20-第20讲不定积分及其计算(1)

不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。

在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。

一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。

设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。

则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。

不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。

这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。

二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。

2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。

这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。

3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。

例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。

三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。

例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。

2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。

分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。

3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。

代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。

§2 不定积分的计算 （1）(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． (二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握换元积分法和分步积分法. (三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．————————————————————————不定积分的计算一般由三种方法： 1） 凑公式法 2） 部积分法 2） 第二变量替换法一 第一类换元法 ——凑公式法,2cos 2sin10)2(sin 2sin 52sin 2sin52sin4445xdx x dxx x xxd x d ='==⇒ ⎰⎰'=dx x x xdx x )2(sin 2sin52cos 2sin1044⎰=x xd 2sin 2sin 54xu 2sin ======⎰+=+=.2sin 5554c x c u du u 引出凑公式法:Th 若⎰+=,)()(c x F dx x f )(x φ 连续可导, 则⎰+='.)]([)()]([c t F dt t t f φφφ该定理可叙述为： 若函数)(t g 能分解为 )()]([)(t t f t g φφ'= 则有⎰⎰⎰='=)()]([)()]([)(t d t f dt t t f dtt g φφφφ)(t x φ===== ⎰+=+=c t F c x F dx x f )]([)()(φ.凑公式法： 表面看⎰dx x f )(不符合基本积分公式，但作变换，令 ,)(u x =ϕ后⎰⎰=du u g x f )()(，而 ⎰duu g )( 符合基本积分公式例1 ⎰dx x x 2sin 但作变换，令 u x =2 后C x udu dx x x +-==⎰⎰cos 21sin 21sin 2例2 ⎰+22xa dx 不符合基本积分公式，稍微变换一下⎰+22xa dx ＝⎰+])/(1[22a x a dx 令a x u /=⎰⎰=+=+ax arctga udua a x a dx111])/(1[222例3 ⎰xdx sec 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整)(sin )sin 11sin 11(21sin1)(sin coscos 22x d xxxx d dx xx-++=-=⎰⎰⎰令 u x =sin 后 化成C xx C uu du u u+-+=+-+=--+⎰|sin 1sin 1|ln 21|11|ln 21)1111(21凑公式法的关键是设法把 dx x f )( 凑成 )())((x d x g ϕϕ 的形式，使du u g )(⎰ 符合基本积分公式。

不定积分计算方法在微积分中，不定积分是确定函数的原函数的过程。

计算不定积分的方法有很多种，本文将介绍不定积分的基本方法，包括换元法、分部积分法、三角函数的不定积分、分式的不定积分、有理函数的不定积分等。

1.换元法：换元法是计算不定积分最常用的方法之一、其基本思想是通过变量的代换将原函数转化成一个更容易积分的形式。

具体步骤如下：(1)选择一个适当的替换变量，使得在新的变量下，被积函数的形式变得更简单。

常用的替换变量有三角函数、指数函数、分式等。

(2)计算出变量的微分，即被积函数的微分形式。

如果被积函数是一个复合函数的形式，则应使用链式法则计算微分。

(3)将变量的微分代入被积函数中，得到新的被积函数。

(4)对新的被积函数进行积分计算，得到最终的结果。

(5)将变量的原函数代回原来的变量，得到最终的原函数。

2.分部积分法：分部积分法是一种通过对乘积函数进行积分的方法，可以将一个积分转化成另一个积分。

具体步骤如下：(1)选择一个适当的函数进行分解，使得被积函数可以表示为两个函数的乘积。

(2)对乘积函数应用分部积分法，得到一个新的积分表达式。

(3)在新的积分表达式中，选择一个适当的函数进行分解，并再次应用分部积分法。

(4)反复应用分部积分法，直到得到一个可以直接计算的积分表达式。

(5)对得到的积分表达式进行计算，得到最终的结果。

3.三角函数的不定积分：(1)三角函数的基本积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C(2)三角函数的积分公式：∫sin^n(x)cos^m(x)dx =(-1)^(m/2) * n! * (m/2)! / (n+m+1)! * sin^(n+1)(x) *cos^(m+1)(x) + C∫tan^n(x)sec^m(x)dx =(m-1)/(m) * ∫tan^(n-2)(x)sec^(m-2)(x)dx - ∫tan^n(x)sec^(m-2)(x)dx这些公式可以用来计算包含三角函数的不定积分，通过逐步应用公式，最终得到结果。

不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1不定积分的概念原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.原函数的个数: 若是在区间 上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间 上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。

记作⎰dx x f )(一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰xa dt t f )(是的一个原函数。

1.2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：C x x x dx x x dx x x dx x x ++-=++-=++-=++⎰⎰⎰arctan 23)121(121113222424。

例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx xx x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222 例3：222222(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。

例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =∙=⎰⎰⎰C x +=2sin 21 例4：()()()23222arctan 111dx d x d x x Cx x x x===++++⎰⎰⎰例5：2222111111111dx d dx x xx x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭++⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰22111211d x x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12221112112C Cx x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅++=-++⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t tx d x x dx x x xx t 21arctan 21arctan 2)1(arctan⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t ax t b ax nn -==+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或;被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =;被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰解：令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而22a x dx -⎰=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知22sin cos xa x t t a a -==所以22a x dx -⎰=2222arcsin 22a x a x a x C a a a -+⋅+=222arcsin 22a x x a x C a +-+例8:计算()220dx a x a>-⎰解“令sec ,0sec 22x a t t t x a t πππ=<<<<=当或时，存在反函数arcsinxt a =。

不定积分的定义和计算不定积分是微积分的一个重要概念，用于求解函数的原函数。

在数学中，函数的导数被定义为函数变化率的极限，而不定积分则是导数的逆运算。

一、不定积分的定义不定积分可以理解为函数的原函数，也被称为反导函数。

给定一个函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。

不定积分表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

二、不定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是一种基于函数导数与积分之间的关系来计算不定积分的方法。

根据常见函数的导数公式可以得到对应的不定积分公式，具体如下：（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数；（2）幂函数：∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n + 1)) + C，其中n不等于-1；（3）指数函数：∫eˣdx = eˣ + C；（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec²xdx = tanx + C；（5）对数函数：∫(1/x)dx = ln|x| + C。

2. 分部积分法分部积分法是利用乘积的求导公式来计算不定积分的方法。

公式表达为∫u'vdx = uv - ∫uv'dx，其中u和v分别表示函数u(x)和v(x)，而u'和v'表示它们的导数。

通过选择合适的u和v，可以将原函数的积分转化为其他容易计算的形式。

3. 代换法代换法是利用变量代换的方式来计算不定积分的方法。

通过选择适当的变量代换，可以将原来的积分转化为更简单的形式。

常见的代换方法包括三角代换、指数代换和倒数代换等。

4. 部分分式分解法当需要求解一个复杂的有理函数的不定积分时，可以使用部分分式分解法。

这个方法将有理函数表示为简单的分式之和，然后逐个求解每个分式的不定积分。

5. 其他方法除了上述方法外，还有一些特定函数的不定积分可以采用特殊的方法求解，例如三角函数、双曲函数、反三角函数等。

不定积分的定义和计算方法不定积分，也称为原函数或者积分函数，是微积分中的重要概念之一。

它与定积分相对应，是求解函数的面积或者曲线长度的逆运算。

本文将介绍不定积分的定义和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握该概念。

一、不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。

给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx =F(x) + C，其中C为任意常数。

不定积分的定义说明了不定积分与原函数之间的关系。

通过求某个函数的不定积分，我们能够得到该函数的原函数。

需要注意的是，不定积分有无穷多个解，因为对于一个函数而言，其原函数可以加上任意常数C而不改变。

二、常见的计算方法在求解不定积分时，我们需要掌握一些常见的计算方法。

下面将介绍一些常见的计算方法及其示例。

1. 基本积分法则基本积分法则是利用基本函数的导数公式反推不定积分。

以下是一些常见的基本积分法则及其示例：（1）常数函数积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数。

（2）幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。

（3）指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C。

（4）三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。

2. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数不定积分的方法，它基于乘积公式（即(uv)' = u'v + uv'）。

以下是分部积分法的公式及其示例：∫u dv = uv - ∫v du示例：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C3. 代换法代换法，也称为换元积分法，是通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。

以下是代换法的公式及其示例：∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du示例：∫x*sin(x^2) dx，令u = x^2，那么du = 2x dx，原积分变为∫sin(u) (1/2)du = (-1/2)cos(u) + C = (-1/2)cos(x^2) + C除了基本积分法则、分部积分法和代换法，还有一些特殊的计算方法，如三角函数公式、倒数公式、欧拉公式等。