2016高考数学二轮复习第2部分大专题综合测3数列(含解析)

3 数列时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2015·北京西城区二模)数列{a n}为等差数列，满足a2＋a4＋…＋a20＝10，则数列{a n}前21项的和等于( )A.212B．21C．42 D．84[答案] B[解析] 由a2＋a4＋…＋a20＝10a11＝10得a11＝1，所以等差数列{a n}的前21项和S21＝21a11＝21，故选B．(理)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝⎠⎛3(1＋2x)d x，S20＝17，则S30为( ) A．15 B．20C．25 D．30[答案] A[解析] S10＝⎠⎛3(1＋2x)d x＝(x＋x2)|30＝12.又S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S30＝15.2．(文)(2015·北京东城练习)已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4·a8＝4，则a5·a6·a7＝( )A．4 B．8C．16 D．64[答案] B[解析] 由题意得a4a8＝a26＝4，又因为数列{a n}为正项等比数列，所以a6＝2，则a5a6a7＝a36＝8，故选B．(理)(2014·河北衡水中学二调)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝( )A．27 B．81C． 243 D．729[答案] C[解析] ∵a1a2a3＝a32＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a 2＝4a 1，∴a 2＝3a 1＝3，∴a 1＝1，∴q ＝a 2a 1＝3，∴a 6＝a 1q 5＝35＝243.3．(2015·杭州第二次质检)设等比数列{a n }的各项均为正数，若a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，则a 1a 5＝( )A ．24 2B ．8C ．8 2D ．16[答案] C[解析] 利用等比数列的通项公式求解．设此正项等比数列的公比为q ，q >0，则由a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2得a 1＋a 22＝a 1＋a 2a 1a 2，a 1a 2＝4，同理由a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4得a 3a 4＝16，则q 4＝a 3a 4a 1a 2＝4，q ＝2，a 1a 2＝2a 21＝4，a 21＝22，所以a 1a 5＝a 21q 4＝82，故选C. 4．(文)(2015·青岛市质检)“∀n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查等差数列的定义以及充要条件的判断，难度较小．由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，可得a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，由n 的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{a n }为等差数列，反之，若数列{a n }为等差数列，易得2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，故“∀n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2”是“数列{a n }为等差数列”的充要条件，故选C.(理)“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] “lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”⇔2lg y ＝lg x ＋lg z ⇒y 2＝xz ，但y 2＝xz ⇒/ 2lg y ＝lg x ＋lg z ，∴选A.5．(文)(2015·福州质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝2a 6＋a 4，则a 5的值为( ) A ．－5 B ．－12C ．12 D ．52[答案] B[解析] 本题考查等差数列的通项公式，难度中等．设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 8＝2a 6＋a 4，故a 2＋6d ＝2a 2＋8d ＋a 2＋2d ，解得d ＝－12，故a 5＝a 2＋3d ＝1－32＝－12，故选B ． (理)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在[答案] A [解析] ∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．6．(文)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限内的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 由等差、等比数列的性质，可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴P 1(2,2)，P 2(3,4)，∴S △OP 1P 2＝1.(理)(2015·长沙市一模)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 5a 4＝52，a n ＝a 4q n －4＝2×(52)n －4，则lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，数列{lg a n }成等差数列，所以前8项和等于a 1＋lg a 82＝4(lg2－3lg 52＋lg2＋4lg 52)＝4，故选C.7．(2015·河南商丘市二模)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和为S n ＝42，则n ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] D[解析] 由已知得a 1＋a 1q n －1＝34，a 21qn －1＝64，∴a 1＋64a 1＝34，解得：a 1＝32或a 1＝2，当a 1＝32时，qn －1<1不适合题意，故a 1＝2，qn －1＝16，又S n ＝a 1－q n1－q＝－16q1－q＝42，解得q ＝4，∴4n －1＝16，n －1＝2，n ＝3.8．(文)两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32B ．152C ．13D ．133[答案] D[解析] 由已知可得a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3(舍去)．则c ＝a 2＋b 2＝13，故e ＝c a＝133. (理)△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，若b 既是a 、c 的等差中项，又是a 、c 的等比中项，则△ABC 是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形[答案] C[解析] ∵b 是a 、c 的等差中项，∴b ＝a ＋c2.又∵b 是a 、c 的等比中项，∴b ＝ac ，∴(a ＋c2)2＝ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴b ＝a ＋c2＝a ，故△ABC 是等边三角形．9．(2015·天津十二区县联考)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2015等于( )A.40282015 B ．20142015 C.20151008D ．20152016[答案] C[解析] 本题考查数列的递推公式、裂项法求和，难度中等．依题意a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故a n ＋1－a n ＝n ＋1，由累加法可得a n －a 1＝n 2＋n －22，a n ＝n 2＋n2，故1a n ＝2n 2＋n ＝2(1n －1n ＋1)，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2015＝2(1－12＋12－13＋…＋12015－12016)＝40302016＝20151008，故选C. 10．(文)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝( )A ．9B ．10C ．18D ．27[答案] D[解析] 由条件知a 5＝3，∴S 9＝9a 5＝27.(理)(2015·郑州市质检)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( )A.306 B ．7 C.306或7 D ．56或7 [答案] C[解析] 由题意知m 2＝36，m ＝±6，当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，e ＝7，故选C.11．(文)(2015·重庆市调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝7，a 6＋a 8＝－6，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] a 7＝12(a 6＋a 8)＝－3，公差d ＝a 7－a 27－2＝－2，a n ＝a 2－2(n －2)＝11－2n ，因此在等差数列{a n }中，前5项均为正，从第6项起以后各项均为负，当S n 取最大值时，n 的值为5，故选C.(理)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 依题意，当d >|a 1|时，数列{a n }是递增的数列，无论a 1的取值如何，S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值；反过来，当S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值时，如当a 1＝1，d ＝13时，此时S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值，但不满足d >|a 1|.综上所述，“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的充分不必要条件．12．(文)已知数列{a n }的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k ＝4时，输出S ＝13，则a 2014＝( )A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015[答案] D[解析] 由程序框图可知，{a n }是公差为1的等差数列， 且1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＝13， ∴1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＝1a 1－1a 5＝13， ∴1a 1－1a 1＋4＝13，解得a 1＝2，∴a 2014＝a 1＋2013d ＝2＋2013＝2015. (理)已知曲线C ：y ＝1x(x >0)上两点A 1(x 1，y 1)和A 2(x 2，y 2)，其中x 2>x 1.过A 1、A 2的直线l 与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列 [答案] A[解析] 直线A 1A 2的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1x 2－1x 1x 2－x 1＝－1x 1x 2，所以直线A 1A 2的方程为y －1x 1＝－1x 1x 2(x －x 1)，令y ＝0解得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，故x 1，x 32，x 2成等差数列，故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2015·海口市调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋π2，记S n为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝________.[答案] 1008[解析] 由a n ＋1－a n ＝sinn ＋π2⇒a n ＋1＝a n ＋sinn ＋π2，∴a 2＝a 1＋sin π＝1＋0＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝0＋1＝1，∴a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2014＝4×503＋2，因此S 2014＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008.14．(文)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－x x ＋3图象的顶点坐标是(m ，n )，且k ，m ，n ，r 成等差数列，则k ＋r 的值为________．[答案] －9[解析] f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7的顶点坐标为(－2，－7)， ∵m ＝－2，n ＝－7，∴k ＋r ＝m ＋n ＝－9.(理)已知数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.若将数列{a n }、{b n }中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________．[答案] 961[解析] 设数列{a n }中的第n 项是数列{b n }中的第m 项，则m 2＝7n ＋2，m 、n ∈N *.令m ＝7k ＋i ，i ＝0,1,2，…，6，k ∈Z ，则i 2除以7的余数是2，则i ＝3或4，所以数列{c n }中的项依次是{b n }中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c 9＝b 31＝312＝961.15．(2014·辽宁省协作校联考)若数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－1)n ＋1，b n ＝3＋－n －12，n ∈N ＋，且a 1＝2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 63＝________.[答案] 560[解析] ∵b n ＝3＋－n －12＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数n 为偶数，又a 1＝2，∴a 2＝－1，a 3＝4，a 4＝－2，a 5＝6，a 6＝－3，…，∴S 63＝a 1＋a 2＋a 3＋…a 63＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 63)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560.16．(2014·山西大学附中月考)已知无穷数列{a n }具有如下性质：①a 1为正整数；②对于任意的正整数n ，当a n 为偶数时，a n ＋1＝a n 2；当a n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋12.在数列{a n }中，若当n ≥k 时，a n ＝1，当1≤n <k 时，a n >1(k ≥2，k ∈N *)，则首项a 1可取数值的个数为________(用k 表示)．[答案] 2k －2[解析] 当n ≥k 时，a n ＝1，∴a k ＝1，当n <k 时，若a k ＝a k －1＋12，则a k －1＝1这与a k －1>1矛盾，∴a k ＝a k －12，∴a k －1＝2，同理可得a k －2＝3或4，a k －3＝5,6,7或8，…，倒推下去，∵k －(k －2)＝2，∴倒推(k －2)步可求得a 1，∴a 1有2k －2个可能取值．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(文)(2015·江苏宿迁摸底)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n ＝12(a n －1)(a n ＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)na n a n ＋1，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n . [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝12(a 1－1)(a 1＋2)＝a 1，解得a 1＝－1或a 1＝2， 因为a 1>0，所以a 1＝2.当n ≥2时，S n ＝12(a n －1)(a n ＋2)，S n －1＝12(a n －1－1)(a n －1＋2)，两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1， 所以{a n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n ＋1.(2)T 2n ＝－a 1a 2＋a 2a 3－a 3a 4＋a 4a 5－a 5a 6＋…＋a 2n －2a 2n －1－a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1＝2(a 2＋a 4＋…＋a 2n )，又a 2，a 4，…，a 2n 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n＋2n ＋2＝n 2＋2n ，故T 2n ＝2n 2＋4n .[易错分析] 本题有两个易错点：一是数列{a n }的通项公式求解错误或者不认真审题导致求解过程出现增根；二是在数列求和时，不能够合理地分类与整合．(理)(2014·临沂三校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项， 所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝32，a 2＋a 3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8.所以q ＝a 3a 2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n.(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n，S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1.18．(本题满分12分)(文)已知数列{a n }的首项为1，对任意的n ∈N *，定义b n ＝a n ＋1－a n .(1)若b n ＝n ＋1，①求a 3的值和数列{a n }的通项公式； ②求数列{1a n}的前n 项和S n ；(2)若b n ＋1＝b n ＋2b n (n ∈N *)，且b 1＝2，b 2＝3，求数列{b n }的前3n 项的和． [解析] (1)①a 1＝1，a 2＝a 1＋b 1＝1＋2＝3，a 3＝a 2＋b 2＝3＋3＝6 当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝n ＋1得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n n ＋2而a 1＝1适合上式，所以a n ＝n n ＋2(n ∈N *)．②由①得：1a n ＝2nn ＋＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＝2(1－12)＋2(12－13)＋2(12－13)＋…＋2(1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.(2)因为对任意的n ∈N *有b n ＋6＝b n ＋5b n ＋4＝b n ＋4b n ＋3b n ＋4＝1b n ＋3＝b n ， 所以数列{b n }为周期数列，周期为6.又数列{b n }的前6项分别为2,3，32，12，13，23，且这六个数的和为8.设数列{b n }的前n 项和为S n ，则 当n ＝2k (k ∈N *)时，S 3n ＝S 6k ＝k (b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6)＝8k ，当n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，S 3n ＝S 6k ＋3＝k (b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6)＋b 6k ＋1＋b 6k ＋2＋b 6k ＋3＝8k ＋b 1＋b 2＋b 3＝8k ＋132，当n ＝1时，S 3＝132所以，当n 为偶数时，S 3n ＝4n ； 当n 为奇数时，S 3n ＝4n ＋52.(理)(2015·郑州市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求使(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．[解析] (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，因为S n ＝2a n －2， 所以，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1, 即：a na n －1＝2. 数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以，a n ＝2n(n ∈N *)． (2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…log 2a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立，等价于n －n ＋2≥k 对n ∈N *恒成立；设c n ＝12(n －8)(n ＋1)，则当n ＝3或4时，c n 取得最小值为－10，所以k ≤－10.19．(本题满分12分)(文)(2015·河北衡水中学三调)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋1a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明S n <34. [解析] (1)由已知a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.即a n ＋1－＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0,1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0.即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1(常数)∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项，以－1为公差的等差数列．可得1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)， ∴a n ＝nn ＋1(2)由(1)可得a n ＝nn ＋1.∵b n ＝a n ＋1a n －1＝n ＋2n n ＋－1＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34.(理)已知数列{a n }具有性质：①a 1为整数；②对于任意的正整数n ，当a n 为偶数时，a n＋1＝a n 2；当a n 为奇数时，a n ＋1＝a n －12； (1)若a 1为偶数，且a 1，a 2，a 3成等差数列，求a 1的值；(2)设a 1＝2m＋3(m >3且m ∈N )，数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n ≤2m ＋1＋3；(3)若a n 为正整数，求证：当n >1＋log 2a 1(n ∈N )时，都有a n ＝0. [解析] (1)设a 1＝2k ，则a 2＝k ， 由条件知2k ＋a 3＝2k ，∴a 3＝0. 分两种情况讨论：若k 是奇数，则a 3＝a 2－12＝k －12＝0，∴k ＝1，a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，若k 是偶数，则a 3＝a 22＝k2＝0，∴k ＝0，a 1＝0，a 2＝0，a 3＝0，∴a 1的值为2或0.(2)当m >3时，a 1＝2m＋3，a 2＝2m －1＋1，a 3＝2m －2，a 4＝2m －3，a 5＝2m －4，…，a m ＝2，a m ＋1＝1，a m ＋2＝…＝a n ＝0，∴S n ≤S m ＋1＝1＋2＋ (2)＋4＝2m ＋1＋3.(3)∵n >1＋log 2a 1，∴n －1>log 2a 1，∴2n －1>a 1，由定义可知：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n2，a n是偶数a n－12，a n是奇数，∴a n ＋1≤a n 2，∴a n ＋1a n ≤12.∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1≤12n －1a 1， ∴a n <12n －1·2n －1＝1，∵a n ∈N ，∴a n ＝0，综上可知：当n >1＋log 2a 1(n ∈N )时，都有a n ＝0.20．(本题满分12分)(文)(2014·江西八校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝4，前n 项和为S n ，且S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f (x )＝a n x ＋a n －1x 2＋a n －2x 3＋…＋a 1x n，f ′(x )是函数f (x )的导函数，令b n＝f ′(1)，求数列{b n }的通项公式，并研究其单调性．[解析] (1)由S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N *)得S n －3S n －1－2n ＋2－4＝0(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－3a n －2＝0，可得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)(n ≥2)，又由已知a 2＝14，所以a 2＋1＝3(a 1＋1)，即{a n ＋1}是一个首项为5，公比q ＝3的等比数列，所以a n ＝5×3n －1－1(n ∈N *)．(2)因为f ′(x )＝a n ＋2a n －1x ＋…＋na 1x n －1，所以f ′(1)＝a n ＋2a n －1＋…＋na 1 ＝(5×3n －1－1)＋2(5×3n －2－1)＋…＋n (5×30－1) ＝5[3n －1＋2×3n －2＋3×3n －3＋…＋n ×30]－n n ＋2令S ＝3n －1＋2×3n －2＋3×3n －3＋…＋n ×30，则3S ＝3n ＋2×3n －1＋3×3n －2＋…＋n ×31，作差得S ＝－n 2－3－3n ＋14，所以f ′(1)＝5×3n ＋1－154－n n ＋2，即b n ＝5×3n ＋1－154－n n ＋2，而b n ＋1＝5×3n ＋2－154－n ＋n ＋2，作差得b n ＋1－b n ＝15×3n2－n －72>0，所以{b n }是单调递增数列．(理)已知数列{a n }的首项a 1＝5，且a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，求数列f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是以a 1＋1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n，∴a n ＝3·2n－1.(2)∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， ∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n xn －1，∴f ′(1)＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n＝(3·21－1)＋2(3·22－1)＋3(3·23－1)＋…＋n (3·2n－1) ＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)－(1＋2＋3＋…＋n )， 令T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，∴f ′(1)＝3(n －1)·2n ＋1－n n ＋12＋6.21．(本题满分12分)(文)(2015·广东文，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．[分析] 考查：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式；3.等差数列的通项公式． (1)令n ＝2可得a 4的值；(2)先利用a n ＝S n －S n －1将4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)转化为4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，再利用等比数列的定义可证⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是等比数列；(3)由(2)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 的通项公式，再将数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 的通项公式转化为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是等差数列，进而可得数列{a n }的通项公式．[解析] (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得：a 4＝78.(2)因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)， 因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，对于n ＝1成立． 因为a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n a n ＋1－a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列．(3)由(2)知：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 即a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝4，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝5，a 4＋a 8＝22； (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ； (2)令b n ＝n ＋1S n S n ＋2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <516. [解析] (1)由a 4＋a 8＝22得：a 6＝11，又a 3＝5，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1，S n ＝n a 1＋a n 2＝n＋2n －2＝n 2.(2)b n ＝n ＋1S n S n ＋2＝n ＋1n 2n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1n ＋2当n ＝1时，b 1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝29<516，原不等式成立；当n ≥2时，b 1＋b 2＋…＋b n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫112－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142－162＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －2－1n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫1n 2－1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122－1n ＋2－1n ＋2<14⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＝516 ∴b 1＋b 2＋…＋b n <516(n ∈N *)22．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1a n ＋2，a 1＝－12. (1)求证{1a n ＋1}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝－1a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1a n ＋2＋1＝a n ＋2－1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2， 由于a n ＋1≠0， ∴1a n ＋1＋1＝a n ＋2a n ＋1＝1＋1a n ＋1，∴{1a n ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)题结论知：1a n ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1， ∴a n ＝1n ＋1－1＝－n n ＋1(n ∈N *)． (3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥p －n ， ∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥p ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立， 而1＋a n ＝1n ＋1， 设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)， ∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故p ≤12.∴p 的最大值为12.反馈练习一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则a 6＋a 8等于( ) A ．80 B ．96 C ．160 D ．320[答案] C [解析] ∵a 2＋a 4a 1＋a 3＝q a 1＋a 3a 1＋a 3＝q ＝105＝2， ∴a 6＋a 8＝(a 2＋a 4)q 4＝10×24＝160.2．(2015·广州二测)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[答案] A[解析] 设这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[易错分析] 考生不会利用奇数项和与偶数项和的关系去求解数列的项数，导致无法解题．3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1，a 5，a 17依次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )A ．4B ．3C ．2D ．12[答案] B[解析] 解法1：由条件知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，得a 1＝2d ，a 5＝a 1＋4d ＝6d ，∴q ＝a 5a 1＝6d2d＝3，故选B ．解法2：q ＝a 5a 1＝a 17a 5＝a 17－a 5a 5－a 1＝12d4d＝3，故选B ． 4．以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( ) A ．2a 3>3a 4 B ．5a 5>a 1＋6a 6 C ．a 5＋a 4－a 3<0 D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[答案] D[解析] 依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述知选D ．5．(文)在等差数列{a n }中，7a 5＋5a 9＝0，且a 5<a 9，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] ∵7a 5＋5a 9＝0，a 5<a 9， ∴d >0，且a 1＝－173d ，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－173nd ＋n n －12d ＝d 2(n 2－37n 3)，∴当n ＝6时，S n 取到最小值．(理)(2014·辽宁理，8)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0[答案] C[解析] 数列{2a 1a n }递减，∴{a 1a n }递减． ∴a 1a n －a 1a n －1＝a 1(a n －a n －1)＝a 1d <0.6．(文)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且a 1>0，若S 2>2a 3，则q 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0，12)B ．(－12，0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(12，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵S 2>2a 3，∴a 1＋a 1q >2a 1q 2， ∵a 1>0，∴2q 2－q －1<0， ∴－12<q <1且q ≠0，故选B ．(理)已知公差不等于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S 3＝－21，a 7是a 1与a 5的等比中项，那么在数列{na n }中，数值最小的项是( )A ．第4项B ．第3项C ．第2项D ．第1项[答案] B[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－21，得a 2＝－7，又由a 7是a 1与a 5的等比中项，得a 27＝a 1·a 5，即(a 2＋5d )2＝(a 2－d )(a 2＋3d )，将a 2＝－7代入，结合d ≠0，解得d ＝2，则na n ＝n [a 2＋(n －2)·d ]＝2n 2－11n ，对称轴方程n ＝234，又n ∈N *，结合二次函数的图象知，当n ＝3时，na n 取最小值，即在数列{na n }中数值最小的项是第3项．7．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10为( )A ．34B ．36C ．38D ．40[答案] C[解析] 由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，得a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 则有a n n －a n －1n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，a n －1n －1－a n －2n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1，……a 22－a 11＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12，累加得a n n －a 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . ∵a 1＝2，∴a n ＝4n －2，∴a 10＝38.8．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则2a 1，22a 2，…，29a 9中最大的是( )A.2a 1B ．25a 5C ．26a 6D ．29a 9[答案] B[解析] ∵S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5>0，∴a 5>0.又∵S 10＝102(a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)<0，∴a 5＋a 6<0，即得a 6<0，且|a 6|>a 5，则数列{a n }的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n ≤5时，数列{2na n}是递增的正数项数列，其最大项为25a 5，当n >6时，各项均为负数，即可得25a 5最大，故应选B ．(理)等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，这个等比数列前n 项的积为T n (n ≥2)，则T n 的最大值为( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2[答案] D[解析] 由题意知S 奇－2＝S 偶·q ，S 奇＝8532，S 偶＝2116，∴q ＝12，∵a 1＝2，q ＝12，∴{T n }为递减数列且a 2＝1，a k <1(k >2)， ∴T 2＝a 1a 2＝2为最大值．9．(2015·南昌市二模)已知{a n }是等差数列，a 1＝5，a 8＝18，数列{b n }的前n 项和S n＝3n，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26[答案] A[解析] 由题意得：a 8＝a 1＋7d ＝5＋7d ＝18，∴d ＝137，∴a m ＝5＋137(m －1)，又S n ＝3n，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12·3n －1，n ≥2，∴5＋137(m －1)＝3＋2·33＝57，解得m ＝29.10．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．2n－1 B ．1－2nC ．(12)n－1D ．1－(12)n[答案] D[解析] 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝(12)2，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝(12)3，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n＝(12)n ，∴S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ＝12[1－12n ]1－12＝1－(12)n，故选D ．11．(文)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n<122a n－1，12≤a n<1，若a 1＝35，则a 2014＝( )A.15 B ．25C ．35D ．45[答案] A[解析] 由题可得a 1＝35，a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，a 6＝15，…，所以数列{a n }是一个周期为4的周期数列，又因为2014＝503×4＋2，所以a 2014＝a 2＝15，故选A.(理)(2015·山西太原市一模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n(2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120[答案] D[解析] 由a n 的通项公式得：a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 59＝1，当n ＝2p (p 为奇数时)，a n ＝－(2n －1)＋1＝2－2n ；当n ＝2q (q 为偶数时)a n ＝(2n －1)＋1＝2n ，∴S 60＝30×1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×15＋15×142－＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8×15＋15×142×8＝120.12．(文)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin2n π2，则该数列的前10项和为( )A ．2101B ．1067C ．1012D ．2012[答案] B[解析] 当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，这是一个首项为1，公差为1的等差数列；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ＋1，这是一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S 18＝a 1＋a 2＋…＋a 17＋a 18＝(a 1＋a 3＋…＋a 17)＋(a 2＋a 4＋…＋a 18)＝9＋－2×1＋－291－2＝9＋36＋1022＝1067.(理)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 2OA →＋a 2014OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则下列各式中正确的是( )A ．S 2015＝1B ．S 2014＝20132C ．S 2015＝20152D ．S 2014＝1007[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 共线，且该直线不过O 点，OB →＝a 2OA →＋a 2014OC →，∴OB →－OA →＝(a 2－1)OA →＋a 2014OC →，即AB →＝(a 2－1)OA →＋a 2004OC →＝kCA →＝kOA →－kOC →， 由共线向量定理得a 2－1＝－a 2014，∴a 2＋a 2014＝1， ∴S 2015＝a 1＋a 20152＝a 2＋a 20142＝20152.二、填空题13．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.[答案] 150[解析] 设每10项一组的和依次组成的数列为{b n }，由已知可得：b 1＝10，b 1＋b 2＋b 3＝70.①设原等比数列{a n }的公比为q ， 则b 2b 1＝a 11＋a 12＋…＋a 20a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1q 10＋a 2q 10＋…＋a 10q 10a 1＋a 2＋…＋a 10＝q 10.同理：b 3b 2＝q 10，b 4b 3＝q 10，…，∴{b n }构成等比数列，且公比q ′＝q 10. 由①可得10＋10q ′＋10(q ′)2＝70，即(q ′)2＋q ′－6＝0，解得q ′＝2或q ′＝－3. ∵q ′＝q 10>0，∴q ′＝2.∴{b n }的前4项依次是：10,20,40,80. ∴S 40＝150.14．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 8＝10，a 14＋a 15＝50，则此数列的前15项之和是________． [答案] 180[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 8＝10，a 14＋a 15＝50，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋8d ＝10，2a 1＋27d ＝50，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝180.15．(2015·山东青岛摸底)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1＋log 2015x 2＋…＋log 2015x 2014的值为________．[答案] －1[解析] 因为y ′＝(n ＋1)x n，所以在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， 所以0－1x n －1＝n ＋1，所以x n ＝nn ＋1， 所以log 2015x 1＋log 2015x 2＋…＋log 2015x 2014 ＝log 2015(x 1·x 2·…·x 2014)＝log 2015(12·23·…·20142015)＝log 201512015＝－1.16．(文)(2014·合肥质检)定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，且称此常数为公积．已知在等积数列{a n }中，a 1＝2，公积为5，当n 为奇数时，这个数列的前n 项和S n ＝________.[答案]9n －14[解析] 由题可知，等积数列{a n }为2，52，2，52，…，当n 为奇数时，其前n 项和S n ，可分两部分组成，n ＋12个2之和与n －12个52之和，所以S n ＝2×n ＋12＋52×n －12＝9n －14. (理)已知数列{a n }满足a 1＝1，11＋a n ＋1＝11＋a n ＋1，则a 10＝________.[答案] －1719[解析] 由11＋a n ＋1＝11＋a n ＋1，得11＋a n ＋1－11＋a n ＝1，又11＋a 1＝12，故数列{11＋a n}是首项为12，公差为1的等差数列，故11＋a 10＝12＋(10－1)×1，得a 10＝－1719.三、解答题17．(文)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n＝1－(－12)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.(理)已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，前n 项和为S n ，且S 4＋a 2＝3S 3；等比数列{b n }满足b 1＝a 2，b 2＝a 4.(1)求证：数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项； (2)若a 1＝2，设c n ＝2log 2b n ·log 2b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若有f (n )＝log 3T n ，求f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的最大值． [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4＋a 2＝2S 3，得4a 1＋6d ＋a 1＋d ＝6a 1＋6d ， ∴a 1＝d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1，∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1， 等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2， 则b n ＝2a 1·2n －1＝2n·a 1，∵2n∈N *，∴{b n }中的每一项都是{a n }中的项． (2)当a 1＝2时，b n ＝2n ＋1，c n ＝2n ＋n ＋＝2(1n ＋1－1n ＋2) 则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝2(12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2)＝2(12－1n ＋2)＝n n ＋2.(3)f (n )＝log 3T n ＝log 3nn ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝log 313＋log 324＋…＋log 3n n ＋2＝log 3(13·24·…·nn ＋2)＝log 32n ＋n ＋≤log 32＋＋＝－1，即f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的最大值为－1.18．(文)(2014·日照市诊断)已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)通过公式b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }．若{b n }也是等差数列，求非零常数c ；(3)对于(2)中得到的数列{b n }，求f (n )＝b nn ＋b n ＋1(n ∈N *)的最大值．[解析] (1)∵数列{a n }是等差数列． ∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14.又a 2a 3＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5.∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9. ∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c.∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2·6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)． ∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n .。