方式形成,例如地壳运动、海底火山喷发、冰川运动和河流冲积等。
岛屿的形成会导致区域生态系统发生巨大变化,同时也为物种迁移和演化提供了机会。
2.物种迁移:岛屿与大陆间的距离以及岛屿之间的距离都会影响生物的迁移能力。
物种迁移是指物种从一个地理区域向另一个地理区域迁移的过程。
在岛屿生物地理学中,物种迁移是岛屿上物种形成和分布的主要影响因素之一。
物种可以通过陆地桥梁、飞行、游泳和漂浮等方式迁移到岛屿上。
物种迁移对于岛屿上的生物多样性起着重要的作用。
物种通过迁移进入岛屿,增加了岛屿上的物种数量和多样性。
3.适应:岛屿上的物种在适应环境中经历了漫长的时间,以适应岛屿独特的环境条件。
适应是物种在特定环境中发展和优化其生存机制的过程。
适应使得物种能够在岛屿的特殊环境条件下生存和繁衍。
岛屿生物地理学研究了物种如何适应岛屿上的资源分配、压力和竞争等。
4.适应性辐射:适应性辐射是指一个或多个祖先物种在相对短的时间内分化为多个不同的新物种的过程。
岛屿上的适应性辐射通常是由于岛屿上的生态位的丰富度和可利用资源的差异性。
岛屿上的辐射通常表现为物种数量的增加和形态多样性的增加。
适应性辐射是岛屿生物地理学中一个重要的研究内容,它有助于理解物种形成和多样性增加的机制。
总体来说,岛屿生物地理学的动态平衡研究揭示了物种形成、分布和演化的原因和机制,以及岛屿与大陆间的生物地理关系。
通过研究岛屿上的物种适应和迁移等过程,能够深入理解物种的多样性形成和保持。
此外,岛屿生物地理学的研究有助于我们更好地理解生物地理学的一般规律,并在保护生物多样性和生态系统可持续发展方面提供科学依据。
生态岛平衡摘要本文就生态岛上植物、麋鹿和狼三个种群的平衡问题,建立模型Ⅰ——未加干扰因素的捕食者——被捕食者基本模型,运用龙格-库塔算法和Matlab数学软件,对植物、麋鹿和狼三个种群的数量随时间的变化进行定量的数值分析求解,这样我们就可以定量的预测未来若干年内狼和麋鹿的数量,解决了问题一。
针对问题二,由植物、麋鹿和狼的数量随时间变化的关系图,我们定量的说明了该生态岛上的植物、麋鹿和狼三个种群最终将达到生态平衡,其种群数量将在(3500,125,30)上下波动,达到平衡的时间是48年。
针对问题三,我们将在生态系统达到平衡的时候对不同麋鹿捕猎数量的生态平衡进行分析,运用Matlab 数学软件作出植物、麋鹿和狼的数量在捕杀后随时间的变化关系图,我们定量说明了:只要在平衡态时对麋鹿进行适量的捕杀,该生态系统最终都将在20年内恢复到平衡状态,植物、麋鹿和狼三个种群的数量将恢复到(3500,125,30),这也说明了该生态系统具有较好的自动调节平衡的能力。
如果全部捕杀完麋鹿的话,那么狼也将在5.355年后灭绝,植物恢复到环境允许的最大容量7000株. 最后针对问题四,我们运用Matlab数学软件作图,我们定量说明了每当生态系统达到平衡后,捕猎麋鹿25只,该生态系统植物、麋鹿和狼的数量将在8年内恢复到平衡位置(3500,125,30),捕猎周期是8年。
在推广模型Ⅱ中,我们建立了一个更加符合实际情况的有干扰因素的捕食者——被捕食者模型,加了高斯白噪声干扰因素后,使得该生态系统达到一个动态的平衡,而这一动态平衡为物种的进化提供了条件,更加符合实际情况。
关键字:生态平衡Matlab 龙格-库塔算法种群数量高斯白噪声一、问题重述假设某岛上有一个很大的麋鹿群,它们靠岛上的植物为生,同时岛上还存在一个仅仅靠麋为生的狼群。
有人对岛上麋与狼的数量进行了长期观察,通过定性分析画出了一个结构模型,如图1所示。
这个结构模型启发我们:可以用这种食物链中的能量输入和输出的变化来描述植物、糜鹿和狼之间的数量关系。
把食物链上每个分离环节中储存的能量定为模型的变量,经研究知道:一只狼平均具有37240千卡能量,一只糜平均具有413000千卡能量。
在植物环节里的平均生产率按可利用的入射太阳辐射能的3%来估计,约为7500千卡/米2·年。
食物链处于平衡状态时,各分离环节含有的能量可画成如图2所示的“能量金字塔”。
该生态系统中个模块之间的能量转换如表1所示。
设岛上现有狼45只,麋6000只。
1. 建立数学模型预测未来若干年内狼和麋的数量。
2. 试问该生态系统中麋鹿和狼能否达到生态平衡?或需要多长时间才能达到生态平衡?3. 假如希望在岛上开辟一个猎场,猎取一定数量的麋,会使该生态系统的生态平衡受到什么样的影响?或到达新平衡点需要多长时间?4.就猎场规模及猎取麋的数量给有关部门写一份建议,以保持该岛的生态平衡。
图1图2表1: (基本数据单位:千卡/米2·年)二、基本假设1.假设环境条件允许植物、麋鹿和狼种群数量有一个各自的最大值,即环境容纳量分别为1N ,2N ,3N ;2. 假设种群数量的增长是种群个体死亡与繁殖的共同作用结果,即简单利用净增长率来描述;3.假设种群中每个个体处于同一水平,在种群增长的过程中个体的差异如年龄结构等不予考虑;4.假设不考虑种群数量增长率的时滞效应;5.假设当植物、麋鹿和狼都各自独立生存时,独立生存规律遵从Logistic 规律;三、定义和符号说明1()x t :t 时刻植物种群的数量; 2()x t :t 时刻麋鹿种群的数量; 3()x t :t 时刻狼种群的数量;1r :植物的净增长率; 2r :麋鹿净增长率的绝对值;r: 狼净增长率的绝对值;3N:环境资源容许的植物的最大数量;1N:环境资源容许的麋鹿的最大数量;2N:是环境资源容许的狼的最大数量;3σ:单位数量的麋鹿掠取植物量的比例;21σ:单位数量的植物供养单位麋鹿量的比例;12σ:单位数量的狼掠取单位麋鹿量的比例;32σ:单位数量的麋鹿供养单位狼量的比例;23四、问题分析和基本思路问题一分析:由于麋鹿、狼种群数量较大,可以认为种群总数是随时间连续变化的。
我们先在Logistic模型基础上考虑种群之间的关系,建立模型Ⅰ——无干扰因素的捕食者——被捕食者基本模型,再参考相关文献确定该生态系统的相关参数【1】,采用龙格-库塔算法,运用Matlab数学软件进行数值分析,作出植物、麋鹿和狼的数量随时间的变化的关系图,并同时作出麋鹿和狼的数量的演化相图,从而更加清楚的了解和预知麋鹿和狼种群数量的变化(见附录表一)。
同时,我们还对平衡点的稳定性作了分析。
在本文最后我们还做了一个更加符合实际的有干扰因素的捕食者-被捕食者模型(见附录程序二),该模型Ⅱ描述麋鹿、狼的数量随时间变化具有波动性,最终的平衡态也是稳定波动的,更加符合实际情况。
问题二分析:在问题一中建立的无干扰因素的捕食者——被捕食者基本模型上,利用Matlab数学软件绘图,我们可以看出该生态系统能否达到平衡状态,什么时候能够达到平衡。
问题三分析:同样道理,在问题一中建立的无干扰因素的捕食者-被捕食者基本模型上,利用Matlab数学软件绘图,改变程序(见附录程序一)的初始条件,作出植物、麋鹿和狼的数量随时间变化的关系图,这样我们可以从图像中看出该系统是否可以在打猎后再次达到生态平衡,以及再次达到平衡所需要的时间。
问题四分析:我们知道一次性捕猎麋鹿的数量越多,得到的生物资源也越丰富,但同时生态系统再次恢复到平衡的时间也越长,甚至有可能破坏该生态岛的生态系统。
所以有必要就问题三的结果,我们从一次性捕猎麋鹿的数量和生态系统恢复到平衡的时间两个角度考虑一次性捕猎麋鹿的数量,同时根据允许的狩猎规模对有关部门写一份建议,以便于维护该生岛的生态平衡。
五、无干扰因素捕食者-被捕食者基本模型(模型Ⅰ)5.1无干扰因素捕食者-被捕食者模型的建立由于麋鹿、狼种群数量较大,可以认为种群总数是随时间连续变化的。
植物的增长模型:当仅考虑植物独立生存时,植物的增长模型为:11111()(1)x x t r x N =-(5.1) 而植物又为麋鹿提供食物, 于是食物链中的植物增长模型应为:121112112()(1)x xx t r x N N σ=-- (5.2) 麋鹿的增长模型:考虑到麋鹿没有植物的存在会灭亡,于是麋鹿独立存在时的增长模型为:222()x t r x =- (5.3)当考虑植物为麋鹿提供食物时,该式右端应加上植物对麋鹿的促进作用,而麋鹿的增长又受到自身的阻滞作用,于是麋鹿增长模型应改为:212221221()(1)x xx t r x N N σ=--+ (5.4) 另一方面麋鹿又为狼提供食物,于是食物链中的麋鹿增长模型应为:3212221232213()(1)x x xx t r x N N N σσ=--+- (5.5) 狼的增长模型:考虑到狼没有麋鹿的存在会灭亡,于是独立存在时的增长模型为:333()x t r x =- (5.6)麋鹿为狼提供食物,且狼的增长又会受到自身的阻滞增长作用,于是食物链中的狼的增长模型应为:323332332()(1)x xx t r x N N σ=--+ (5.7)根据方程(5.2)(5.5)(5.7)我们得到植物、麋鹿和狼三者捕食者与被捕食的相互关系模型,即:1211121123212221232213323332332()(1)()(1)()(1)x x x t r x N N x x x x t r x N N N x x x t r x N N σσσσ⎧=--⎪⎪⎪=--+-⎨⎪⎪=--+⎪⎩ (5.8) 5.2模型参数的确定1237000;100;20N N N ===根据文献[1]提供的数据,我们得到有关参数如下123211232231;0.5;0.6;0.4;3;0.5;2r r r σσσσ======= 5.3模型的求解由于模型中描述问题的微分方程组比较复杂,较难求解。
于是我们选择龙格-库塔方法求微分方程组初值问题的数值解。
龙格-库塔算法:考察区间[]1,n n x x +内一点,01n p n x x ph p +=+<≤用n x 与n p x +两个点的斜率值1K 和2K 加权平均作为平均斜率*K ,即令[]112(1)n n y y h K K λλ+=+-+式中的λ为待定系数。
仍取1(,)n n K f x y =,先用欧拉方法提供()n p y x +的预报值n p y +:1n p n y y phK +=+然后用n p y +通过计算f 产生斜率值2(,)n p n p K f x y ++=。
这样设计出的计算格式具有形式:[]112121(1)(,)(,)n n n n n n y y h K K K f x y K f x ph y phK λλ+⎧=+-+⎪=⎨⎪=++⎩ (5.9)其中含两个待定参数λ、p ,我们适当选取这些参数的值,使得格式(5.9)具有较高精度。
假定()n n y y x =,分别将1K 和2K 做泰勒展开,有12122(,)()(,)(,)(,)(,)(,)()()()()n n n n p n n n x n n n n y n n n n K f x y y x K f x y phK f x y ph f x y f x y f x y O h y x phy x O h +===+⎡⎤=+++⎣⎦'''=++代入(5.9)式可知231()()()()n n n n y y x hy x ph y x O h λ+'''=+++和二阶泰勒展开式231()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +'''=+++比较系数可以发现,欲使(5.9)的截断误差为3()O h ,只要12p λ=。
满足这一条件的一簇格式称为二阶龙格-库塔格式。
特别地,当1p =,12λ=时,龙格-库塔格式(5.9)就是梯形公式的预报-校正格式。
上面讲述了单个方程y f '=的差分法,只要把y '和f 理解为向量,则所提供的各种算法即可推广应用到一阶方程组的情形。
对于方程组0000(,,),()(,,),()y f x y z y x y z g x y z z x y '==⎧⎨'==⎩令0,1,2,n x x nh n =+=⋅⋅⋅,以n y 、n z 表示节点n x 上的近似解,则梯形公式的预报-校正格式具有形式:预报11(,,)(,,)n n n n n n n n n n y y hf x y z z z hg x y z ++=+=+校正[][]11111111(,,)(,,)2(,,)(,,)2n n n n n n n n n n n n n n n n hy y f x y z f x y z hz z g x y z g x y z ++++++++=++=++相应的四阶龙格-库塔格式为11234112341121121132232241(22)6(22)6(,,)(,,)(,,)222(,,)222(,,)222(,,)222(,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h y y K K K K h z z L L L L K f x y z L g x y z h h h K f x y K z L h h h L f x y K z L h h h K f x y K z L h h h L g x y K z L K f x y h +++=++++=++++===+++=+++=+++=+++=+334133,)(,,)n n n n K z hL L g x y hK z hL +⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+⎪=++⎩算法的Matlab 实现:利用Matlab 软件求解捕食者与被捕食的相互关系模型(5.8),可以得到植物、麋鹿和狼的数量随时间变化的关系如图5.1所示时间t物种的数量yRK4 时间序列图图5.1 植物、麋鹿和狼的数量随时间变化的关系图为了更加清楚的看出植物、麋鹿和狼的数量在刚开始的几年时间内随时间的变化关系,我们对图5.1相应部分进行放大,得到图5.22468101202004006008001000120014001600时间t物种的数量yRK4 时间序列图图5.2 植物、麋鹿和狼的数量随时间变化的关系图(部分放大)为了更加清楚的看出麋鹿和狼的数量最终的平衡情况,我们对图5.1相应部分进行放大,得到图5.3时间t物种的数量yRK4 时间序列图图5.3 植物、麋鹿和狼的数量随时间变化的关系图(部分放大)为了更加清楚明了的观察麋鹿和狼的数量随时间的变化关系和趋势,我们做出了麋鹿和狼的演化相图——图5.40100020003000400050006000麋鹿的数量狼的数量狼和麋鹿的演化相图图5.4 麋鹿和狼的数量的演化相图为了更加清楚明了的观察植物、麋鹿和狼的数量随时间的变化关系和趋势,我们做出了植物、麋鹿和狼的三维演化相图——图5.5植物的数量狼、麋鹿和植物的演化相图麋鹿的数量狼的数量图5.5 植物、麋鹿和狼的数量的演化相图从图 5.1可看出的变化情况, 随着时间的推移, 都趋于一个稳定值,从数值解中可近似得到该稳定值为:( 3500,125,30) 。