巧用杠杆平衡原理妙求几何比值问题
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平衡状态．
Ｄ Ｃ
② 观察 以 ，为支 点的系 统
图３
④观察系统 Ａ Ｆ Ｄ， 由于 Ａ点受 力 为－ － ４ － ０牛顿 ， Ｄ点
ＤＦ Ａ， 由于 Ａ ’ ： ＦＤ＝１ ： ５， 故 由杠 杆 平 衡 原 理 知 ： ２ ａ牛 顿
・
Ｆ Ｄ： ・ Ａ Ｆ， 故 ＝１ ０ ａ牛顿 ， 即 Ａ点受力为 １ ０ ａ牛顿 ，
受 力 为 ５ 。 牛 顿 ， 所 以 。 牛 顿 ＋ ５ 。 牛 顿： 孕 。 牛 ， 正 好
例 ２ 已知 ： 如图 ２ ， ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｅ： Ｅ Ｂ＝１ ： ３ ， Ｂ Ｄ： ）
透、 数理巧妙结合 、 数理 融会 贯通 的精 神 ， 这种 思维模式 Ｄ Ｃ＝ ２ ： １ ， Ａ Ｄ与 ｃ 相交于 Ｆ， 则 Ｅ Ｆ＋ 的值为（
对 于 灵 活 运 用 数 理 知 识 解题 显得 尤 为 重 要 ． 关键词 ： 系统 ； 交点 ； 平 衡 巧 用 初 二 物 理 中介 绍 的 杠 杆 平 衡 原 理 ： “ 动 力 ×动
达 到平 衡 状 态 ， 此 时支 点 Ｄ
受 力应 为 ３ 。牛 顿．
Ｄ Ｃ
、
解 课 本 题
例 １ 已 ： （ 如图 ） Ａ Ｄ 是
ＡＡ Ｂ Ｃ的 中 线 ， 是 Ａ Ｄ 的 中
点， Ｆ是 Ｂ Ｅ的延长线 与 Ａ Ｃ 的 交点． 求Ａ Ｆ ： Ｆ Ｃ ．
② 观察系统 Ａ Ｅ Ｂ， 由 于
Ａ． １ ： ６
Ｃ． １：９
） ．
Ｂ ． １ ：８
Ｄ． １：１ ０
・
Ａ Ｅ ： ２ 。 ・ Ｅ Ｃ ， ． ． ． ＝ ÷ 。 牛 顿 ， 即 Ａ 点 受 力 为 号 。
牛顿 ＋２ ｎ牛顿 ＝ 。牛顿．
解： ① 观 察 以 Ｄ 为 支 点 的 系统 Ｂ ＤＣ ， 由于 Ｄ为 Ｂ Ｃ边 的中 点， 故 Ｄ Ｂ＝ＤＣ ， 所 以 Ｂ、 Ｃ点各
２ ｎ牛顿 ， Ｃ点受 力为 ａ牛顿 ， Ｆ点受力为 ３ 。牛顿 ， 正好 Ｆ
点受力为 Ａ点 和 Ｃ点受 力之 和 ， 因而 系统 Ａ Ｆ Ｃ处 于平
衡状态 ， 所 以有 ２ ａ・ Ａ Ｆ＝ Ⅱ・ Ｆ Ｃ， ． ‘ ． Ａ Ｆ ： Ｆ Ｃ＝１ ： ２
＋
－ ◆
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于点 Ｅ， 则Ａ Ｅ ： Ｅ Ｂ等于 （
力 应 为 ａ＋ ３ ａ ＝ ４ ａ牛 顿 ．
故 Ｂ、 Ｃ点各 挂 ａ牛 顿重 物 ， Ｄ
③ 观察 系统 Ａ Ｆ Ｄ， 因为 Ａ点受 力 ３ ｏ牛顿 ， Ｄ点受力
３ ｏ牛顿 ， 故要使系统 Ａ Ｆ Ｄ达到平衡状态 ， 则支点 Ｆ受力
应为 ３ ｎ＋ ３ ａ＝ ６ ａ牛 顿．
点受力 ２ ｎ牛 顿 ， 这 时 系统 Ｂ Ｄ Ｃ才 能 达 到 平 衡 状 态 ．
④观察 以 Ｆ为支 点的 系统 Ａ Ｆ Ｃ ， 由于 Ａ点 受力 的
故 Ｅ 瓦 Ｆ ＋ ： ÷ ＋ １ ＝ 寻 ， ． ・ ． 应 选 ｃ ．
三、 解 竞 赛 题 例 ３ 如图 ３ ， ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｄ是 Ｂ Ｃ边上 的 中线 ， Ｆ 中Ａ Ｄ上的一点 ， 且Ａ Ｆ ： Ｆ Ｄ ：１ ： ５ ， 连结 Ｃ Ｆ并 延 长 交 Ａ Ｂ
Ａ． Ｂ．１ Ｄ． ２
解： ① 观察 系统 Ｂ Ｄ Ｃ， 若
在 点 挂 ａ牛 顿 ， 则 由于 Ｂ Ｄ
Ａ
力臂 ＝阻 力 ×阻力臂” 可妙求 几何线段 的比值． 现举数例说明如下 ：
一
： ＤＣ＝ ２ ： １ ， 所以需在 Ｃ点挂 ２ ｎ牛顿 ， 这样 系统 Ｂ Ｄ Ｃ就能
＋
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◇ 敦掌大世界 。 － １ ◇ ． ＋ 。 ＋ 。 ＋ 。 ＋ ． ＋ ． ＋ 。 ＋ ． ． ． ＋ 。 ＋ 。 ． 。
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力， 因而 系 统 Ｃ Ｆ Ｅ处 于平 衡 状 态 ． 从 而有
③观察以 Ｅ为支点 的系统 Ｂ Ｅ Ｆ， 由于 Ｂ点受力 ａ牛
顿， Ｅ点 受 力 ４ 。牛 顿 ， 故 Ｆ点受 力 ３ ｎ牛 顿 ， 这 时 系 统 Ｂ Ｅ Ｆ才 能 达 到 平 衡 状 态 ．
ｉ ｆ Ｅ Ｆ ・ ４ ａ ＝ Ｆ Ｃ ・ ２ ａ １ Ｅ Ｆ １ Ａ Ｆ． ４ Ｆ． ３ ｎ ： 肋 ． ３ ａ － ＿ ’
②观察以 Ｅ为支点 的系统 Ｄ Ｅ Ａ， 由Ｅ Ａ＝ Ｅ Ｄ， 故在Ａ 处挂 ２ Ⅱ牛顿重 物 ， 系统 Ｄ Ｅ Ａ才能 达 到平衡 ， 由于 Ｄ点
受力 ２ ｎ牛 顿 ， 因此 点 受 力 ４ ｎ牛 顿．
④ 观察 系统 Ｃ Ｆ Ｅ， 由于 Ｃ点受力 ２ ０牛顿 ， Ｅ点受力 ４ ｎ牛顿 ， 所以 ２ ｎ＋ ４ ａ＝ ６ ａ牛 顿 ， 正 好等 于支点 Ｆ的受
巧用 书 Ｌ秆 平 衡 原 理
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名 师 导 学
妙 求 几何 比值 问 题
… ．
蔓鱼奎 ．
垦垫墼 兰 … 点壹
摘
要
本 文 介 绍 中学 物 理 中 的 杠 杆 平 衡 原 理 在
二、 解 中考 题
中学几何求线段 比值中的应用 ， 充分体现 了数理 相互渗
挂 ａ牛 顿 重 物 ， Ｄ点 受 力 为 ２ 。
力应为
③观察系统 Ｂ Ｆ Ｅ， 因为 Ｂ点受力 ３ ａ牛顿 ， Ｅ点 受力 。牛顿 ， 故 要使 系统 Ｂ Ｆ Ｅ达到平衡 状态 ， 则支点 Ｆ受
１ ， 力为 ３ ａ牛顿 ＋ Ａ 。牛顿 ＝ ａ牛顿
．
牛顿 ， 这时 系 统 Ｂ Ｄ Ｃ才能 达 到
图２
Ａ Ｅ ： Ｅ Ｂ＝１ ： ３ ， 且 Ｂ点 受 力 ａ牛 顿 ， 故 Ａ点受力应 为 ３ Ⅱ 牛顿 ， 这 样 要 使 系统 Ａ Ｅ Ｂ达 到 平 衡 状 态 ， 那 么 支 点 Ｅ受
Ｄ Ｃ
证 明 ① 观察 以 Ｄ为 支
点的系统 Ｂ Ｄ Ｃ， 由于 Ｄ Ｂ＝Ｄ Ｃ，
图１
Ｄ Ｃ
② 观察 以 ，为支 点的系 统
图３
④观察系统 Ａ Ｆ Ｄ， 由于 Ａ点受 力 为－ － ４ － ０牛顿 ， Ｄ点
ＤＦ Ａ， 由于 Ａ ’ ： ＦＤ＝１ ： ５， 故 由杠 杆 平 衡 原 理 知 ： ２ ａ牛 顿
・
Ｆ Ｄ： ・ Ａ Ｆ， 故 ＝１ ０ ａ牛顿 ， 即 Ａ点受力为 １ ０ ａ牛顿 ，
受 力 为 ５ 。 牛 顿 ， 所 以 。 牛 顿 ＋ ５ 。 牛 顿： 孕 。 牛 ， 正 好
例 ２ 已知 ： 如图 ２ ， ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｅ： Ｅ Ｂ＝１ ： ３ ， Ｂ Ｄ： ）
透、 数理巧妙结合 、 数理 融会 贯通 的精 神 ， 这种 思维模式 Ｄ Ｃ＝ ２ ： １ ， Ａ Ｄ与 ｃ 相交于 Ｆ， 则 Ｅ Ｆ＋ 的值为（
对 于 灵 活 运 用 数 理 知 识 解题 显得 尤 为 重 要 ． 关键词 ： 系统 ； 交点 ； 平 衡 巧 用 初 二 物 理 中介 绍 的 杠 杆 平 衡 原 理 ： “ 动 力 ×动
达 到平 衡 状 态 ， 此 时支 点 Ｄ
受 力应 为 ３ 。牛 顿．
Ｄ Ｃ
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解 课 本 题
例 １ 已 ： （ 如图 ） Ａ Ｄ 是
ＡＡ Ｂ Ｃ的 中 线 ， 是 Ａ Ｄ 的 中
点， Ｆ是 Ｂ Ｅ的延长线 与 Ａ Ｃ 的 交点． 求Ａ Ｆ ： Ｆ Ｃ ．
② 观察系统 Ａ Ｅ Ｂ， 由 于
Ａ． １ ： ６
Ｃ． １：９
） ．
Ｂ ． １ ：８
Ｄ． １：１ ０
・
Ａ Ｅ ： ２ 。 ・ Ｅ Ｃ ， ． ． ． ＝ ÷ 。 牛 顿 ， 即 Ａ 点 受 力 为 号 。
牛顿 ＋２ ｎ牛顿 ＝ 。牛顿．
解： ① 观 察 以 Ｄ 为 支 点 的 系统 Ｂ ＤＣ ， 由于 Ｄ为 Ｂ Ｃ边 的中 点， 故 Ｄ Ｂ＝ＤＣ ， 所 以 Ｂ、 Ｃ点各
２ ｎ牛顿 ， Ｃ点受 力为 ａ牛顿 ， Ｆ点受力为 ３ 。牛顿 ， 正好 Ｆ
点受力为 Ａ点 和 Ｃ点受 力之 和 ， 因而 系统 Ａ Ｆ Ｃ处 于平
衡状态 ， 所 以有 ２ ａ・ Ａ Ｆ＝ Ⅱ・ Ｆ Ｃ， ． ‘ ． Ａ Ｆ ： Ｆ Ｃ＝１ ： ２
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故 Ｂ、 Ｃ点各 挂 ａ牛 顿重 物 ， Ｄ
③ 观察 系统 Ａ Ｆ Ｄ， 因为 Ａ点受 力 ３ ｏ牛顿 ， Ｄ点受力
３ ｏ牛顿 ， 故要使系统 Ａ Ｆ Ｄ达到平衡状态 ， 则支点 Ｆ受力
应为 ３ ｎ＋ ３ ａ＝ ６ ａ牛 顿．
点受力 ２ ｎ牛 顿 ， 这 时 系统 Ｂ Ｄ Ｃ才 能 达 到 平 衡 状 态 ．
④观察 以 Ｆ为支 点的 系统 Ａ Ｆ Ｃ ， 由于 Ａ点 受力 的
故 Ｅ 瓦 Ｆ ＋ ： ÷ ＋ １ ＝ 寻 ， ． ・ ． 应 选 ｃ ．
三、 解 竞 赛 题 例 ３ 如图 ３ ， ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｄ是 Ｂ Ｃ边上 的 中线 ， Ｆ 中Ａ Ｄ上的一点 ， 且Ａ Ｆ ： Ｆ Ｄ ：１ ： ５ ， 连结 Ｃ Ｆ并 延 长 交 Ａ Ｂ
Ａ． Ｂ．１ Ｄ． ２
解： ① 观察 系统 Ｂ Ｄ Ｃ， 若
在 点 挂 ａ牛 顿 ， 则 由于 Ｂ Ｄ
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力臂 ＝阻 力 ×阻力臂” 可妙求 几何线段 的比值． 现举数例说明如下 ：
一
： ＤＣ＝ ２ ： １ ， 所以需在 Ｃ点挂 ２ ｎ牛顿 ， 这样 系统 Ｂ Ｄ Ｃ就能
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③观察以 Ｅ为支点 的系统 Ｂ Ｅ Ｆ， 由于 Ｂ点受力 ａ牛
顿， Ｅ点 受 力 ４ 。牛 顿 ， 故 Ｆ点受 力 ３ ｎ牛 顿 ， 这 时 系 统 Ｂ Ｅ Ｆ才 能 达 到 平 衡 状 态 ．
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②观察以 Ｅ为支点 的系统 Ｄ Ｅ Ａ， 由Ｅ Ａ＝ Ｅ Ｄ， 故在Ａ 处挂 ２ Ⅱ牛顿重 物 ， 系统 Ｄ Ｅ Ａ才能 达 到平衡 ， 由于 Ｄ点
受力 ２ ｎ牛 顿 ， 因此 点 受 力 ４ ｎ牛 顿．
④ 观察 系统 Ｃ Ｆ Ｅ， 由于 Ｃ点受力 ２ ０牛顿 ， Ｅ点受力 ４ ｎ牛顿 ， 所以 ２ ｎ＋ ４ ａ＝ ６ ａ牛 顿 ， 正 好等 于支点 Ｆ的受
巧用 书 Ｌ秆 平 衡 原 理
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名 师 导 学
妙 求 几何 比值 问 题
… ．
蔓鱼奎 ．
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要
本 文 介 绍 中学 物 理 中 的 杠 杆 平 衡 原 理 在
二、 解 中考 题
中学几何求线段 比值中的应用 ， 充分体现 了数理 相互渗
挂 ａ牛 顿 重 物 ， Ｄ点 受 力 为 ２ 。
力应为
③观察系统 Ｂ Ｆ Ｅ， 因为 Ｂ点受力 ３ ａ牛顿 ， Ｅ点 受力 。牛顿 ， 故 要使 系统 Ｂ Ｆ Ｅ达到平衡 状态 ， 则支点 Ｆ受
１ ， 力为 ３ ａ牛顿 ＋ Ａ 。牛顿 ＝ ａ牛顿
．
牛顿 ， 这时 系 统 Ｂ Ｄ Ｃ才能 达 到
图２
Ａ Ｅ ： Ｅ Ｂ＝１ ： ３ ， 且 Ｂ点 受 力 ａ牛 顿 ， 故 Ａ点受力应 为 ３ Ⅱ 牛顿 ， 这 样 要 使 系统 Ａ Ｅ Ｂ达 到 平 衡 状 态 ， 那 么 支 点 Ｅ受
Ｄ Ｃ
证 明 ① 观察 以 Ｄ为 支
点的系统 Ｂ Ｄ Ｃ， 由于 Ｄ Ｂ＝Ｄ Ｃ，
图１
