二轮复习--分类讨论
Ⅰ、专题精讲:
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】(南充，11分)如图3－2－1，一次函数与反比例函数的
图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为
点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比
例函数的解析式．
解:由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，
得A (0，－1)，B (－2，0)，D (－4，0)．
设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．
点A ，B 在一次函数图象上，
∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.
1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y
点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C (－4，1)． 设反比例函数解析式为m y x
=． 点C 在反比例函数图象上，则4
1-=m ，m ＝－4．
故反比例函数解析式是:x y 4-=．
点拨:解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】(武汉实验，12分)如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为(－4，0)，以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。以点O 2(13，5)为圆心的圆与x 轴相切于点D.
(1)求直线l 的解析式；
(2)将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；
(3)将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
解(1)直线l 经过点A(－12，0)，与y 轴交于点(0，123－，
设解析式为y ＝kx ＋b ，则b ＝3－k ＝3－
所以直线l 的解析式为y 3x 123＝－－(2)可求得⊙O 2第一次与⊙O 1相切时，向左平移了5秒(5个单位)如图所示。
在5秒内直线l 平移的距离计算:8＋12330533 所以直线l 平移的速度为每秒(63个单位。
(3)提示:证明Rt△EFG∽Rt△AE O 2
于是可得:222FG EG 1 O E EG O E AO 2＝（其中＝）
所以FG·A O 2＝21EG 2
，即其值不变。
点拨:因为⊙O 2不断移动的同时，直线l 也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有:相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有:相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．
【例3】(衢州，14分)如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，点A 的坐标为(1，0)，以CD 为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M 为圆心．设过A 、B 两点抛物线的解析式为y=ax 2
+bx+c ，顶点为点N ．
(1)求过A 、C 两点直线的解析式；
(2)当点N 在半圆M 内时，求a 的取值范围；
(3)过点A 作⊙M 的切线交BC 于点F ，E 为切点，当以点A 、F,B 为顶点的三角形与以C 、N 、M 为顶点的三角形相似时，求点N 的坐标．
解:(1)过点A 、c 直线的解析式为y=
32x －3
2 (2)抛物线y=ax 2－5x+4a ．
∴顶点N 的坐标为(－52 ，－94
a)． 由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M 且与CD 垂直的直线上，
又点N 在半圆内，12 ＜－94 a ＜2，解这个不等式，得－98 ＜a ＜－29
． (3)设EF=x ，则CF=x ，BF=2－x
在Rt△ABF 中，由勾股定理得x= 98 ，BF= 78
【例4】(杭州，8分)在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,P k,(有k个就标到P K为止,不必写出画法)
解:以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得
1(4,0)
P和
2(0,2)
P；
以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得
3(5,0)
P，
4(5,0)
P-，
5(0,5)
P和
6(0,5)
P-；作OA的垂直平分线交坐标轴得7
5 (,0) 4
P和
8
5 (0,)
2
P。
点拨:应分三种情况:①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．
Ⅲ、同步跟踪配套试题
(60分 45分钟)
