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2.1 直线、射线、线段一等奖创新教学设计人教版数学七年级上册《4.2.1直线、射线、线段》教学设计内容和内容解析内容主要内容是关于直线、射线和线段的概念和性质以及表示方法和画法等，都是重要的几何基础知识，同时也是学习后续图形与几何的知识以及其他数学知识的必备的知识基础.内容解析首先让学生通过探究得到关于直线的基本事实:经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
这个基本事实很好地刻画了直线这种最基本的儿何图形.接着介绍了关于直线的基本事实的实际应用，以及直线的表示，线段与射线是与直线密切相关的两个基本概念，介绍了它们的表示、画法、比较.《直线、射线、线段》是图形认识中非常重要的内容.从知识上讲，直线、射线、线段是最简单、最基本的图形，是研究复杂图形如三角形、四边形等的基础.从本节开始出现的儿何图形的表示法、儿何语言等也是今后系统学习几何所必需的知识。
本节课的学习起着奠基的作用，重点训练学生动手操作及学会用规范的几何语言边实践边叙述的能力，逐步适应几何的学习及研究方法，从思想方法上讲，直线的得出经历了由感性到理性，由具体到抽象的思维过程，同时线段、射线的表示发是由直线类比得到，渗透了类比的数学思想。
目标和目标分析教学目标（1）了解直线、射线、线段的相关概念并知道它们之间的联系与区别（2）能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形，在图形的基础上发展数学语言.（3）初步体验图形是有效描述现实世界的重要手段，并能初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义。
达成目标（1）的标志是：能根据概念解决相应练习。
达成目标（2）的标志是：能通过数学语言画出图形，通过图形说出相应数学语言达成目标（3）的标志是：能说出两点确定一条直线的应用实例，体会现实生活中的数学问题目标分析直线、射线、线段的内容属于“几何与图形”领域，是在已经学习了点、线、面、体的基础上，继续学习基本的几何图形。
4.2 直线、射线、线段（第1课时）认识直线、射线、线段教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初步”4.2直线、射线、线段第1课时，内容包括两点确定一条直线；直线、射线、线段的表示方法．2.内容解析“两点确定一条直线”是人们在长期生产生活实践中总结出来的基本事实，这个事实很好地刻画了直线的特性，是数学知识抽象性与实用性的典型体现．“两点确定一条直线”是图形与几何领域首次用“公理”的方式确定的一个结论，是公理化思想的起点．直线、射线、线段都是重要而基本的几何图形，它们之间既有密切的联系，又有着本质区别．它们的概念、性质、表示方法、画法、计算等，都是重要的几何基础知识，是学习后续图形与几何以及其他数学知识必备的基础．直线、射线、线段的表示，是“图形语言→文字语言→符号语言”层层抽象的数学语言的运用的一个典型例子，掌握这些表示方法是学好图形与几何知识的必备条件．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：探究“两点确定一条直线”；直线、射线、线段的示方法．二、目标和目标解析1.目标（1）掌握“两点确定一条直线”的基本事实．（2）进一步认识直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的表示方法．（3）初步体会几何语言的应用．2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过动手实践自主探索得出基本事实，理解“确定”含义中的存在性与唯一性；经过两点肯定有一条直线，且经过两点只有一条直线；能举出一些实例，说明这一事实在生产生活中的应用．达成目标（2）的标志是：能够根据表示方法正确画出直线、射线、线段；能够恰当选择大写或小写字母表示直线、射线、线段，并认识表示方法的合理性．达成目标（3）的标志是：学生能够根据图形选择恰当的文字或符号，准确描述点与直线、直线与直线的位置关系；能够理解文字或符号所表达的图形及关系．三、教学问题诊断分析虽然在小学阶段，学生对于直线、射线、线段已经有了初步的感性认识，但都是形象化的，比较粗浅的，需要通过进一步学习提高到理性认识．其中直线、射线、线段的表示方法是首次用符号来表示几何图形，学生没有相关经验，再加上直线、射线、线段的表示方法多，容易混淆，学生会感到困难．几何语言的学习，学生要经历“几何模型→图形→文字→符号”逐步加深的抽象过程，尤其符号语言是对文字语言的简化和再次抽象，是七年级学生未曾经历过的体验．除此以外，本课学生还会经历“符号语言→文字语言→图形语言”的转换，既要理解几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系，又要将它们用图形直观地表示出来，也是比较困难的学习任务．教学中，教师通过讲解示范并安排形式多样的练习，帮助学生在解决问题的过程中，达到“符号语言→文字语言→图形语言”三种数学语言的自如转换，融会贯通．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：直线、射线、线段的表示方法及三种几何语言之间的转换．四、教学过程设计（一）以旧悟新，探求新知我们已经学习了平面图形、立体图形、体等概念，让我们对周围世界有了新的认识．这节课，我们要着重研究直线、射线、线段，学习它们的表示方法、性质特点、实际应用等，使我们对这些基本几何图形加深认识．问题1：我们在小学学过直线、射线、线段，你能说出它们的联系与区别吗？师生活动：学生独立思考后交流．【设计意图】从学生原有的知识出发，激活学生原有的认知结构中的有关知识．问题2：探究并回答下面的问题：（1）如图1，经过一点O画直线，能画几条？经过两点A，B呢？动手试一试．图 1（2）经过两点画直线有什么规律？怎样用简练的语言概括呢？师生活动：学生画图后在小组内讨论交流，然后派学生代表在全班交流，教师点评．师生共同归纳：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简单说成：两点确定一条直线．【设计意图】通过动手实践，由学生自主发现“两点确定一条直线”的基本事实，有利于学生对这一基本事实的理解和接受；让学生经历“动手实践→抽象概括”的认知过程，将感性认识上升到理性认识，体会知识的产生和发展．（3）如果经过两点任意画曲线或折线，试一试能画几条？想一想这又说明什么？师生活动：学生画图后相互交流．【设计意图】与“两点确定一条直线”形成鲜明对比，让学生理解这个基本事实是对“直线”特性的刻画，从而更准确把握直线的性质.（4）怎样理解“确定”一词的含义？师生活动：学生独立思考后讨论交流，并尝试阐述．教师明确：“确定”可以解释为“有且仅有”，“有”意味着存在；“仅有”意味着唯一．【设计意图】“确定”是具有特定数学意义的词汇，要让学生准确把握它的双重意义：“存在”且“唯一”．（5）想一想，生产生活中还有哪些应用“两点确定一条直线”原理的例子，与同学交流一下.师生活动：教师参与学生讨论交流，举出生活中的实例：用两个钉子可以将木条固定在墙上；把墨盒两端固定，木工师傅就可以弹出一条笔直的墨线；植树时只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上（图2）……图 2【设计意图】加深学生对“两点确定一条直线”的理解，并体会这一事实的应用价值.（二）学习语言，丰富新知问题3：为了便于说明和研究，几何图形一般都要用字母来表示．用字母表示图形，要符合图形自身的特点，并且要规范．通过以往的学习，我们知道可以用一个大写字母表示点，那么结合直线自身的特点，请同学们想一想，该怎样用字母表示一条直线呢？师生活动：结合以上问题，请同学们阅读教科书，然后独立完成下面的任务：（1）用不同的方法表示图3中的直线：图3（2）判断下列语句是否正确，并把错误的语句改正过来：①一条直线可以表示为“直线A”；②一条直线可以表示为“直线ab”；③一条直线既可以记为“直线AB”又可以记为“直线BA”，还可以记为“直线m”．①×；一条直线可以表示为“直线a”；②×；一条直线可以表示为“直线AB”；③√（3）归纳出直线的表示方法．学生独立完成后，进行小组内讨论、纠正，教师参与学生讨论，并明确直线的表示方法．【设计意图】自主探索与合作交流相结合得出直线的表示方法，教师再结合学生易犯的错误加以规范，利于学生准确掌握.（4）想一想，用两个点表示直线合理吗？为什么？师生活动：学生独立思考后讨论交流，并尝试阐述：用两个点表示直线符合“两点确定一条直线”的基本事实，所以表示方法是合理的．【设计意图】使学生理解表示方法的合理性．教师：学习图形与几何知识，不仅要认识图形的形状，还要学习图形之间的位置关系.问题4：（1）观察图4，然后选择恰当的词语填空：①点A在直线l（上，外）；直线l（经过，不经过）点A．②点B在直线l（上，外）；直线l（经过，不经过）点B．总结点与直线的位置关系，与同学交流一下．图4师生活动：学生完成后尝试回答，教师点评纠正，并明确点与直线的位置关系．（2）如图5，尝试描述直线a和直线b的位置关系，与同学交流一下．图 5师生活动：学生讨论交流，教师在点评的基础上明确：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．（3）根据下列语句画出图形：①直线AB与直线CD相交于点P；②三条直线m，n，l相交于一点E．师生活动：学生完成画图并相互纠正，教师板书示范．【设计意图】发挥学生的主体作用，自主探索并掌握点与直线的位置关系、直线与直线相交的概念．（三）针对训练1. 按语句画图：（1）直线EF经过点C；（2）点A在直线m外.2. 建筑工人在砌墙时，如何拉参照线？请用学过的几何知识解析他们这样做的道理.3. 木工师傅木板时，怎样用墨盒弹墨线？请用学过的几何知识解析他们这样做的道理.【设计意图】通过及时练习，学习图形语言、文字语言和符号语言的转化，培养学生运用几何语言的能力．（四）类比迁移，拓展新知问题5：射线和线段都是直线的一部分，类比直线的表示方法，想一想应怎样表示射线、线段？师生活动：学生阅读教科书，自主探索射线、线段的表示方法，然后回答下列问题：（1）如图6，类比直线的表示方法，想一想射线该如何表示？图 6（2）“一条射线既可以记为射线AB又可以记为射线BA”的说法对吗？为什么？（3）如图7，类比直线的表示方法，想一想线段该如何表示？图7（4）如图8，怎样由线段AB得到射线AB和直线AB？图8教师检查学生学习情况，强调表示射线时应注意字母的顺序．【设计意图】以直线的表示方法为基础进行类比迁移，明确射线、线段的表示方法，培养运用几何语言的能力.（五）针对训练按下列语句画出图形：（1）经过点O的三条线段a，b，c；（2）线段AB，CD相交于点B．参考答案：（1）经过点O的三条线段a，b，c；（2）线段AB，CD相交于点B．（六）当堂巩固1. 在同一平面内有三个点A，B，C，过其中任意两个点做直线，可以画出的直线的条数是（ C ）A. 1B. 2C. 1或3D. 无法确定2. 下列表示方法正确的是（ C ）A. 线段LB. 直线abC. 直线mD. 射线Oa3. 下列语句准确规范的是（ B ）A. 延长直线ABB. 直线AB，CD相交于点MC. 延长射线AO到点BD. 直线a，b相交于一点m4. 如图，A，B，C三点在一条直线上，（1）图中有几条直线，怎样表示它们？（2）图中有几条线段，怎样表示它们？（3）射线AB 和射线AC 是同一条射线吗？（4）图中有几条射线？写出以点B为端点的射线.解：（1）1条，直线AB或直线AC或直线BC；（2）3条，线段AB，线段BC，线段AC；（3）是；（4）6条．以B为端点的射线有射线BC、射线BA．5. 如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：（1）做射线BC；（2）连接线段AC，BD交于点F；（3）画直线AB，交线段DC的延长线于点E；（4）连接线段AD，并将其反向延长.参考答案：【设计意图】通过综合练习，巩固学生对直线、射线、线段表示方法的掌握；着重练习文字语言向图形语言的转化，提高几何语言的理解与运用能力．（七）能力提升往返于A、B两地的客车，中途停靠三个站，每两站间的票价均不相同，问：（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？解：画出示意图如下：（1）图中一共有10条线段，故有10种不同的票价．（2）来回的车票不同，故有10×2=20（种）不同的车票．（八）感受中考（3分）（2021•河北1/26）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）A．a B．b C．c D．d【解答】解：利用直尺画出图形如下：可以看出线段a与m在一条直线上．故答案为：a．故选：A．【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．（九）课堂小结回顾本节课的学习，回答下列问题：（1）你掌握了关于直线的哪一个基本事实？（2）简单陈述一下直线、射线、线段的表示方法．【设计意图】引导学生对本节课的重点和难点进行回顾，以突出重要的知识技能；帮助学生把握知识要点，理清知识脉络，以利于良好学习习惯的养成．（十）布置作业P129：习题4.2：第2、3、4题．五、教学反思对于直线的基本事实是这样突破的：①直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．这个基本事实又被称为“直线公理”．②这个基本事实是对直线的一个重要刻画，对这个基本事实的表述方法，学生不太熟悉，要使学生清楚“确定”包含两层意思：一层意思是经过两点有一条直线（“有”──存在性），另一层意思是经过两点只有一条直线（“只有”──唯一性）．教学中，学生通过动手实践自主探索得出直线的基本事实，理解“确定”的含义中的存在性与唯一性，并能举出一些实例，说明这一事实在生产生活中的应用．为进一步理解此基本事实，也可以与经过两点的曲线有无数条的事实作比较，在比较中加深对基本事实的认识．对于直线、射线、线段的联系与区别是这样突破的：直线、射线、线段是相近的概念，学生容易混淆，要在复习前面知识的基础上，说明射线和线段是直线的一部分，指出它们的联系；再从端点个数和延伸情况等方面来分析它们的区别．教学直线、射线、线段的画法时，要让学生掌握：在画线段时，不要向任何一边延伸；画射线时，要向一旁延伸；画直线时，要向两边延伸．对于图形与语句间的转换是这样突破的：图形与语句间的转换是学习几何知识的基本能力．要做到：能按给出的语句画出图形、能用适当的语句表述已给图形．本课时除了要掌握直线、射线、线段的表示外，还需要掌握点和直线的位置关系以及两条直线相交的表示等．。
4.2 直线、射线、线段1．直线(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述．(2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点．(3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”．(4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a，b，c或直线l等．另一个是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线AB或直线BA.如图：表示为直线l或直线AB(点的字母位置可以交换)．(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．【例1－1】下面几种表示直线的写法中，错误的是()．A．直线a B．直线MaC．直线MN D．直线MO解析：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上两个点的大写字母表示，所以直线Ma这种表示法不正确，故选B.答案：B【例1－2】如图，下列说法错误的是()．A．点A在直线m上B．点A在直线l上C．点B在直线l上D．直线m不经过B点解析：点与直线有两种位置关系，一是点在直线上，也称作直线过这点，另一种是点在直线外．所以C错误．答案：C2．射线(1)定义：直线上一点和它一旁的部分，叫做射线．它是直线的一部分．如图就是一条射线，其中O是射线的端点．(2)表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表示：如射线a，b，c或射线l等，另一个是用射线上两个点的大写字母表示，其中前面的字母表示的点必须是端点．如图：表示为射线l或射线OA.注意：表示射线端点的字母一定要写在前面．(3)特点：射线只有1个端点，向一方无限延伸，因此不可度量．【例2－1】如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是()．A．射线BA B．射线ACC．射线BC D．射线CB解析：端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以B正确．答案：B3．线段(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b，c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB或线段BA，或线段a.(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．破疑点线段的表示表示线段的两端点的字母可以交换，如线段AB也是线段BA，但端点字母不同线段就不一样．【例3】如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．分析：直线主要看有几条线向两方无限延伸，图中只有一条；射线主要看端点，再看延伸方向，3个端点，所以有6条，线段主要是看端点，3个端点，所以有3条．解：有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.4.线段的画法(1)画一条线段等于已知线段画法：①测量法：用刻度尺先量出已知线段的长度，画一条等于这个长度的线段；②尺规法：如图：画一条射线AB，在这条射线上截取(用圆规)AC＝a.(2)画线段的和差测量法：量出每一条线段的长度，求出它们的和差，画一条线段等于计算结果的长度．如：已知线段a，b(a＞b)，画线段AB＝a－b，就是计算出a－b的长度，画出线段AB等于a－b 的长度即可．尺规法：如图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于2b－a.画法：如图，①画一条射线AB，在这条射线上连续截取(用圆规)AC=2b，②再以A为一个端点，截取AD=a，那么DC=2b－a.【例4】如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a＋b－c(用尺规法)．画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.②以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．5．线段的比较(1)测量法：就是用刻度尺测量出两条线段的长度，再比较它们的大小．(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：①若C 点落在线段AB 内，那么AB ＞AC ；②若C 点落在线段AB 的一个端点上，那么AB ＝AC ；③若C 点落在线段AB 外(准确的说是AB 的延长线上)，那么AB ＜AC .谈重点 线段的比较 用叠合法比较两条线段的大小，一端一定要对齐，看另一个端点的落点，测量法要注意单位的统一．【例5】 已知：如图，完成下列填空：(1)图中的线段有________、________、________、________、________、________共六条．(2)AB ＝________＋________＋________；AD ＝________＋________；CB ＝_______＋__________.(3)AC ＝AB －__________；CD ＝AD －__________＝BC －__________；(4)AB ＝__________＋__________.解析：根据图形和线段间的和差关系填空，注意(4)题有两种可能．答案：(1)AC AD AB CD CB DB(2)AC CD DB AC CD CD DB(3)CB AC DB(4)AD DB 或AC CB6．线段中点、线段等分点(1)定义：点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点….(3)等量关系：在上图中：AM ＝BM ＝12AB ；2AM ＝2BM ＝AB . 【例6】 如图，点C 是线段AB 的中点．(1)若AB ＝6 cm ，则AC ＝__________cm.(2)若AC ＝6 cm ，则AB ＝__________cm.解析：若AB ＝6 cm ，那么AC ＝12AB ＝3(cm)． 若AC ＝6 cm ，那么AB ＝2AC ＝2×6＝12(cm)．答案：3 127．关于延长线的认识延长线是重要的，也是应用较多的几何术语，是初学者最易错，最不好理解的地方，下面介绍几种关于延长线的术语：如图(1)延长线段AB ，就是由A 往B 的方向延长，并且延长线一般在作图中都用虚线表示；如图(2)叫做反向延长线段AB ，就是由B 向A 的方向延长；如图(3)延长AB 到C ，就是到C 不再延长；如图(4)延长AB 到C ，使AB ＝BC ；如图(5)点C 在AB 的延长线上等．几种常见的错误，延长射线AB 或延长直线AB ，都是错误的，图(6)中只能反向延长射线AB .【例7－1】 若AC ＝12AB ，那么点C 与AB 的位置关系为( )． A ．点C 在AB 上 B ．点C 在AB 外C ．点C 在AB 延长线上D ．无法确定答案：D【例7－2】 画线段AB ＝5 cm ，延长AB 至C ，使AC ＝2AB ，反向延长AB 至E ，使AE ＝13CE ，再计算： (1)线段AC 的长；(2)线段AE ，BE 的长．分析：按要求画图．由画图过程可知：AC ＝2AB ，且C 在AB 的延长线上，所以AB ＝BC ＝12AC ，E 在AB 的反向延长线上，且AE ＝13CE ，所以AB ＝BC ＝AE ＝5 c m.解：如图：(1)因为AC ＝2AB ，所以BC ＝AB ＝5 cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝5＋5＝10 (cm)．(2)因为AE ＝13CE ，所以AE ＝AB ＝BC ＝5 cm ， 所以BE ＝AB ＋AE ＝5＋5＝10 (cm)．8.线段的计数公式及应用一条直线上有n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即A →AB ，AC ，AD ，B →BC ，BD ，C →CD ，线段总数为3＋2＋1＝6，若是更多的点，由以A 为顶点的线段的条数可以看出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有n 个点时，以A 为顶点的线段就有(n －1)条，同样以B 为顶点的线段也有(n －1)条，因此n 个顶点共有n (n －1)条线段；但由A 到B 得到的线段AB 和由B 到A 得到的线段BA 是同一条，而每条线段的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了2次，所以除以2就是所得线段的实际条数，即当一条直线上有n 个点时，线段的总条数就等于12n (n －1)． 【例8－1】 从秦皇岛开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？分析：这个问题相当于一条直线上有4个点，求这条直线上有多少条线段．因为任意两站之间的票价都不相同，因此有多少条线段就有多少种票价，根据公式我们很快可以得出有6种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有12种车票．解：当n ＝4时，有n (n －1)2＝4×(4－1)2＝6(种)不同的票价．车票有6×2＝12(种)．答：有6种不同的票价，有12种车票．【例8－2】 在1,2,3，…，100这100个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？分析：本题初看似乎和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每个数都看成直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是1条线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是完全一致的，因而解法一样，直接代入公式计算即可求出结果．解：不同的结果共有：12n (n －1)＝12×100×(100－1)＝4 950(种)． 答：共有4 950种不同的结果． 9.与线段有关的计算和线段有关的计算主要分为以下三种情况：(1)线段的和差及有关计算，一般比较简单，根据线段间的和差由已知线段求未知线段．(2)有关线段中点和几等分点的计算，是本节的重点，其中以中点运用最多，这也是用数学推理的方式进行运算的开始．(3)综合性的运算，既有线段的和差，也有线段的中点，综合运用和差倍分关系求未知线段．解技巧 线段的计算 有关线段的计算都是由已知，经过和差或中点进行转化，求未知的过程，因此要结合图形，分析各段关系，找出它们的联系，通过加减倍分的运算解决．【例9－1】 如图，线段AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，点D 在CB 上且DB ＝1.5 cm ，求线段CD 的长度．分析：根据中点关系求出CB ，再根据CD ＝CB －DB 求出CD .解：CB ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，CD ＝CB －DB ＝4－1.5＝2.5(cm)． 答：线段CD 的长度为2.5 cm.【例9－2】 如图所示，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，求线段CD 的长．解：由于C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，所以OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，所以CD ＝12(OA ＋OB )＝12AB ＝12×4＝2. 答：线段CD 的长为2.10．直线相交时的交点数两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，那么n 条直线两两相交最多有多少个交点？下面以5条直线两两相交最多有多少个交点为例研究：如图，当有5条直线时，每条直线上有4个交点，共计有(5－1)×5个交点，但图中交点A ，既在直线e 上也在直线a 上，因而多算了一次，其他交点也是如此，因而实际交点数是(5－1)×5÷2＝10个，同样的道理，当有n 条直线时，在没有共同交点的情况下，每条直线上有(n －1)个交点，共有n 条直线，交点总数就是n (n －1)个，但由于每一个点都数了两次，所以交点总数是12n (n －1)个． 【例10－1】 三条直线a ，b ，c 两两相交，有__________个交点( )．A ．1B ．2C ．3D ．1或3解析：三条直线a ，b ，c 两两相交的情形有两种，如图．答案：D【例10－2】 同一平面内的12条直线两两相交，(1)最多可以有多少个交点？(2)是否存在最多交点个数为10的情况？分析：(1)将n ＝12代入12n (n －1)中求出交点个数．(2)交点个数为10，也就是12n (n －1)＝10，即n (n －1)＝20，没有两个相邻整数的积是20，所以不存在最多交点个数是10的情况．解：(1)12条直线两两相交，最多可以有：12n (n －1)＝12×12×(12－1)＝66(个)交点． (2)不存在最多交点个数为10的情况．11.最短路线选择“两点之间，线段最短”是线段的一条重要性质，运用这个性质，可以解决一些最短路线选择问题．这类问题一般分两类：一类是选择路线，选择从A 到B 的最短路线，连接AB 所得到的线段就是；另一类是选择一个点，使这个点到A ，B 的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”这条线段上的任一点到A 到B 的距离之和都等于这条线段的长度，所以这条线段上的任一点都符合要求．但这类问题往往还有附加条件，如：这点还要在某条公路上，某条河上等，所以要满足所有条件．解技巧 求最短路线 对于第一类问题，只要将A ，B 放到同一个平面上，连接AB 即可得到所需线路．对于第二类问题，连接AB ，它们的交点一般就是所求的点．【例11】 如图(1)，一只壁虎要从圆柱体A 点沿着表面尽可能快的爬到B 点，因为B 点处有它要吃的一只蚊子，则它怎样爬行路线最短？分析：要想求最短路线，必须将AB 放置到一个平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接AB ，所得路线就是所求路线，因此将圆柱体的侧面展开如图(2)所示，连接AB ，则AB 是壁虎爬行的最短路线．解：在圆柱上，标出A ，B 两点，将圆柱的侧面展开(如图(2))，连接AB ，再将圆柱复原，会得到围绕圆柱的一条弧线，这条线就是所求最短路线．析规律 立体图形中的最短路线 在立体图形中研究两点之间最短路径问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形中的两点间的距离问题，再用平面内“两点之间，线段最短”求解．。
