2009年中考精品：数学压轴题汇编(含解题过程,共69页)

第23题图（1）第23题图（2）2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（三）（2009年某某省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么X 围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】）23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．……………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，）当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分（2009年某某省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.25．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ······ 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··· 2分A D EBFC图4（备用）AD EBFC图5（备用）A D E BF C图1 图2 A D EBFC PNM 图3A D EBFCPN M（第25题） 图1A D E BF CG∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC··········· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·························· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··························· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分图2A D E BF CPNMG H当MP MN =时，如图4，这时3MC MN MP ===．此时，61353x EP GM ===--=-．当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或()53-时，PMN △为等腰三角形． ······ 10分（2009年某某某某）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（十）(2009年某某省某某市)24．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值X 围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？24．（1）在△ABC 中，∵1=AC ，x AB =，x BC -=3． ∴⎩⎨⎧>-+->+x x x x 3131，解得21<<x ． 4分（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，无解． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． ∴35=x 或34=x ． ···························· 9分 （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ， 设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①若点D 在线段AB 上， 则x h x h =--+-222)3(1．∴22222112)3(h h x x h x -+--=--，即4312-=-x h x ． ∴16249)1(222+-=-x x h x ，即16248222-+-=x x h x ． ∴462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）．········ 11分 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S2②若点D 在线段MA 上， 则x h h x =----2221)3(．ABNM（第24题）AB NM（第24题-1）D BAD MN同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤），易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22． ···················· 14分（2009年某某省某某市） 24．（本小题12分）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.四、自选题：（本题5分）请注意：本题为自选题，供考生选做，自选题得分将计入本学科总分，但考试总分最多为120分.第（2）题备用图（第24题）B '25．若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点.（1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________；（2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++.24.（本小题12（1）()411133M a N a a ⎛⎫--⎪⎝⎭，，，.……………4分（2）由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，N '∴4133a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，将N ′的坐标代入22y x x a =-+得21168393a a a a -=++，10a ∴=（不合题意，舍去），294a =-.……………2分334N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，∴点N 到y 轴的距离为3.904A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N '334⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，它与x 轴的交点为904D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，点D 到y 轴的距离为94. 1919918932222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形.……………2分（3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，第（2）题备用图∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4733a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式， 得：27168393a a a a -=-+ 10a ∴=（不舍题意，舍去），238a =-，12P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭7，8.……………2分当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分，OA OC OP ON ∴==，．P ∴与N 关于原点对称，4133P a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168393a a a a =++， 10a ∴=（不合题意，舍去），2158a =-，5528P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．……………2分 ∴存在这样的点11728P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或25528P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形．四、自选题（本题5分） 25．（1）……………2分（2）证明：在BB '上取点P ，使120BPC ∠=°， 连结AP ，再在PB '上截取PE PC =，连结CE ． 120BPC ∠=°，60EPC ∴∠=°，PCE ∴△为正三角形，……………1分 60PC CE PCE CEB '∴=∠=∠，°，=120°， ACB '△为正三角形，AC B '∴=C ACB '∠，=60°，BB 'PCA ACE ACE ECB '∴∠+∠=∠+∠=60°， PCA ECB '∴∠=∠′， ACP B '∴△≌△CE ．APC B '∴∠=∠120CE PA EB '==°，， 120APB APC BPC ∴∠=∠=∠=°，P ∴为ABC △的费马点，BB '∴过ABC △的费马点P ，且BB '=EB '+PB PE PA PB PC +=++．……………2分(2009年某某省某某市)29.（本题满分9分）如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动， 同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．29.（本题满分9分）解：（1）Q （1，0）点P 运动速度每秒钟1个单位长度． （2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==．∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，10AB == 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=． ∴所求C 点的坐标为（14，12）．4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==．1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ··············· 5分说明:未注明自变量的取值X 围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时，△OPQ 的面积最大． ········· 6分 此时P 的坐标为（9415，5310）． ······················· 7分 （4）当53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················· 9分对一个加1分，不需写求解过程．。

2009年中考模拟分类汇编压轴题一、解答题1、(2009年某某随州 十校联考数学试题) 如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. 连结AP ，△APB 为等腰直角三角形。

(1)求a 的值和点P 、C 、D 的坐标；(2)连结BC 、AC 、AD 。

将△BCD 绕点线段CD 上一点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S 。

①当点E 在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.②当点E 在线段CD(端点C 、D 除外)上运动时，设E(0，b)，用含b 的代数式表示S ，并判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．解：（1）a=1 P （2，-1） C （0，3） D （0，-3），（各1分，共4分） （2）画出图形 （1分） 可用相似三角形的面积求S=23（2分） （3）当b ≥0如图，可用相似三角形的面积求21(3)6s b =- （2分） 当b=0时，S=32（1分） 当b ＜0时 BD 旋转后经过A 时，b=-1① -1＜b ≤0时， （2分） ② b ＜-1时 （2分）2、(2009年某某一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC 中，AC=BC=4,90oACB ∠=直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A(1，0)，AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与AEF ∆重叠的面积为S ． (1)求折痕EF 的长；(2)是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线342++=x x y 的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值X 围.解：（1）折痕2EF =（2）2t = （s ）（3）212,(02).2s t t t =-≤≤222).s t =≤2121,(2232).4s t t t =--≤≤21228,(3242).4s t t t =-+≤≤3、（2009泰兴市 济川实验初中 初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的，O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．O’C’与AB 交于D 点.(1)如果二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过O ，O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式； (2)求D 点的坐标．(3)若将直线OC 绕点O 旋转α交点为点P ，则以O 、O’、B 、P 四边形？若能，求出αtan 的值；若不能，请说明理由．解：(1)x x y 22-=……3 分(2)D(1,34) ……7分 (3)tan α=1或31……12分(求出一个得3分,求两个得5分)4、（2009年某某三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴A (1,0)-B (1,0)C (0,1)- ···· （2分）（2）∵O A =O B =O C =1∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a +∴P (,1)a a +第28题图∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3 ··········· 4分） ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ············ 6分） (3)假设存在∵∠P AB =∠BAC =45∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1∴AC在Rt △P AE 中，AE =P E =3∴AP=·················· 7分） 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即2= 解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························· （10分）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即2= 解得：11m =-（舍去） 24m =∴M∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) ··········· （12分）5、(2009年某某市数学模拟试卷)如图13，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴交于点C ． (1)（3分）求顶点M 及点C 的坐标；(2)（3分）若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；(3)（4分）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：图13解：(1)因为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)所以，可建立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 2433900，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a所以，所求二次函数的解析式为y=－x 2＋2x ＋3， 所以，顶点M (1，4)，点C (0，3) -------2分 (2)直线y=kx+d 经过C 、M 两点，所以⎩⎨⎧=+=43d k d ，即k ＝1，d ＝3，直线解析式为y ＝x ＋3令y ＝0，得x ＝－3，故D (－3，0） ∴ CD ＝23，AN ＝23，AD=2，=2 ∴CD ＝AN ，AD=∴四边形CDAN 是平行四边形(3)假设存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x =1，故可设P (1，0y )，则PA 是圆的半径且PA 2=y 02＋22，过P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。

冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程) 第一部分（2009年北京）25.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为()6,0A-，()6,0B，()0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y kx b=+将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y kx b=+与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。

（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，1tan 2tan 212AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯=．∴(01)E ，． ····························································································· （1分）设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．26题图y xDBCA EO将点E 的坐标代入，得1c =．将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得42129310.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，······················································································ （2分） 解这个方程组，得56136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故抛物线的解析式为2513166y x x =-++． ··················································· （3分） （2）2EF GO =成立． ············································································ （4分） 点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65， ∴点M 的纵坐标为125． ··········································································· （5分） 设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠， 将点D M 、的坐标分别代入，得1122612.55k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． ∴DM 的解析式为132y x =-+． ······························································ （6分）∴(03)F ，，2EF =． ·············································································· （7分） 过点D 作DK OC ⊥于点K ， 则DA DK =．90ADK FDG ∠=∠=°， FDA GDK ∴∠=∠．又90FAD GKD ∠=∠=°， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==．1GO ∴=． ···························································································· （8分） 2EF GO ∴=． （3）点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．①若PG PC =，则2222(1)2(3)2t t -+=-+， 解得2t =．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合．x∴(22)Q ，． ···························································································· （9分） ②若PG GC =，则22(1)22t 2-+=， 解得 1t =，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73． ∴713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，． ························································································ （10分）③若PC GC =，则222(3)22t -+=，解得3t =，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则QH GH =，设QH h =，(1)Q h h ∴+，．2513(1)(1)166h h h ∴-++++=．解得12725h h ==-，（舍去）．12755Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，． ····································· （12分）综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即(22)Q ，或713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，或12755Q ⎛⎫⎪⎝⎭，．（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？x（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，并求出最小值及此时PQ 的长．*26．解：（1）抛物线2(1)0)y a x a=-+≠经过点(20)A -，，093a a ∴=+=-·············································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：2333y x x =-++ ··········································· 3分 （2）D 为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N ，则DN = 3660AN AD DAO =∴==∴∠=，° ············································ 4分 OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= ·········································· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求AH 55(s)OP DH t ∴=== ················································································ 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． · 7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E ，则PE =······························································· 8分116(62)222BCPQS t∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t⎫-+⎪⎝⎭···················································································9分当32t=时，BCPQS························································· 10分∴此时33393324444OQ OP OE QE PE==∴=-==，=，PQ∴=== ·············································· 11分（2009年河北省）26．（本小题满分12分）如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t（1）当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．26．解：（1）1，85；（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ = CP= t，∴3AP t=-．由△AQF∽△ABC，4BC=，得45QF t=．∴45QF t=．∴14(3)25S t t=-⋅，即22655S t t=-+．（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．PP图4P图3F图5由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =． ②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.解.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx8=16a +4b得0=64a +8b解 得a =-12,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+4x …………………3分（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE =12AP =12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+12t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-(8-t )=-18t 2+t .∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163， t 2=4013，t 3． …………………11分(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．26．（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．········································································ （2分）由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ······························· （3分） ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．·················································· （4分） （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． ·········································································· （5分） 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ·········································································· （6分） ∴8448OE EF =-==，． ································································ （7分）（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．（图3）（图1）（图2）即241644333S t t =-++．·························································· （10分） （2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）29．问题解决解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N ABCD EFM图（1）A BCDEFMN N 图（1-1）A BC EF M由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ···································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ········································· 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． ····························································· 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ····································································· 6分∴15AM BN =．····················································································· 7分 方法二：同方法一，54BN =． ································································ 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==． 同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．N 图（1-2）A B C DE FM G第23题图（1） ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ························· ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ····················································· 6分 ∴15AM BN = ··················································································· 7分 类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ ································································· 10分 联系拓广2222211n m n n m -++ ······················································································ 12分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分． 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．）第23题图（2）【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.25．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ···················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC ····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．A D E BF C图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D E BF C图1 图2 A D EBF C PNM 图3 A D EBFCPNM （第25题） 图1A D E BF CG∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H综上所述，当2x =或4或()53-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 （2009年广东广州）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

2009年全国中考数学压轴题精选精析（青海）1.（2009年青海）28．矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．（2009年青海26题解析）解：（1）点D 的坐标为(43)-，． ···························· （2分）（2）抛物线的表达式为23984y x x =-． ······················································ （4分） （3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件． ∵OA CB ∥， ∴1POM CDO ∠=∠． ∵190OPM DCO ∠=∠=°， ∴1Rt Rt POM CDO △∽△． ······················· （6∵抛物线的对称轴3x =，∴点1P 的坐标为1(30)P ，． ········································································· （7分） 过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ． ∵对称轴平行于y 轴， ∴2P MO DOC ∠=∠．∵290POM DCO ∠=∠=°， ∴21Rt Rt P M O DOC △∽△． ·································································· （8分） ∴点2P 也符合条件，2OP M ODC ∠=∠． ∴121390PO CO P PO DCO ==∠=∠=，°， ∴21Rt Rt P PO DCO △≌△． ···································································· （9分） ∴124PP CD ==． ∵点2P 在第一象限，∴点2P 的坐标为2P (34)，， ∴符合条件的点P 有两个，分别是1(30)P ，，2P (34)，． （11分）。

冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)（2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分）如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =x k 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点．（1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分）（2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）25．解：（1）21k k -； … ………………………………3分（2）①EF ∥AB ． ……………………………………4分证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4k E --，2(,3)3kF ．∴PA =3，PE =234k +，PB =4，PF =243k +． ∴223121234PA k PE k ==++，224121243PBk PF k ==++ ∴PA PBPE PF =． ………………………… 6分又∵∠APB =∠EPF ．∴△APB ∽△EPF ，∴∠PAB =∠PEF ．∴EF ∥AB ． …………………………… 7分②S 2没有最小值，理由如下：过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ．由上知M （0，24k -），N （23k ，0），Q （23k ，24k -）． ……………… 8分而S △EFQ = S △PEF ，∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN ＝4321212222k k k k ⋅++ ＝222112k k +=221(6)312k +-． ………………………… 10分当26k >-时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12． …………… 11分∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值． …………………………… 12分说明：1．证明AB ∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A 、B 两点和经过E 、F 两点的直线解析式，利用这两个解析式中x 的系数相等来证明AB ∥EF ；方法二：利用tan PAB ∠＝tan PEF ∠来证明AB ∥EF ；方法三：连接AF 、BE ，利用S △AEF ＝S △BFE 得到点A 、点B 到直线EF 的距离相等，再由A 、B 两点在直线EF 同侧可得到AB ∥EF ．2．求S 2的值时，还可进行如下变形：S 2＝ S △PEF －S △OEF ＝S △PEF －（S 四边形PEOF －S △PEF ）＝2 S △PEF －S 四边形PEOF ，再利用第（1）题中的结论．。

2009年中考压轴题精选/台州9．2则下列判断中正确的是( )A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 10．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③ 15．如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为 ．16．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n = ；②第i 行第j 列的数为 （用i ，j 表示）．23．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．．点．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．( ) ②任意凸四边形一定只有一个准内点．( )③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PD PC PB PA +=+ 或PD PB PC PA +=+．( )（第23题） 图2 图4 F EDC B A PG HJ I 图1 B J I H GD C A P24．如图，已知直线121+-=x y 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作 正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点D C ,的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．2009年中考压轴题精选/台州参考答案15．16．10，1010-+j i （第一空2分，第二空3分；答j i +-)1(10给3分，答j i n +-)1(给2分）23．（12分）（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,， ∵EP 平分DEC ∠， ∴PH PJ =．……………3分同理 PI PG =．…………………………………1分∴P 是四边形ABCD 的准内点．…………………1分（2）（第24题）yx121+-=x y图2 FE DC B A P G HJ I 图3（1）图4图3（2）BB D D B F……………………………………………………………………………4分 平行四边形对角线BD AC ,的交点1P 就是准内点，如图3（1）. 或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P 就是准内点，如图3（2）； 梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点2P 就是准内点．如图4.（3）真；真；假．……………………………………………………………………3分 （各1分，若出现打“√”“×”或写“对”“错”同样给分．）24．（14分）（1）)3,1(),2,3(D C ；…………………………………………………2分（2）设抛物线为c bx ax y ++=2，抛物线过),1,0()3,1(),2,3(，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.239,3,1c b a c b a c 解得5,617,61.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩…………………………………………………2分∴1617652++-=x x y ．……………………………………………………………1分 （3）①当点A 运动到点F 时，,1=t当10≤<t 时，如图1，∵'OFA GFB ∠=∠， ,21tan ==∠OF OA OFA ∴,215''''tan ===∠t GB FB GB GFB ∴,25't GB = ∴2'4525521''21t t t GB FB S G FB =⨯⨯=⨯=∆；……2分 ②当点C 运动到x 轴上时，2=t ，当21≤<t 时，如图2，''A B AB ===∴,55'-=t F A ∴255'-=t G A ， 图 1图2∵25't H B =， ∴''1'')''2A B HG S A G B H A B =+⨯梯形（ 5)25255(21⨯+-=t t 4525-=t ；…………（2分） ③当点D 运动到x 轴上时，3=t ， 当32≤<t 时，如图3，∵255'-=t G A ， ∴25532555'tt GD -=--=， ∵1,12121==⨯⨯=∆OA S AOF ， AOF ∆∽'GD H ∆∴2')'(OAGD S S AOF H GD =∆∆，∴2')2553(t S H GD -=∆，∴22'''GA B C H S =-五边形 =425215452-+-t t ．………（2分） （解法不同的按踩分点给分） （4）∵3=t ,53''==AA BB ,∴''''BB C C AA D D S S S ==阴影矩形矩形 ………………………………………………（2分） ='AA AD ⨯=15535=⨯．……………………………………………………………（1分）图 4图32009年中考压轴题精选/河南5.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为( )（A）（2，2）（B）（2，4）(C)（4，2）(D)（1，2）6.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )（A）3（B）4 (C) 5 (D)614.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.15.，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在AB上，则阴影部分的面积为（结果保留 ）.21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.2009年中考压轴题精选/河南参考答案21.（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分 （2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC .∴AO =12AC ……………………8分 在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2.∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分 23.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx8=16a +4b得0=64a +8b解 得a =-12,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+4x …………………3分（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE =12AP =12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+12t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-(8-t )=-18t 2+t .∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163， t 2=4013，t 3． …………………11分2009年中考压轴题精选/长春7．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.∠AOC=45°， OC=2，则点B 的坐标为( ) （A ）(2,1). （B ）(1,2).（C ）(2+1，1). （D ）(1，2+1).8．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程中速度大小不变.则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为( )（第7题）13．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为 （用含n 的代数式表示）.14．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留π）.25．某部队甲、乙两班参加植树活动.乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为y 甲（棵），乙班植树的总量为y 乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x （时）.y 甲、y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示.（1）当0≤x ≤6时，分别求y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式.（3分）（2）如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵.（3分）（3）如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束.当x=8时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵.（4分）26．如图，直线643+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线x y 45=与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D.点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动.过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）. （1）求点C 的坐标.（1分）（2）当0<t<5时，求S 与t 之间的函数关系式.（4分） （3）求（2）中S 的最大值.（2分）（第8题）（第13题）（第14题）（4）当t>0时，直接写出点（4，29）在正方形PQMN 内部时t 的取值范围.（3分） 【参考公式：二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点坐标为（ab ac a b 44,22--）.】2009年中考压轴题精选/长春参考答案7．C 8．A 13．2n+2 14．83π 25．解：（1）设y 甲=k 1x ，把（6，120）代入，得k 1=20，∴y 甲=20x.当x=3时，y 甲=60.设y 乙=k 2x+b ，把（0，30），（3，60）代入，得b=30, 3k 2+b=60. 解得k 2=10， b=30.∴y 乙=10x+30. （3分） （2）当x=8时，y 甲=8×20=160， y 乙=8×10+30=110. ∵160+110=270>260，∴当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵. （6分） （3）设乙班增加人数后平均每小时植树a 棵.当乙班比甲班多植树20棵时，有6×10+30+2a-20×8=20. 解得a=45.当甲班比乙班多植树20棵时，有20×8-(6×10+30+2a)=20. 解得a=25.所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵. （10分）26．解：（1）由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.45,643x y x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.415,3y x∴C （3,415）. （1分） （2）根据题意，得AE=t ，OE=8-t.∴点Q 的纵坐标为45(8-t)，点P 的纵坐标为43t ， ∴PQ=45 (8-t)-43t=10-2t. 当MN 在AD 上时，10-2t=t ，∴t=310. （3分）当0<t ≤310时，S=t(10-2t)，即S=-2t 2+10t.当310≤t<5时，S=(10-2t)2，即S=4t 2-40t+100. （5分）（3）当0<t ≤310时，S=-2（t-25）2+225，∴t=25时，S 最大值=225.当310≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S 随t 的增大而减小，∴t=310时，S 最大值=9100.∵225>9100，∴S 的最大值为225. （7分）（4）4<t<522或t>6. （10分）2009年中考压轴题精选/黄石9．如图，ABC △为O ⊙的内接三角形，130AB C =∠=，°，则O ⊙的内接正方形的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．已知二次函数2y ax bx c =++①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤15．下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A B 、两点， 分别以A B 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是 ． 16．若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关 于原点对称，则a b 、分别为 ． 25．（本小题满分10分）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，若32FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；（3分） （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点HAP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（42009年中考压轴题精选/青海11．如图4，函数y x =与4y x=的图象交于A、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则ABC △的面积 为 ．12．观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为 ．19．如图7是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）13 2 1 图7A ．B ．C ．D ．20．将三个均匀的六面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体同时掷出，出现的数字分别为a b c 、、，则a b c 、、正好是直角三角形三边长的概率是（ ） A ．1216B ．172C ．112D ．13627．请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图12-1，正三角形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且60NOC ∠=°． 请证明：60NOC ∠=°．（2）如图12-2，正方形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠= 度．（3）如图12-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，连接AN EM 、，那么AN = ，且EON ∠= 度．（4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．28．矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以A A AB B BC C CD D O O O MM MN N N E图12-1 图12-2 图12-3…P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．2009年中考压轴题精选/青海参考答案27．（1）证明：∵ABC 是正三角形， ∴60A ABC AB BC ∠=∠==°，， 在ABN △和BCM △中，AB BC A ABC AN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABN BCM △≌△． ············································································ （2分） ∴ABN BCM ∠=∠．又∵60ABN OBC ∠+∠=°， ∴60BCM OBC ∠+∠=°， ∴60NOC ∠=°． ··················································································· （4分） 注：学生可以有其它正确的等价证明．（2）在正方形中，90AN DM DON =∠=，°． ··········································· （6分） （3）在正五边形中，108AN EM EON =∠=，°． ······································· （8分） 注：每空1分．（4）以上所求的角恰好等于正n 边形的内角(2)180n n-°． ··························· （10分）注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．28．解：（1）点D 的坐标为(43)-，． ·························································· （2分）（2）抛物线的表达式为23984y x x =-． ······················································ （4分）（3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件．∵OA CB ∥，∴1POM CDO ∠=∠． ∵190OPM DCO ∠=∠=°， ∴1Rt Rt POM CDO △∽△． ······················ （6分） ∵抛物线的对称轴3x =，∴点1P 的坐标为1(30)P ，． ········································································· （7分） 过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ． ∵对称轴平行于y 轴， ∴2P MO DOC ∠=∠． ∵290P OM DCO ∠=∠=°，∴21Rt Rt P M O DOC △∽△． ··································································· （8分） ∴点2P 也符合条件，2OP M ODC ∠=∠．∴121390PO CO P PO DCO ==∠=∠=，°， ∴21Rt Rt P PO DCO △≌△． ···································································· （9分） ∴124PP CD ==． ∵点2P 在第一象限， ∴点2P 的坐标为2P (34)，，∴符合条件的点P 有两个，分别是1(30)P ，，2P (34)，． ································· （11分）2009年中考压轴题精选/钦州9．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 ．10．一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）则第n 个式子是______________（n 为正整数）．17．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB18．如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为（ ） A ．10cm B ．3.5πcm C ．4.5πcmD ．2.5πcm25．（本题满分10分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．（1）求证：BC ＝CD ； （2）求证：∠ADE ＝∠ABD ；（3）设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长． 26．（本题满分10分）如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是 ，b ＝ ，c ＝ ； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．2009年中考压轴题精选/钦州ABCD EO参考答案9．410．31(1)n na--∴OB ⊥BC ． ·················································· 1分 ∵OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线． ······································· 2分 又∵CD 切⊙O 于点D ，∴BC ＝CD ； ·················································· 3分 （2）∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°．∴∠ADE ＋∠CDB ＝90°． ······························· 4分 又∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°． ······························································· 5分 由（1）得BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ．∴∠ADE ＝∠ABD ； ······································································ 6分 （3）由（2）得，∠ADE ＝∠ABD ，∠A ＝∠A ．∴△ADE ∽△ABD ． ······································································ 7分 ∴AD AB ＝AEAD ． ············································································ 8分 ∴21BE +＝12，∴BE ＝3，······························································ 9分 ∴所求⊙O 的直径长为3． ·························································· 10分26．解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3． ························································ 3分 （2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5． 由题意，得△BHP ∽△BOC ， ∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5，∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5，∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ．∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）．∴OQ ＝4t ． ·············································································· 4分 ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ·······················································5分 ②当H 在O 、Q 之间时，∙ABCD EOQH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． ······················································· 6分 综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜； ······················································ 6分 （3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ················ 7分①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt，∴t ＝732． ··············································································· 7分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484tt -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 2－1（舍去）． ·········································· 8分 ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34tt，∴t ＝2532． ··············································································· 9分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0． ∴t 1＝t 2＝1（舍去）．································································ 10分综上所述，存在t 的值，t 1－1，t 2＝732，t 3＝2532． ···················· 10分2009年中考压轴题精选/重庆9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B→C→D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ） A B C D10．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF 。

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（四）(2009某某省某某市)26（本小题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

26、（本小题满分10分）证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1=∠2…………………………………………………1分∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分∴AD=BE……………………………………………………3分（2）∵E是AB中点，∴EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。

即，AC是线段ED的垂直平分线。

……………………7分（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD∴△DBC 是等腰三角形。

……………………………10分（2009年威海市）25．（12分）一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．（2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．25．（本小题满分12分）解：（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，)（第25题图1）（第25题图2）∴四边形BDOF 为矩形．AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形． ·· 1分1111OC x AC y x y k ===，，， ∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形． ∴AEOCBDOF S S =矩形矩形．AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形，∴AEDKCFBK S S =矩形矩形． ······················· 2分②由（1）知AEDKCFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =． ∴AK BKCK DK=． ······························ 4分 90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．··························· 5分 ∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 6分AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．∴AN CD =． ······························ 7分同理BM CD =．AN BM ∴=． ······························ 8分（2）AN 与BM 仍然相等． ························ 9分AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形， BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，∴AEDKBKCF S S =矩形矩形． ······ 10分∴AK DK BK CK =． ∴CK DKAK BK=．K K ∠=∠，∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 11分AC y ∥轴，∴四边形ANDC 是平行四边形．∴AN CD =．同理BM CD =．∴AN BM =． ······························ 12分（2009年某某市）26．(本题满分14分)如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P AC N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过AB E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并（第26题图）图2说明理由；（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．26．（本题满分14分）解：（1）根据题意，得34231.2a a b b a-=+-⎧⎪⎨-=⎪⎩，2分解得12.a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线对应的函数表达式为223y x x =--． ·· 3分（2）存在．在223y x x =--中，令0x =，得3y =-． 令0y =，得2230x x --=，1213x x ∴=-=，．(10)A ∴-，，(30)B ，，(03)C -，．又2(1)4y x =--，∴顶点(14)M -，． ···················· 5分 容易求得直线CM 的表达式是3y x =--． 在3y x =--中，令0y =，得3x =-．(30)N ∴-，，2AN ∴=． ························· 6分在223y x x =--中，令3y =-，得1202x x ==，．2CP AN CP ∴=∴=，．AN CP ∥，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时(23)P -，． ········· 8分 （3）AEF △是等腰直角三角形．理由：在3y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得3x =．M（第26题图）∴直线3y x =-+与坐标轴的交点是(03)D ，，(30)B ，．OD OB ∴=，45OBD ∴∠=°． ······················ 9分又点(03)C -，，OB OC ∴=．45OBC ∴∠=°． ··············10分 由图知45AEF ABF ∠=∠=°，45AFE ABE ∠=∠=°． ··········· 11分 90EAF ∴∠=°，且AE AF =．AEF ∴△是等腰直角三角形． ········· 12分 （4）当点E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论成立． ······· 14分（2009年某某省日照）24． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）24．（本题满分10分）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G为DF 的中点，∴ CG= FD ．………………1分 同理，在Rt △DEF中， EG= FD ． ………………2分FBDC第24题图①BDCE第24题图②BC第24题图③∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE ．∴ ．…………………………………………………6分∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG ， ∴ EG= MC ．∴ ．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分（2009年潍坊市）24．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．24．（本小题满分12分） 解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、，抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． ·························· 2分点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ··················· 4分（2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴抛物线的对称轴为12x =，12OE DE ∴===，． ····· 6分连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE ODDB FD∴=，又12DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=． ··················· 8分 （3）点P 在抛物线上． ·························· 9分 设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，∴直线DC 为：1y x =-+． ························ 10分过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，，·························· 11分 当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ··················· 12分说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．。

全国各省市中考专题压轴题及分析1．（2009江苏盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC = 90º，① 当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．② 当点D 在线段BC 的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC =24，BC = 3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．解：（1）① CF 与BD 位置关系是 垂 直 、数量关系是 相 等 ； ② 当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，∠DAF=90º． ∵ ∠BAC=90º， ∴ ∠DAF=∠BAC ， ∴ ∠DAB=∠FAC ， 又AB=AC ，∴ △DAB ≌△FAC ， ∴ CF=BD ∠ACF=∠ABD ． ∵ ∠BAC=90º， AB=AC ， ∴ ∠ABC=45º，图甲图乙 C 第1题图 图丙D E∴ ∠ACF=45º，∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF ⊥BD ．（2）画图正确当∠BCA = 45º时，CF ⊥BD （如图丁）． 理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ， ∴ AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴ ∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF ⊥BD ．（3）当具备∠BCA = 45º时，过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊） ∵ DE 与CF 交于点P 时， ∴ 此时点D 位于线段CQ 上， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4． 设CD = x ，∴ DQ = 4-x ，容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-，221(2)144x CP x x ∴=-+=--+．∵0＜x ≤3 ∴当x =2时，CP 有最大值1．GABCDE FPQ AB CD EF2．（2009浙江湖州） 已知：在矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数xky =（k ＞0）的图象与AC 边交于点E 。

2009年中考数学专题复习一一压轴题1. （2008年四川省宜宾市）已知：如图抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点 A （-1, 0）、B （0, 3）两点，其 顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为 E.求四边形ABDE 的面积；（3） △ AOB 与厶BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为 O （0, 0）, A （10 , 0）, B （8, 2 3）, C （0, 2 3）,点T在线段OA 上（不与线段端点重合）,将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上（记为点 A '）,折痕经过点T ,折痕TP 与射线AB 交于点P ,设点T 的横坐标为t ，折叠 后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S ;（1） 求/OAB 的度数，并求当点A '在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； （2） 当纸片重叠部分的图形是四边形时，求 t 的取值范围；⑶S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时 t 的值；若不存在，请 说明理由.3. （08 浙江温州）如图，在 Rt △ ABC 中，• A =90", AB =6, AC =8 , D , E 分别是b2a4ac- b24a 2（注：抛物线 y=ax +bx+c （a 工0）的顶点坐边AB, AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ _ BC 于Q ,过点Q 作QR // BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动•设BQ =x , QR = y .(1) 求点D 到BC 的距离DH 的长；(2) 求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点 P ，使△ PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由.4. ( 08山东省日照市)在 △ ABC 中，/ A = 90 ° AB = 4, AC = 3, M 是AB 上的动点(不与 A , B 重合)，过 M 点作MN // BC 交AC 于点N .以MN 为直径作O 0,并在O O 内作内接 矩形 AMPN .令 AM = x .(1) 用含x 的代数式表示 A M NP 的面积S ; (2 )当x 为何值时，O 0与直线BC 相切？(3)在动点M 的运动过程中，记 A M NP 与梯形BCNM 重合的面积为y ,试求y 关于x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？k5、( 2007浙江金华)如图1，已知双曲线 y= (k>0)与直线y=k ' x 交于A , B 两点，点 A 在x第一象限•试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4 , 2).则点B 的坐标为 ____________ ;若点A 的横坐标为 m,则点B 的坐标可表示为 ___________ ;k(2)如图2，过原点O 作另一条直线 I ，交双曲线 y= (k>0)于P , C 两点，点P 在第一Cx象限•①说明四边形APBC一定是平行四边形；②设点 A.P的横坐标分别为m, n ,四边形APBQ 可能是矩形吗 ？可能是正方形吗 ？若可能，直接写出mn 应满足的条件;6.（ 2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知△ AOB 是等边三角形，点A 的坐标是（0 , 4），点B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连结AP ,并把△ AOP绕着点A 按逆时针方向旋转 .使边AO 与 AB 重合.得到△ ABD. （ 1）求直线 AB 的解析式；7. （2008浙江义乌）如图1,四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG ，连结BG , DE .我们探究下列 图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度:-, 得到如图2、如图3情形•请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否 仍然成立，并选取图2证明你的判断.（2）当点P 运动到点（.3 , 0 ）时，求此时 DP 的长及点D 的坐标;3）是否存在点卩，使△ OPD 勺面积等于 —，若存在, 4请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在,若不可能，请说明理由E（23題團3 ）D(2)将原题中正方形改为矩形 (如图4— 6)，且AB=a , BC=b ,CE=ka , CG=kb (a= b ,8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半 轴上.过点B 、C 作直线I .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D,与y 轴交于点E .(1) 将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t_0)，直角梯形OABC 被直线I 扫过的面积(图中阴影部份)为 s , S 关于t 的函数图象如图2所示，OM 为线段，MN 为抛物 线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4.① 求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ② 当2 ：：：t ： 4时，求S 关于t 的函数解析式；(2) 在第(1)题的条件下，当直线l 向左或向右平移时(包括 I 与直线BC 重合)，在 直线AB 上是否存在点P ,使APDE 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满 足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由.9. (2008山东烟台)如图，菱形 ABCD 的边长为2, BD=2 , E 、F 分别是边AD , CD 上的两个 动点，且满足AE+CF=2.(1) 求证：△ BDE ◎△ BCF ; (2) 判断△ BEF 的形状，并说明理由； (3) 设厶BEF 的面积为S ,求S 的取值范围.以图5为例简要说(3)在第⑵题图5中，连结DG 、1 N280 2 4tk ■ 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立,明理由.求BE 2 DG 2的值.(23题图G210.（2008山东烟台）如图，抛物线L i : y - -x -2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2, L2交x轴于C、D两点.（1 ）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L i或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形•若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L i上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由•11.2008淅江宁波）2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥一一杭州湾跨海大桥通车了•通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米•已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.（1 ）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.D（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时 28元，那么该车货物从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港 的运输费用是多少元？ (3) A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地.若有一批货物(不超过10车)从A 地按外运路线运到 B 地的运费需8320 元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与( 2)中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过 10车的货物计费方式是：一车 800元，当货物每增加1车时， 每车的海上运费就减少 20元，问这批货物有几车？12. (2008淅江宁波)如图1,把一张标准纸一次又一次对开，得到“ 2 开”纸、“ 4开”纸、“ 8开”纸、“16开”纸….已知标准纸.的 短边长为a .(1) 如图2,把这张标准纸对开得到的“ 16开”张纸按如下步骤折 叠： 第一步 将矩形的短边 AB 与长边AD 对齐折叠，点 B 落在AD 上 的点B •处，铺平后得折痕 AE ；第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点 D 正好与点E 重合，铺平后得折痕 AF . 则AD: AB 的值是 ____________________ , AD , AB 的长分别是 ________ , ________ .(2) “ 2开”纸、“ 4开”纸、“ 8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这 个比值；若不相等，请分别计算它们的比值.(3) 如图3,由8个大小相等的小正方形构成 “ L ”型图案，它的四个顶点E , F , G , H 分别在“16开”纸的边 AB, BC , CD , DA 上，求DG 的长.(4) 已知梯形 MNPQ 中，MN // PQ , Z M =90： , MN =MQ =2PQ ，且四个顶点M , N , P, Q 都在“ 4开”纸的边上，请直接写出面积.13. (2008 山东威海)如图，在梯形 ABCD 中，AB // CD , AB = 7, CD = 1, AD = BC = 5.点 M , N 分另【J 在边 AD , BC 上运动，并保持 MN // AB , ME 丄AB , NF 丄AB ,垂足分另U 为 E , F .(1) 求梯形ABCD 的面积； (2) 求四边形MEFN 面积的最大值.(3) 试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由.2个符合条件且大小不同的直角梯形的BAEHFD G图3k14. (2008山东威海)如图，点A ( m, m+ 1), B ( m+ 3, m—1)都在反比例函数y = —x的图象上.(1)求m, k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A,B, M , N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式.. _________ ____________ Q友情提示：本大题第(1)小题4分，第(2)小题7分.对完成第(2)小题有困难的同学可以做下面的(3)(3)选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为(5, 0),点Q的坐标为(0, 3)，把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1, 则点P1的坐标为____________________，点Q1的坐标为________ .15. ( 2008湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0 , -3), AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2) 你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3) 开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式•O M—x16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，0(0,0) , A(6,0),2C(0,3) •动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动一秒时，3动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为t (秒).(1)用含t的代数式表示OP, OQ ；(2)当t =1时，如图1,将厶OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D 的坐标；(4) 连结AC，将△ OPQ沿PQ翻折，得到△ EPQ，如图2.问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由.16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，0(0,0) , A(6,0),17.(2008年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中，直线y = i、3x-；3与X轴交于点A，与y轴交于点C ,抛物线y = ax2-2 3 x c( 0)经过A, B, C三点.3(1)求过A B, C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P，使△ ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)试探究在直线AC上是否存在一点M ,使得△ MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中, 上，边OC在y轴的正半轴上，且AB =1, OB 矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向x17.(2008年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中，直线y = i、3x-；3与X轴交于旋转60后得到矩形EFOD •点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ OAB 的顶点A 的坐标为(10, 0), 为点D ，抛物线y =ax 2 • bx c 过点A, E , D . (1) 判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； (2) 求抛物线的函数表达式；(3) 在x 轴的上方是否存在点 P ，点Q ，使以点O, B, P ，Q 为顶点的平行四边形的面 积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点 P ，点Q 的坐标；若3 2 _19.(2008年四川省巴中市)已知：如图14,抛物线y x 3与x 轴交于点A ，点B ，433与直线y x b 相交于点B ，点C ,直线y x b 与y 轴交于点E .4 4(1 )写出直线BC 的解析式. )求△ ABC 的面积.(3) 若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从 A 向B 运动(不与 A B 重合)， 同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从 B 向C 运动.设运动时间为t 秒， 请写出△MNB 的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时， △MNB 的面积S14x(1) 若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；(2) 在(1)中，抛物线上是否存在一点 P ,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存 在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若将点O 、点A 分别变换为点 Q ( -2k ,0)、点R (5k , 0) ( k>1的常数)，设过 Q 、 R 两点，且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为N ，其顶点为 M ，记△ QNM 的面积为S QMN ， △ QNR 的面积S QNR ，求S QMN：S QNR 的值.21. (2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ ABC 的边AB 在x 轴上，且 OA>OB,以AB 为直 径的圆过点 C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标 X A ,X B 是关于 X 的方程2x -(m 2)x n-1=0 的两根：(1) 求m , n 的值(2) 若Z ACB 的平分线所在的直线 I 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式- 1丄1 ⑶ 过点D 任作一直线I 分别交射线CA , CB (点C 除外)于点M , N ，则+— 的值CM CN是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由顶点B 在第一象限内，且AB =3 ^5, sin ZOAB=20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ OAB 的顶点A 的坐标为(10, 0),22. （2008年四川省宜宾市）已知:如图抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点 A （-1 , 0）、B （ 0，3）两点，其顶点为 D. （1）求该抛物线的解析式；⑵若该抛物线与x 轴的另一个交点为 E.求四边形ABDE 的面积；⑶△ AOB 与厶BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由‘‘ b 4ac —b 2 "（注：抛物线 y=ax 2+bx+c （a 丰0）的顶点坐标为 -------------- -——, ）I 2a 4a 丿23. （天津市2008年）已知抛物线y =3ax 2 2bx c ,（I ）若a=b=1 , c = -1,求该抛物线与x 轴公共点的坐标;L'备用图(n)若a =b =1，且当x ,1时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点， 求c 的取值范围;(川)若a b c =0，且x i =0时，对应的y i . 0 ； X 2 =1时，对应的 y 0，试判断当0 ：：： x ::: 1 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.24. (2008年大庆市)如图①，四边形 AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a , b ( b > 2a ),且点 F 在AD 上(以下问题的结果均可用 a , b 的代数式表示).(1) 求 S A DBF ； (2) 把正方形 AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转 45°得图②，求图②中的 S A DBF ；(3)把正方形 AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，S A DBF 是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.25. (2008 年上海市)已知 AB =2, AD =4 , DAB =90 , AD // BC (如图 13). E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合)，M 是线段DE 的中点.(1 )设BE 二x , △ ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； (2) 如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长；(3) 联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A, N , D 为顶点的三角形与 △ BME 相似, 求线段BE 的长.CBCB26. (2008年陕西省)某县社会主义新农村建设办公室， 为了解决该县甲、 乙两村和一所中 学长期存在的饮水困难问题， 想在这三个地方的其中一处建一所供水站. 由供水站直接铺设 管道到另外两处.如图，甲，乙两村坐落在夹角为 30的两条公路的 AB 段和CD 段(村子和公路的宽均不计)， 点M 表示这所中学.点B 在点M 的北偏西30的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60的2、、3 km 处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点 M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小 值； 方案二：供水站建在乙村(线段 CD 某处)，甲村要求管道建设到 A 处，请你在图①中，画 出铺设到点 A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB 某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点 M 处 的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值.综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？图① 图②27. (2008年山东省青岛市) 已知：如图①，在 Rt △ ACB 中，/ C = 90°, AC = 4cm BC = 3cm,点P 由B 出发沿BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s ;点Q 由A 出发沿AC 方向向 点C 匀速运动，速度为 2cm/s ;连接PQ 若设运动的时间为t (s ) ( 0v t v 2)，解答下列 问题： (1 )当t 为何值时，PQ// BC ?2(2) 设厶AQP 的面积为y ( cm ),求y 与t 之间的函数关系式；(3) 是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求 出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4) 如图②，连接 PC,并把△ PQC 沿QC 翻折，得到四边形 PQP C,那么是否存在某一时 刻t ，使四边形PQP C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.北k 上的点M( m n )(在A 点左侧)是双曲线 y 上的动点.过点B 作BD// y 轴于点D.过Nxk (0, - n )作NC// x 轴交双曲线y 于点E ,交BD 于点C. x(1) 若点D 坐标是(—8, 0),求A 、B 两点坐标及k 的值.(2) 若B 是CD 的中点，四边形 OBCE 勺面积为4,求直线CM 的解析式.(3) 设直线 AM BM 分别与y 轴相交于 P 、Q 两点，且 MA= pMR MB= qMQ 求p — q 的值.29. (2008年江苏省无锡市) 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km .现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点， 每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：(1 )能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？(2)至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图， 并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由•(下面给出了几个边长为30km 的正方形城区示意图，供解题时选用)图1 图2 图3 图 428. (2008年江苏省南通市)已知双曲线 y 二一与直线y x 相交于Ax4B 两点•第一象限图①BC压轴题答案「c = 31. 解：(1)由已知得：解得…1 - b ■ c = 0c=3,b=2•••抛物线的线的解析式为y = -x2• 2x • 3(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1 , 4)所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=S ABO ' S梯形BOFD ' S.QFE1 1 1=—AO BO —(BO DF) OF —EF DF2 221 1 1=—1 3 — (3 4) 1 2 42 22=9(3)相似如图，BD= BG2DG^ 1212 = 2BE= ,BO2OE2二3232DE= DF2EF2二2242=2,5BD2BE2=DE2,所以BDE是直角三角形所以BD2 BE2=20 , DE2=20 即:所以.AOB =. DBE =90 ,且 二 2,BD BE 2所以：AOBL DBE •2. (1) T A , B 两点的坐标分别是 A(10 , 0)和B(8 , 2.3),tan ZOAB ---------- 3 ,10—8■OAB =60当点A '在线段AB 上时，••• • OAB =60 , TA=TA ■ △ A 'TA 是等边三角形，且 TP _ TA :33(10 — t) , AP2当t=2时，S 的值最大是 4.3 ;^-A P TP 3(10 —t)2,2 82^3当A '与B 重合时，AT=AB=4 ,si n60°所以此时6 mt :: 10.x⑵当点A '在线段AB 的延长线，且点 P 在线段AB （不与B 重合）上时， 纸片重叠部分的图形是四边形 （如图（1），其中E 是TA '与CB 的交点）, 当点P 与B 重合时，AT=2AB=8，点T 的坐标是（2, 又由⑴中求得当A '与B 重合时，T 的坐标是（6, 0） 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时， 2 t <6.（3）S 存在最大值32①当 6 汨 <10时，S （10 — t ）,8x在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小,•••当t=6时，S 的值最大是 2 3.㈢当2 < t :: 6时，由图。