福建宁德柘荣一中2015届高三上学期第三次月考数学理试题(Word版含答案)one

2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{2,3,4,5}A =，{|3}B x x =>，则满足m A ∈且m B ∉的实数m 所组成的集合为 A ．{2}B ．{3}C ．{4,5}D ．{2,3}2．命题“若1x =-，则220x x --=”的逆否命题是A ．若1x ≠-，则220x x --≠B ．若220x x --≠，则1x ≠-C ．若1x =-，则220x x --≠D ．若220x x --≠，则1x =-3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：根据表中的数据及随机变量的公式，算得8.12≈．根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A ．97.5%B ．99%C ．99.5％D ．99.9%4．某公司将4名新招聘的员工分配至3个不同 的部门，每个部门至少分配一名员工．其中 甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分 配方法的总数为A ．6B ．12 Ｃ．24 D ．5(,)x y 所对应的点都在函数A ．1y x =-的图象上B ．1y =的图象上C ．121x y -=-的图象上D ．2log y x =的图象上6．若变量,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于 A ．8 B ．7 C ．6 D ．57．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．53πB ．43πC ．πD ．3π8．已知函数2())cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 9．已知O 为坐标原点，向量(1,0)OA = ，(1,2)OB =-．若平面区域D 由所有满足俯视图侧视图正视图OC OA OB λμ=+（22λ-≤≤，11μ-≤≤）的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是 A ．1y x=B ．cos y x x =+C ．5ln5xy x-=+ D ．e e 1x x y -=+- 10．斜率为(0)k k ≠的两条直线分别切函数32()(1)1f x x t x =+--的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为21y x =-，则t k +的值为 A ．8B ．7C ．6D ．5第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．已知复数i(1i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的模z =_______． 12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n ＝________．13．如图，直线(0)y kx k =>与函数2y x =的图象交于点O ，P ，过P 作PA x ⊥轴于A ．在OAP ∆中任取一点，则该点落在阴 影部分的概率为________．14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为,,a b c ，且,,2ba c 成等差数列．若其对角线b 的最大值为________．15．如图，011A B A ∆，122A B A ∆，L ，1n n n A B A -∆均为等腰直角三角形，其直角顶点1B ，2B ，L ，n B *()n ∈N 在曲线1(0)y x x =>上，0A 与坐标原点O 重合，i A *()i ∈N 在x 轴正半轴上．设n B 的纵坐标为n y ，则12n y y y +++=L ________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、 健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出n 条鱼称其 重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频 率分布表．（Ⅰ）求频率分布表中的n ，x ，y 的值；（Ⅱ）从捞出的重量不超过100克的鱼中，随机抽取3条 作病理检测，记这3条鱼中，重量不超过90克的鱼的条 数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足：123a =，且11112()33n n n a a ++=+⨯．（Ⅰ）求证：数列{}3n n a ⋅是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．(本小题满分13分)如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠= ，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图（2））．（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得//PQ 平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当23EP ED =时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．图（1）图（2）ABE CDA DCEPQP•19．（本小题满分13分）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处，通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车 辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商 场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元． （Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．20． (本小题满分14分)已知函数2()2ln ()f x ax x x a =+-∈R ．（Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x '在(0,1)有唯一的零点0x ，求a 的取值范围；（Ⅲ）若1(,0)2a ∈-，设2()(1)21ln(1)g x a x x x =-----，求证：()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，且对（Ⅱ）中的0x ，满足011x x +>．21．(本小题满分14分) 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分）已知二阶矩阵A 有特征值11λ=，22λ=，其对应的一个特征向量分别为111⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，210⎛⎫= ⎪⎝⎭e ．（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求圆22:1C x y +=在矩阵A 所对应的线性变换作用下得到曲线C '的方程．（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）已知倾斜角为6π，过点(1,1)P 的直线l 与曲线C ：2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩(α是参数)相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值．（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）在空间直角坐标系O xyz -中，坐标原点为O ，P 点坐标为(,,)x y z ．（Ⅰ）若点P 在x 轴上，且坐标满足253x -≤，求点P 到原点O 的距离的最小值；B CD l（Ⅱ）若点P 到坐标原点O的距离为，求x y z ++的最大值．2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11. 12. 90 13. 1314. 215.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解：（Ⅰ）依题意，30.03n=， ………………………………………1分∴100n =． ………………………………………………2分 ∴1000.1010x =⨯=， …………………………………………3分200.20100y ==． ……………………………………………4分（Ⅱ）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， …………5分3731035(0)120C P C ξ===， 123731063(1)120C C P C ξ===，213731021(2)120C C P C ξ=== ， 333101(3)120C P C ξ===， …………9分（说明：以上4个式子，每个1分）故ξ的分布列为所以ξ的数学期望63211()0123120120120E =+⨯+⨯+⨯ξ…………12分． 910=. …………………………………13分 17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）令3n n n b a =⋅，………………………………………………1分则11133n n n n n n b b a a +++-=⋅-⋅ …………………………………………2分11113(2())333n n n n n a a ++=+⨯-⋅ ……… ………………………3分3232n n n n a a =⋅+-⋅= ………………………………………4分∴数列{}n b 为公差为2的等差数列.即数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}n b 为公差为2的等差数列， 1132b a =⋅=，∴1(1)22n b b n n =+-⋅= ……………………………………………6分 ∴23n nna =． …………………………………………………………7分 ∴2324623333n n nS =++++ ，……………① …………………8分 ∴23411246233333n n nS +=++++ ，……………②……………………9分 ①-②得231222222333333n n n nS +=++++- ， ……………………10分∴2111113333n n n nS -=++++-11(1)31313n nn ⨯-=-- ……………………………………12分332233n nn=--⨯ 323223n n +=-⨯． ………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）∵11112()33n n n a a ++=+⨯，ADCBE PMQ∴11332n n n n a a ++⋅=⋅+，……………………………………3分 ∴11332n n n n a a ++⋅-⋅=， …………………………………4分 ∴数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列，∴133(1)22n n a a n n ⋅=+-⨯=，∴23n nna =．……………………7分 以下同法一18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. 解：（Ⅰ）存在．当P 为DE 的中点时，满足//PQ 平面AEB ．………1分 取AB 的中点M ，连结EM ，QM ．由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且12MQ BC =，……2分又//PE BC ，且12PE BC =，所以//PE MQ ，=PE MQ ，所以四边形PEMQ 为平行四边形，……………………3分 故//ME PQ ．……………………………………………4分 又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以//PQ 平面AEB ． ………………………………5分从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3=2PD ．……………… 6分（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE ，且AE BE ⊥，所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥以E 为原点，分别以,,EB ED EA为x 轴、y 轴、z 直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ，(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，(0,2,0)P (3,3,0)C ．…………………………………………………………8分(3,1,0)PC = ，(0,2,3)PA =-．…………………………………9分平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ， ……………………10分 设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n ，由220,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得30,230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩ ………………………………………11分 取3y =，得2(1,3,2)=-n ， ……………………………………………12分所以12cos,==n n即面AEB和平面APC13分19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）依题意，在Rt ABC∆中，22220AB=，∴AB=1分又∵在ABD∆中，224ABDππ-π∠==,ADBα∠=，由sinsin4AD AB=πα，得10sinADα=………………………………2分由sinsin[()]4BD AB=ππ-+αα，得)4sinBDααπ+=，…………3分∴)420sinCDααπ+=-．…………………………………4分∴100252254S AD BD CD=⨯+⨯⨯+⨯⨯………………………5分))104410050[20]100sin sin sinαααααππ++=⨯+⨯+-⨯1000)42000sinααπ-+=+………………………6分其中α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）1000)42000sinSπ-+=+αα2cos1500500sin-=+⨯αα，…………………………8分令2cos()sinfααα-=，∴22sin sin cos(2cos)12cos()sin sinfαααααααα⋅---'==，……………9分由()0fα'=得：1cos2α=，又∵3,44αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3απ=． …………………………………………………………10分 当,43αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'<，当3,34αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'>， …………………………………11分∴min 12()()3f f α-π=== …………………………………12分 ∴min 1500S =+（元）， ∴当3απ=时，运输费用S 的最小值为(1500+元．……………13分 20. 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解法一：（Ⅰ）当4a =时，2()42ln f x x x x =+-，(0,)x ∈+∞， 21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．…………………1分 由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，…………………3分()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值．………………………………4分（Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，得22210ax x +-=，设2()221h x ax x =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意；…………………………5分 当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增， 且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；……………………6分当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-，只需(1)210h a =+>，得102a -<<．……………7分 综上，12a >-．…………………8分 （说明：0∆=未讨论扣1分）（Ⅲ）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t =-=+--，…………………9分 21221()22at t p t at t t+-'=+-=， 由1(,0)2a ∈-，故由（Ⅱ）可知， 方程22210at t +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．…………………11分又(1)=10p a -<，所以0()0p x <．…………………12分取32e (0,1)a t -+=∈，则326432326432(e )=e 2e 3ln e e 2e 332a a a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>，从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点1t ，且100t x <<，即1001x x <-<，得1(0,1)x ∈，且011x x +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011x x +>．……14分解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，由22210ax x +-=，得2112a x x =-．………5分 设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a m m m =-=--，………6分 问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题． 又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，………7分故直线y a =与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-．……8分 （Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用0t →时，()p t →+∞进行证明，扣1分）21. （1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,依题意，得111222,,A A λλ=⎧⎨=⎩e e e e …………………1分 ∴1,1,02,00.a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ………………………………2分 解得2,1,0,1.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………3分 ∴2101A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………………4分 （Ⅱ）设圆C 上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''',∴2,.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ …………………5分 解得,2.x y x y y ''+⎧=⎪⎨⎪'=⎩…………………6分 又∵221x y += , ∴2212x y y ''+⎛⎫'+= ⎪⎝⎭, ∴曲线C ′的方程为22254x xy y ++=.…………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分．（Ⅰ）依题意，得直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，，（t 为参数）………1分即111.2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）…①…………………………………………2分∵曲线C 的参数方程为2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩，∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=.………②………………4分（Ⅱ）把①代入②得2211(1)42t ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴21)20t t +-=，………………5分∴21)80∆=+>，122t t =-，…………………6分∴12||||||2PA PB t t ⋅==.………………………………7分（3）本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分解：（Ⅰ）由点P 在x 轴上，所以(,0,0)P x ， 又坐标满足253x -≤，所以3253x -≤-≤，………………2分解得14x ≤≤，…………………………………………………3分所以点P 到原点O 的距离的最小值为1.. …………………4分（Ⅱ）由点P 到坐标原点O 的距离为，故22212x y z ++=， …………………………………………5分由柯西不等式，得2222222()(111)()x y z x y z ++++≥++，………6分即2()36x y z ++≤，所以x y z ++的最大值为6，当且仅当2x y z ===时取最大. …………7分。

）
A．1 B．2 C．3 D．4 11．定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+3）=f（x），当 0＜x≤1 时，f（x）=2x，则 f （2015）=（）A．2Fra bibliotekB．﹣2
C．﹣
D．
12．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中 m，n 为数字 0～9 中的一个），则甲 歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为 a 和 b，则一定有（ ）
∴+=0+10=10． 故选：C． 6． 【答案】C
+1）=2×（﹣1+1）=0，
【解析】解：由题意，关于 x 的方程 f（x）+a=0（0＜a＜1）共有 5 个根，从左向右分别为 x1，x2，x3，x4， x5，则
x≥1，f（x）=
，对称轴为 x=3，根据对称性，x≤﹣1 时，函数的对称轴为 x=﹣3，
故排除 A、D；
对 C：
在（- 和（
上单调递增，
但在定义域上不单调，故 C 错； 故答案为：B 4． 【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧 ， 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．
∴cos∠EB1F= ，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
18．【答案】 （﹣4，
） ．
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【解析】解：∵抛物线方程为 y2=﹣8x，可得 2p=8， =2．
二、填空题

2015年福建省宁德市某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1. 设全集U ＝N ∗，集合A ＝{2, 3, 6, 8, 9}，集合B ＝{x|x >3, x ∈N ∗}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A {2}B {2, 3}C {1, 2, 3}D {6, 8, 9} 2. 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ） A (2, 0) B (0, 2) C (1, 0) D (0, 1)3. 如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( )A π+24B π+20C 2π+24D 2π+204. 已知集合A ={x|x 2−1<0}，B ={x|x <m}，若“a ∈A”是“a ∈B”的充分而不必要条件，则实数m 的取值可以是（ ） A 14B 13C 1D 125. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若a 3=2S 2+1，a 4=2S 3+1，则q 等于（ ）A −3B 3C −1D 16. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s ，k 的值依次为（ ）A 32，63B 64，63C 63，32D 63，647. △ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且AB →+AC →=2AO →，|AB →|=√3|OA →|，则CA →⋅CB →的值是（ ）A 3B √3C √32 D 18. 设函数f(x)=ka x −a −x ，(a >0且a ≠1)在(−∞, +∞)上既是奇函数又是减函数，则g(x)=log a (x +k)的图象是（ ）A BC D9. 设F 是双曲线x 24−y 212=1的左焦点，A(1, 4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）A 5B 5+4√3C 7D 910. 若a ，b ∈(0, 2)，则函数f(x)=13ax 3+2x 2+4bx +1存在极值的概率为（ ） A1+2ln24B3−2ln24C1+ln22D1−ln22二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11. 已知b 为实数，i 为虚数单位，若2+bi1−i 为实数，则b ＝________．12. 若(√x +3x )n 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n =________．13. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为________． 14. 下列命题中正确命题是________（写出所有正确命题的序号）①命题“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1<0”的否定是“∀x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”； ②f(x)=|sinx|+|cosx|，则f(x)的最小正周期是π；③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；④平面α，β，直线a ，b 满足：α // β，a ⊂α，b ⊂β，必存在与a ，b 都垂直的直线． 15. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：P 1(0, 1)，P 2(x 2, y 2)，…P n (x n , y n )(n ∈N ∗)．若点P n (x n , y n )到点s 12的变化关系为：{x n+1=y n −x ny n+1=y n +x n m <1<m +1，则|P 2015P 2016|=________．三、解答题：本大题共5小题，共80分． 16. 设函数f(x)=sin(wx −π6)+2cos 2wx 2(w >0)，已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为π2．(I)求函数f(x)的解析式；(II)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且f(A)=32，△ABC 的面积为S =6√3，a =2√7，求b +c 的值． 17.如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且PA =AB =AC =2，BC =2√2．(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为√105，求AN NB的值． 18. 某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N (120, 25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85, 95)，第二组[95, 105)，…第六组[135, 145]，得到如图所示的频率分布直方图．(I)试估计该校数学的平均成绩；(II)这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若 X ∼N(μ, σ2)，则P(u −3σ<X <u +3σ)=0.9974．19. 已知F 1，(−1, 0)，F 2(1, 0)为平面内的两个定点，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=2√2，记点P 的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且OA →+OB →+OC →=0→．试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论．20. 函数f(x)=ae x ，g(x)=lnx −lna ，其中a 为常数，且函数y =f(x)和y =g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行． （1）求此平行线的距离；（2）若存在x 使不等式x−mf(x)>√x 成立，求实数m 的取值范围；（3）对于函数y =f(x)和y =g(x)公共定义域中的任意实数x 0，我们把|f(x 0)−g(x 0)|的值称为两函数在x 0处的偏差．求证：函数y =f(x)和y =g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【选修4-2：矩阵与变换】（共1小题，满分7分） 21. （1）对矩阵A =[3142]，求其逆矩阵A −1； （2） 利用矩阵知识解二元一次方程组{3x +y =24x +2y =3．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分7分）22. 平面直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． （1）写出圆C 1的普通方程及圆C 2的直角坐标方程；（2）圆C 1与圆C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交请说明理由．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分） 23. 已知a >0，b >0，且a 2+b 2=92，若a +b ≤m 恒成立，（1）求m 的最小值；（2）若2|x −1|+|x|≥a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．2015年福建省宁德市某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）答案1. B2. D3. A4. C5. B6. D7. D8. C9. D 10. A 11. −2 12. 6 13. 20 14. ③④ 15. 2100716. 解：(1)f(x)=sin(wx −π6)+2cos 2wx 2=√32sinwx −12coswx +1+coswx =sin(wx +π6)+1，∵ T 2=π2，∴ T =π,w =2ππ=2，∴ f(x)=sin(2x +π6)+1．(2)由(1)知f(x)=sin(2x +π6)+1，∴ f(A)=sin(2A +π6)+1=32，即sin(2A +π6)=12． 又∵ π6<2A +π6<13π6，∴ 2A +π6=5π6，即A =π3．由△ABC 的面积为S =12bc ⋅sinA =√34bc =6√3，∴ bc =24．再利用余弦定理可得a 2=28=b 2+c 2−2bc ⋅cosA =(b +c)2−3bc =(b +c)2−72，∴ (b +c)2=100，∴ b +c =10． 17. (1)证明：连结AC ，如图所示：因为在△ABC 中，AB =AC =2，BC =2√2， 所以AB 2+AC 2=BC 2，所以AB ⊥AC ． 因为AB // CD ，所以AC ⊥CD ．又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 因为AC ∩PA =A ， 所以CD ⊥平面PAC ．(2)解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，D(−2, 2, 0)，因为M 是棱PD 的中点，所以M(−1, 1, 1)．所以AM →=(−1,1,1)，AB →=(2,0,0)， 设n →=(x, y, z)为平面MAB 的法向量， 则{n →⋅AM →=−x +y +z =0n →⋅AB →=2x =0， 令y =1，得平面MAB 的法向量n →=(0, 1, −1)，因为N 是在棱AB 上一点，所以设N(x, 0, 0)，NC →=(−x, 2, 0)． 因为直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为√105，设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 则sinα=|cos <NC →,n →>|=|NC →⋅n →||NC →|⋅|n →|=√2×√x 2+4=√105. 解得x =1，即AN =1，NB =1，所以AN NB=1．18. 解：(1)由频率分布直方图可知[120, 130)的频率为1−(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112 (2)由于1310000=0.0013根据正态分布：P(120−3×5<X <120+3×5)=0.9974故P(X ≥135)=1−0.99742=0.0013，即0.0013×10000=13所以前13名的成绩全部在130分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125, 145)的学生有50×(0.12+0.08)=10 所以X 的取值为0，1，2，3． 所以P(X =0)=C 63C 103=16，P(X =1)=C 62C 41C 103=12， P(X =2)=C 61C 42C 103=310，P(X =3)=C 43C 103=130；所以X 的分布列为数学期望值为EX =0×16+1×12+2×310+3×130=1.2．19. 解法一：（1）由条件可知，点P 到两定点F 1(−1, 0)，F 2(−1, 0)的距离之和为定值2√2， 所以点P 的轨迹是以F 1(−1, 0)，F 2(−1, 0)为焦点的椭圆，．… 又a =√2，c =1，所以b =1， 故所求方程为x 22+y 2=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)．由OA →+OB →+OC →=0→，得x 1+x 2+x 3=0，y 1+y 2+y 3=0．… 设直线AB 的方程为y =kx +n (k ≠0)，代入x 2+2y 2=2并整理得，(1+2k 2)x 2+4nkx +2n 2−2=0， 依题意，△>0，则 x 1+x 2=4kn1+2k 2，y1+y2=k(x 1+x 2)+2n =2n1+2k 2，从而可得点C 的坐标为(4kn 1+2k 2，2n 1+2k 2)，k OC =−12k ． 因为k AB ⋅k OC =−12，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．… 解法二设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)．由OA →+OB →+OC →=0→，得x 1+x 2+x 3=0，y 1+y 2+y 3=0．… （1）因为点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)在椭圆上，所以有：x 12+2y 12=2，x 22+2y 22=2 两式相减，得(x 1+x 2）（x 1−x 2）+2（y 1+y 2）（y 1−y 2）=0，从而有y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x2=−12． 又y 1+y 2=−y 3，k OC =Y 3x 3，因为k AB ⋅k OC =−12，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．… 20. （1）解：f ′(x)=ae x ，g′(x)=1x ，y =f(x)的图象与坐标轴的交点为(0, a)，y =g(x)的图象与坐标轴的交点为(a, 0)， ∵ 函数y =f(x)和y =g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 ∴ f ′(0)=g ′(a)，即a =1a又∵ a >0，∴ a =1． ∴ f(x)=e x ，g(x)=lnx ，∴ 函数y =f(x)和y =g(x)的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x −y +1=0，x −y −1=0∴ 两平行切线间的距离为√2． （2）解：由x−m f(x)>√x 得x−m e x>√x ，故m <x −√xe x 在x ∈[0, +∞)有解，令ℎ(x)=x −√xe x ，则m <ℎmax (x)． 当x =0时，m <0； 当x >0时，∵ ℎ′(x)=1−(2√xx +√xe x )=1−(2√x+√x)e x， ∵ x >0，∴2√x+√x ≥2√2√x⋅√x =√2，e x >1，∴ (2√x√x)e x >√2故ℎ′(x)=1−(2√x√x)e x <0即ℎ(x)=x −√xe x 在区间[0, +∞)上单调递减，故ℎ(x)max =ℎ(0)=0，∴ m <0即实数m 的取值范围为(−∞, 0)．（3）证法一：∵ 函数y =f(x)和y =g(x)的偏差为：F(x)=|f(x)−g(x)|=e x −lnx ，x ∈(0, +∞) ∴ F′(x)=e x −1x ，设x =t 为F′(x)=e x −1x =0的解，则当x ∈(0, t)，F ′(x)<0；当x ∈(t, +∞)，F ′(x)>0，∴ F(x)在(0, t)单调递减，在(t, +∞)单调递增 ∴ F(x)min =e t −lnt =e t −ln1e t=e t +t∵ F′(1)=e −1>0，F′(12)=√e −2<0，∴ 12<t <1故F(x)min =e t +t >2即函数y =f(x)和y =g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2．证法二：由于函数y =f(x)和y =g(x)的偏差：F(x)=|f(x)−g(x)|=e x −lnx ，x ∈(0, +∞)令F 1(x)=e x −x ，x ∈(0, +∞)；令F 2(x)=x −lnx ，x ∈(0, +∞)∵ F 1′(x)=e x −1，F 2′(x)=1−1x =−1−x x，∴ F 1(x)在(0, +∞)单调递增，F 2(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增 ∴ F 1(x)>F 1(0)=1，F 2(x)≥F 2(1)=1， ∴ F(x)=e x −lnx =F 1(x)+F 2(x)>2即函数y =f(x)和y =g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 21. 解：(1)|A|=3×2−4×1=2， A 的伴随矩阵A ∗=[2−1−43]，由A −1=1|A|⋅A ∗=[1−12−232]，∴ A −1=[1−12−232]…（2） 方程组可写为A [x y ]=[23]，因此原方程组的解：[x y ]=A −1[23]=[1−12−232][23]=[1212]， ∴ 方程组的解为：{x =12y =12． 22. 解：（1）由圆C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数），可得普通方程：(x −2)2+y 2=4，即x 2−4x +y 2=0．由圆C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为ρ2=4ρsinθ，∴ 直角坐标方程为x 2+y 2=4y ． （2）联立{x 2−4x +y 2=0x 2+y 2−4y =0，解得{x =0y =0，或{x =2y =2．∴ 圆C 1与圆C 2相交，交点(0, 0)，(2, 2)． 公共弦长=√22+22=2√2．23. 解：（1）∵ a >0，b >0，且a 2+b 2=92， ∴ 9=(a 2+b 2)(12+12)≥(a +b)2，∴ a +b ≤3，（当且仅当a1=b1，即{a =32b =32时取等号） 又∵ a +b ≤m 恒成立，∴ m ≥3． 故m 的最小值为3．…（2）要使2|x −1|+|x|≥a +b 恒成立，须且只须2|x −1|+|x|≥3． ∴ {x ≤0−2x +2−x ≥3或{0<x ≤1−2x +2+x ≥3或{x >12x −2+x ≥3∴ x ≤−13或x ≥53．…。

2015年第三次全国大联考【福建卷】理科试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}22|228,|0x x A x Z B x R x +-⎧⎫=∈<≤=∈>⎨⎬⎩⎭,则()R A C B 所含的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0 2．在ABC 中，""2C π=是"cos cos "a A b B =的 ( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()|1|ln x f x e =-的图象大致是（ ）A B C D4．某几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（ ）A ．263 B ．83π+ C ．143πD ．73π5．已知实数x y ,满足02cos sin x x y xπ⎧≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．3,232ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ． 3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．0,36π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6．已知数列{}n a 的通项公式41n a n =+，其前n 项和为n S ，则数列{}n S n 前10项的和为（ ） A ．120 B ．70 C ．140 D ．607．设()4440,,x y z a x b y c z y z x ∈+∞=+=+=+,,，,，则a b c ,,三数（ ） A ．至少有一个不小于4B ．都小于4C ．至少有一个不大于4D ．都大于48．已知P 点是双曲线22221()00x y a b a b->>＝，上一点，12F F 、是它的左、右焦点，若122PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．()13，B ．()3,+∞C ．(]13，D ．[)3,+∞9．从3名数学、4名物理和5名化学教师中选派5人组成一个理科支教小组，则数学、物理和化学教师都至少有1人的选派方法种数是（ ）A .200B . 590C . 390D .47010．已知函数1ln 1)(-+=x x x f ,*)()(N k xk x g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A .2B . 3C . 4D .5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.11．二项式91x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式(按x 的降幂排列)中的第4项系数是 . 12．如图是用模拟方法估计椭圆2214x y += 面积的程序框图，S 表示估计的结果，则图中空白处应该填入 .13．已知函数2()()(),x f x x ax e x R a =-∈为实数，若函数()f x 在闭区间[]1,1-上不是减函数，则实数a 的取值范围是 .14．已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线()220y px p => 上，且O 为抛物线的顶点，抛物线的焦点F 满足0FA FB FC ++=，若BC 边上的中线所在直线l 的方程为0mx ny m +-=（,m n 为常数且0m ≠），记OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别记为123S S S 、、，则222123S S S ++的值为 ．15．对于四面体PABC ，PO ⊥平面ABC ,垂足为O ，以下说法中，正确的序号为 .①若PA PB =，AC BC =，E 为AB 中点，则平面PCE ⊥平面PAB ；②若90PA PB PC C ==∠=︒，，则点O 是AB 边的中点；③若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的重心；④若PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，，，则点O 是ABC ∆的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本题满分13分)已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．其面积3S =，2(),3,84f A a π-=-=求b c +的值17．（本小题满分13分） 某销售公司对其员工进行年终考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则奖励奖金1万元；考核为优秀，奖励奖金2万元，假设甲、乙、丙三个分店考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立.（Ⅰ）求在这次考核中，甲、乙、丙三个员工中至少有一名考核为优秀的概率；（Ⅱ）记在这次考核中甲、乙、丙三个员工所得的奖金之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.18．（本小题满分13分）正方形ABCD 的边长为2，,E F 分别为边,AD BC 的中点，M 是线段EF 的中点，如图，把正方形沿EF 折起，设(0)AED θθπ∠=<<.（Ⅰ）求证：无论θ取何值，CM 与BD 不可能垂直；（Ⅱ）设二面角D BM C --的大小为ϕ，当tan 42ϕ=时，求sin θ的值.19.（本小题满分13分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =， 20AB AF ⋅=，且D 是过A 、B 、2F 三点的圆上的点，D 到直线:330l x y --=的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程；（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点(,0)p m ，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分14分） 已知函数1()2ln f x a x x x =-+（a R ∈且0a ≠），2()22()gx x x b b R =--+∈.（Ⅰ）若()f x 在定义域上有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ） 当1a =时，若对[]11,x e ∀∈，总[]21,x e ∃∈，使得12()()f x g x <，求实数b 的取值范围；（其中e 为自然对数的底数）；（Ⅲ） 对n N ∀∈，且2n ≥，证明：4ln(!)(1)(2)n n n <-+.21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （Ⅰ）求点(1,2)A 在变换M 作用下得到的点A '；（Ⅱ）设直线l 在变换M 作用下得到了直线:4m x y -=，求点(1,1)B -到直线l 的距离.(2) （本小题满分7分） 选修4－4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是3x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB .(3)（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2,f x m x m R =--∈，且()20f x +≥的解集为[]5,5-.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设222,,,x y z R x y z m ∈++=，试求22x y z -+ 的最大值与最小值.。