信息论理论基础_3(1007).共75页文档
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信息论理论基础
i 1 M i j 1
N
M
j
) 1, p( xi | y j ) 1,
i 1 N
N
p( y
j 1
N
j
| xi ) 1, p( xi , y j ) 1
j 1 i 1
M j
M
(3)
p( x , y
i 1 i
) p( y j ), p( xi , y j ) p( xi )
H(x) 1
p 0
2013-10-26
1/2
1
22
3. 熵函数的性质
(1) 非负性 H(x) ≥0
H ( x ) - p( xi ) log p ( xi )
i 1 N
由于 0≤p(xi)≤1 所以 log p(xi) ≤0 因此有 H(x)≥0 (2) 对称性
H ( p1 , p2 ,... pn ) H ( pn , p1 , p2 ,... pn1 )
H (0.99, 0.1) H (0.5, 0.5)
H (0.25, 0.25, 0.25, 0.25)
H (0.99,0.01) H (0.5,0.5) H (0.25,0.25,0.25,0.25)
(1) 不确定程度与信源概率空间有关； (2) 若状态数相同，等概分布时不确定程度最大； (3) 等概分布时，状态数越多则不确定程度越大。
2.不确定性的度量——不确定程度
不确定程度可以直观理解为猜测某些随机事件的 难易程度。 【例】布袋中有100个小球，大小、重量、手感完 全相同，但颜色不同。从布袋中任取一球，猜测 其颜色。 A. 99个红球，1个白球； B. 50个红球，50个白球； C. 25个红球，25个白球，25个黑球，25个黄球。
N
M
j
) 1, p( xi | y j ) 1,
i 1 N
N
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j 1
N
j
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j 1 i 1
M j
M
(3)
p( x , y
i 1 i
) p( y j ), p( xi , y j ) p( xi )
H(x) 1
p 0
2013-10-26
1/2
1
22
3. 熵函数的性质
(1) 非负性 H(x) ≥0
H ( x ) - p( xi ) log p ( xi )
i 1 N
由于 0≤p(xi)≤1 所以 log p(xi) ≤0 因此有 H(x)≥0 (2) 对称性
H ( p1 , p2 ,... pn ) H ( pn , p1 , p2 ,... pn1 )
H (0.99, 0.1) H (0.5, 0.5)
H (0.25, 0.25, 0.25, 0.25)
H (0.99,0.01) H (0.5,0.5) H (0.25,0.25,0.25,0.25)
(1) 不确定程度与信源概率空间有关； (2) 若状态数相同，等概分布时不确定程度最大； (3) 等概分布时，状态数越多则不确定程度越大。
2.不确定性的度量——不确定程度
不确定程度可以直观理解为猜测某些随机事件的 难易程度。 【例】布袋中有100个小球，大小、重量、手感完 全相同，但颜色不同。从布袋中任取一球，猜测 其颜色。 A. 99个红球，1个白球； B. 50个红球，50个白球； C. 25个红球，25个白球，25个黑球，25个黄球。
信息论基础知识
信息论基础知识在当今这个信息爆炸的时代，信息论作为一门重要的学科，为我们理解、处理和传输信息提供了坚实的理论基础。
信息论并非是一个遥不可及的高深概念，而是与我们的日常生活和现代科技的发展息息相关。
接下来，让我们一同走进信息论的世界，揭开它神秘的面纱。
信息是什么？这似乎是一个简单却又难以精确回答的问题。
从最直观的角度来看，信息就是能够消除不确定性的东西。
比如，当我们不知道明天的天气如何，而天气预报告诉我们明天是晴天，这一消息就消除了我们对明天天气的不确定性，这就是信息。
那么信息论又是什么呢？信息论是一门研究信息的量化、存储、传输和处理的学科。
它由克劳德·香农在 20 世纪 40 年代创立，为现代通信、计算机科学、统计学等众多领域的发展奠定了基础。
在信息论中，有几个关键的概念是我们需要了解的。
首先是“熵”。
熵这个概念听起来可能有些抽象，但其实可以把它理解为信息的混乱程度或者不确定性。
比如说，一个完全随机的字符串，其中每个字符的出现都是完全不确定的，它的熵就很高；而一个有规律、可预测的字符串，其熵就相对较低。
信息的度量是信息论中的一个重要内容。
香农提出了用“比特”（bit）作为信息的基本度量单位。
一个比特可以表示两种可能的状态（0 或1）。
如果一个事件有8 种等可能的结果，那么要确定这个事件的结果，就需要 3 个比特的信息（因为 2³＝ 8）。
信息的传输是信息论关注的另一个重要方面。
在通信过程中，信号会受到各种噪声的干扰，导致信息的失真。
为了保证信息能够准确、可靠地传输，我们需要采用一些编码和纠错技术。
比如，在数字通信中，常常使用纠错码来检测和纠正传输过程中产生的错误。
信息压缩也是信息论的一个重要应用。
在数字化的时代，我们每天都会产生大量的数据，如图片、音频、视频等。
通过信息论的原理，可以对这些数据进行压缩，在不损失太多有用信息的前提下，减少数据的存储空间和传输带宽。
再来说说信息的存储。
《信息论基础》课件
2
信息论与数学中的概率论、统计学、组合数学等 学科密切相关，这些学科为信息论提供了重要的 数学工具和理论基础。
3
信息论与物理学中的量子力学、热力学等学科也 有密切的联系，这些学科为信息论提供了更深层 次的理论基础。
信息论未来发展趋势
信息论将继续深入研究量子信 息论和网络信息论等领域，探 索更高效、更安全的信息传输
和处理技术。
随着人工智能和大数据等技 术的快速发展，信息论将在 数据挖掘、机器学习等领域
发挥更大的作用。
信息论还将继续关注网络安全 、隐私保护等问题，为构建安 全可靠的信息社会提供重要的
理论支持。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
海明码（Hamming Code）： 一种能够纠正一位错误的线性 纠错码。
里德-所罗门码（ReedSolomon Code）：一种广泛 应用于数据存储和通信领域的 强纠错码。
差错控制机制
前向纠错（FEC）
01
在发送端采用纠错编码，使得接收端能够自动纠正传输过程中
的错误。
自动重传请求（ARQ）
02
接收端检测到错误后请求发送端重传数据，直到接收正确为止
常见信道编码技术
线性分组码
将信息序列划分为若干组，对每组进行线性 编码，常见的有汉明码、格雷码等。
循环码
将信息序列进行循环移位后进行编码，常见的有 BCH码、RS码等。
卷积码
将信息序列进行卷积处理后进行编码，常见 的有Convolutional Code等。
2023
PART 04
信息传输与错误控制
。
混合纠错（HEC）
03
结合前向纠错和自动重传请求，以提高数据传输的可靠性和效
第一章信息论基础PPT课件
2021
43
信息传输和传播手段经历了五次重大 变革：
1 语言的产生。
2 文字的产生。
3 印刷术的发明。
4 电报、电话的发明。
5 计算机技术与通信技术相结 合，促进了网络通信的发展。
2021
44
1.3 信息传输系统
通信的基本问题是在彼时彼地精确地或近似地再现此时此 地发出的消息。
各种通信系统，一般可概括的统计模型： 信息传输系统模型
2021
17
语法信息
仅仅考虑其中形式因素的部分。
语义信息
考虑其中含义因素的部分。
语用信息
考虑其中效用因素的部分。
2021
18
1.1 信息的概念
物质、能量和信息是构成客观世界的 三大要素。 信息是物质和能量在空间和时间上分 布的不均匀程度，或者说信息是关于 事物运动的状态和规律。
2021
19
信息存在于自然界，也存在于人类社会，
2021
15
认识论比本体论的层次要低，因为
认识主体具有感觉能力、理解能力和 目的性，所以从认识论层次上研究信 息“事物的运动状态及其变化方式”就 不再像本体论层次上那样简单，他必 须考虑到形式、含义和效用。
2021
16
全信息
同时考虑事物运动状态及其变化方式的 外在形式、内在含义和效用价值的认识 论层次信息。
信源
信源译码器 信道编码器
等效干扰 信道
等效信源 等效信宿
信
干
道
扰
源
信宿
信源译码器 信20道21 译码器
45
这个模型包括以下五个部分： 1.信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变成适合于 信道传送的信号的设备。
第1章信息论基础
p(x1) 3 p(x1yj)p(x1y1)p(x1y2)p(x1y3)
p(xi)
p(xiyj)
j1 3
j
p(x2)j1 p(x2yj)p(x2y1)p(x2y2)p(x2y3)
p(
y1
)
2
p(xi y1) p(x1y1) p(x2 y1)
i1
p(yj)
p(xiyj)
p(
y2
)
2
p(xi y2 ) p(x1y2 ) p(x2 y2 )
|
y3)
p(x1
|
y3)
p(x2
|
y3)
1
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p ( x iy j) p ( x 1 y 1 ) p ( x 1 y 2 ) p ( x 1 y 3 ) p ( x 2 y 1 ) p ( x 2 y 2 ) p ( x 2 y 3 ) 1
i 1 j 1
4. 无条件概率与联合概率的关系(i=1, 2 j=1, 2, 3)
等效无干 扰信道
等效信源 等效信宿
信
干
道
扰
源
信宿
信源译码器 信道译码器
这个模型包括以下五个部分： 1.信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变成适合 于信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
4. 译码器 译码是编码的逆变换，分为 信道译码和信源译码。
xr-1
xr-2
xr-m
r时刻状态er=xr-1xr-2 …xr-m=si，其中，xi∈ { a1 , a2 , … , ak }, si∈{s1, s2,…, skm }。信源发出符号xr后，(r＋1)时刻状态er+1= xr xr-1 …xr-m+1=sj……
(完整word版)信息论基础理论及应用
信息论形成的背景与基础人们对于信息的认识和利用，可以追溯到古代的通讯实践可以说是传递信息的原始方式。
随着社会生产的发展，科学技术的进步，人们对传递信息的要求急剧增加。
到了20世纪20年代，如何提高传递信息的能力和可靠性已成为普遍重视的课题。
美国科学家N.奈奎斯特、德国K.屈普夫米勒、前苏联A.H.科尔莫戈罗夫和英国R.A.赛希尔等人，从不同角度研究信息，为建立信息论做出了很大贡献。
信息论是在人们长期的通信工程实践中，由通信技术和概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
信息论的奠基人是美国伟大的数学家、贝尔实验室杰出的科学家 C.E.香农(被称为是“信息论之父”)，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，1949年发表《噪声中的通信》，为信息论奠定了理论基础。
20世纪70年代以后，随着数学计算机的广泛应用和社会信息化的迅速发展，信息论正逐渐突破香农狭义信息论的范围，发展为一门不仅研究语法信息，而且研究语义信息和语用信息的科学。
近半个世纪以来，以通信理论为核心的经典信息论，正以信息技术为物化手段，向高精尖方向迅猛发展，并以神奇般的力量把人类社会推入了信息时代。
信息是关于事物的运动状态和规律，而信息论的产生与发展过程，就是立足于这个基本性质。
随着信息理论的迅猛发展和信息概念的不断深化，信息论所涉及的内容早已超越了狭义的通信工程范畴，进入了信息科学领域。
信息论定义及概述信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
核心问题是信息传输的有效性和可靠性以及两者间的关系。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
基于这一理论产生了数据压缩技术、纠错技术等各种应用技术，这些技术提高了数据传输和存储的效率。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息论理论基础(第二章)
第二章：基本信息论
§2.1 信息度量 §2.2 离散信源的熵 §2.3 二元联合信源的共熵与条件熵 §2.4 信源冗余度 §2.5 连续信源的熵 §2.6 熵速率和信道容量 §2.7 离散有噪信道的熵速率和信道容量 §2.8 连续有噪信道的熵速率和信道容量 §2.9 使信源与信道匹配的编码
2013-8-2 1
I ( xi ; y j ) I ( xi ) I ( xi | y j ) log p( xi | y j ) p( xi )
（2-5）
互信息量 I ( xi ; y j ) 实际上就是已知事件 y j 后，所消除的关于事件 x i 的不肯定性，它等于事件 x i 本身的不肯定性 I ( xi ) 减去已知事件 y j 后对 x i 仍然存在的不肯定性 I ( xi | y j ) 。 互信息量的引出使信息的传递得到了定量的表示，是信息论发展的一个重要的里程碑。这里还 应指出，互信息量的单位的取法与自信息量的相同，不再详述。
I ( xi | y j ) log p( xi | y j )
2013-8-2
（2-4）
9
自信息量的单位与所用对数的底有关，如下： ⑴ 通常取对数的底为 2，信息量的单位为比特(bit,binary unit)。比特是信息论中最常 用的信息量的单位，当取对数的底为 2 时，2 常省略。 注意：计算机术语中 bit 是位的单位(bit,binary digit)，与信息量的单位不同。 ⑵ 若取自然对数（以 e 为底） ，自信息量的单位为奈特(nat,natural unit)。理论推导或 用于连续信源时用以 e 为底的对数比较方便。 1 nat= log2 e bit=1.443bit ⑶ 工程上用以 10 为底较方便。若以 10 为对数底，则信息量的单位为哈特莱(Hartley)。 这是用来纪念哈特莱首先提出用对数来度量信息的。 1 Hartley= log2 e bit=3.322bit
§2.1 信息度量 §2.2 离散信源的熵 §2.3 二元联合信源的共熵与条件熵 §2.4 信源冗余度 §2.5 连续信源的熵 §2.6 熵速率和信道容量 §2.7 离散有噪信道的熵速率和信道容量 §2.8 连续有噪信道的熵速率和信道容量 §2.9 使信源与信道匹配的编码
2013-8-2 1
I ( xi ; y j ) I ( xi ) I ( xi | y j ) log p( xi | y j ) p( xi )
（2-5）
互信息量 I ( xi ; y j ) 实际上就是已知事件 y j 后，所消除的关于事件 x i 的不肯定性，它等于事件 x i 本身的不肯定性 I ( xi ) 减去已知事件 y j 后对 x i 仍然存在的不肯定性 I ( xi | y j ) 。 互信息量的引出使信息的传递得到了定量的表示，是信息论发展的一个重要的里程碑。这里还 应指出，互信息量的单位的取法与自信息量的相同，不再详述。
I ( xi | y j ) log p( xi | y j )
2013-8-2
（2-4）
9
自信息量的单位与所用对数的底有关，如下： ⑴ 通常取对数的底为 2，信息量的单位为比特(bit,binary unit)。比特是信息论中最常 用的信息量的单位，当取对数的底为 2 时，2 常省略。 注意：计算机术语中 bit 是位的单位(bit,binary digit)，与信息量的单位不同。 ⑵ 若取自然对数（以 e 为底） ，自信息量的单位为奈特(nat,natural unit)。理论推导或 用于连续信源时用以 e 为底的对数比较方便。 1 nat= log2 e bit=1.443bit ⑶ 工程上用以 10 为底较方便。若以 10 为对数底，则信息量的单位为哈特莱(Hartley)。 这是用来纪念哈特莱首先提出用对数来度量信息的。 1 Hartley= log2 e bit=3.322bit
信息论基础
信息论基础
信息论是一门研究信息传输和处理的科学。
它的基础理论主要有以下几个方面：
1. 信息的定义：在信息论中，信息被定义为能够消除不确定性的东西。
当我们获得一条消息时，我们之前关于该消息的不确定性会被消除或减少。
信息的量可以通过其发生的概率来表示，概率越小，信息量越大。
2. 熵：熵是一个表示不确定性的量。
在信息论中，熵被用来衡量一个随机变量的不确定性，即随机变量的平均信息量。
熵越大，表示随机变量的不确定性越高。
3. 信息的传输和编码：信息在传输过程中需要进行编码和解码。
编码是将消息转换为一种合适的信号形式，使其能够通过传输渠道传输。
解码则是将接收到的信号转换回原始消息。
4. 信道容量：信道容量是指一个信道能够传输的最大信息量。
它与信道的带宽、噪声水平等因素相关。
信道容量的
计算可以通过香浓定理来进行。
5. 信息压缩：信息压缩是指将信息表示为更为紧凑的形式，以减少存储或传输空间的使用。
信息压缩的目标是在保持
信息内容的同时，尽可能减少其表示所需的比特数。
信息论还有其他一些重要的概念和理论，如互信息、信道
编码定理等，这些都是信息论的基础。
信息论的研究不仅
在信息科学领域具有重要应用，还在通信、计算机科学、
统计学等领域发挥着重要作用。
(完整word版)信息论基础理论及应用
信息论形成的背景与基础人们对于信息的认识和利用，可以追溯到古代的通讯实践可以说是传递信息的原始方式。
随着社会生产的发展，科学技术的进步，人们对传递信息的要求急剧增加。
到了20世纪20年代，如何提高传递信息的能力和可靠性已成为普遍重视的课题。
美国科学家N.奈奎斯特、德国K.屈普夫米勒、前苏联A.H.科尔莫戈罗夫和英国R.A.赛希尔等人，从不同角度研究信息，为建立信息论做出了很大贡献。
信息论是在人们长期的通信工程实践中，由通信技术和概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门学科。
信息论的奠基人是美国伟大的数学家、贝尔实验室杰出的科学家 C.E.香农(被称为是“信息论之父”)，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，1949年发表《噪声中的通信》，为信息论奠定了理论基础。
20世纪70年代以后，随着数学计算机的广泛应用和社会信息化的迅速发展，信息论正逐渐突破香农狭义信息论的范围，发展为一门不仅研究语法信息，而且研究语义信息和语用信息的科学。
近半个世纪以来，以通信理论为核心的经典信息论，正以信息技术为物化手段，向高精尖方向迅猛发展，并以神奇般的力量把人类社会推入了信息时代。
信息是关于事物的运动状态和规律，而信息论的产生与发展过程，就是立足于这个基本性质。
随着信息理论的迅猛发展和信息概念的不断深化，信息论所涉及的内容早已超越了狭义的通信工程范畴，进入了信息科学领域。
信息论定义及概述信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
核心问题是信息传输的有效性和可靠性以及两者间的关系。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
基于这一理论产生了数据压缩技术、纠错技术等各种应用技术，这些技术提高了数据传输和存储的效率。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息论基础
2012/2/19
11
1.2 信息论的基本内容
信道编码问题也就是在一定的误差允许范围内， 如何得到最短的编码便是信道编码问题。具 体地讲，这也是两个问题：1）最短的编码 在理论上是否存在？2）最短的编码实际中 怎么去构造，或者能否构造出接近最短的编 码？ 目前为止，对于信源和信道编码，第1个问题 都得到了满意的解决，但第2个问题还没有 完全解决。
2012/2/19
15
1.3 信息论的发展简史
近十年来，信息论和信息技术取得了长足的进 展，已经形成了一门综合型的学科。它不仅 直接应用于通信、计算机和自动控制等领域， 而且还广泛渗透到生物学、医学、语言学、 社会学和经济学等领域。特别是通信技术与 微电子、光电子、计算机技术相结合，使现 代通信技术的发展充满了生机和活力。 人们追求的目标是实现宽带综合业务数字信息 网，使人类进入高度发达的信息科学时代。
2012/2/19
16
1.4 控制论、信息论和系统论
信息论的诞生并不是独立的。实际上是控制论和系统 论同时诞生的，三者统称为老三论。由于它们密 切相关，我们也简单地介绍一些控制论、系统论 以及它们之间的关系。 1. 控制论 1948, Wiener 出版了《Control Theroy（控制论）》 一书，诞生了控制论学科。 Wiener将动物（特别 是指人）和机器中的控制和通信问题进行比较研 究，创造一套语言、思想和方法，能够有效分析 一般的控制和通信问题。经过50多年的发展，控 制论已成为一门综合性科学，并被广泛应用到科 学技术。
2012/2/19
7
1.2 信息论的基本内容
信源：产生消息的源泉，即提供消息的人、设备或 事物。消息可以是文字、语言、图象等。而信源 大 致可以分为三类：1）自然信源，包括来自于物理、 化学、天体、地理、生物等方面的自然的信息，主 要通过各种传感器获得。2）社会信源，包括政治、 军事、管理、金融等，通过社会调查、并利用统计 方法加以整理。3）知识信源，古今中外记录下来的 知识和专家经验。 通信中信源：在通信中，信源就具体化为一个符号 集和产生各个符号（或字母）的概率分布：
11
1.2 信息论的基本内容
信道编码问题也就是在一定的误差允许范围内， 如何得到最短的编码便是信道编码问题。具 体地讲，这也是两个问题：1）最短的编码 在理论上是否存在？2）最短的编码实际中 怎么去构造，或者能否构造出接近最短的编 码？ 目前为止，对于信源和信道编码，第1个问题 都得到了满意的解决，但第2个问题还没有 完全解决。
2012/2/19
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1.3 信息论的发展简史
近十年来，信息论和信息技术取得了长足的进 展，已经形成了一门综合型的学科。它不仅 直接应用于通信、计算机和自动控制等领域， 而且还广泛渗透到生物学、医学、语言学、 社会学和经济学等领域。特别是通信技术与 微电子、光电子、计算机技术相结合，使现 代通信技术的发展充满了生机和活力。 人们追求的目标是实现宽带综合业务数字信息 网，使人类进入高度发达的信息科学时代。
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1.4 控制论、信息论和系统论
信息论的诞生并不是独立的。实际上是控制论和系统 论同时诞生的，三者统称为老三论。由于它们密 切相关，我们也简单地介绍一些控制论、系统论 以及它们之间的关系。 1. 控制论 1948, Wiener 出版了《Control Theroy（控制论）》 一书，诞生了控制论学科。 Wiener将动物（特别 是指人）和机器中的控制和通信问题进行比较研 究，创造一套语言、思想和方法，能够有效分析 一般的控制和通信问题。经过50多年的发展，控 制论已成为一门综合性科学，并被广泛应用到科 学技术。
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1.2 信息论的基本内容
信源：产生消息的源泉，即提供消息的人、设备或 事物。消息可以是文字、语言、图象等。而信源 大 致可以分为三类：1）自然信源，包括来自于物理、 化学、天体、地理、生物等方面的自然的信息，主 要通过各种传感器获得。2）社会信源，包括政治、 军事、管理、金融等，通过社会调查、并利用统计 方法加以整理。3）知识信源，古今中外记录下来的 知识和专家经验。 通信中信源：在通信中，信源就具体化为一个符号 集和产生各个符号（或字母）的概率分布：
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42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。Байду номын сангаас— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
信息论理论基础_3(1007).
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。Байду номын сангаас— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
信息论理论基础_3(1007).
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹