下载文档原格式
一、 公式法例1：将N 个红球和M 个黄球排成一行。
例如，当N=2，M=3时可得到10种排法。
问题：当N=4,M=3时有（）种不同排法？（NOIP2002）解：此题属于不全相异元素的全排列，可以直接代入以下公式（公式中n 1+n 2+n 3+……+n m = N ）!*!*!*!*!321m n n n n N所以35!4!*3!7=例2：公园门票每张5角，如果有10个人排队购票，每人一张，并且其中一半人恰有5角钱，另一半恰有1元钱，而票房无零钱可找，那么有多少种方法将这10个人排成一列，顺次购票，使得不至于因票房无零钱可找而耽误时间？解：此题属于D[0]>=D[1]排列，可以直接代入以下公式22--n n n n CC 所以42210252410510=-=-C C二、 转换法：深入思考，抓住问题的本质，将原问题转化成排列组合经典问题来解决。
例3：某城市的街道是一个很规整的矩形网络（见下图），有7条南北向纵街，5条东西向横街。
现在从西南角的A 走到东北角的B ，最短的走法共有（ ）种（NOIP2007）解：无论怎样走都必须经过6横4纵，因此可把问题转化为4个相同的白球和6个相同的黑球的排列问题。
所以210410=C 三、 分类法：按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。
例4：小陈现有2个任务A ，B 要完成，每个任务分别有若干步骤，A=a 1→a2→a3，B= b 1→b2→b3→b4→b5。
在任何时候，小陈只能专心做某个任务的一个步骤。
但是如果愿意，他可以在做完手中任务的当前步骤后，切换至另一个任务，从上次此任务第一个未做的步骤继续。
每个任务的步骤顺序不能打乱，例如……a2→b2→a3→b3……是合法的，而……a2→b3→a3→b2……是不合法的。
小陈从B 任务的b1步骤开始做，当恰做完某个任务的某个步骤后，就停工回家吃饭了。
当他回来时，只记得自己已经完成了整个任务A ，其他的都忘了。
物理解题中的递推公式商洛中学杨玉良分析一些同类特殊事例，确切判断出它们所共有的因果联系和特征，作出一般结论。
这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。
物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。
归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。
常用它来研究运动规律已知，在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。
它具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解；或导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。
1、如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。
现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。
在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。
已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。
求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后，其速率将减小，从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。
而每次两球碰撞后，绝缘球的速率是有规律性的变化，要求解本题题设条件下的碰撞次数，关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。
【解】方法1．根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。
设小球m的摆线长度为l，绝缘球第一次碰撞前的速度为v0，碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1，设速度向左为正，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：，①m和M碰撞过程满足：mv0=MV1+mv1，②，③联立②、③得：，由于v1<0，说明绝缘球被反弹，而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞，设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v2、V2，满足：m|v1|=MV2+mv2，④，⑤由④、⑤解得：，整理得：同理第三次碰撞后绝缘球的速率v3为：，由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为v n，所以：，⑥经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°，则，⑦联立①、⑥、⑦代入数据解得，（0．81）n=0．586，当n=3时，碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
物理解题中的递推方法杨国平【摘要】讨论了物理解题中应用递推方法的几种典型情况，提出了避免递推陷阱的几个例子．【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2012(000)005【总页数】4页(P56-59)【关键词】递推方法;数理结合;陷阱【作者】杨国平【作者单位】绍兴市第一中学,浙江绍兴312000【正文语种】中文【中图分类】O4-4当所研究的问题中涉及相关联的物体较多，并且相互之间的作用有一定规律时，可根据题目特点，从某次具体作用开始，运用归纳、递推方法，得到一般的表达式（通式）.用递推法解题的关键是导出相邻两次递推关系式.1 多个研究对象的递推（归纳）中学物理常涉及到的多体问题有：按一定规律放置的一系列物体（存在相互作用的物体称为连接体）、电学元件的网状连接……对于这类问题，只要找到相邻两物体之间力、电流、体积等的分配关系，最后通常能归纳出一个通式.【例1】有12块质量分布均匀且相同的积木块，每块长度为L，横截面是边长为的正方形.将它们在水平面上一块叠一块地搭成“单孔桥”，接触面光滑.要使此桥具有最大的跨度（桥孔底边的宽度），试计算跨度与桥孔高度之比值.解析：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块.当每一积木块都有最大伸出量时，单孔桥就有最大跨度.将从上到下的积木块依次计为1，2，… ，n，由图1可知，第1块积木（相对第2块）的最大伸出量图1设第2块（相对第3块）的最大伸出量为Δx2，每一积木块所受的重力均为G.对上面两木块，由力矩平衡可得解得第3块最大伸出量Δx3满足解得依此类推，最后归纳得出所以总跨度跨度与桥孔高度之比值为【例2】容积为L的抽气机，每分钟可完成9次抽气动作.有一容积为1L的容器与它相连，要使容器内气体的压强由原来的1.013×105 Pa降为它的.问抽气机需要工作多长时间？（假设在抽气过程中温度保持不变）解析：把容器内剩余气体和抽气机里的气体看作一个整体，根据玻－马定律，找出每抽气一次压强的变化规律，然后归纳递推出抽n次的压强表达式.设初态时气体的压强为p0，容器的容积为V，抽气机的容积为ΔV.每抽一次气后压强分别为p1，p2，…，pn，则第1次抽气后第2次抽气后第3次抽气后第n次抽气后联立得代入数据，得抽气的次数2 多个过程的递推最典型的情景莫过于多次碰撞，设法找出前后两次碰撞中遵循的规律，整个过程（的延续）往往归结为求等差数列或等比数列之和.这是数理结合的一个典范. 【例3】光滑水平面上固定一V字型槽，两边界与夹角α＝3°（图2中α被夸大了）.一小球从边的C点＝3m）以速度v＝3m／s、θ＝30°角的方向开始运动，与OA板发生碰撞后又折回与OB板碰撞……设所有碰撞都是弹性的.试求：（1）小球经过几次碰撞后又回到C点；（2）此过程所经历的时间.图2解析：小球在两板之间的碰撞类似于光的反射.设小球第1次碰板时的夹角为θ1，如图3（a）所示，第2次碰板时的夹角第n次碰板时的夹角当θn＝90°时小球将沿原路返回，代入数据，有返回C点前共碰了39次.（2）依次求出两次碰撞之间的时间，再累加，对本题并不有效，因为寻找两次运动时间的递推关系非常困难.可借助光的反射来突破.由镜像对称可知，光在两界面之间的多次反射可等效为镜面的多次成像，而光的传播方向不变.由图3（b）可知，入射点Cn就是离O最近的点，之后往返，总时间图3【例4】一个导体A通过与另一带电导体B多次接触来充电，带电导体B的电荷在每一次接触后又都被充电到原来的值Q.假定A在第1次接触后带电荷量为q.试问采用这种方法A能达到的最大电荷量是多少［1］？解析：导体接触必有电势相等，接触后带电荷量应分别与A，B的电容量成正比分配.即第1次接触后设第2次接触后A带电荷量为q2，则得设第3次接触后A带电荷量为q3，则得依此类推，第n次接触后A所带电荷量qn应满足依题意，当多次接触后A所带电荷量将达到最大值，即不再改变.故应有qn ＝qn －1.则即解得【例5】在一个开有小孔的原不带电的导体球壳中心O点，有一个点电荷Q，球壳内、外表面是同心球面，半径分别为a和b.欲将点电荷Q通过小孔缓慢地从O 点移到无穷远，应当做多少功［2］.解析：当点电荷在球心处，球内外表面分别感应产生等量异号电荷，感应电荷在球心处产生的电势为当点电荷Q从球心O点通过小孔移至无穷远处（电势为零）时，本题情况下，静电力做功不能写成这是因为在移动Q时，O点电势必然变化，不能用不变的U0与电荷量Q的积QU0表示电场力的功.那该怎么办呢？假设从O点通过小孔移出球壳外的电荷是一小份一小份地进行的.每移一小份电荷时，可以近似认为O点电势不变.再把移动每一小份电荷所做的功加起来，就是所求的总功.设每次移动的电荷量为q（小量），Q＝nq，即n次移完（n很大）.逐次移q，外力做功分别为外力做的总功为当q→0（即n→!）时，外力总功为3 多物体多过程递推物理问题大多来源于实际生活，对于竞赛题尤其如此.这样不可避免地要面对多个物体，以及多个运动过程.物理学科之难正在于此；然而，这也正是物理学科魅力之所在.【例6】一块足够长的木板放在光滑水平面上，其上放有序号为1，2，3，…，n 的相同小木块，如图4所示.小木块质量均为m，长木板质量等于小木块的总质量.给各小木块以相应的初速度v0，2v0，3v0，…，nv0，最终所有木块与长木板以共同速度匀速运动.求：图4（1）所有小木块与长木板一起匀速运动的速度vn；（2）第1号小木块与长木板恰好相对静止时的速度v1；（3）试推导第k号（k＜n）小木块与长木板相对静止时的速度.解析：（1）由动量守恒知（小木块与板之间有摩擦）解得（2）各小木块做匀减速运动的加速度相同，在相同时间内的速度变化量相同，当1号木块与长木板的速度都为v1时，2号木块的速度为v1＋v0，3号木块的速度为v1＋2v0，依此类推，n号木块的速度为据动量守恒定律有解得（3）同上，当2号木块与长木板的速度都为v2时，3号木块的速度为v2＋v0，4号木块的速度为v2＋2v0，依此类推，n号木块的速度为v2＋（n－2）v0，则有当第k号同速时，有4 警惕递推“陷阱”根据题意列出递推关系式，再用数学归纳法或特殊数列求和等手段，是解决递推类问题的有效方法.但在某些情况下（尤其是涉及多个过程），不必按过程发生的先后顺序递推，而从初末状态的全程进行分析，可以起到奇效.在例3的求解过程中已露端倪.众所周知，对小车滑块系统，求多次来回后滑块在车上滑行的相对位移，最好采用能量守恒定律和摩擦生热的量度式，不要陷入递推陷阱中.事实上要避免这类陷阱并不容易，请看如下解答.例4方法2：导体A，B接触后的电荷量分配结果（比例）是惟一的，第一次接触后，A分到q，B分到（Q－q），它们的比值应该是不变的.最终状态下A的带电荷量为qn（趋于饱和，不变了），则有即得例5方法2：做功的过程伴随着能量的转化（此处是静电场能）.初态时的等效电容量为对应的静电场能末状态电容器不再带电，电场能E2＝0，由功能关系，外力做功W ＝ΔE，即得参考文献【相关文献】1 谷明杰.高中物理解题思路16讲.天津：天津教育出版社，2006.72 范小辉.新编高中物理奥赛指导.南京：南京师范大学出版社，2005.417。
物理竞赛辅导讲义 第一部分：直线运动提高题1. 汽车甲沿着平直的公路以速度V 。
做匀速直线运动.当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始 做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车.根据上述的己知条件：A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度B.可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程C. 可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间D. 不能求出上述三者中任何一个2. 火车以54kmjh 的速度沿平直轨道运行，进站刹车时的加速度是-0.3，〃//，在车站停Imin,启动后的加速度是0.5m/s 2o 求火车由于暂停而延误的时间。
3. 客车以速率七前进，司机发现同一轨道正前方有一列货车以速率七同向行驶，七〈七，货车车尾距客车距离为S 。
，司机立即刹车，使客车以加速度大小为。
作匀减速运动，而货车仍保持原速度前进，问：① 、客车加速度至少多大才能避免相撞？② 、若50 =200m, *=30m/s, v 2=10in/s,客车加速度大小a=l m/s 2,两车是否相撞？③、若50 =200m,3=30m/s, v 2=10m/s,客车加速度大小a=0.2m/s-,要求两车不相撞，则七应为多大？4. 一个人坐在车内观察雨点的运动，假设雨点相对地面以速率卩竖直匀速下落，试写出下列情况下雨 点的随时间变化而运动的运动方程和轨迹方程：①、车静止不动；②、车沿水平方向速率〃匀速运动；③、车沿水平方向作初速度为零的匀加速直线 运动，加速度大小为〃；④、车以线速度大小卩做匀速圆周运动5. 一只兔子向着相距为S 的大白菜走去。
若它每秒所走的距离，试分析兔子是否可以吃到大白菜？兔子平均速度的极限值是多6. 如图所示，一个质点沿不同的路径从A 到达B ：沿弦AB, 沿圆弧ADB,且经历的时间相等，则三种情况下：，A 、平均速度相同B 、平均速率不等CC 、沿弦AB 运动平均速率最小D 、平均加速度相同7. 一辆汽车从静止开始作匀加速直线运动，在第9妙内的求第9妙初和第9妙末的速度多大？8. 一个小球从45米高处自由下落，经过一烟囱历时1妙，求烟囱的高度？（忽略空气阻力） 9. 一个小球从屋顶自由下落，在t = 0.255内通过高度为2m 的窗口，求窗台到屋顶的高度？（忽略 空气阻力）10. 如图所示，一辆长为L 的小车沿倾角为3的光滑 加速度大小为gsin 。
初中物理竞赛中常用解题方法一【知识梳理】（1）等效法：把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理规律、物理过程来研究和处理的思维方法叫做等效法。
（2）极端法：根据已知的条件，把复杂的问题假设为处于理想的极端状态，站在极端的角度去分析考虑问题，从而迅速的做出正确的判断的思维方法叫极端法。
（3）整体法：一种吧具有多个物体的变化过程组合为一个整体加以研究的思维方法叫整体法。
（4）假设法：对于待求解的问题，在与原题所给的条件不违背的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解的思维方法叫假设法。
（5）逆推法：运用逆向思维的将问题倒过来思考的思维方法叫做逆推法。
（6）图像法：根据题意表达成物理图像，再将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解的思维方法叫做图像法。
（7）对称法：根据对称性分析和处理问题的方法叫做对称法。
（8）赋值法：在探究中只选择个别有代表性的数值进行讨论，然后再将讨论的结果推回到一般性问题上的思维方法叫赋值法。
（9）代数法：根据条件列出数学方程式，然后再利用方程式的一些基本法则和运算方法求解方程的思维方法叫代数法。
二【例题解析】题型一：等效法应用等效法研究问题时，要注意并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果。
例如：力学中合力与分力是等效替代、运动学中合运动与分运动的等效替代、电学中的电路是等效等。
例1：某空心球，球体积为V，球强的容积是球体积的一半，当它漂浮在水面上时，有一半露出水面。
如果在求腔内注满水，那么（）A 球仍然漂浮在水面上，但露出水面的部分减少B 球仍然漂浮在水面上，露出水面的部分仍为球体积的一半C 球可以停留在水中任意深度的位置D 球下沉直至容器底【解析】把空心球等效看成一个1/2的实心球和另一个不计重力的体积为1/2的空气球。
因为球在水中静止，且有V/2的体积在水中，固可以看成V/2的实心球恰好悬浮，另一个V/2飞空气球则露出水面，如图16-1所示，固将空气球注满水，再投入水中，将悬浮。
高中物理试题教学中递推法的应用【摘要】递推法是一种常用的研究方法，主要从个别的、特殊的现象中来推导出一般性原理和普遍性规律。
从人的思维养成来看，递推法有助于提升人的思辨力，特别是借助于已知条件，从归纳和逻辑推理中得出相应的结论和观点。
高中物理问题，特别是对于一些存在重复过程的问题，应从重复性的变化中来探究物理量的变化，从而获得相应的求解。
【关键词】高中物理试题递推法应用递推法作为一种研究问题的基本方法，其思路是从个别的、特殊性的现象来推导出具有一般性的规律。
在高中物理问题研究中，利用递推法能够让我们更好地求解存在重复过程的某些物理问题。
其方法为：首先从某一物理过程来分析并得出结论;再从多个相近变量的分析中得出结论;最后从递推思想中来设定任意情况下的通式，从而归纳各个物理量的关系，得出具体物理问题的求解结果。
对于递推法的应用，可以从高考物理试题的分析中来探究，从而深刻理解递推法在高中物理问题中的妙用。
以某省近年的一试题为例，题意为某质谱仪在工作时，对于电荷量为+q、质量不同的离子，当外在电压为U0时，其初速度假设为0。
试问，这些离子在通过质谱仪狭缝后沿磁场垂直方向进入磁感强度为B的匀强磁场，最后打在底片上。
条件有：底片区域MN=L，且OM=L，假设某次测量得到MN中左侧2/3区域的MQ损坏，无法检测到离子，但右侧1/3区域QN均正常。
问题1：求原本打在MN中的点P的离子质量m。
问题2：为了实现P 离子打在QN区域，求加速电压U的调节范围。
问题3：对于QN区域内原本打在MQ区域的离子进行检测，求加速电压U的最少次数（取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699）。
本题可以用递推法来进行解答。
由条件可知，离子在电场进行加速，其公式满足qU0mv2，当离子在磁场做匀速圆周运动时，则应该满足，由此两式进行合并得到，代入，得出。
对于问题2的解答，可以由上述题意得出，，当离子在Q点打中时，，则。
高中物理解题方法极限法： 知识点拨：极限法是把某个物理量或某个物体的位置推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论.极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断正确.因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果.例1.如图所示，一质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧的上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，并立即压缩弹簧向下运动.设弹簧的劲度系数为k ，则小球可能获得的最大的动能为 .例2.如图所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一连接到斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面上P 点的时间最短.求该直轨道与竖直方向的夹角β.例3.如图所示，甲、乙两物体在同一直线上同时沿同方向运动.甲以速度0v 做匀速运动，乙从静止开始以加速度a 做匀加速直线运动，开始时乙在甲前，且距离甲s 远，求当s 满足什么条件时：（1）甲、乙只能相遇一次； （2）甲、乙能相遇两次.递推法：知识点拨：递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况.即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式.具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论.再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解.用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.例1． 质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；……在nt 时刻，加速度变为(1)n a +，求： （1）nt 时刻质点的速度；（2）质点在nt 时间内通过的总路程.例 2.小球从高0180m h =处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小1(2)n n=，求小球从下落到停止经过的总时间和通过的总路程.（g 取210m s ）例3.A B C 、、三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，试求经多长时间可追捕到猎物？对称法：知识点拨：由于物质世界存在某些对称些，使得物理学理论也是具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中.应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题.这种思维方法在物理学中称为对称法.利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.例1.有三个材料相同、形状相同的长方体木块，并排固定在水平地面上，如图所示.现有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入木块，且射入第三块木块后刚好没有出来.求子弹在每一块木块中运动的时间之比.例2.沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ，抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图所示.求小球抛出时的初速度例3.如图所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ，一个小球以初速度0v 从两墙中间的O 点斜向上抛出，与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ，求小球的抛射角θ.B1B知识点拨：作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解.作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定量计算.灵活运用作图法会给解题带来很大方便.例1.如图所示，细绳跨过定滑轮，系住一个质量为m 的球，球靠在光滑的竖直墙上，当拉动细绳使球匀速上升时，球对墙的压力将（ ） A.增大 B.先增大后减小 C.减小 D.先减小后增大例2.用两根绳子系住一重物，如图所示，绳O A 与天花板间夹角θ不变，当用手拉住绳子O B ，使绳O B 由水平转向竖直的过程中，O B 绳所受的拉力将（ ）A.始终减小B.始终增大C.先减小后增大D.先增大后减小例3.如图所示，质量为m 的小球A 用细绳拴在天花板上，悬点为O ，小球靠在光滑的大球上，处于静止状态.已知：大球的球心'O 在悬点的正下方，其中绳长为l ，大球的半径为R ，悬点到大球最高点的距离为h .求：绳对小球的拉力T 和小球对大球的压力.估算法：知识点拨：有些物理问题本身的结果，并不一定需要有一个很准确的答案，但是，往往需要我们对事物有一个预测的估计值；有些物理问题的提出，由于本身条件的限制，或者实验中尚未观察到必要的结果，使我们解决问题缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法求出物理问题的准确答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住问题的主要本质，充分应用物理知识进行快速数量级的计算.例1.已知地球半径约为66.410m ⨯，又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m .（结果只保留一位有效数字） 例2.估算在室温下，真空度达11.3310P a -⨯时，容器内空气分子的平均距离.（取一位有效数字即可）例3.密闭容器内的气体压强为210P a p -=，温度为27C ︒，估算其中分子的间距（保留一位有效数字）.F知识点拨：假设法是对于待求解的问题，在与原题所给条件不相违的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解.求解物理试题常用的有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，化难为易，化繁为简.例1.如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为0m 的平盘，盘中有一物体，质量为m .当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L .今向下拉盘使弹簧再伸长L ∆后停止，然后松手放开.设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ ） A. (1)L L m g +∆ B. 0(1)()L L m m g +∆+ C. L m g ∆D. 0()()L L m m g ∆+ 例2.如图所示，甲、乙两物体质量分别为122k g ,3k g m m ==，叠放在水平桌面上.已知甲、乙间的动摩擦因数为10.6μ=，物体乙与平面间的动摩擦因数为20.5μ=，现用水平拉力F 作用于物体乙上，使两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动，如果运动中F 突然变为零，则物体甲在水平方向上的受力情况为（g 取210m s ）（ ）A. 大小为12N ，方向向右B. 大小为12N ，方向向左C. 大小为10N ，方向向右D. 大小为10N ，方向向左例3.一升降机在箱底装有若干个弹簧，如图所示，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（ ） A. 升降机的速度不断减小 B. 升降机的速度不断变大C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值图像法： 知识点拨：图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图像法在处理某些运动问题、变力做功问题时是一种0m非常有效的方法.例1.一列火车沿直线轨道从静止出发由A 地驶向B 地，并停止在B 地. A B 两地相距s ，火车做加速度时，其加速度最大为1a ，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为2a ，由此可以判断出该火车由A 地到B 地所需的最短时间为 .例2.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为0v ，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s ，若要保证两辆车在上述情况下不想碰，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）A. sB. 2sC. 3sD. 4s例3.一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离11m s =的A 点时，速度大小为120c m s v =，问当老鼠到达距老鼠洞中心22m s =的B 点时，其速度大小2v =？老鼠从A 点到达B 点所用的时间t =？类比法： 知识点拨：类比法是根据两个研究对象或两个系统在某些属性上类似而推出其他属性也类似的思维方法，是一种由个别到个别的推理形式，其结论必须由实验来检验.类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大.在研究物理问题时，经常会发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性，其中包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性.类比法就是在于发现和探索这一相似性，从而利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律.例1.图中A O B 是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角1α︒=（为了能看清楚，图中画的是夸大了的）.现将一质点在B O A 面内从A 处以速度5m v s =射出，其方向与A O 间的夹角60,10m O A θ︒==.设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与O B 面及O A 面的碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求：（1） 经过几次碰撞质点又回到A 处与O A 相碰？（计算次数时包括在A 处的碰撞） （2） 共用多少时间？（3） 在这过程中，质点离O 点的最短距离是多少？例2.有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15︒角，速度为2.5k m h .同时岸上一人从停放点出发追赶小O船，已知他在岸上跑的速度为4.0k m h ，在水中游的速度为2.0k m h ，问此人能否追及小船？例3.一只蚂蚁从蚂蚁洞沿直线爬出，已知爬行速度v 的大小与距蚂蚁洞中心的距离L 成反比，当蚂蚁爬到距蚂蚁洞中心距离11m L =的A 点时，速度大小为120c m s v =，问当蚂蚁爬到距蚂蚁洞中心22m L =的B 点时，其速度大小2v =？蚂蚁从A 点到B 点所用的时间t =？ 降维法：知识点拨：降维法是将一个三维图变成几个二维图，即另选两个合适的平面去观察.当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解，由于三维问题不好想象，选取适当的角度，可用降维法求解.降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题.例1.如图所示，倾角30θ︒=的粗糙斜面上放有一物体，物体重为G ，静止在斜面上.现用与斜面底边平行的力2F G =推该物体，物体恰好在斜面上做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？例2.如图所示，一个直径为D 的圆柱体能能绕其中心轴旋转，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠住在圆柱体侧面上的绳子？例 3.如图所示，表面光滑的实心圆球B 的半径20c m R =，质量20k g M =，悬线长30cm L =.正方形物块A 的厚度10cm h ∆=，质量2k g m =，物体数0.2μ=，取210m s g =.求：（1）物块A 静止时墙对物块A 的摩擦力多大？ （2）如果在物体A 上施加一个与墙平行的外力， 使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度25m s a =的匀加速直线运动，那么这个外力的大小方向如何？近似法：知识点拨：近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重对这种能力的考察.例1.一只狐狸以不变的速度1v 沿着直线A B 逃跑，一只猎犬以不变的速率2v 追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，F D A B ⊥，且FD L =，如图所示，求此时猎犬的加速度大小.例2.如图所示，岸高为h ，人用绳经定滑轮拉船靠岸.当绳与水平方向的夹角为θ时，收绳速率为v ，则该位置船的速率是多大？例3.如图所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈，以角速度ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？。
六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.塞题精析例1 质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；…；在nt 时刻，加速度变为（n +1）a ，求： （1）nt 时刻质点的速度； （2）nt 时间内通过的总路程.解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t 末的速度为at v t =2t 末的速度为at at v at v v t t t 2,222+=+=所以 3t 末的速度为at at at at v v t t 32322++=+= ……则nt 末的速度为nat v v t n nt +=-)1()321()1(32n at nat at n at at at ++++=+-++++= at n n n n at )1(21)1(21+=+⋅=（2）同理：可推得nt 内通过的总路程.)12)(1(1212at n n n s ++=例2 小球从高m h 1800=处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小)2(1=n n，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g 取10m/s 2）解析 小球从h 0高处落地时，速率s m gh v /60200==第一次跳起时和又落地时的速率2/01v v = 第二次跳起时和又落地时的速率2022/v v =第m 次跳起时和又落地时的速率m m v v 2/0=每次跳起的高度依次4222202112,2nh g v h n h g v h ====，通过的总路程 +++++=∑m h h h h s 222210mh n n h n h h n n n n h h m 300351112)1111(202202002242200==-+⋅=-+=++++++=- 经过的总时间为 +++++=∑m t t t t t 210s gvn n g v nn g v g v g v g v m m 183)11(])1(2121[2200010==-+=+⋅++⋅+=++++=例3 A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正 三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调 整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？ 解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎……犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间t 可捕捉猎物，再把t 分为n 个微小时间间隔△t ，在每一个△t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t ，正三角形的边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n ，显然当a n →0时三只猎犬相遇.tv n a a t v a t v a a t v a t v a a t v a BB AA a a n ∆⋅-=∆⨯-=∆-=∆⨯-=∆-=∆-=︒--=23,23323,23223,2360cos 2312111因为,023=∆⋅-t v n a 即va t tt n 32==∆所以 此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m ，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s 的宽松距离，设火车的牵引力为F ，则有：车头起动时，有2121)(mv s mg F =∆-μ 拉第一节车厢时：11)(mv v m m ='+故有s g mFv v ∆-==)(21412121μ 2122221221)2(v m mv s mg F '⨯-⨯=∆-μ 拉第二节车厢时：222)2(mv v m m ='+故同样可得：s g m F v v ∆-==')35(32942222μ ……推理可得 s g n m F n n v n∆+-+=')312(12μ 由mg n F v nμ312:02+>>'可得 另由题意知46,31<=n mg F 得μ因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.例5 有n 块质量均为m ，厚度为d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重 力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为mgd W =2 将第3、4、…、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功 分别为dn m g W d m g W d m g W d m g W n )1(432543-====所以将n 块砖叠放起来，至少做的总功为 W =W 1+W 2+W 3+…+W n2)1()1(32-⋅=-++++=n nm gd d n m g d m g d m g m gd 例6 如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片1(=i B A i i 、 2、…、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一 薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为m 的质点置于A 1A 6 的中点处，试求：A 1B 1薄片对A 6B 6的压力.解析 本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B 1、A 2B 2、…、 A 5B 5的受力情况完全相同，因此将A 1B 1、A 2B 2、…A 5B 5作为一类， 对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i 个薄片AB 为研究对象，受力情况如图6—3甲所示，第i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力N i 、碗边向上的支持力和后一个薄片 向下的压力N i +1. 选碗边B 点为轴，根据力矩平衡有2,211++=⋅=⋅i i i i N N LN L N 得 所以65321)21(212121N N N N ==⨯==① 再以A 6B 6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A 6B 6受到薄片A 5B 5向上的支持力N 6、碗向上的支持力和后一个薄片A 1B 1向下的压力 N 1、质点向下的压力mg. 选B 6点为轴，根据力矩平衡有L N L mg L N ⋅=⋅+⋅61432 由①、②联立，解得 421mgN =所以，A 1B 1薄片对A 6B 6的压力为.42mg 例7 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L ，横截面是边长为)4/(L h h =的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值.解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n ，显然第1块相对第2块的最大伸出量为21L x =∆ 第2块相对第3块的最大伸出量为2x ∆（如图6—4所示），则224)2(222⨯==∆⋅∆-=∆⋅L L x G x Lx G同理可得第3块的最大伸出量323⨯=∆L x ……最后归纳得出nL x n ⨯=∆2所以总跨度h xk n n32.11291=∆=∑=跨度与桥孔高的比值为258.1932.11==hh H k 例8 如图6—5所示，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁，原点O 两侧的人的序号都记为3,2,1(=n n …）. 每人只有一个沙袋，0>x 一侧的每个沙袋质量为m =14kg ，0<x 一侧的每个沙袋质量kg m 10='. 一质量为M =48kg 的小车以某初速度v 0从原点出发向正x 轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n 倍.（n 是此人的序号数） （1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔.小车以初速0v 沿正x 轴方向运动，经过第1个（n =1）人的身旁时，此人将沙袋以0022v nv u ==的水平速度扔到车上，由动量守恒得,)(2100v m M v m Mv +=⋅-当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度1142v nv u =='的水平速度扔到车上，同理有211)2(2)(v m M nv m v m M +=⋅-+，所以，当第n 个沙袋抛上车后的车速为n v ，根据动量守恒有111)1(,)(2])1([---++-=+=⋅--+n n n n n v nmM mn M v v nm M mv n v m n M 即.同理有n n v mn M m n M v )1()2(1+++-=+，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有.0,01<>+n n v v 即.0)2(,0)1(<+->+-m n M m n M 由此两式解得：n n n ,1420,1438><为整数取3. 当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n 个人身旁，抛上第n 包沙袋后由动量守恒定律有：''++='-''-++--n n nv m n m M nv m v m n m M )3(2])1(3[11解得：''+++'+-+='''++'+-+='+-n n n n v mn m M m n m M v v m n m M m n m M v )1(3)2(33)1(311同理设抛上n+1个沙袋后车速反向，要求0,01≤>'+n n v v即⎩⎨⎧=>⎩⎨⎧≤'+-+>'+-+870)2(30)1(3n n m n m M m n m M 解得 即抛上第8个 沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋.例9 如图6—6所示，一固定的斜面，倾角︒=45θ，斜面 长L=2.00米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m 的 质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数20.0=μ，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为s则由功能关系：θθμsin )()(cos 2121s s mg s s mg -=+θθμsin )()(cos 3232s s mg s s mg -=+即有32cos sin cos sin 2312=+-===θμθθμθ s s s s 由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为.32∴在发生第11次碰撞过程中的路程11321222s s s s s ++++=1111111321321])32(1[2)(2s s s s s s s ---⨯=-++++= )(86.9)()32(121011m m =⨯-=例10 如图6—7所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌 面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m 1、m 2和m 3，m 2=m 3=2m 1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽 略不计. 开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等， m 2和m 3静止，m 1以初速2/0R v π=沿槽运动，R 为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T.解析 当m 1与m 2发生弹性碰撞时，由于m 2=2m 1，所以m 1碰后弹回，m 2向前与m 3发生碰撞. 而又由于m 2=m 3，所以m 2与m 3碰后，m 3能静止在m 1的位置，m 1又以v 速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当m 1回到初始位置，则系统为一个周期.以m 1、m 2为研究对象，当m 1与m 2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：221101v m v m v m += ①222211201212121v m v m v m += ② 由①、②式得：002112002121132231)(v v m m m v v v m m m m v =+=-=+-=以m 2、m 3为研究对象，当m 2与m 3发生弹性碰撞后，得032203='=v v v以m 3、m 1为研究对象，当m 3与m 1发生弹性碰撞后，得0130v v v ='='由此可见，当m 1运动到m 2处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使m 1、m 2、m 3交换位置，当m 1再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期T ，由此可得周期).(2021010)32232(3)(30000321s R Rv R v R v R v R t t t T ===++⨯=++=πππππ例11 有许多质量为m 的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为L 的柔绳连接着. 现用大小为F 的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n 个木块被牵动时的速度.解析 每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离L 后，把绳拉紧，再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能. 因此，如果列出221)1(n nmv FL n =-这样的关系式是错误的. 设第)1(-n 个木块刚被拉动时的速度为1-n v ，它即将拉动下一个木块时速度增至1-'nv ， 第n 个木块刚被拉动时速度为n v . 对第)1(-n 个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有：2121)1(21)1(21----'-=n n mv n v m n FL ①对绳子把第n 个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有n nnmv v m n ='--1)1( 得：n n v n nv 11-='- ② 把②式代入①式得：212)1(21)1()1(21-----=n n mv n v n n m n FL整理后得：21222)1(2)1(---=-n n v n v n m FL n ③ ③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由③式可知当n =2时有：2122222v v m FL -= 当n =3时有：2222322322v v m FL -=⋅ 当n =4时有：2322423423v v m FL -=⋅ … 一般地有21222)1(2)1(---=-n n v n v n mFL n 将以上)1(-n 个等式相加，得：21222)1321(v v n mFL n n -=-++++ 所以有212222)1(v v n mFL n n n -=⋅- 在本题中01=v ，所以.)1(nmn FL v n -=例12 如图6—8所示，质量m =2kg 的平板小车，后端放 有质量M =3kg 的铁块，它和车之间动摩擦因数.50.0=μ开始 时，车和铁块共同以s m v /30=的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程.解析 小车与墙撞后，应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去. 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和.设每次与墙碰后的速度分别为v 1、v 2、v 3、…、v n 、…车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s 1、s 2、s 3、…、s n 、…. 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第)1(-n 次碰后到发生第n 次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有n n v m M v m M )()(1+=-- 所以 511--=+-=n n n v v m M mM v由这一关系可得： ,5,521312v v v v ==一般地，有 ,511-=n n v v 由运动学公式可求出车与墙发生第n 次碰撞后向左运动的最远距离为2221215122-⋅==n n a v a v s类似地，由这一关系可递推到：222142132212211512,,512,512,2-⋅=⋅=⋅==n n a v s a v s a v s a v s 所以车运动的总路程)(2321 +++++=n s s s s s 总24255111)5151511(2221221224221⋅=-⋅=+++++⋅=-a v a v a v n 因此201/215/3s m m Mg a s m v v ====μ 所以)(45m s =总 例13 10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平 地面上，如图6—9所示，每个木块的质量,40.0kg m =长度 m l 45.0=，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 .10.02=μ原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端 上方放一个质量为M=1.0kg 的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为.20.01=μ现突然给铅块一向右的初速度s m v /3.40=，使其在大木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）. 重力加速度g 取2)/(10s m ，设铅块的长度与木块相比可以忽略.解析 当铅块向右运动时，铅块与10个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于10个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则10个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于10个扁长木块与地面间的最大摩擦力，则10个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止.铅块M 在木块上滑行所受到的滑动摩擦力N Mg f 0.211==μ设M 可以带动木块的数目为n ，则n 满足：0)1()(221≥--+-mg n g m M f μμ 即0)1(4.04.10.2≥---n上式中的n 只能取整数，所以n 只能取2，也就是当M 滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8个木块时速度为v ，则l Mg Mv Mv 821211202⋅-=μ 得：0)/(49.222>=s m v由此可见木块还可以滑到第9个木块上. M 在第9个木块 上运动如图6—9甲所示，则对M 而言有：M Ma Mg =-1μ得：2/0.2s m a M -=第9及第10个木块的动力学方程为：m ma mg g m M Mg 2)(221=-+-μμμ， 得：./25.02s m a m =设M 刚离开第9个木块上时速度为v '，而第10个木块运动的速度为V '，并设木块运动的距离为s ，则M 运动的距离为l s +，有：sa V l s a v v m M 2)(2222='++='ta V ta v v m M ='+='消去s 及t 求出：⎩⎨⎧='-='⎩⎨⎧='='sm V s m v s m V s m v /23.0/26.0/212.0/611.0或，显然后一解不合理应舍去. 因V v '>'，故M 将运动到第10个木块上.再设M 运动到第10个木块的边缘时速度为v ''，这时木块的速度为V ''，则：)(222l s a v v M +'+'=''解得：0463.12<'--=''s v ，故M 不能滑离第10个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上.例14 如图6—10所示，质量为m 的长方形箱子，放在光滑 的水平地面上. 箱内有一质量也为m 的小滑块，滑块与箱底间无摩 擦. 开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v 0从箱子的A 壁处向 B 处运动，后与B 壁碰撞. 假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e 倍，.214=e（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. （1）滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为v ，箱子对地速度为u . 由于题中每次碰撞的e 是一样的，故有：1111220011----==--=--=n n n nu v v u u v v u u v v u e 或1111220110----==--=--=-n n n nu v u v u v u v v u v e 111122011)(----⨯⨯--⨯-=-n n n nn u v u v u v u v v u v e 即碰撞n 次后0)(v e u v n n n -=- ①碰撞第n 次的动量守恒式是0mv mu mv n n =+ ②①、②联立得00])(1[21])(1[21v e u v e v n n n n --=-+=第n 次碰撞后，系统损失的动能)(21212220n n kn k kn u v m mv E E E +-=-=∆ kn n n E e m v e e m v m v 212121)1(4121220222020-=⨯-=+-=下面分别讨论：当146.0221121,12=-=-=∆=e E E n k kl 时25.0221121,242=-=-=∆=eE E n k k 时323.022121121,363=-=-=∆=eE E n k k 时 375.0241121,484=-=-=∆=eE E n k k 时412.022141121,5105=-=-=∆=e E E n k k 时 因为要求的动能损失不超过40%，故n=4.（2）设A 、B 两侧壁的距离为L ，则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间00v L t =. 在下一次发生碰撞的时间0111||ev L v u L t =-=，共碰撞四次，另两次碰撞的时间分别为022v e L t =、033v e L t =，所以总时间).1(32033210e e e v e L t t t t t +++=+++= 在这段时间中，箱子运动的距离是：3322110t u t u t u s +++=)1(2222222)1(21)1(21)1(21323320303020200e e e eLL e L L e L L e L v e Lv e v e L v e ev L v e +++=+++-+=⨯++⨯-+⨯+=所以平均速度为：2)1()1(203203323v e e e v e L e e e eL t sv =++++++== 例15 一容积为1/4升的抽气机，每分钟可完成8次抽气动作. 一容积为1升的容器与此抽气筒相连通. 求抽气机工作多长时间才能使容器内的气体的压强由76mmmHg 降为1.9mmHg.（在抽气过程中容器内的温度保持不变）解析 根据玻一马定律，找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系，然后归纳递推出抽n 次的压强表达式.设气体原压强为p 0，抽气机的容积为V 0，容器的容积为V . 每抽一次压强分别为p 1、p 2、…，则由玻一马定律得：第一次抽气后：)(010V V p V p += ① 第二次抽气后：)(021V V p V p += ② 依次递推有：)(032V V p V p += ③)(01V V p V p n n +=- ○n由以上○n 式得：)lg(lg)(000vV V p p n p V V Vp nn n +=+=所以…代入已知得：2725.1lg 400lg ==n （次）工作时间为：38.3827==t 分钟 例16 使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q 的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q. 今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q. 求小球可能获得的最大电量.解析 两个孤立导体相互接触，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电Q 1、Q 2，由于两个导体球对地电压相等，故有k C C C Q Q Q C C Q Q C Q C Q =+=+==21121121212211,,亦即即， 所以k Q Q k Q ),(21+=为常量，此式表明：带电（或不带电）的小球跟带电大球接触后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值k 等于第一次带电量q 与总电量Q 的比值，即.Qqk =根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量. 设第1、2、…、n 次接触后小球所带的电量分别为q 1、q 2、…，有：qk q k kq q q Q k q q k kq q kq kQ q Q k q kqq q Q k q qkQ q n n n 1212223121)()()(--++++=+=++=+=+=+=+===由于1<k ，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：qQ qQQ q q kq q n -=-=-=11 即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为.qQ qQ- 例17 在如图6—11所示的电路中，S 是一单刀双掷开关，A 1和A 2为两个平行板电容器，S 掷向a 时，A 1获电荷电量为Q ，当S 再掷向b 时，A 2获电荷电量为q. 问经过很多次S 掷向a ，再掷向b 后，A 2将获得多少电量？解析 S 掷向a 时，电源给A 1充电，S 再掷向b ，A 1给A 2充电，在经过很多次重复的过程中，A 2的带电量越来越多，两板间电压越来越大. 当A 2的电压等于电源电压时，A 2的带电量将不再增加. 由此可知A 2最终将获得电量q 2=C 2E.因为E C Q 1= 所以EQ C =1 当S 由a 第一次掷向b 时，有：21C qC q Q =- 所以Eq Q QqC )(2-=解得A 2最终获得的电量 qQ Qqq -=2 例18 电路如图6—12所示，求当R '为何值时， R AB 的阻值与“网络”的“格”数无关？此时R AB 的阻 值等于什么？ 解析 要使R AB 的阻值与“网络”的“格”数无关，则图中CD 间的阻值必须等于R '才行.所以有R RR R RR R '=+'+'+222)2( 解得R R )15(-='此时AB 间总电阻R R AB )15(+=例19 如图6—13所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里 的匀强磁场，磁感应强度为B ，在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀 强电场，场强为E. 一质量为m ，电量为－q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴方向射出. 射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的 距离为L. 求此粒子射出时的速度v 和每次到达x 轴时运动的总 路程s.（重力不计）解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过x 轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加 速通过x 轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性. 它第3次到达x 轴时距O 点的距离L 等于圆半径的4倍（如图 6—13甲所示）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 4LBq m v R ==所以粒子射出时的速度 mB q Lv 4=粒子做圆周运动的半周长为 41Ls π=粒子以速度v 进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为y ， 因为y mEq ay v 222== 所以粒子在电场中进入一次通过的路程为 mEqL B y s 162222==粒子第1次到达x 轴时通过的路程为 41LR s ππ=⋅=粒子第2次到达x 轴时，已通过的路程为 mEqL B Ls s s 16422212+=+=π 粒子第3次到达x 轴时，已通过的路程为 mEqL B Ls s s s 162221213+=++=π 粒子第4次到达x 轴时，已通过的路程为 mEqL B Ls s s 822222214+=+=π 粒子第)12(-n 次到达x 轴时，已通过的路程为mEqL B n L n s n ns s n 16)1(4)1(2221)12(-+=-+=-π粒子第2n 次到达x 轴时，已通过的路程为 )164()(22212mEqL B Ln s s n s n +=+=π上面n 都取正整数.针对训练1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F ，历时1秒钟，随即把此力改为向西，大小不变，历时1秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时1秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时1分钟. 在此1分钟内 （ ） A ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东 B ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置 C ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末继续向东运动D ．物体一直向东运动，从不向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东2．一小球从距地面为H 的高度处由静止开始落下. 已知小球在空中运动时所受空气阻力为球所受重力的k 倍)1(<k ，球每次与地面相碰前后的速率相等，试求小球从开始运动到停止运动，（1）总共通过的路程； （2）所经历的时间.3．如图6—14所示，小球从长L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底 端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为 碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端物体共 通过的路程.4．如图6—15所示，有一固定的斜面，倾角为45°，斜面长为2 米，在斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为m 的质点， 从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为1米/秒. 质点沿斜面下 滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的滑 动摩擦因数为0.20.（1）试求此质点从开始运动到与挡板发生第10次碰撞的过程中通过的总路程； （2）求此质点从开始运动到最后停下来的过程中通过的总路程. 5．有5个质量相同、其大小可不计的小木块1、2、3、4、5等距 离地依次放在倾角︒=30θ的斜面上（如图6—16所示）.斜面 在木块2以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的，5个木块 与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数都是μ，开 始时用手扶着木块1，其余各木块都静止在斜面上. 现在放手， 使木块1自然下滑，并与木块2发生碰撞，接着陆续发生其他 碰撞. 假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的. 求μ取何值时木块4能被撞而木块5不能被撞.6．在一光滑水平的长直轨道上，等距离地放着足够多的完全 相同的质量为m 的长方形木块，依次编号为木块1，木块 2，…，如图6—17所示.在木块1之前放一质量为M=4m 的大木块，大木块与 木块1之间的距离与相邻各木块间的距离相同，均为L. 现在，在所有木块都静止的情况下，以一沿轨道方向的恒力F 一直作用在大木块上，使其先与木块1发生碰撞，设碰后与木块1结为一体再与木块2发生碰撞，碰后又结为一体，再与木块3发生碰撞，碰后又结为一体，如此继续下去. 今问大木块（以及与之结为一体的各小木块）与第几个小木块碰撞之前的一瞬间，会达到它在整个过程中的最大速度？此速度等于多少？ 7．有电量为Q 1的电荷均匀分布在一个半球面上，另有无数个电量均为Q 2的点电荷位于通过球心的轴线上，且在半球面的下部. 第k 个电荷与球心的距离为12-⋅k R ，且k =1，2，3，4，…，设球心处的电势为零，周围空间均为自由空间. 若Q 1已知，求Q 2.8．一个半径为1米的金属球，充电后的电势为U ，把10个半径为1/9米的均不带电的小金属球顺次分别与这个大金属球相碰后拿走，然后把这10个充了电了小金属球彼此分隔摆在半径为10米的圆周上，并拿走大金属球. 求圆心处的电势. （设整个过程中系统的总电量无泄漏）9．真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，它们的半径 分别为R ，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于P 点（如图 6—18）.球心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，求O 1与O 5间的 电势差.10．在图6—19所示的电路中，三个电容器C Ⅰ、C Ⅱ、C Ⅲ的电容值均等于C ，电源的电动势为ε，R Ⅰ、R Ⅱ为电阻，S 为双掷开关. 开始时，三个电容器都不带电.先接通O a ，再接通Ob ，再接通O a ，再接通Ob ……如此反复换向，设每次接通前都 已达到静电平衡，试求：（1）当S 第n 次接通Ob 并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少？（2）当反复换向的次数无限增多时，在所有电阻上消耗的总电能是多少？11．一系列相同的电阻R ，如图6—20所示连接，求AB 间的等效电阻R AB . 12．如图6—21所示，R 1=R 3=R 5=…=R 99=5Ω，R 2=R 4=R 6=…=R 98=10Ω，R 100=5Ω，ε=10V求：（1）R AB =？（2）电阻R 2消耗的电功率应等于多少？ （3）)99,,3,2,1( =i R i 消耗的电功率；（4）电路上的总功率.13．试求如图6—22所示，框架中A 、B 两点间的电阻R AB ，此框架是用同种细金属丝制作的，单位长的电阻为r ，一连串内接等边 三角形的数目可认为趋向无穷，取AB 边长为a ，以下每个三角 形的边长依次减少一半.14．图6—23中，AOB 是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角︒=1α（为了能看清楚，图中的是。
