市北资优六年级分册 第07章 7.9 形如ax=b的方程及其解法+郑宇

7.８ 一次方程组的应用【例1】小明去年2月在小卖店买了3本练习本和5包盐正好用去5元钱，今年3月，他又带5元钱去该店买同样的练习本和食盐，因为练习本每本比去年涨价1角，食盐每包涨价5分，小明就只好买了3本练习本和4包盐，结果找回2角钱，那么去年2月每本练习本多少钱，每包食盐多少钱？ 【分析】根据题意，可以得到两个等式：去年2月3本练习本的钱＋5包食盐的钱＝5元；今年3月3本练习本的钱＋4包食盐的钱＝5元－0.2元．【解】设去年2月练习本每本x 元，食盐每包y 元，则今年3月练习本每本(x ＋0.1)元，食盐每包(y ＋0.05)元．根据题意，得355,3(0.1)4(0.05)50.2.x y x y +=⎧⎨+++=-⎩①②②化简得，3x ＋4y ＝4.3，③①－③得，y ＝0.7． 把y ＝0.7代入①，得x ＝0.5． 所以，这个方程组的解为0.5,0.7.x y =⎧⎨=⎩答：去年2月练习本每本5角，食盐每包7角．【例2】一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车情况如下表：30元计算，问：货主应付运费多少元？ 【分析】由图表可知：甲种货车第一次运输货物的总重量＋乙种货车第一次运输货物的总重量＝15.5； 甲种货车第二次运输货物的总重量＋乙种货车第二次运输货物的总重量＝35． 【解】设甲、乙两种货车的载重量各为x 吨、y 吨，依题意，有2315.5,5635.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得4,2.5.x y =⎧⎨=⎩ 30×(4×3＋2.5×5)＝735(元) ．答：货主应付运费735元．【例3】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？ 【分析】由题意，可以得到以下等式：甲的年龄－乙的年龄＝乙的年龄－4＝61－甲的年龄． 【解】设甲、乙现在的年龄分别为x 岁、y 岁，根据题意，得4,61.x y y x y x -=-⎧⎨-=-⎩解这个方程组，得42,23.x y =⎧⎨=⎩答：甲现在42岁，乙现在23岁．练习7.8（1）1．一张方桌由一个桌面和四条腿组成．如果1立方米木料可制成方桌的桌面50个，或制作桌腿300条．现有5立方米木料，怎样分工能使木料全部用完，并且桌面与桌腿都能配成套？某人在该周内持有甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、税费等)，该人账户上星期二相比星期一获利200元，星期三相比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股？3．某杂志月刊，全年共出12期，每期定价2.50元，某中学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元．求该中学六年级订阅该杂志的学生人数．4．某厂去年总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元．已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值与总支出分别为多少万元？5．甲、乙两人在一条与铁路平行的笔直的小路上，同时同地背向而行．当一列火车开过来时，两人在行进中各自测出整列火车通过的时间分别为42秒和34秒，且在整列火车通过时各自走了68米和44米，求火车的速度．练习7.8（1）答案：1．3立方米木料作桌面，2立方米木料作桌腿，恰好配成方桌150张。

20232024学年四年级下学期数学1.3解形如ax=b或x÷a=b类型的方程教案一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材中关于“形如ax=b或x÷a=b类型的方程”的章节。

这部分内容主要介绍了解形如ax=b或x÷a=b类型的方程的步骤和方法。

二、教学目标通过本节课的学习，使学生能够理解形如ax=b或x÷a=b类型的方程，并能运用所学知识解决实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：如何引导学生理解并掌握解形如ax=b或x÷a=b类型的方程的步骤。

教学重点：使学生能够熟练运用所学知识解决实际问题。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

学具：笔记本、尺子、圆规、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：以一个实际问题引导学生进入学习状态，例如：“小明的妈妈买了一些苹果，一共花了30元，如果每个苹果2元，那么小明妈妈买了多少个苹果？”2. 讲解与演示：在黑板上用粉笔写出方程2x=30，并解释解这个方程的步骤。

将方程两边同时除以2，得到x=15。

然后，解释这个结果的含义，即小明妈妈买了15个苹果。

3. 随堂练习：让学生运用所学知识解决实际问题。

例如，“如果有5个苹果，每个苹果3元，那么一共需要多少钱？”学生可以通过解方程5x=15来得到答案。

4. 例题讲解：选取一道类似的例题，如x÷4=6，讲解解题步骤。

将方程两边同时乘以4，得到x=24。

然后，解释这个结果的含义，即有24个苹果。

5. 小组讨论：让学生分组讨论如何解决类似问题，并分享解题方法。

6. 作业布置：布置一些类似的题目，让学生巩固所学知识。

例如，解方程3x=45和5x÷5=15。

六、板书设计板书设计主要包括本节课的主要内容和步骤，如：1. 实践情景引入：小明妈妈买苹果的问题。

2. 讲解与演示：方程2x=30的解法。

3. 随堂练习：解答类似问题。

4. 例题讲解：解方程x÷4=6。

7.11 可化为一元方程的含绝对值符号的方程问题求一个数，使它的2倍与3之间相差5我们首先设这个数为x，然后可分以分两种情况列出方程2x－5＝5 或3－2x＝5想一想还可以列出其他的方程吗？还可以直接列出方程|23|5x-=我们把绝对值符号内含有未知数的方程，称为含绝对值符号的方程．例如：11||,|12,|1||25|123x x x x=-=+=-+等等．最简单的含绝对值符号的方程为：||x a=(a为常数)它的解情况是：当a＞0时，此方程的解为x＝a或x＝－a；当a＝0时，此方程的解为x＝0当a＜0时，此方程无解．例1 解方程：7|12|203x--+=解：7|12|60x--+=|12|13x-=1213x-=或1213x-=-解得：x＝－6或x＝7当方程中含有未知数的绝对值符号只有一个时，可以将含有未知数的绝对值符号作为一个整体来考虑，去掉绝对值符号，把它变为一次方程．例2：解方程：|21||2|4x x-++=分析：本题是含有两个绝对值符号的方程，一般地可以通过“零点区间讨论法”去掉绝对值符号，把它变为一次方程．解：由210x-=得12x=；由x＋2＝0，得x＝－2．(1)当x≤－2 时，原方程化为(21)(2)4x x---+=，解得53x=-(舍)(2)当122x-<<时原方程化为(21)(2)4x x--++=，解得x＝－1(30当x≥12时，原方程化为(21)(2)4x x-++=，解得x＝1所以原方程的解为x＝－1或x＝1所以原方程的解为x＝－1或x＝1对于含有两个以上绝对值符号的方程，零点区间讨论法是一种非常适用的方法．练习7.11（1）1、解含 绝对值符号的方程（1）|5|3x -=， （2）2|1|32x -=， （3）|2|21x x -=+. 2、解含绝对值符号的方程；(1)|32||1|10x x -++= (2)|4||2|1x x x -+-=+ (3)3|1||1|2|2|x x x --+=-练习7.11(1) 答案1、(1)1;94x =或x ＝3 (2)181218,;253511y y x ==-=± 2、(1) 1,3x x =-=- (2)x ＝4 (3)122x ≤≤例3、 解方程|21|3x x -+= 分析一：方程中有两层绝对值符号 ，可以就内层的零点12-，分12x <-和12x ≥-两种情况去掉内层绝对值符号，再对外层绝对值符号进行研究．解：(1)当12x <-时 原方程化为|31|3x += 解得23x =或43x =-， 而23x =不在12x <-内，应舍去． (2)当x ≥12-时 , 原方程化为|(21)|3x x -+=解得 x ＝2 或x ＝－4而x ＝－4不在x ≥12-内，应舍去 所以原方程的解为43x =-或x ＝2 . 分析二 方程中有两层绝对值符号，可由绝对值的定义，从外向内逐层去掉绝对符号，进行研究． 解：由原方程和绝对值的定义：得|31|3x x -+=±(1)当|31|3x x -+=时，即|21|3x x +=-所以213x x +=-或21(3),x x ==--所以4x =-或23x =． 注：当|21|3x x +=-时，应该x －3≥0方程有解． 但是x ＝－4和23x =不在x ≥3内，应舍去． (2)当|31|3x x -+=-时，即|21|3x x +=+所以213x x +=+或213x x +=--所以x ＝3或43x =- X ＝2或43x =-在x ≥－3内，是方程的解． 所以原方程的解为x ＝3或43x =-例4 求适合方程|27||21|8a a ++-=的整数a ．分析：观察本题中常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，可以更快地获得问题的解解：|27|a +表示在数轴上表示2a 的点与表示－7的点之间的距离．|21|a -表示在数轴上表示2a 的点与表示1的点之间的距离而－7与1的距离正好为8故721a -≤≤ 即7122a -≤≤ 所以a ＝－3, －2, －1, 0想一想从绝对值的几何意义入手，是否仍然可以获得以下问题的解？求适合方程|27||21|10a a ++-=的整数a ;求适合方程|27||21|6a a ++-=的整数a ；练习7.11(2)1、求解含绝对值符号的方程(1)||31||4x x -+= (2)||211||3x x -+= (3)|1||5|4x x -+-=2、求适合|34||32|6x x -++=的整数x ．3、当a ＞0, b ＜0，求使||||x a x b a b -+-=-成立的x 取值范围．练习7.11(2) 答案1、(1)x ＝2, x ＝－2 (2) x ＝3, x ＝－32、无数个解3、－6，－5，－4，－3，－2，－1,0，1,2，3,4(64x -≤≤)例5 讨论关于x的方程|2||5|x x a-+-=的解的情况解：因为数轴上表示数x的点到数轴上表示数2、5的点的距离和的是最小值为3，由此可得方程解的情况是：(.1)当a＞3 时，方程有两解：(322ax-=-或352ax-=+)(2)当a＝3时，方程有无数解；(25)x≤≤(3)当a＜3时，方程无解．例6 若关于x的方程||2|1|x a--=有三个整数解，则a的值是多少？解：若a＜0，原方程无解，所以a0≥.由绝对值的定义，得：|2|1x a--=±(1)若a＞1，则|2|10x a-=-<，无解．由|2|1x a-=+，x只能有两个解3x a=+或1x a=-;(2)若0≤a≤1，则由|2|1x a-=-，解得1x a=+或3x a=-由|2|1x a-=+，解得3x a=+或1x a=-原方程的解为1x a=+或3x a=-或3x a=+或1x a=-，为了使原方程的解有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1，当a＝0时，原方程的解为x＝3或x＝1,只有两个解，与题意不符，所以a≠0，当a＝1，原方程的解为x＝4,0,2，有三个解，综上所述，a＝1例7 已知方程||1x ax=+有一个负根，而没有正根，求a的取值范围解：设x为方程的负根，则1x ax-=+，即11xa-=<+所以，a＞－1，即a＞－1，原方程有负根．设方程的正根x，则1x ax=+即11xa =>-所以a＜1，即a＜1时，原方程有正根综上所述，若使原方程有一个负根且没有正根，必须有a1≥练习7.11(3)1、讨论方程||3|2|x k+-=的解的情况2、求关于x的方程||2|1|0x a---=的所有解的和．3、当a满足什么条件时，关于x的方程|2||5|x x a---=有一解？有无数多个解？无解？练习7.11(3)答案1、当b＝3，有3个不相等的解．2、当－5＜a＜5时，原方程有唯一一解；当a＝－5或a＝5时，原方程有无数个解；当a＞5或a＜－5时，原方程无解．7.11 《可化为一次方程的含绝对值符号的方程》练习习题7.11(1)1、填空(1)若x ＝7是方程1|2|4x a -=的解，则a ＝____；当a ＝1时，则方程1|2|3x a -=的解是_____． (2)方程11|1||2|035y y +--=，方程||2||116x x -=+的解是______．2、解下列含绝对值符号的方程 (1)142|1|32x -+= (2)1|1|32x x -=- (3)|21||2||1|x x x -+-=+练习7.11(1) 参考答案1、(1)1;94x =或x ＝3 (2)181218,;253511y y x ==-=± 2、(1) 1,3x x =-=- (2)x ＝4 (3)122x ≤≤习题7.11(2)1、解含绝对值符号的方程(1)||21||5x x -+= (2)||23||6x x +-=2、求方程|5|50x x -+-=的解的个数3、求适合方程11|2||3|522x x -++=的整数解练习7.11(2) 参考答案1、(1)x ＝2, x ＝－2 (2) x ＝3, x ＝－32、无数个解3、－6，－5，－4，－3，－2，－1,0，1,2，3,4(64x -≤≤)。

2023-2024学年四年级下学期数学1.3解形如ax=b或x÷a=b类型的方程教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生能够理解并掌握形如ax=b或x÷a=b类型方程的解法，并能将其应用于解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等思维活动，培养学生解决方程问题的能力。

3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养其合作精神，提高其解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 形如ax=b或x÷a=b类型方程的解法。

2. 应用解方程的方法解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握形如ax=b或x÷a=b类型方程的解法。

2. 教学难点：理解方程两边同除以a的原理。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 导入：通过回顾已学的方程知识，引导学生进入新课。

2. 新课：讲解形如ax=b或x÷a=b类型方程的解法，并通过实例演示。

3. 操练：让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

4. 小结：总结本节课所学内容，强调重点与难点。

5. 作业布置：布置课后作业，要求学生在规定时间内完成。

六、板书设计1. 方程解法：ax=b或x÷a=b2. 解题步骤：观察、分析、归纳、求解3. 实例演示：具体问题具体分析七、作业设计1. 基础题：解形如ax=b或x÷a=b类型的方程。

2. 提高题：应用解方程的方法解决实际问题。

3. 拓展题：探索其他类型的方程解法。

八、课后反思1. 教师反思：总结本节课的教学效果，分析学生的掌握情况，调整教学策略。

2. 学生反思：回顾本节课所学内容，查漏补缺，提高自己的学习能力。

总结：本节课通过讲解形如ax=b或x÷a=b类型方程的解法，培养了学生解决方程问题的能力，提高了学生的数学素养。

在教学过程中，注重学生的参与与思考，使学生在轻松愉快的氛围中掌握了知识。

3.3.2 形如ax=b 的方程的解法教学目标：知识与能力：1.在具体情境中，进一步体会方程是刻画现实世界的重要数学模型。

2．学会形如ax＝b的方程的解法。

过程与方法：在具体情景中感受形如ax＝b的方程的解法。

情感态度与价值观：在教学形如ax＝b的方程的解法中，培养学生形成从特殊到一般的概括思维。

教学重点：形如ax＝b的方程的解法。

教学难点：如何使形如ax＝b的方程未知数系数归一。

教学过程：一、创设情境，建立方程模型解方程1．(出示投影1)．某实验中学举行田径运动会，初一年级甲班和丙班参加的人数的和是乙班参加的人数的3倍，甲班有40人参加，乙班参加的人数比丙班参加的人数少10人，你能算出乙班参加校运会的人数吗?教师活动：⑴让学生观察这个问题情境，弄清题意；⑵你能列出方程吗?学生活动：独立思考，分析题中的数量关系，列出方程，并与同伴交流．教师活动：⑴鼓励学生独立思考，组织学生交流．⑵明晰：设乙班参加校运会的人数为x ，那么，丙班参加的人数就是(x ＋10)人，根据“甲班参加的人数＋丙班参加的人数＝乙班参加的人数的3倍”得：3x ＝40＋3x ＋10 移项得3x －x ＝50即2x ＝50．2．利用等式性质2解这个方程．教师提问：从2x ＝50能不能得到x 2＝502呢?为什么? 学生活动：学生讨论并交流，解完这个方程，检验这个数值是否为原方程的解。

3．引入一元一次方程的标准形式的概念．⑴教师指出：在上例中，通过移项、化简后，方程变成了形如ax ＝b(a 、b 为已知数，且a ≠0)的方程，这样的方程叫作一元一次方程的标准形式。

⑵形如ax ＝b 的方程的解法就是利用等式性质2，方程两边都乘以未知数的系数的倒数，就得到它的解是x ＝b a(a ≠0)． （3）解形如ax ＝b 的方程的实质是将未知数X 的系数归一（化成一）。

二、合作交流，解读探究(出示投影2)1、 解方程：（1） 11x －2＝8x －8（2）、14x ＝－12x ＋3 学生活动：学生独立完成此题．说明：⑴应用移项法则解一元一次方程时，往往把含有未知数的项移到等号左边，不含未知数的项(常数项)移到等号右边．⑵第二个题可以用不同方法解．如：先移项或先方程两边同乘以4，再移项．只要学生的解法合理，都予以肯定．⑶请两名学生口头对两个方程的解进行检验．2、解方程 （1）6X+5=9X-10 (2) 学生活动：（1）讨论：如何将-2X=-8的未知数X 的系数归一。

《黑鹳——等式的性质（二）解形如ax=b这类方程》教学设计【教学内容】《义务教育教科书•数学》（青岛版）六年制五年级上册第四单元信息窗3. 【教学目标】1.初步理解等式的性质，学会用等式的性质解ax=b这类形式的方程，能用方程表示简单情境中的等量关系。

2.通过分类、比较、转化等方法，学会解形如ax=b这类方程。

3.在教学活动中，培养学生学会检验的良好学习习惯。

【教学重点】会解ax=b这类形式的方程【教学难点】会解ax=b这类形式的方程【教学准备】多媒体课件、练习本、演草本等。

【教学过程】一、创设情境，提出问题。

上节课，我们一起了解珍稀动物黔金丝猴的有关信息，这节课老师还想给你们介绍一种美丽的世界濒危动物——黑鹳。

观察教材黑鹳的情境图。

看到这组信息，你能提出什么问题？学生提出：我国现存黑鹳多少只？（板书）二、探索尝试，解释交流。

三、 1.解决：我国现存黑鹳多少只？提问：你能找到题目中的等量关系，并列方程吗？汇报解方程的过程并说明想法。

学生独立尝试。

学生交流。

我国现存黑鹳的只数×3=1500解：设我国现存X只黑鹳。

3X=1500引导验证：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

（1）动态演示初步感知①借助天平来研究提问：要使天平保持平衡，天平右边托盘应该有什么变化？能用方程来表示等量关系吗？学生思考回答。

学生尝试得出：X=2 →x×4=2×4 ②再次出示：要求：观察天平的变化，看图列出方程. 提问：通过刚才的演示，你有什么发现？学生尝试交流：3x=30 →3x÷3=30÷3 学生交流。

(2)小组交流揭示性质等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

总结方法：（1）现在你能用等式的性质来解3X=1500 这个方程吗？(2)为什么方程两边同时除以3？(3)检验。

【设计意图：通过天平的演示过程，引导学生由天平保持平衡的变换规律，类推出方程保持相等关系的变换方法。

市北资优六年级分册第07章7.9形如ax=b的方程及其解法+郑宇7.9 形如ax =b 的方程及其解法我们知道一元一次方程可表示为()0ax b a =≠形式其中x 表示未知数，a 和b 是用字母表示的已知数.对未知数x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项.如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做字母系数的一元一次方程.本章如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a ，b ，c 等表示未知数，用x ，y ，z 等表示未知数.含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解一元一次方程的步骤，最后转化为()0ax b a =≠的形式.这里注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(2)3m x -=，必须当20m -≠时，即2m ≠时，才有32x m =-.这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别. 例1 解关于x 的方程132m x x -=+（）.解原方程整理得()32m x m -=+当30m -≠时，即3m ≠时，则原方程的解为23m x m +=-. 当30m -=时，即3m =时，原方程化为05x =，则原方程无解.例2 解关于x 的方程23ax b x -=-.解原方程整理得()23a x b -=-.当20a -≠，即2a ≠时，则原方程的解为32b x a -=-；当20a -=，30b -≠，即23a b =≠，时，原方程化为00x ≠，则原方程无解；当20a -=，30b -=，即23a b ==，时，原方程化为00x =，则原方程有无数解.归纳：形如ax =b 的方程的解一般有下列三种情况：（1）当0a ≠，原方程有唯一的解b x a=；（2）当00a b =≠，，原方程无解；（3）当00a b ==，，原方程有无数解. 例3 已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+无解，求a ，b 的取值范围.解原方程整理得()3532a x b a -=+.因为原方程无解，所以350a -=，320b a +≠，即510,39a b =≠-.练习7.91.填空.（1）关于x 的方程53ax x =-无解，则a = ；（2）关于x 的方程2354mx x n -=-有无数解，则m = ，n = ；（3）已知关于x 的方程3243a x x x --= ??和3151128x a x +--=有相同的解，那么这个解是 . 2.解关于x 的方程.（1）35x b ax +=+；（2）()()235231326kx x +++=.3.如果a 、b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值时，它的根总是1，求a 、b 的值.练习7.9答案1.（1）5；（2）5324，；（3）2728x =. 2.（1）当35a b ==，时，解为一切数；当35a b =≠，时，无解；当3a ≠时，53b x a -=-；（2）当52k =时，解为一切数；当52k ≠时，0x =. 3.13,42a b ==-. 提示：把方程看作是关于k 的方程，则这个关于k 的方程的解为一切数.7.9 《形如ax =b 的方程及其解法》练习练习7.91.若关于x 的方程()112326x x a x +=--有无数解，则a = . 2.已知y =1是方程()1223m y y --=的解，那么关于x 的方程()()3225m x m x --=-的解是 . 3.若a b c x b c c a a b===+++，则x 的值为 . 4. 解关于x 的方程()()31434a x a x +-=.5. 解关于x 的方程()()()()11210m m x m m +-+--=.6.下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，相同的字母表示的数字相同.已知任何相邻三个数字的和都是20，求X 的值.7.关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，求满足条件的所有整数k .7.9 形如ax =b 的方程及其解法练习7.9答案1. 22. x =03. 1-或12. 提示：()()(),,a b c x b c a x c a b x =+=+=+，三式相加得，()()2a b c a b c x ++=++，因此0a b c ++=或12x =.由0a b c ++=可得1x =-. 4.49a =-时，原方程无解；49a ≠-时，1294a x a =-+. 5. 当m =1时，原方程有无数解，解为一切数; 当m =-1时，原方程无解；当1m ≠±时，21m x m -=+. 6. 5 提示：由题意，得5=C =F =H ，则E =5，X =E =5.7. 8、10、-8、26. 提示：原方程化为()917k x -=.①90k -=，即9k =时，原方程无解；②90k -≠，即9117k -=±±，时，原方程有整数解，解得k =8、10、-8、26.。

六年级下册方程解法方程是数学中非常重要的工具，对于六年级的同学来说，掌握方程的解法是数学学习的一个重要环节。

在六年级下册，我们主要学习一元一次方程的解法。

一元一次方程的形式通常是：ax ＋ b ＝ c ，其中 a、b、c 是常数，x 是未知数。

解一元一次方程的步骤主要有以下几步：第一步，去括号。

如果方程中存在括号，我们要先使用乘法分配律把括号去掉。

例如：2(x ＋ 3) ＝ 10 ，我们就先用 2 分别乘以 x 和 3 ，得到 2x ＋ 6 ＝ 10 。

第二步，移项。

把含有未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边。

记住，移项要变号。

比如：2x ＋ 6 ＝ 10 ，我们把 6 移到等号右边变成－6 ，得到 2x ＝ 10 6 ，即 2x ＝ 4 。

第三步，合并同类项。

将等号两边相同类型的项进行合并。

像上面的例子 2x ＝ 4 ，这一步就不需要操作了。

但如果方程是 3x ＋ 2x ＝15 ，就先合并同类项得到 5x ＝ 15 。

第四步，系数化为 1 。

通过等式两边同时除以未知数的系数，求出未知数的值。

比如 2x ＝ 4 ，两边同时除以 2 ，得到 x ＝ 2 。

为了更好地掌握方程的解法，我们来通过一些具体的例子练习一下。

例 1：4x ＋ 7 ＝ 23首先，我们进行移项，把 7 移到等号右边变成－7 ，得到 4x ＝ 23 7 ，即 4x ＝ 16 。

然后，系数化为 1 ，两边同时除以 4 ，得到 x ＝ 4 。

例 2：3(x 2) ＝ 15第一步，先去括号，得到 3x 6 ＝ 15 。

接着，移项，把－6 移到等号右边变成 6 ，得到 3x ＝ 15 ＋ 6 ，即3x ＝ 21 。

最后，系数化为 1 ，两边同时除以 3 ，得到 x ＝ 7 。

在解方程的过程中，同学们要特别注意以下几点：一是移项一定要变号，这是很多同学容易出错的地方。

二是计算要认真，尤其是在合并同类项和系数化为 1 的时候。

三是做完方程后，可以把求得的解代入原方程进行检验，看看等号两边是否相等，如果相等，说明我们解对了；如果不相等，就要重新检查解题过程。

7.10含字母系数的一次方程组及其解法二元一次方程组中出现字母系数（包括字母常数）是我们经常碰到的问题，它比单纯解方程组要求高一些.解决此类问题首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，运用转化的数学思想，巧妙第列出相应的方程或方程组来求解.例1 若32x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程组11235mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解，求m ，n 的值. 分析：根据方程组的定义，可把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程组中，这样可以得到关于m ，n 的 二元一次方程组，解之即可.解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程组中,得31925m n m n -=⎧⎨-=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩. 例2已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a ，b 的值.分析：两个方程组有相同的解，也就是有一组x ，y 的值是苏哥方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解.所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解.解：由已知可得5325x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，把12x y =⎧⎨=-⎩代入另外两个方程组成的方程组5451ax y x by +=⎧⎨+=⎩，得104521a b -=⎧⎨-=⎩解得142a b =⎧⎨=⎩. 例3关于x ，y 的方程组343232x y mx y +=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 的和等于1，求m 的值.分析：方程组的也必然是方程343x y +=的解，也是方程1x y +=的解，把它们组合的方程组1343x y x y +=⎧⎨+=⎩，这个方程组一定也是方程232mx y +=的解，代入这个方程即可求得m 的值.解： 由1343x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩，代入232mx y +=，得m =1.例4 小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩，由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩，求a +b +c 的值.分析：尽管看错了C ,但是32x y =⎧⎨=-⎩和22x y =-⎧⎨=⎩都适合方程组中的第一个方程.将它们代入第一个方程得到关于a ，b 的二元一次方程组，可解出a ，b 的值，再由原方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩，可求出c 的值.解： 因为32x y =⎧⎨=-⎩是方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩的解，所以3223148a b c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②，由方程②，得c =-2，设小刚把c 看成n ，则22x y =-⎧⎨=⎩满足2378ax by n y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩③④，由③可得222a b -+=⑤由方程①⑤组成方程组322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩，所以45(2)7a b c ++=++-=.练习7.10（1）1.方程组42112x y kx y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中的x 与y 相等，求k 的值.2.已知关于x ，y 的方程组37ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，求a b +的值.3.已知关于x ，y 的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m .4.小明和小言同时解方程组161ax by bx ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②,小明把方程①抄错了，求得的解为13x y =-⎧⎨=⎩，小言把方程②抄错了，求得的解为32x y =⎧⎨=⎩，求原方程组的解.例5 k 为何值时方程组22342kx y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①②无解？分析： 将方程组消元，使之化为ax b =的形式，然后讨论一次项系数a .当0a ≠时有唯一的解bx a=；当0,0a b ==时方程有无数个解；当0,0a b =≠时，无解.反之也成立.解： 2⨯+①②，得()236k x +=③，由原方程组无解，则方程③也无解.所以230k +=，解得 1.5k =-，当 1.5k =-时方程组无解.例6 当a ，b 为何值时关于x ，y 方程组2336ax y x by +=⎧⎨+=⎩有唯一解？无数解？无解？分析： 对于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩中111222,,,,,a b c a b c 均为已知数，且1a 和1b ，2a 和2b 都至少有一个不等于0，则⑴当1122a ba b ≠时，方程组有唯一解；⑵当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多解； ⑶当111222a b c a b c =≠时，方程组有无解； 解：⑴当23ab≠，即6ab ≠时，方程组有唯一解；⑵当2336a b ==，即3,42a b ==，方程组有无穷多解； ⑶当2336a b =≠，即6ab =且32a ≠，4b ≠时,方程组有无解. 例7 要使得方程组21620x ay x y +=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a 的值.分析：首先解方程组（用含a 的式子表示x ，y 的取值），再确定a 的取值.解：解方程组21620x ay x y +=⎧⎨-=⎩，得324164x a y a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为321624+4a a =⨯+依题意可知4a +只能为1,2,4,8,16，故整数a 的值为-3，-2,0,4,12.练习7.10（2）1.如果关于x ，y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩，无解，求a 的值.2.在一元二次方程组2310630x y x my ++=⎧⎨++=⎩中，当m 为何值时，这个方程有无数组解？3.已知m 为整数，且方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有正整数解，求m 的值.4.当a 满足30na +≠的任意实数时,代数式23ma na -+的值都是一个常数，其中6m n -=，求m ，n 的值. 练习7.10（1）答案1. 0k =3. 1m =4.97267x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩练习7.10（2）答案1. 6a =-2.2m =3.4m =± 提示：解出x ，y 利用整数的整除性质解题.4.125185m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩7.10 含字母系数的一次方程组及其解法练习7.10（1）1.若23xy=⎧⎨=⎩是方程的一个解，那么m= .2.关于x、y的方程组3522718x y ax y a-=⎧⎨+=-⎩的解x、y互为相反数，则a= .3.若2a b-=，12a c-=，则()()3934b c b c---+= .4.若方程组326322x yx y+=⎧⎨-=⎩的解，也是方程420x y a++=的解，则a的值为 .5.若关于x、y的方程组23213243x y kx y k+=+⎧⎨-=+⎩的解满足6x y+=，则k= .6.若关于x、y的方程组2323ax byx y-=⎧⎨-=-⎩和3424y xax by-=⎧⎨+=-⎩有相同的解，求a、b的值.7.甲乙两人同时求7mx ny-=的整数解，甲求出一组解为34xy=⎧⎨=⎩，而乙把7mx ny-=的7错看成1，求出一组解为12xy=⎧⎨=⎩，求m、n的值.8.已知25415x y z++=、7314x y z++=求42x y z++的值. 练习7.10（1）答案1.32- 2. 8 3.2784.196- 5. -56.12ab=⎧⎨=-⎩提示：相同的解即为方程组3423y xx y-=⎧⎨-=-⎩的解11xy=-⎧⎨=⎩，再代入2324ax byax by-=⎧⎨+=-⎩解得12ab=⎧⎨=-⎩.7.52mn=⎧⎨=⎩提示：由已知得34721m nm n-=⎧⎨-=⎩解得52mn=⎧⎨=⎩.8. 9提示：由254157314x y zx y z++=⎧⎨++=⎩，消y得53z x=-再代入得21y x=-，代入424212(53)9 x y z x x x++=+-+-=练习7.10（2）1.若关于x ，y 的方程组362mx y x y n +=⎧⎨-=⎩有无数解，则m= ，n= .2.已知234a b c +-=，5678a b b -+=，925a b c +-= .3.已知a ，b ，c 是非负数，且325a b c ++=，2a b c +-=，2S a b c =+-，那么S 的最大值和最小值的和等于 .4.若关于x ，y 的方程组()214y kx my k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩有无数组解，则k= ，m= .5.解关于是x 、y 的方程组13631ax y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩6.已知关于x 、y 的二元一次方程()()12520m x m y m -+-+-=，当m 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解.7.关于x 、y 的方程组5311x y a x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②的解是正整数，求整数a 的值.8.k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组()312y kx by k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩有唯一解？无解？有无数解？练习7.10（2）答案1. -6，-2 .2. 24.3. 5.4. 1,4 .5. 当a=-2时，原方程有无数组解。

7.6 二元一次方程组及其解法问题有两只水桶，甲的容量是400升，乙的容量是150升，如果从甲桶放出的水是乙桶放出的两倍，那么甲桶所剩下的水是乙桶所剩下的水的4倍，则甲桶放水 升，乙桶放水 升． 可设乙桶放出的水为x 升，甲桶放出的水为y 升，则2y x =， 4004(150)y x -=-，这里x 和y 的值必须同时满足这两个方程． 把这两个方程合在一起，写成24004(150)y x y x =⎧⎨-=-⎩，． 这就成为了一个二元一次方程组．由几个方程组成的一组方程叫做方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．以上问题中的x 和y 的值必须同时满足两个方程．在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．例1 方程组①2,6;x y =⎧⎨=⎩②4,1;x y x z +=⎧⎨-=⎩③2,4,231;x y x y x y -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩④3,14x y xy -=⎧⎨+=⎩中，哪些是二元一次方程组？解 ①、③是二元一次方程组．例2 判断下列两组数值是否是方程组34,213y x x y -=⎧⎨=-⎩的解：（1）3,5;x y =-⎧⎨=-⎩（2）1,1.x y =-⎧⎨=⎩解 （1）把3,5x y =-⎧⎨=-⎩分别代入方程组的两个方程，3,5x y =-⎧⎨=-⎩满足34y x -=，而不满足213x y =-；（2）把1,1x y =-⎧⎨=⎩分别代入方程组，1,1x y =-⎧⎨=⎩满足两个方程．所以1,1x y =-⎧⎨=⎩是34,213y x x y -=⎧⎨=-⎩的解．思考方程组2,4004(150)y x y x =⎧⎨-=-⎩ 的解是什么呢？如何求它的解呢？为了获得方程组的解，我们必须要求出同时满足两个方程的x 与y 的值．由方程①可知，y 必须等于x 的两倍，因此方程②的y 可以用2x 来代替．从而方程②化为关于x 的方程．由此，方程②化为40024(150)x x -=-，解得100x =，再代入方程①得到200y =．所以，原方程组的解为100,200.x y =⎧⎨=⎩因此，甲桶放水200升，乙桶放水100升．例3 解方程组：10317,8516.x y x y +=⎧⎨-=-⎩解 由①得，17103xy -=，③ 把③代入②得，85508163xx --=-，解得，12x =，把12x =代入③得，4y =．所以，原方程组的解为1,24.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．练习7.6（1）1．在方程组15,12;y xy x⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩3,2;xy x =⎧⎨=⎩ 2,1;x y =⎧⎨=⎩ 230,21;x y y x +-=⎧⎨-=-⎩ 24,1x x y x ⎧+=⎨-=-⎩中属于二元一次方程组的有 个．2．方程组37,324x y x y +=⎧⎨-=⎩的解 是方程324x y -=的解；反之，方程324x y -=的解 是方程组37,324x y x y +=⎧⎨-=⎩的解（填“一定”、“一定不”或“不一定”）． ①②①②3．已知2,5x y =⎧⎨=⎩是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．4．解方程组：（1）2311,543;x y x y -=⎧⎨-=-⎩（2）1,2221;3y x y y x -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩（3）131,11164;11x y x y ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩（4）355,4235 3.46x y x y --⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩练习7.6（1）答案1．2． 2．一定；不一定． 3．7,3.x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 4．（1）5,7;x y =⎧⎨=⎩（2）1,1;x y =⎧⎨=⎩（3）1,21;11x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（4）11,11.x y =⎧⎨=⎩ 问题如何解方程组5619,577x y x y +=-⎧⎨-=⎩？观察方程组的两个方程的x 的系数，你能发现什么新的消元方法吗？这两个方程中的x 的系数相同，可以把这两个方程相减，从而消去x ，得到关于y 的一元一次方程．通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．①②例4 解方程组2316,412 4.x y x y +=⎧⎨-=-⎩解 ①2⨯，得，4632x y +=．③③ − ②，得(46)(412)32(4)x y x y +--=--， 解得，2y =． 把2y =代入①，得，22316x +⨯=．解得，5x =．所以原方程组的解为5,2.x y =⎧⎨=⎩例5 解方程组231763,172357.x y x y +=⎧⎨+=⎩解 ① + ②，得，4040120x y +=． 即3x y +=，③① − ②，得，666x y -=， 即1x y -=，④ ③ + ④，得，24x =， 2x =． ③ − ④，得，22y =，1y =．所以，原方程组的解为2,1.x y =⎧⎨=⎩练习7.6（2） 1．解方程组：（1）231,567;x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）633,594;x y x y -=-⎧⎨-=⎩（3）742,3624.x y x y +=⎧⎨-=⎩2．解方程组：（1）647150,566930;x y x y -=⎧⎨-=⎩（2）2()1,52()5;x y x x y x +-=⎧⎨+-=⎩ （3）6,232() 4.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+-+=-⎩①② ①②3．解方程组：（1）1,344321;2a b b aba+-⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩（2）2(1)31,1.23x yx y x y-=-⎧⎪-+⎨-=-⎪⎩练习7.6（2）答案1．（1）1,1;3xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）1,1;xy=-⎧⎨=-⎩（3）2,3.xy=⎧⎨=-⎩2．（1）3,2;xy=⎧⎨=⎩（2）3,2;xy=⎧⎨=-⎩（3）8,4.xy=⎧⎨=-⎩3．（1）5,3114;31ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）23,713.7xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。