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运筹学教学演示系统⑸

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系统工程与运筹学说课课件

系统工程与运筹学说课课件

智能交通系统工程
总结词
智能交通系统工程是系统工程在智能交通领域的应用和实践，旨在提高交通系统的效率和安全性。
详细描述
智能交通系统工程是将交通系统视为一个整体，通过引入智能化技术，实现交通信号控制、车辆管理、事故预警 等多个方面的优化和改进。它涉及了交通规划、交通信号控制、车辆管理、事故处理等多个环节，运用运筹学等 方法对交通系统进行优化，提高交通系统的效率和安全性。
金融系统工程
总结词
金融系统工程是系统工程在金融领域的 应用和实践，旨在提高金融市场的效率 和稳定性。
VS
详细描述
金融系统工程是将金融市场视为一个整体 ，通过引入数学模型和计算机技术，实现 市场预测、风险管理、投资决策等多个方 面的优化和改进。它涉及了金融市场分析 、投资策略、风险管理等多个环节，运用 运筹学等方法对金融市场进行建模和分析 ，提高金融市场的效率和稳定性。
自适应控制与智能系 统
自适应控制是一种能够根据系统 变化自动调整控制策略的控制方 法，与智能系统相结合可以实现 更加智能化、自动化的控制系统 设计。
THANKS
[ 感谢观看 ]
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型包括目标函数、约束条件和决策 变量。
动态规划
动态规划简介
动态规划是一种用于解决多阶段决策过程的最 优化方法。
动态规划的应用
动态规划可以用于解决如背包问题、最长公共 子序列问题等。
动态规划的基本原理
动态规划的基本原理是“最优子结构”，即大问题的最优解可由小问题的最优 解构成。
系统工程与运筹学说课 课件
汇报人：
2023-11-29
CONTENTS 目录
• 系统工程概述 • 运筹学基本概念 • 系统工程的核心理论 • 系统工程方法论 • 系统工程应用案例 • 系统工程与运筹学的未来发展

运筹学基础及应用(全套课件296P) ppt课件

运筹学基础及应用(全套课件296P) ppt课件

我国朴素的运筹学思想：田忌赛马、丁渭修皇宫
1938年英国最早出现了军事运筹学，命名为“Operational
Research”,1942年，美国从事这方面工作的科学家命其名为
“Operations Research”这个ppt课名件字一直延用至今。
2
§0.1 运筹学简述
美国运筹学的早期著名工作之一是研究深水炸弹起爆深度问 题。当飞机发现潜艇后，飞机何时投掷炸弹及炸弹的引爆引 度是多少？运筹学工作者对大量统计数字进行认真分析后， 提出如下决策：1.仅当潜艇浮出水面或刚下沉时，方投掷深 水炸弹。2.炸弹的起爆深度为离水面25英尺（这是当时深水 炸弹所容许的最浅起爆点）。空军采用上述决策后，所击沉 潜艇成倍增加，从而为反法西斯战争的胜利做出了贡献，为 运筹学增添了荣誉。
16 y3
4 X2 1Leabharlann y4X1 0 , X2 0
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
ppt课件
6
§0.2 运筹学的发展
2. 20世纪50年代初期到50年代末期——成长时期 电子计算机技术的迅速发展促进运筹学的推广； 美国的约半数的大公司经营管理中融入运筹学；
大批的国家成立运筹学会，各种运筹学刊物相继问世 ； 1957年，牛津大学，第一次国际运筹学会议 1959年，国际运筹学会 成立
ppt课件
11
第 2 章 线性规划的对偶 理论

运筹学ppt课件

运筹学ppt课件
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，

《运筹学教学资料》第二章winqsb教程

《运筹学教学资料》第二章winqsb教程

结果分析
根据输出结果进行分析，判断问 题是否得到解决，并进一步分析 决策变量的取值和最优解的意义 等。
04
WinQSB案例分析
线性规划案例分析
线性规划案例
某公司需要安排生产计划，目标是最大化利润，约束条件包括原材料、人工和 机器的限制。通过WinQSB软件，可以建立线性规划模型，并使用单纯形法求 解，得出最优解。
总结
线性规划是一种常见的优化方法，用于解决资源分配和生产计划等问题。 WinQSB软件提供了方便的界面和强大的求解功能，使得线性规划问题能够快 速得到解决。
整数规划案例分析
整数规划案例
某零售商需要确定在哪些城市开设分店，目标是最大化总利润。约束条件包括预 算和分店数量限制，同时要求分店位置为整数（即城市数量）。通过WinQSB软 件，可以建立整数规划模型，并使用分支定界法求解，得出最优解。
如何解决WinQSB运行时出现的问题？
总结词：详细描述
总结词：详细描述
总结词：详细描述
01
03 02
如何使用WinQSB求解不同类型的运筹学问题？
01 02 03
总结词：详细描述 总结词：详细描述 总结词：详细描述
THANK YOU
感谢聆听
结果分析
根据输出结果进行分析，判断 问题是否得到解决，并进一步 分析决策变量的取值和最优解 的意义等。
动态规划问题的建立与求解
建立问题
在问题区输入动态规划问题的状 态转移方程、状态转移矩阵、决 策变量和目标函数等。
求解问题
选择菜单栏中的“问题”->“动 态规划”->“求解”进行求解， WinQSB会自动进行迭代并输出 最优解和最优值等信息。
80%
结果分析

运筹学第二讲ppt课件

运筹学第二讲ppt课件
三、教学难点：算法分析的方法；线性表的基本操作；平 均时间复杂度的分析方法；算法设计训练。 四、教学过程：
§1.4 算法和算法分析 §1.4.1 算法的定义及特性
算法(Algorithm)是对指定问题求得步骤的一种描述，是为了 解决某类问题而规定的一个有限长的操作(指令)序列。 算法的五个重要特性：
for(k=1;k<=n;k++)
//n(n+1)
//n*n //n*n*(n+1)
c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]； //n*n*n
}
}
T(n)2n33n22n1
T(n)是矩阵阶数n的函数。
TKS 7 18:45
2、问题规模和算法的时间复杂度 算法求解问题的输入量称为问题的规模，一般用整数n表示。 对于例1.4的乘积算法，当n趋向无穷大时，显然有
例2：英文字母表（A, B, C, D, E Z）。
例3：某单位的电话号码簿。 姓 名 电话号码
蔡颖
63214444
刘建平
63216666
王小林
63218888
张力
63215555
...
TKS 15 18:45
3、说明和特点
(1) 线性表的数据元素可以是各种各样的，但同一线性表中的元 素必须是同一类型的； (2) 在表中 ai-1领先于ai，ai领先于ai+1，称ai-1是ai的直接前驱， ai+1是ai的直接后继； (3) 在线性表中，存在唯一一个被称作第一个元素和最后一个元 素，其他元素都有且仅有一个直接前驱，有且仅有一个直接后继。
TKS 14 18:45
§2.1 线性表的类型定义
§2.1.1线性表的定义和特点

系统工程与运筹学说课课件

系统工程与运筹学说课课件

系统工程与运筹学说课课件xx年xx月xx日•系统工程概述•运筹学基本理论•系统工程与运筹学的关系•实际应用案例一：生产计划问题•实际应用案例二：网络优化问题•实际应用案例三：水资源优化问题•结论与展望目录01系统工程概述定义与特点有组织性：系统工程是一种有组织的方法，需要制定明确的计划、协调和管理措施，以确保系统目标的实现。

系统性：系统工程强调系统的整体性、有机性和功能性，注重系统内部各组成部分之间的相互作用和协同工作。

跨学科性：系统工程涉及多个学科领域，如数学、物理、化学、生物学、计算机科学、工程学、管理学等。

定义：系统工程是一种跨学科的、系统的、有组织的方法，旨在解决复杂系统的问题和实现系统目标。

特点解决复杂系统问题现代社会中，许多问题都是复杂系统问题，如城市交通拥堵、气候变化、能源危机等。

系统工程提供了一种有效的解决方法，可以协调各种资源、实现系统优化和可持续发展。

提高组织效率系统工程可以通过优化资源配置、提高协同合作和信息共享等方式，提高组织的效率和质量，降低成本和风险。

推动科技创新系统工程是一种科技创新的方法，可以促进各学科之间的交叉融合和创新，推动科技进步和社会发展。

系统工程的重要性系统工程的历史与发展起源系统工程起源于20世纪中叶，最初应用于军事领域，如研制导弹和卫星等复杂系统。

发展历程随着时间的推移，系统工程逐渐扩展到民用领域，并成为一种重要的管理方法。

未来趋势随着技术的不断发展和应用场景的不断扩大，系统工程将会继续不断创新和发展，应用于更多领域。

010203系统工程的未来趋势未来，系统工程将不断与其他学科领域进行交叉融合，创新出更多新的理论和技术。

跨界融合与创新随着大数据和人工智能技术的不断发展，系统工程将更加注重数据驱动的决策和智能化管理。

数据驱动与智能决策随着社会对环境保护和可持续发展的重视，系统工程将更加注重环保和可持续性，推动可持续发展目标的实现。

可持续发展与环保未来，系统工程将更加注重网格化管理和去中心化运作，提高系统的灵活性和适应性。

运筹课件PPT课件


它涉及到的问题包括最短路径、 最小生成树、最大流等。
图论与网络优化在计算机科学、 交通运输、通信网络等领域有 广泛应用，如路由算法、网络 设计等。
03 运筹学在现实生活中的应 用
生产与库存管理
01
02
03
生产计划
运筹学通过数学模型和算 法，帮助企业制定生产计 划，优化资源配置，提高 生产效率。
库存控制
Excel Solver的特点
Excel Solver易于使用
它提供了一个直观的用户界面，用户可以通过简单的拖放操作来定义问题。
Excel Solver具有广泛的适用性
它可以处理各种类型的优化问题，包括线性规划、整数规划、目标规划、非线性规划等。
Excel Solver具有高效性
它使用了多种优化算法，可以快速求解大规模问题。
它使用了高效的算法和优化的数据结构，可以快速地处理大规模数据和计算任务。
05 案例分析与实践
生产计划优化案例
总结词
生产计划是企业管理中的重要环节，通过优化生产计划可以提高企业的生产效率 和资源利用率。
详细描述
生产计划优化案例主要涉及如何根据市场需求、产品特性、生产能力等因素制定 合理的生产计划，以实现生产效益的最大化。具体包括对生产计划的制定、执行 、调整等环节进行优化，提高生产计划的准确性和灵活性。
运筹学的重要性
01
提高效率
降低成本
02
03
增强决策科学性
运筹学能够通过优化资源配置和 流程，提高系统的效率和生产力。
通过合理的资源配置和计划安排， 运筹学可以帮助企业降低成本和 资源消耗。
运筹学提供的数据分析和模型预 测等方法，有助于增强决策的科 学性和准确性。

《运筹学实用教程》PPT课件


7
服务系统的运行指标
队长（Ls）指系统中顾客数的数学期望值。 排队长（Lq）指系统内排队顾客数的数学期
望值。 很显然，Ls ＝Lq＋正在被服务顾客数的期望
值。 逗留时间（Ｗs）指一个顾客在系统中停留时
间的数学期望值。 等待时间（Wq）指一个顾客在系统中排队等
待时间的数学期望值。 很显然，Ｗs＝［等待时间］＋［服务时间］ 忙期 指服务员忙于服务的时间。与此相反
泊松过程是马尔科夫过程 本章主要考虑马尔科夫过程，即泊松流。
ppt课件
17
二、生灭过程的假设条件
系统状态N(t)得分布具有下列性质时，称 其为一个生灭过程：
当N(t)=n时，顾客到达的时间间隔服从参数
为 的负指数分布
当N(t)=n时，服务时间间隔服从参数为 的
负指数分布
在一个无限短的时间间隔里，最多只有一个 顾客到达或离去
ekt
E (T ) 1
1
D[T ] k 2
ppt课件
12
服务系统模型的符号表示法
为了使用上的方便，肯达（Kendal）在1953年归纳了一种服务 系统的符号表示法。它用[A/B/C]表示一个服务系统的特征。
其中 A处填写顾客到达的规律；
B处填写服务时间的分布规律；
C处填写服务通道的数目。
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18
三、生灭过程的状态转移图
生灭过程的瞬时状态一般很难求得，但 可求得稳定状态分布
对于稳定的生灭状态，从平均意义上说 有：“流入=流出”
稳定的生灭过程可以用状态转移图表示
ppt课件
19
一般状态转移图示例
0 1
2
01
2
1 2 3
n2
n 1

运筹学教学课件(全)


实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不

运筹学全册精品完整课件

否则，目标函数等值线与可行域 将交于无穷远处，此时称无有限最 优解。
36
例2-2 考虑例2-1
某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，
生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中 需要占用的设备机时数，每件产品可以获 得的利润以及三种设备可利用的时数如下 表所示。问题：工厂应如何安排生产可获 得最大的总利润？
一、线性规划问题的提出
在实践中，根据实际问题的要求，常常 可以建立线性规划问题数学模型。
例2-1 我们首先分析开篇案例提到的问题。 解：设变量 xi 为第 i 种（甲、乙）产品的 生产件数（i＝1，2）。根据题意，我们知道 两种产品的生产受到设备能力（机时数）的 限制。对设备A：两种产品生产所占用的机时 数不能超过65，于是我们可以得到不等式：
运筹学是运用科学的方法（如 分析、试验、量化等）来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一门 学科。
4
运筹学概述
运筹学能够对经济管理系统中 的人力、物力、财力等资源进行统 筹安排，为决策者提供有依据的最 优方案，以实现最有效的管理。
通常以最优、最佳等作为决策 目标，避开最劣的方案。
5
运筹学的产生和发展
8பைடு நூலகம்
运筹学在管理中的应用
生产计划：生产作业的计划、日程表的
编排、合理下料、配料问题、物料管 理等。
库存管理：多种物资库存量的管理，库
存方式、库存量等。
运输问题：确定最小成本的运输线路、
物资的调拨、运输工具的调度以及建
厂地址的选择等。
9
运筹学在管理中的应用
• 人事管理：对人员的需求和使用的 预测，确定人员编制、人员合理分 配，建立人才评价体系等。
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
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10 * × -
9* ×
12 11* ×
8*
×
三、存在负权时，最短路算法 从Vs到Vj的最短路总是Vs出发，沿着一条路线到 某个点Vi，再沿（ Vi , Vj ）到Vj的，由最短路的基本 定理可知，从Vs到Vi的这条路线必定是从Vs到Vi的最 短路。
最短路算法的递推方程：
t 1
t2 t t
d 1 (vs , v j ) wsj，表示直达点
6
V1
2
V8
V2 6 V1 2 3 V3 1 2
1 6 10 V3 V4 1* 4
V5 10 2 V6 V5 V6
2 3 6 4 V7 V7 V8 V9 V9 3
V8
V4 V1 V2
V1
-
6
3
V2 6
V1 2 3 V3 1 2
1
6 10 V3 3* V4 1* 4
V5
10 2 V6 V5 7 V6 11
2.路与回路 链（路）：从一个点开始不重复地经过若干条边 （弧）到另一个点终止，构成了一条链（路）。 圈（回路）：始点与终点重合的链（路） 环：某条边的两个端点相同。环是最简单的圈。 对于无向图，链与路、圈与回路是等价的。 3.连通图 图中任意两点之间至少有一条链，该图称为连通 图；否则，称为不连通图。 不连通图、连通子图
V5 7 6
t =1 t =2 t =3
V1 0 0 0
V6 11 11
V7
V8
V9
10
13
t =4 t =5
0 0
5 5
Dijkstra（狄克斯屈）标号算法是Dijkstra于1959 年提出的，是目前公认的求最短路问题较好的算法。该 方法的计算过程中，把所有的计算局限在关联边，把一 个复杂的问题转化为一系列简单的运算。 对于图中的每个点都有一个标号值（P或T标号）：
P标号：表示从起点到该点的最短距离
T标号：表示从起点到该点距离的上限 P-T标号的基本思想：从起点Vt出发，逐步地向外 探寻最短路。执行过程中，与每个点对应，记录一个标 号值（P标号或T标号）。在探寻过程中每一步都去修改 每个点的T标号值，并把其中的一个T标号的值变成P标 号，从而图中具有P标号的点增加一个。这样，至多经 过P-1步就可求出起点到各点的最短距离。
2
3
6 4
V7 V7
V9 3 V8
V4 V1 V2 V1 V4 6
V8
V9
V2 6
V1 2 3 V3 1 2
1
6 10 V3 3* V4 1* × 4
V5
10 2 V6 V5 7 V6 11
2 3 6 4
V7 V7 V8 V9 V9 3 V8
V4 V1 V2 V1 V4 V3 6 5*
V2 6
V1 2 3 V3 1 2
6
V1
2 3 V3 1 2 V4
10
V2 6 5* V3 3* -
V1
V1 -
V4 V3 V2 V5 V7 V6 V8
×
6*
11
×
10 *
-
9* ×
12*
存在两个问题：一是没有方向的图；二是存在负 权的图。 例3 取消方向的图，其最短路如何？ V2 1 V5 2 3 1 2 V3 2 10 V4 V6 6 4 10 6 3 V9 3 4 V7
1
6 10 V3 3* × V4 1* × 4
V5
10 2 V6 V5 7 6* V6 11
2
3
6 4
V7 V7
V9 3 V8
V4 V1 V2 V1 V4 V3 V2 6 5* -
V8
V9
V2 6
1
V5
2 3 2 6 4 V7 V7 V8 V9
V1
2 3 V3 1 2
6 10
V3 3* × ×
4
10
V8
2 -1
V2 -1 -5*
V4
V2 V7
×
× -
-3* ×
-5*
V5
V6
×
× × 6*
例5 用负权最短路算法确定下图V1到各点的最短路
V2 6 V1 1 6 10 V2 6 5 5 V3 3 3 3 V4 1 1 1 4 V5 2 10 2
2 3 V3 1 2 V4
3
6
1 6 10 4
V5
2
10 3 6 V9 3 V8 V8 V9
2
V4 1* V6 V5 V6
4 V7 V7
V1
V1 -
V3 3* -
V4 V3 V2
×
6*
11
V2 6 V1 2 3 V3 1 2
1 6 10 4
V5 2 10 2 V4 1* × 3
6
4 V7
V9 3 V8
V4
V1 V2
V1 V4 V3 V2 V5
V9 3
V8
V1 V4 V3 V2 V5
V4 V1 V2 6
5* ×
V4 1* ×
V6 V5
7 6* -
V6 11
10
9
12
8*
V2 6
1
V5
2 3 2 6 4 V7 V7 V8 V9
V1
2 3 V3 1 2
6 10
V3 3* × ×
4
10
V9 3
V8
V1 V4 V3 V2 V5 V9
V4 V1 V2 6
二、与图有关的概念 1.有向图与无向图 有向图D=(V,A)：点与点之间的线有箭头（方向） 这样的线，往往称为弧
无向图G=(V,E)：点与点之间的线无箭头
这样的线，往往称为边 V5 a7 V1 a1 V5
a6 a5
a3 V2 a2 V3 a4 V4 V1
e7
e6 e5
V4 e4
e1
e3 V2 e2 V3
V7 5 -5
V8
t =1 t =2 t =3 t =4
0 0 0 0
-1 -5 -5 -5
-2 -2 -2 -2
3 -7 -7 -7
6
-3
-1
-5
6
V2
6 -1 -3 V1 -2 V3 -5 83 V4
V1 V1 V3 0
-1 2 1
V5
1 V6 1 -3 7 -5 V7
V3 -2* V4 3 -7* -1* V5 V6 V7 V8
d 2 (vs , v j ) min d 1 (vs , vi ) wij 表示经过一个中间点


d t (vs , v j ) min d t 1 (vs , vi ) wij 表示经过t 1个中间点

当 d k (vs , v j ) d k 1 (vs , vi ) 得到了到各点的最短路
P-T标号法的计算步骤如下： ①从起点Vt开始，给其标上P标号，即 P（Vt）=0，λ（Vt）=0， 其余各点都为T标号，即T（V）=∞ ，λ（V）=M。 ②从具有P标号的点向外探寻，修改相应具有T标号点 的值 ③把T标号点中值最小点变成P标号，并记录λ值，当所 有点都具有了P标号，就求出起点到各点的最短距离。 对于P-T标号法也可用表格计算如下： ①确定始点(V1)及其直达点，其两点间距离分别填入 对应位置，将最小值标记*； ②以*点为起始点，确定其直达点，计算始点(V1)经过 *点至该直达点的距离； ③比较未标记*的点，取最小值标记*，若该点已经是 终点，则已经得到最短路，否则返回②（若存在负权时， 应检查所在有点是否都已经标记*，最短距离为点所在列 最后打* 的值）
-
6
5*
V3 3* -
V6 V5
V6 11
V7
V8
V9
6* -
10
9*
12
V2
6 V1 2 3 V3 1 2 V4 V1 V2
1
6 10 V3 3* V4 1* × 4
V5
10 2 V6 V5
2
3
6 4 V7
V9 3 V8 V7 V8 V9
V6 11
V1 V4 V3 V2 V5 V7
-
6
5*
6*
10 * 9* 12
第六章 图与网络
图论是运筹学的一个重要分支，它是用直观的图 形来解决实际问题，因而在众多领域得到应用。
第一节
一、图的表示
图的基本概念
图论中的图是用以反映对象之间相互关系的图形， 用点和线构成。
图论中的图只反映现实中的逻辑关系。
图（G）的数学表示方法： V , E G
即：图G = (点集合，边集合)
4.支撑子图
图G为：G V , E 图G为：G V , E，但是V V ; E E
则称G’为G的支撑子图。 5、其他基本概念： 端点、关联边、环、多重边、简单图、多重图、 基础 图、次、悬挂点、悬挂边、孤立点、奇点、偶点 6、定理： 定理1：图G中所有点的次之和是边数的两倍。
10 * ×
9* -
12 11 ×
8*
V2 6
V1 2 3 V3 1 2
1
6 10 V3 3* × × V4 1* × 4
V5
10 2 V6 V5 7 6* × × × V6 11
2 3 6 4
V7 V7 V8 V9 V9 3 V8
V4 V1 V2 V1 V4 V3 V2 V5 V9 V7 V6 6 5* ×
V1
2 3 V3 1 2 V4
V1
V1 -
V6
V4
-
11
V2 6 V1 2 3 V3 1 2 V4 V2
1 6 10 4
V5
2
10 3 6 V9 3 V8 V8 V9